高中物理競(jìng)賽教材2

1、高中物理競(jìng)賽培訓(xùn)教材PAGE PAGE 132第十二講 功能原理和機(jī)械能守恒定律功能原理根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)有保守力作用和非保守力作用時(shí)，內(nèi)力所做功又可分為而由保守力做功特點(diǎn)知，保守力做功等于勢(shì)能增量的負(fù)值，即 于是得到用E表示勢(shì)能與動(dòng)能之和，稱(chēng)為系統(tǒng)機(jī)械能，結(jié)果得到 外力的功和非保守力內(nèi)力所做功之和等于系統(tǒng)機(jī)械能的增量，這就是質(zhì)點(diǎn)系的功能原理?？梢缘玫剑ㄍ饬ψ稣κ刮矬w系機(jī)械能增加，而內(nèi)部的非保守力作負(fù)功會(huì)使物體系的機(jī)械能減少）。 功能原理適用于分析既有外力做功，又有內(nèi)部非保守力做功的物體系，請(qǐng)看下題：圖4-7-1 勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧水平放置，左端固定，右端連接一個(gè)質(zhì)量為m的木塊

2、（圖4-7-1）開(kāi)始時(shí)木塊靜止平衡于某一位置，木塊與水平面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為。然后加一個(gè)水平向右的恒力作用于木塊上。（1）要保證在任何情況下都能拉動(dòng)木塊，此恒力F不得小于多少？（2）用這個(gè)力F拉木塊，當(dāng)木塊的速度再次為零時(shí)，彈簧可能的伸長(zhǎng)量是多少？ 題目告知“開(kāi)始時(shí)木塊靜止平衡于某一位置”，并未指明確切的位置，也就是說(shuō)木塊在該位置時(shí)所受的靜摩擦力和彈簧的形變量都不清楚，因此要考慮各種情況。如果彈簧自然伸展時(shí)，木塊在O點(diǎn)，那么當(dāng)木塊在O點(diǎn)右方時(shí)，所受的彈簧的作用力向右。因?yàn)槟緣K初始狀態(tài)是靜止的，所以彈簧的拉力不能大于木塊所受的最大靜摩擦力。要將木塊向右拉動(dòng)，還需要克服一個(gè)向左的靜摩擦力，所以只要

3、F2，即可保證在任何情況下都能拉動(dòng)木塊。 設(shè)物體的初始位置為，在向右的恒力F作用下，物體到x處的速度再次為零，在此過(guò)程中，外部有力F做功，內(nèi)部有非保守力f做功，木塊的動(dòng)能增量為零，所以根據(jù)物體系的功能原理有可得因?yàn)槟緣K一開(kāi)始靜止，所以要求 可見(jiàn)，當(dāng)木塊再次靜止時(shí)，彈簧可能的伸長(zhǎng)是 機(jī)械能守恒定律 若外力的與非保守內(nèi)力的功之和為零時(shí)，則系統(tǒng)機(jī)械能守恒，這就是機(jī)械能守恒定律。 注意：該定律只適用于慣性系，它同時(shí)必須是選擇同一慣性參照系。在機(jī)械能守恒系統(tǒng)中，由于保守內(nèi)力做功，動(dòng)能和勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化，而總的機(jī)械能則保持不變。下面介紹一例由機(jī)械能守恒推出的重要定理：伯努利方程理想流體 不可壓縮的、沒(méi)有粘滯性

4、的流體，稱(chēng)為理想流體。定常流動(dòng) 觀(guān)察一段河床比較平緩的河水的流動(dòng)，你可以看到河水平靜地流著，過(guò)一會(huì)兒再看，河水還是那樣平靜地流著，各處的流速?zèng)]有什么變化。河水不斷地流走，可是這段河水的流動(dòng)狀態(tài)沒(méi)有改變。河水的這種流動(dòng)就是定常流動(dòng)。流體質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)空間各點(diǎn)的流速雖然可以不同，但如果空間每一點(diǎn)的流速不隨時(shí)間而改變，這樣的流動(dòng)就叫做定常流動(dòng)。自來(lái)水管中的水流，石油管道中石油的流動(dòng)，都可以看做定常流動(dòng)。 流體的流動(dòng)可以用流線(xiàn)形象地表示。在定常流動(dòng)中，流線(xiàn)表示流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。圖4-7-2是液體流過(guò)圓柱體時(shí)流線(xiàn)的分布。A、B處液體流過(guò)的橫截面積大，CD處液體流過(guò)的橫截面積小。液體在CD處流得急，流速大。A

