MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例

1、MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例第一部分：MANOVA相關(guān)基本知識(shí) 高曉霞第二部分：MANOVA原理 柯錦秀第三部分：MANOVA實(shí)際操作(SPSS) 李帥多元方差分析 MANOVAMANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例相關(guān)統(tǒng)計(jì)方法的回顧MANOVA基本介紹線性代數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)回顧MANOVA 基本統(tǒng)計(jì)量 高曉霞第一部分：MANOVA相關(guān)基本知識(shí)MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例1. 相關(guān)統(tǒng)計(jì)方法 回顧 t-檢驗(yàn) 一個(gè)自變量、一個(gè)響應(yīng)變量，檢驗(yàn)兩個(gè)樣本(k=2)的平均值差異程度，適用于較小樣本(樣本量:2)樣本均值，檢驗(yàn)一個(gè)或

2、多個(gè)自變量對(duì)一個(gè)響應(yīng)變量所產(chǎn)生的效應(yīng)是否有顯著差異。 方差分析在功能上是t-檢驗(yàn)的推廣。MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例1. 相關(guān)統(tǒng)計(jì)方法 回顧1.2.1 單因素方差分析(One-way ANOVA) 主要用于檢驗(yàn)一個(gè)自變量、多個(gè)水平或多個(gè)處理對(duì)所研究的一個(gè)響應(yīng)變量的影響。Eg：四組光照條件不同的樣地中野生高山烏頭的生長速率有無差異？MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例1. 相關(guān)統(tǒng)計(jì)方法 回顧1.2.2 多因素方差分析(Multi-factor ANOVA) 檢驗(yàn)兩個(gè)及以上自變量、多個(gè)水平或多個(gè)處理對(duì)所研究的一個(gè)響應(yīng)變量的影響。Eg：四組光照與水分均不相同的樣地中野生高山烏

3、頭的生長速率有無差異？MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例1. 相關(guān)統(tǒng)計(jì)方法 回顧1.3 協(xié)方差分析(ANCOVA) 先用回歸方法消除協(xié)變量對(duì)單一響應(yīng)變量的影響(協(xié)變量與響應(yīng)變量之間存在線性關(guān)系)，再用方差分析方法對(duì)自變量的影響作出統(tǒng)計(jì)推斷。Eg：考慮野生高山烏頭的初始重量對(duì)其生長速度存在影響，分析不同光照條件的樣地中不同初始重量的野生高山烏頭生長速率有無差異？MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例 新問題 四組光照條件不同的樣地中野生高山烏頭的分株數(shù)(克隆大小)、重量以及株高有無差異？多元方差分析Multivariate Analysis of VarianceMANOVA多響

4、應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例 2. MANOVA 基本介紹 針對(duì)一個(gè)或多個(gè)自變量、多個(gè)水平或多個(gè)處理、存在兩個(gè)或兩個(gè)以上響應(yīng)變量的數(shù)據(jù)的方差分析。 在考慮多個(gè)響應(yīng)變量時(shí)，MANOVA把多個(gè)響應(yīng)變量看成一個(gè)整體，分析自變量對(duì)多個(gè)響應(yīng)變量整體的影響，檢驗(yàn)不同因素水平下響應(yīng)變量整體的組間差異是否顯著。MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例 2. MANOVA 基本介紹多元方差分析的基本思想 與單因素ANOVA的平方和分解一樣(將總體方差分解為組間方差和和組內(nèi)方差) MANOVA將響應(yīng)變量的整體差異分解為兩部分： 組間差異(處理效應(yīng)) 組內(nèi)差異(誤差效應(yīng)) 對(duì)這兩部分差異進(jìn)行分析比較。MANOV

5、A多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例 2. MANOVA 基本介紹是否可用多次ANOVA檢驗(yàn)代替MANOVA檢驗(yàn)？理論上可以對(duì)各個(gè)因變量單獨(dú)進(jìn)行方差分析，但這種處理存在弊端： 犯第一類錯(cuò)誤的概率增大，檢驗(yàn)效率低； 一元分析結(jié)果不一致時(shí)，難以下結(jié)論； 忽略了響應(yīng)變量間相關(guān)關(guān)系； 有時(shí)多個(gè)觀察指標(biāo)的聯(lián)合分布存在差異，但單獨(dú)對(duì)每個(gè)指標(biāo)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)學(xué)檢驗(yàn)時(shí)卻沒有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義；反之亦然。類似ANOVA和多個(gè)單獨(dú)t-檢驗(yàn)間的關(guān)系MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例 2. MANOVA 基本介紹2.2 適用情況比較T-test ANOVA MAVOVA目的檢驗(yàn)兩組均值是否差異檢驗(yàn)k組(k2)以上均值是否有差