5、B處的流線(xiàn)疏，CD處的流線(xiàn)密，這樣，從流線(xiàn)的分布可以知道流速的大小。流線(xiàn)疏的地方，流速小；流線(xiàn)密的地方，流速大。圖4-7-2伯努利方程 現(xiàn)在研究理想流體做定常流動(dòng)時(shí)流體中壓強(qiáng)和流速的關(guān)系。圖4-7-3表示一個(gè)細(xì)管，其中流體由左向右流動(dòng)。在管的處和處用橫截面截出一段流圖4-7-3體，即處和處之間的流體，作為研究對(duì)象。 處的橫截面積為，流速為，高度為，處左邊的流體對(duì)研究對(duì)象的壓強(qiáng)為，方向垂直于向右。 處的橫截面積為，流速為，高度為，處左邊的流體對(duì)研究對(duì)象的壓強(qiáng)為，方向垂直于向左。 經(jīng)過(guò)很短的時(shí)間間隔，這段流體的左端由移到。右端由移到。兩端移動(dòng)的距離分別為和。左端流入的流體體積為，右端流出的流體體積

6、為，理想流體是不可壓縮的，流入和流出的體積相等，記為。 現(xiàn)在考慮左右兩端的力對(duì)這段流體所做的功。作用在液體左端的力，所做的功。作用在右端的力，所做的功。外力所做的總功 （1） 外力做功使這段流體的機(jī)械能發(fā)生改變。初狀態(tài)的機(jī)械能是到這段流體的機(jī)械能，末狀態(tài)的機(jī)械能是到這段流體的機(jī)械能。由到這一段，經(jīng)過(guò)時(shí)間，雖然流體有所更換，但由于我們研究的是理想流體的定常流動(dòng)，流體的密度和各點(diǎn)的流速?zèng)]有改變，動(dòng)能和重力勢(shì)能都沒(méi)有改變，所以這一段的機(jī)械能沒(méi)有改變，這樣機(jī)械能的改變就等于流出的那部分流體的機(jī)械能減去流入的那部分流體的機(jī)械圖4-7-4能。 由于，所以流入的那部分流體的動(dòng)能為 重力勢(shì)能為流出流體的動(dòng)能為

7、 重力勢(shì)能為機(jī)械能的改變?yōu)?（2） 理想流體沒(méi)有粘滯性，流體在流動(dòng)中機(jī)械能不會(huì)轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，所以這段流體兩端受的力所做的總功W等于機(jī)械能的改變，即 W= （3）將（1）式和（2）式代入（3）式，得 整理后得 （4）和是在流體中任意取的，所以上式可表示為對(duì)管中流體的任意處： 常量 （5） （4）式和（5）式稱(chēng)為伯努利方程。 流體水平流動(dòng)時(shí)，或者高度差的影響不顯著時(shí)（如氣體的流動(dòng)），伯努利方程可表達(dá)為 常量 （6） 從（6）式可知，在流動(dòng)的流體中，壓強(qiáng)跟流速有關(guān)，流速v大的地方要強(qiáng)p小，流速v小的地方壓強(qiáng)p大。圖4-7-5知道壓強(qiáng)和流速的關(guān)系，就可以解釋本節(jié)開(kāi)始所做的實(shí)驗(yàn)了。經(jīng)過(guò)漏斗吹乒乓球時(shí)，乒乓

8、球上方空氣的流速大，壓強(qiáng)小，下方空氣的壓強(qiáng)大，乒乓球受到向上的力，所以會(huì)貼在漏斗上不會(huì)掉下來(lái)。向兩張紙中間吹氣，兩張紙中間空氣的流速大，壓強(qiáng)小，外邊空氣的壓強(qiáng)大，所以?xún)蓮埣垖⒒ハ噘N近。同樣的道理，兩艘并排的船同向行駛時(shí)（圖4-7-4）如果速度較大，兩船會(huì)互相靠近，有相撞的危險(xiǎn)。歷史上就曾經(jīng)發(fā)生過(guò)這類(lèi)事故。在航海中。對(duì)并排同向行駛的船舶，要限制航速和兩船的距離。伯努利方程的應(yīng)用： 球類(lèi)比賽中的旋轉(zhuǎn)球和不轉(zhuǎn)球的飛行軌跡不同，是因?yàn)榍蛑車(chē)諝饬鲃?dòng)情況不同造成的。圖4-7-5甲表示不轉(zhuǎn)球水平向左運(yùn)動(dòng)時(shí)周?chē)諝獾牧骶€(xiàn)。球的上方和下方流線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，流速相同，上下不產(chǎn)生壓強(qiáng)差。現(xiàn)在考慮球的旋轉(zhuǎn)，致使球的下方空氣

9、的流速增大，上方流速減小，周?chē)諝饬骶€(xiàn)如圖乙所示。球的下方流速大，壓強(qiáng)小，上方流速小，壓強(qiáng)大。跟不轉(zhuǎn)球相比，圖4-1-6乙所示旋轉(zhuǎn)球因?yàn)樾D(zhuǎn)而受到向下的力，飛行軌跡要向下彎曲。 例：如圖4-7-6所示，用一彈簧把兩物塊A和B連接起來(lái)后，置于水平地面上。已知A和B的質(zhì)量分別為和。問(wèn)應(yīng)給物塊A上加多大的壓力F，才可能在撤去力F后，A向上跳起后會(huì)出現(xiàn)B對(duì)地?zé)o壓力的情況？彈簧的質(zhì)量略去不計(jì)。圖4-7-6設(shè)彈簧原長(zhǎng)為，建立如圖4-7-7所示的坐標(biāo)，以k表示彈簧的勁度系數(shù)，則有 取圖中O點(diǎn)處為重力勢(shì)能零點(diǎn)，當(dāng)A受力F由O點(diǎn)再被壓縮了x時(shí)，系統(tǒng)的機(jī)械能為 撤去F當(dāng)A上升到最高處即彈簧較其自然長(zhǎng)度再伸長(zhǎng)時(shí)，系

10、統(tǒng)的機(jī)械能圖4-7-7為 A在x處時(shí)，其受力滿(mǎn)足 ，以式的代入上式，乃有 當(dāng)F撤去A上升到處時(shí)，彈簧的彈力大小為，設(shè)此時(shí)B受到地面的支持力為N，則對(duì)于B應(yīng)有 要B對(duì)地?zé)o壓力，即N=0，則上式變?yōu)?因?yàn)锳由x處上升至處的過(guò)程中，對(duì)此系統(tǒng)無(wú)外力和耗散力作功，則其機(jī)械能守恒，即 = 聯(lián)立解式，可得 。 顯然，要出現(xiàn)B對(duì)地?zé)o壓力的情況，應(yīng)為（。當(dāng)F=（時(shí)，剛好能出現(xiàn)B對(duì)地?zé)o壓力的情況，但B不會(huì)離開(kāi)地面；當(dāng)F（時(shí)，B將出現(xiàn)離開(kāi)地面向上跳起的情況。第十三講 動(dòng)量和能量一、沖量和動(dòng)量1、沖力（Ft圖象特征） 沖量。沖量定義、物理意義沖量在Ft圖象中的意義從定義角度求變力沖量（F對(duì)t的平均作用力）2、動(dòng)量的定

11、義 動(dòng)量矢量性與運(yùn)算二、動(dòng)量定理1、定理的基本形式與表達(dá) 2、分方向的表達(dá)式：Ix =Px ，Iy =Py 3、定理推論：動(dòng)量變化率等于物體所受的合外力。即=F外 三、動(dòng)量守恒定律1、定律、矢量性2、條件 a、原始條件與等效 b、近似條件c、某個(gè)方向上滿(mǎn)足a或b，可在此方向應(yīng)用動(dòng)量守恒定律四、功和能 1、功的定義、標(biāo)量性，功在FS圖象中的意義 2、功率，定義求法和推論求法3、能的概念、能的轉(zhuǎn)化和守恒定律 4、功的求法a、恒力的功：W = FScos= FSF = FS Sb、變力的功：基本原則過(guò)程分割與代數(shù)累積；利用FS圖象（或先尋求F對(duì)S的平均作用力） c、解決功的“疑難雜癥”時(shí)，把握“功是