6、異檢驗(yàn)k組間在兩個(gè)以上響應(yīng)變量間是否有差異樣本個(gè)數(shù)k=2k2k2自變量一個(gè)一個(gè)或多個(gè)一個(gè)或多個(gè)響應(yīng)變量一個(gè)一個(gè)多個(gè)MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例 2. MANOVA 基本介紹2.3 MANOVA數(shù)據(jù)要求若響應(yīng)變量間相關(guān)，相關(guān)關(guān)系應(yīng)為線性；若響應(yīng)變量間不是線性相關(guān)，則應(yīng)把非線性關(guān)系線性化。樣本規(guī)模：要求總樣本量和各分組樣本量都足夠大不能出現(xiàn)較多缺失量測值(若數(shù)據(jù)缺失較多，不宜取得準(zhǔn)確結(jié)果)各組樣本數(shù)最好不要差別太大。MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例3. 線性代數(shù) 基本知識(shí)回顧行列式是一個(gè)數(shù)值。根據(jù)由n2個(gè)數(shù)aij （i，j=1,2, n）排成的n行n列的數(shù)表而確定的n階

7、行列式記作D，簡記作det(aij)。MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例3. 線性代數(shù) 基本知識(shí)回顧3.1 行列式n階行列式的定義：由n2個(gè)數(shù)組成的n階行列式等于所有取自不同行不同列的n個(gè)元素的乘積的代數(shù)和。D=MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例3. 線性代數(shù) 基本知識(shí)回顧3.1 行列式二階行列式的定義：三階行列式的定義：MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例3. 線性代數(shù) 基本知識(shí)回顧3.2 向量向量：由n個(gè)實(shí)數(shù)ai（i=1,2, n）組成的有序數(shù)組（a1,a2,.,an），稱為n維向量，其中ai 稱為第i個(gè)分量。行向量，列向量。向量相加：同維、同向的向量才能相加；

8、對(duì)應(yīng)分量各自相加。MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例3. 線性代數(shù) 基本知識(shí)回顧3.3 矩陣矩陣：由mn個(gè)數(shù)aij（i=1,2,m; j=1,2,n）排成的m行n列的矩形數(shù)表，稱為一個(gè)mn矩陣。行與列相等的矩陣稱為方陣。對(duì)角矩陣：主對(duì)角線以外的所有元素全為零的方陣（n x n 陣）MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例3. 線性代數(shù) 基本知識(shí)回顧3.3 矩陣單位陣：主對(duì)角線上的所有元素全為1的對(duì)角陣，記做1陣數(shù)量矩陣：主對(duì)角線上的所有元素全為的對(duì)角陣，記做陣MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例3. 線性代數(shù) 基本知識(shí)回顧3.3 矩陣轉(zhuǎn)置矩陣：把矩陣A的行換成相應(yīng)的列，得

9、到的新矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT或A。即A中的aij變?yōu)锳T中的aji。對(duì)稱矩陣：其轉(zhuǎn)置等于自身的方陣叫做對(duì)稱矩陣，就是稱A是對(duì)稱矩陣，則有A=AT。對(duì)稱矩陣aij= ajiMANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例3. 線性代數(shù) 基本知識(shí)回顧3.4 矩陣加法MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例3. 線性代數(shù) 基本知識(shí)回顧3.4 矩陣加法MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例3. 線性代數(shù) 基本知識(shí)回顧3.5 矩陣減法MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例3. 線性代數(shù) 基本知識(shí)回顧3.5 矩陣減法MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例3. 線性代數(shù) 基本知識(shí)回