12、能量轉(zhuǎn)化的量度”這一要點(diǎn)五、動(dòng)能、動(dòng)能定理 1、動(dòng)能（平動(dòng)動(dòng)能）2、動(dòng)能定理a、W的兩種理解b、動(dòng)能定理的廣泛適用性六、機(jī)械能守恒1、勢(shì)能a、保守力與耗散力（非保守力） 勢(shì)能（定義：Ep = W保）b、力學(xué)領(lǐng)域的三種勢(shì)能（重力勢(shì)能、引力勢(shì)能、彈性勢(shì)能）及定量表達(dá)2、機(jī)械能 3、機(jī)械能守恒定律a、定律內(nèi)容 b、條件與拓展條件（注意系統(tǒng)劃分）c、功能原理：系統(tǒng)機(jī)械能的增量等于外力與耗散內(nèi)力做功的代數(shù)和。七、碰撞與恢復(fù)系數(shù)1、碰撞的概念、分類(lèi)（按碰撞方向分類(lèi)、按碰撞過(guò)程機(jī)械能損失分類(lèi)）碰撞的基本特征：a、動(dòng)量守恒；b、位置不超越；c、動(dòng)能不膨脹。2、三種典型的碰撞a、彈性碰撞：碰撞全程完全沒(méi)有機(jī)械能

13、損失。滿(mǎn)足m1v10 + m2v20 = m1v1 + m2v2 m1 + m2 = m1 + m2解以上兩式（注意技巧和“不合題意”解的舍棄）可得：v1 = ， v2 = 對(duì)于結(jié)果的討論：當(dāng)m1 = m2 時(shí)，v1 = v20 ，v2 = v10 ，稱(chēng)為“交換速度”；當(dāng)m1 m2 ，且v20 = 0時(shí)，v1 v10 ，v2 0 ，小物碰大物，原速率返回；當(dāng)m1 m2 ，且v20 = 0時(shí)，v1 v10 ，v2 2v10 ，b、非（完全）彈性碰撞：機(jī)械能有損失（機(jī)械能損失的內(nèi)部機(jī)制簡(jiǎn)介），只滿(mǎn)足動(dòng)量守恒定律c、完全非彈性碰撞：機(jī)械能的損失達(dá)到最大限度；外部特征：碰撞后兩物體連為一個(gè)整體，故有v

14、1 = v2 = 3、恢復(fù)系數(shù)：碰后分離速度（v2 v1）與碰前接近速度（v10 v20）的比值，即：e = 。根據(jù)“碰撞的基本特征”，0 e 1 。當(dāng)e = 0 ，碰撞為完全非彈性；當(dāng)0 e 1 ，碰撞為非彈性； 當(dāng)e = 1 ，碰撞為彈性。八、“廣義碰撞”物體的相互作用1、當(dāng)物體之間的相互作用時(shí)間不是很短，作用不是很強(qiáng)烈，但系統(tǒng)動(dòng)量仍然守恒時(shí)，碰撞的部分規(guī)律仍然適用，但已不符合“碰撞的基本特征”（如：位置可能超越、機(jī)械能可能膨脹）。此時(shí)，碰撞中“不合題意”的解可能已經(jīng)有意義，如彈性碰撞中v1 = v10 ，v2 = v20的解。2、物體之間有相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，機(jī)械能損失的重要定勢(shì)：E = E內(nèi)

15、= f滑S相 ，其中S相指相對(duì)路程第二講 重要模型與專(zhuān)題一、動(dòng)量定理還是動(dòng)能定理？物理情形：太空飛船在宇宙飛行時(shí)，和其它天體的萬(wàn)有引力可以忽略，但是，飛船會(huì)定時(shí)遇到太空垃圾的碰撞而受到阻礙作用。設(shè)單位體積的太空均勻分布垃圾n顆，每顆的平均質(zhì)量為m ，垃圾的運(yùn)行速度可以忽略。飛船維持恒定的速率v飛行，垂直速度方向的橫截面積為S ，與太空垃圾的碰撞后，將垃圾完全粘附住。試求飛船引擎所應(yīng)提供的平均推力F 。模型分析：太空垃圾的分布并不是連續(xù)的，對(duì)飛船的撞擊也不連續(xù)，如何正確選取研究對(duì)象，是本題的前提。建議充分理解“平均”的含義，這樣才能相對(duì)模糊地處理垃圾與飛船的作用過(guò)程、淡化“作用時(shí)間”和所考查的“

16、物理過(guò)程時(shí)間”的差異。物理過(guò)程需要人為截取，對(duì)象是太空垃圾。先用動(dòng)量定理推論解題。取一段時(shí)間t ，在這段時(shí)間內(nèi)，飛船要穿過(guò)體積V = Svt的空間，遭遇nV顆太空垃圾，使它們獲得動(dòng)量P ，其動(dòng)量變化率即是飛船應(yīng)給予那部分垃圾的推力，也即飛船引擎的推力。 = = = = = nmSv2如果用動(dòng)能定理，能不能解題呢？同樣針對(duì)上面的物理過(guò)程，由于飛船要前進(jìn)x = vt的位移，引擎推力須做功W = x ，它對(duì)應(yīng)飛船和被粘附的垃圾的動(dòng)能增量，而飛船的Ek為零，所以：W = Mv2即：vt = （n m Svt）v2 得到： = nmSv2兩個(gè)結(jié)果不一致，不可能都是正確的。分析動(dòng)能定理的解題，我們不能發(fā)現(xiàn)

17、，垃圾與飛船的碰撞是完全非彈性的，需要消耗大量的機(jī)械能，因此，認(rèn)為“引擎做功就等于垃圾動(dòng)能增加”的觀(guān)點(diǎn)是錯(cuò)誤的。但在動(dòng)量定理的解題中，由于I = t ，由此推出的 = 必然是飛船對(duì)垃圾的平均推力，再對(duì)飛船用平衡條件，的大小就是引擎推力大小了。這個(gè)解沒(méi)有毛病可挑，是正確的。（學(xué)生活動(dòng)）思考：如圖1所示，全長(zhǎng)L、總質(zhì)量為M的柔軟繩子，盤(pán)在一根光滑的直桿上，現(xiàn)用手握住繩子的一端，以恒定的水平速度v將繩子拉直。忽略地面阻力，試求手的拉力F 。解：解題思路和上面完全相同。答：二、動(dòng)量定理的分方向應(yīng)用物理情形：三個(gè)質(zhì)點(diǎn)A、B和C ，質(zhì)量分別為m1 、m2和m3 ，用拉直且不可伸長(zhǎng)的繩子AB和BC相連，靜止

18、在水平面上，如圖2所示，AB和BC之間的夾角為（）?，F(xiàn)對(duì)質(zhì)點(diǎn)C施加以沖量I ，方向沿BC ，試求質(zhì)點(diǎn)A開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的速度。模型分析：首先，注意“開(kāi)始運(yùn)動(dòng)”的理解，它指繩子恰被拉直，有作用力和沖量產(chǎn)生，但是繩子的方位尚未發(fā)生變化。其二，對(duì)三個(gè)質(zhì)點(diǎn)均可用動(dòng)量定理，但是，B質(zhì)點(diǎn)受沖量不在一條直線(xiàn)上，故最為復(fù)雜，可采用分方向的形式表達(dá)。其三，由于兩段繩子不可伸長(zhǎng)，故三質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度可以尋求到兩個(gè)約束關(guān)系。下面具體看解題過(guò)程繩拉直瞬間，AB繩對(duì)A、B兩質(zhì)點(diǎn)的沖量大小相等（方向相反），設(shè)為I1 ，BC繩對(duì)B、C兩質(zhì)點(diǎn)的沖量大小相等（方向相反），設(shè)為I2 ；設(shè)A獲得速度v1（由于A(yíng)受合沖量只有I1 ,方向沿AB