10、顧3.6 矩陣相乘定義A,B之積m行 l 列矩陣與 l 行n列矩陣的積為m行n列矩陣稱C為A 左乘 B，或 B 右乘 AMANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例3. 線性代數(shù) 基本知識(shí)回顧3.6 矩陣相乘MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例3. 線性代數(shù) 基本知識(shí)回顧3.6 矩陣相乘AB=MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例3. 線性代數(shù) 基本知識(shí)回顧3.6 矩陣相乘相乘的條件：左矩陣的列數(shù)與右矩陣的行數(shù)相等不可乘！MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例3. 線性代數(shù) 基本知識(shí)回顧3.7 矩陣相除 現(xiàn)設(shè)矩陣A、B，現(xiàn)在求A/B，但矩陣的除法不是直接放在分?jǐn)?shù)線上計(jì)算，而

11、是引入一個(gè)新概念：逆矩陣。例如矩陣A的逆矩陣為A-1，則有AA-1=1一個(gè)矩陣的逆矩陣的求解方法是：先把一個(gè)單位矩陣放在目的矩陣的右邊，然后把左邊的矩陣通過初等行變換轉(zhuǎn)換為單位矩陣，此時(shí)右邊的矩陣就是我們要求的逆矩陣。MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例3. 線性代數(shù) 基本知識(shí)回顧3.7 矩陣相除 一個(gè)矩陣的逆矩陣的求解方法是：先把一個(gè)單位矩陣放在目的矩陣的右邊，然后把左邊的矩陣通過初等行變換轉(zhuǎn)換為單位矩陣，此時(shí)右邊的矩陣就是我們要求的逆矩陣。MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例3. 線性代數(shù) 基本知識(shí)回顧3.7 矩陣相除 MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例3. 線性

12、代數(shù) 基本知識(shí)回顧3.7 矩陣相除 MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例3. 線性代數(shù) 基本知識(shí)回顧3.8 特征根與特征向量 設(shè)A為n階方陣，X是n維列向量，如果存在數(shù)l,使方程AX=lX有非零解，則稱l為矩陣A的特征值，相應(yīng)的非零解稱為A的屬于l的特征向量方程AX=lXAX-lX =O(A-lE)X=O即不論l取何值，方程AX=lX一定有解MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例例如：對(duì) ，取 l=4，代入方程AX= lX得 AX= 4X(A-4E)X=O(A-4E)X= O有非零解2022/8/6MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例所以，l=4是矩陣A的一個(gè)特征值對(duì) ，

13、取 ，得一個(gè)基礎(chǔ)解系則方程(A-4E)X=O的全部解為：c為任意常數(shù)A的屬于l=4 的特征向量：c03. 線性代數(shù) 基本知識(shí)回顧2022/8/6MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例求n階方陣A的特征值：數(shù)l0是A的特征值l0使方程AX= lX有非零解因此 ：l0是A的特征值l0使 成立求A的特征值步驟： (1) 計(jì)算n階行列式解得方程的根l1，l2， ，ln，則l1， l2， ，ln即是A的特征值2022/8/6MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例設(shè)2022/8/6MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例則方程 即 是的n次方程 在復(fù)數(shù)域上，方程 一定有 n個(gè)根。方程3.

14、線性代數(shù) 基本知識(shí)回顧A的特征多項(xiàng)式A的特征方程2022/8/6MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例解：令 ， 得 l1 =-1，l2 =7則A的特征值為l1 =-1，l2 =7【例】求 的特征值3. 線性代數(shù) 基本知識(shí)回顧2022/8/6MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例4. MANOVA 基本統(tǒng)計(jì)量4.1 均向量4.2 離均差平方和與離均差積和矩陣4.3 方差-協(xié)方差矩陣4.4 協(xié)方差陣與離差陣MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例4. MANOVA 基本統(tǒng)計(jì)量12名中學(xué)生的身高、體重、胸圍測量資料編號(hào)身高(cm)y1體重(kg)y2胸圍(cm)y31171.058

15、.581.02175.065.087.03159.038.071.04155.345.074.05152.035.063.06158.344.575.07154.844.574.08164.051.072.09165.255.079.010164.546.071.011159.148.072.512164.246.573.0MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例4. MANOVA 基本統(tǒng)計(jì)量4.1 均向量均向量(Vector of Means) 均向量的轉(zhuǎn)置MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例4. MANOVA 基本統(tǒng)計(jì)量4.2 離差平方和與離差積和矩陣Sum of Square