19、 ，故v1的反向沿AB），設(shè)B獲得速度v2（由于B受合沖量為+，矢量和既不沿AB ，也不沿BC方向，可設(shè)v2與AB繩夾角為，如圖3所示），設(shè)C獲得速度v3（合沖量+沿BC方向，故v3沿BC方向）。對(duì)A用動(dòng)量定理，有：I1 = m1 v1 B的動(dòng)量定理是一個(gè)矢量方程：+= m2 ，可化為兩個(gè)分方向的標(biāo)量式，即：I2cosI1 = m2 v2cos I2sin= m2 v2sin 質(zhì)點(diǎn)C的動(dòng)量定理方程為：I I2 = m3 v3 AB繩不可伸長(zhǎng)，必有v1 = v2cos BC繩不可伸長(zhǎng)，必有v2cos() = v3 六個(gè)方程解六個(gè)未知量（I1 、I2 、v1 、v2 、v3 、）是可能的，但繁復(fù)程

20、度非同一般。解方程要注意條理性，否則易造成混亂。建議采取如下步驟1、先用式消掉v2 、v3 ，使六個(gè)一級(jí)式變成四個(gè)二級(jí)式：I1 = m1 v1 I2cosI1 = m2 v1 I2sin= m2 v1 tg I I2 = m3 v1(cos+ sintg) 2、解式消掉，使四個(gè)二級(jí)式變成三個(gè)三級(jí)式：I1 = m1 v1 I2cosI1 = m2 v1 I = m3 v1 cos+ I2 3、最后對(duì)式消I1 、I2 ，解v1就方便多了。結(jié)果為：v1 = （學(xué)生活動(dòng)：訓(xùn)練解方程的條理和耐心）思考：v2的方位角等于多少？解：解“二級(jí)式”的即可。代入消I1 ，得I2的表達(dá)式，將I2的表達(dá)式代入就行了。

21、答：= arc tg（）。三、動(dòng)量守恒中的相對(duì)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題物理情形：在光滑的水平地面上，有一輛車(chē)，車(chē)內(nèi)有一個(gè)人和N個(gè)鉛球，系統(tǒng)原來(lái)處于靜止?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)車(chē)內(nèi)的人以一定的水平速度將鉛球一個(gè)一個(gè)地向車(chē)外拋出，車(chē)子和人將獲得反沖速度。第一過(guò)程，保持每次相對(duì)地面拋球速率均為v ，直到將球拋完；第二過(guò)程，保持每次相對(duì)車(chē)子拋球速率均為v ，直到將球拋完。試問(wèn)：哪一過(guò)程使車(chē)子獲得的速度更大？模型分析：動(dòng)量守恒定律必須選取研究對(duì)象之外的第三方（或第四、第五方）為參照物，這意味著，本問(wèn)題不能選車(chē)子為參照。一般選地面為參照系，這樣對(duì)“第二過(guò)程”的鉛球動(dòng)量表達(dá)，就形成了難點(diǎn)，必須引進(jìn)相對(duì)速度與絕對(duì)速度的關(guān)系。至于“第一過(guò)程”

22、，比較簡(jiǎn)單：N次拋球和將N個(gè)球一次性?huà)伋鍪峭耆刃У摹ＴO(shè)車(chē)和人的質(zhì)量為M ，每個(gè)鉛球的質(zhì)量為m 。由于矢量的方向落在一條直線(xiàn)上，可以假定一個(gè)正方向后，將矢量運(yùn)算化為代數(shù)運(yùn)算。設(shè)車(chē)速方向?yàn)檎?，且第一過(guò)程獲得的速度大小為V1 第二過(guò)程獲得的速度大小為V2 。第一過(guò)程，由于鉛球每次的動(dòng)量都相同，可將多次拋球看成一次拋出。車(chē)子、人和N個(gè)球動(dòng)量守恒。0 = Nm(-v) + MV1 得：V1 = v 第二過(guò)程，必須逐次考查鉛球與車(chē)子（人）的作用。第一個(gè)球與（N1）個(gè)球、人、車(chē)系統(tǒng)作用，完畢后，設(shè)“系統(tǒng)”速度為u1 。值得注意的是，根據(jù)運(yùn)動(dòng)合成法則，鉛球?qū)Φ氐乃俣炔⒉皇牵?v），而是（-v + u1）。它

23、們動(dòng)量守恒方程為：0 = m(-v + u1) +M +(N-1)mu1 得：u1 =第二個(gè)球與（N -2）個(gè)球、人、車(chē)系統(tǒng)作用，完畢后，設(shè)“系統(tǒng)”速度為u2 。它們動(dòng)量守恒方程為：M+(N-1)mu1 = m(-v + u2) +M+(N-2)mu2 得：u2 = + 第三個(gè)球與（N -2）個(gè)球、人、車(chē)系統(tǒng)作用，完畢后，設(shè)“系統(tǒng)”速度為u3 。鉛球?qū)Φ氐乃俣仁牵?v + u3）。它們動(dòng)量守恒方程為：M+(N-2)mu2 = m(-v + u3) +M+(N-3)mu3得：u3 = + + 以此類(lèi)推（過(guò)程注意：先找uN和uN-1關(guān)系，再看uN和v的關(guān)系，不要急于化簡(jiǎn)通分），uN的通式已經(jīng)可以找

24、出：V2 = uN = + + + + 即：V2 = 我們?cè)賹⑹礁膶?xiě)成：V1 = 不難發(fā)現(xiàn)，式和式都有N項(xiàng)，每項(xiàng)的分子都相同，但式中每項(xiàng)的分母都比式中的分母小，所以有：V1 V2 。結(jié)論：第一過(guò)程使車(chē)子獲得的速度較大。（學(xué)生活動(dòng)）思考：質(zhì)量為M的車(chē)上，有n個(gè)質(zhì)量均為m的人，它們靜止在光滑的水平地面上。現(xiàn)在車(chē)上的人以相對(duì)車(chē)大小恒為v、方向水平向后的初速往車(chē)下跳。第一過(guò)程，N個(gè)人同時(shí)跳下；第二過(guò)程，N個(gè)人依次跳下。試問(wèn)：哪一次車(chē)子獲得的速度較大？解：第二過(guò)程結(jié)論和上面的模型完全相同，第一過(guò)程結(jié)論為V1 = 。答：第二過(guò)程獲得速度大。四、反沖運(yùn)動(dòng)中的一個(gè)重要定式物理情形：如圖4所示，長(zhǎng)度為L(zhǎng)、質(zhì)量為

25、M的船停止在靜水中（但未拋錨），船頭上有一個(gè)質(zhì)量為m的人，也是靜止的。現(xiàn)在令人在船上開(kāi)始向船尾走動(dòng)，忽略水的阻力，試問(wèn)：當(dāng)人走到船尾時(shí)，船將會(huì)移動(dòng)多遠(yuǎn)？（學(xué)生活動(dòng)）思考：人可不可能勻速（或勻加速）走動(dòng)？當(dāng)人中途停下休息，船有速度嗎？人的全程位移大小是L嗎？本系統(tǒng)選船為參照，動(dòng)量守恒嗎？模型分析：動(dòng)量守恒展示了已知質(zhì)量情況下的速度關(guān)系，要過(guò)渡到位移關(guān)系，需要引進(jìn)運(yùn)動(dòng)學(xué)的相關(guān)規(guī)律。根據(jù)實(shí)際情況（人必須停在船尾），人的運(yùn)動(dòng)不可能是勻速的，也不可能是勻加速的,運(yùn)動(dòng)學(xué)的規(guī)律應(yīng)選擇S = t 。為尋求時(shí)間t ，則要抓人和船的位移約束關(guān)系。對(duì)人、船系統(tǒng)，針對(duì)“開(kāi)始走動(dòng)中間任意時(shí)刻”過(guò)程，應(yīng)用動(dòng)量守恒（設(shè)末態(tài)

26、人的速率為v ，船的速率為V），令指向船頭方向?yàn)檎?，則矢量關(guān)系可以化為代數(shù)運(yùn)算，有：0 = MV + m(-v) 即：mv = MV 由于過(guò)程的末態(tài)是任意選取的，此式展示了人和船在任一時(shí)刻的瞬時(shí)速度大小關(guān)系。而且不難推知，對(duì)中間的任一過(guò)程，兩者的平均速度也有這種關(guān)系。即：m = M 設(shè)全程的時(shí)間為t ，乘入式兩邊，得：mt = Mt設(shè)s和S分別為人和船的全程位移大小，根據(jù)平均速度公式，得：m s = M S 受船長(zhǎng)L的約束，s和S具有關(guān)系：s + S = L 解、可得：船的移動(dòng)距離 S =L（應(yīng)用動(dòng)量守恒解題時(shí)，也可以全部都用矢量關(guān)系，但這時(shí)“位移關(guān)系”表達(dá)起來(lái)難度大一些必須用到運(yùn)動(dòng)合成與分