16、s and Cross-Products matrix, SSCP 簡稱平方和陣MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例4. MANOVA 基本統(tǒng)計(jì)量4.3 方差-協(xié)方差矩陣 方差-協(xié)方差矩陣(Variance-Covariance Matrix) 簡稱為協(xié)方差陣(covariance matrix)MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例4. MANOVA 基本統(tǒng)計(jì)量4.4 平方和陣與協(xié)方差陣的關(guān)系V=SS/df（df = 11）MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例第二部分：MANOVA原理 柯錦秀 MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例 MANOVA 基本假定數(shù)據(jù)來自

17、隨機(jī)樣本，觀察值間獨(dú)立；各響應(yīng)變量為正態(tài)分布且方差齊性；各響應(yīng)變量的聯(lián)合分布為多元正態(tài)分布；任何兩組響應(yīng)變量的協(xié)方差矩陣相同(球形性）;總樣本量(N)、響應(yīng)變量組數(shù)(k)，組間處理水平數(shù)目(M) 必須滿足N-Mk。MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例多元正態(tài)分布多元正態(tài)分布指的是多個(gè)響應(yīng)變量之間的正態(tài)分布，它與單響應(yīng)變量正態(tài)分布在形式上盡管不同，但有很多相似之處，實(shí)際上是單響應(yīng)變量正態(tài)分布在多維上的推廣。49MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣計(jì)算的是不同響應(yīng)變量之間的協(xié)方差假設(shè)數(shù)據(jù)集有三個(gè)響應(yīng)變量x,y,z，則協(xié)方差矩陣為:協(xié)方差矩陣是一個(gè)對(duì)稱的矩陣，而且

18、對(duì)角線是各個(gè)響應(yīng)變量的方差。50MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例協(xié)方差矩陣球形性協(xié)方差矩陣的球形性是指該對(duì)角線元素(方差)相等、非主對(duì)角線元素(協(xié)方差)相等。MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例協(xié)方差矩陣球形性檢驗(yàn)用 Mauchly 法 檢驗(yàn)協(xié)方差陣是否滿足球形性 H0：資料符合球形要求 H1：資料不滿足球形要求檢驗(yàn)的P值若大于研究者所選擇的顯著性水準(zhǔn)時(shí)，說明協(xié)方差陣的球形性質(zhì)得到滿足。如不滿足“球?qū)ΨQ”假設(shè)，應(yīng)用“球?qū)ΨQ”校正系數(shù)對(duì)受試對(duì)象內(nèi)所有變異的自由度進(jìn)行校正。 (1) Geenhouse - Geisser 調(diào)整系數(shù)(G-G) (2) Huynh - Feldt

19、調(diào)整系數(shù)(H-F)MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例 MANOVA 基本過程1確定原假設(shè) p個(gè)響應(yīng)變量 g個(gè)自變量水平多元方差分析的統(tǒng)計(jì)原假設(shè)的向量形式如下： u11 u12 u1g u21 u22 u2g H0: . = = = up1 up2 Upg 或者 H0:u1=u2=ugHa:u1, u2, ug不全相等 MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例 Total Sum of Squares and Cross Products matrix，簡稱SSCP矩陣T，或T (離差平方和與離差積和矩陣) 。是ANOVA中Total sums of squares (SS)在多元

20、中的對(duì)應(yīng)量。 SSCP矩陣T是由PP個(gè)元素組成的矩陣 g：自變量水平數(shù)；ni：每組處理中樣本個(gè)數(shù) 每個(gè)實(shí)驗(yàn)單元p個(gè)響應(yīng)變量所組成的向量與總平均向量之差，乘以此差的轉(zhuǎn)置陣，求和。 MANOVA 基本過程MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例MANOVA 中總SSCP矩陣T的分解E: error SSCP（組內(nèi)矩陣）H: treat SSCP （組間矩陣） MANOVA 基本過程MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例3列多元方差分析表N個(gè)樣本SSCPT= SH+SE來源df自由度SSCPWilks Lambda檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量組間g - 1H組內(nèi)N - gE總和N - 1T = H + E

21、MANOVA 基本過程MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例 多元方差分析的四個(gè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Pillais跡：恒為正數(shù)，值越大，表明該效應(yīng)項(xiàng)對(duì)模型的貢 獻(xiàn)越大；WilksLambda：取值范圍在01之間，值越小，說明該效應(yīng)項(xiàng)對(duì)模型的貢獻(xiàn)越大；Hotelling跡：檢驗(yàn)矩陣特征根之和，其值總是比Pillais軌跡的值大。與Pillais軌跡相似，值越大貢獻(xiàn)越大；Roy最大根統(tǒng)計(jì)量：為檢驗(yàn)矩陣特征根中最大值，因此它總是小于或等于Hotelling軌跡。 當(dāng)模型建立的前提條件不滿足時(shí)，Pillais跡最為穩(wěn)健。 MANOVA 基本過程MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例 多元方差分析的四

22、個(gè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量計(jì)算1.Pillais trace Pillais trace = fH(H+E)-12.Hotelling-Lawleys trace Hotelling-Lawleys trace = f(HE-1)3.Wilks lambda Wilks lambda = |E|/|H+E|4.Roys largest root Roys largest root = max(i) = the maximum eigenvalue of HE-1 MANOVA 基本過程MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例4計(jì)算Wilks Lambda近似F值（判斷統(tǒng)計(jì)顯著性）其中： p個(gè)響應(yīng)變量 g

23、個(gè)自變量水平 N個(gè)樣本個(gè)體 MANOVA 基本過程MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例MANOVA與ANOVA過程比較 ANOVA原假設(shè) MANOVA原假設(shè)H0：u1=u2=u3=uiUi 代表四組樣本的總體均值uAiuBiuCi各處理各組樣本總體均值的向量（矩陣）H0：uA1uB1Uc1 uA2uB2uC2 uA3uB3uC3 =MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例 ANOVA總平方和的分解 SSerror : SSwithin Sstreat : SSbetween MANOVA總SSCP矩陣的分解E: error SSCPH: treat SSCPMANOVA與ANOVA

24、過程比較MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例 ANOVA表來源d.f.SSMSF處理g - 1SStreatSStreat /(g - 1)MStreat/MSerror誤差N - gSSerrorSSerror /(N - g)總N - 1SStotal MANOVA表來源d.f.SSCP處理g - 1H誤差N - gE總N - 1TMANOVA與ANOVA過程比較MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例 ANOVA統(tǒng)計(jì)顯著性判斷 MANOVA統(tǒng)計(jì)顯著性判斷通過比較計(jì)算的F值與查 臨界值表的F值判斷是否顯著。4個(gè)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)量；沒有與之相對(duì)的臨界值表；計(jì)算近似的F值，然后判斷。1.P

25、illais trace Pillais trace = fH(H+E)-12.Hotelling-Lawleys trace Hotelling-Lawleys trace = f(HE-1)3.Wilks lambda Wilks lambda = |E|/|H+E|4.Roys largest root Roys largest root = max(i) or the maximum eigenvalue of HE-1MANOVA與ANOVA過程比較MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例 ANOVA post hoc comparison MANOVA post hoc com

26、parisonmultiple comparison ：Fishers LSDTukeys WStudent-Newman-KeulsDuncansScheffs S 備選方法：1 對(duì)各因變量(響應(yīng)變量)分別進(jìn)行方差分析(ANOVA).2 Scheff檢驗(yàn)、Tukey檢驗(yàn)、 Student-Newman-Keuls檢驗(yàn)有多元的修正.MANOVA與ANOVA過程比較MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例為了考查素質(zhì)教育是否會(huì)導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)成績降低,某校對(duì)初中二年級(jí)兩個(gè)班各50名學(xué)生分別施以素質(zhì)教育模式和傳統(tǒng)(應(yīng)試)教育模式教學(xué),在一次模擬考試中收集了兩個(gè)班級(jí)學(xué)生的語文、數(shù)學(xué)、英語的考試成績,試做統(tǒng)計(jì)分析。（以上4種統(tǒng)計(jì)量計(jì)算公式比較復(fù)雜,僅以Wilks為例進(jìn)一步說明多元分析方差分析的基本思想） MANOVA 計(jì)算實(shí)例MANOVA多響應(yīng)變量方差綜合分析和計(jì)算實(shí)例 MANOVA 計(jì)算實(shí)例首先建立多元方差分析的假設(shè)。H0:各組總體均數(shù)向量相等,H1:各組總體均數(shù)向量不等或不全相等。對(duì)于此例,兩種教育模式學(xué)生的三種成績均數(shù)向量為:素質(zhì)教育:Y1=(73