27、解的定式。時(shí)間允許的話(huà)，可以做一個(gè)對(duì)比介紹。）另解：質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律人、船系統(tǒng)水平方向沒(méi)有外力，故系統(tǒng)質(zhì)心無(wú)加速度系統(tǒng)質(zhì)心無(wú)位移。先求出初態(tài)系統(tǒng)質(zhì)心（用它到船的質(zhì)心的水平距離x表達(dá)。根據(jù)力矩平衡知識(shí)，得：x = ），又根據(jù)，末態(tài)的質(zhì)量分布與初態(tài)比較，相對(duì)整體質(zhì)心是左右對(duì)稱(chēng)的。弄清了這一點(diǎn)后，求解船的質(zhì)心位移易如反掌。（學(xué)生活動(dòng)）思考：如圖5所示，在無(wú)風(fēng)的天空，人抓住氣球下面的繩索，和氣球恰能靜止平衡，人和氣球地質(zhì)量分別為m和M ，此時(shí)人離地面高h(yuǎn) 。現(xiàn)在人欲沿懸索下降到地面，試問(wèn)：要人充分安全地著地，繩索至少要多長(zhǎng)？解：和模型幾乎完全相同，此處的繩長(zhǎng)對(duì)應(yīng)模型中的“船的長(zhǎng)度”（“充分安全著地”的含義

28、是不允許人脫離繩索跳躍著地）。答：h 。（學(xué)生活動(dòng)）思考：如圖6所示，兩個(gè)傾角相同的斜面，互相倒扣著放在光滑的水平地面上，小斜面在大斜面的頂端。將它們無(wú)初速釋放后，小斜面下滑，大斜面后退。已知大、小斜面的質(zhì)量分別為M和m ，底邊長(zhǎng)分別為a和b ，試求：小斜面滑到底端時(shí)，大斜面后退的距離。解：水平方向動(dòng)量守恒。解題過(guò)程從略。答：（ab）。進(jìn)階應(yīng)用：如圖7所示，一個(gè)質(zhì)量為M ，半徑為R的光滑均質(zhì)半球，靜置于光滑水平桌面上，在球頂有一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，由靜止開(kāi)始沿球面下滑。試求：質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)球面以前的軌跡。解說(shuō)：質(zhì)點(diǎn)下滑，半球后退，這個(gè)物理情形和上面的雙斜面問(wèn)題十分相似，仔細(xì)分析，由于同樣滿(mǎn)足水平方向動(dòng)

29、量守恒，故我們介紹的“定式”是適用的。定式解決了水平位移（位置）的問(wèn)題，豎直坐標(biāo)則需要從數(shù)學(xué)的角度想一些辦法。為尋求軌跡方程，我們需要建立一個(gè)坐標(biāo)：以半球球心O為原點(diǎn)，沿質(zhì)點(diǎn)滑下一側(cè)的水平軸為x坐標(biāo)、豎直軸為y坐標(biāo)。由于質(zhì)點(diǎn)相對(duì)半球總是做圓周運(yùn)動(dòng)的（離開(kāi)球面前），有必要引入相對(duì)運(yùn)動(dòng)中半球球心O的方位角來(lái)表達(dá)質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)位置，如圖8所示。由“定式”，易得：x = Rsin 而由圖知：y = Rcos 不難看出，、兩式實(shí)際上已經(jīng)是一個(gè)軌跡的參數(shù)方程。為了明確軌跡的性質(zhì)，我們可以將參數(shù)消掉，使它們成為： + = 1這樣特征就明顯了：質(zhì)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)長(zhǎng)短半軸分別為R和R的橢圓。五、功的定義式中S怎么取值

30、？在求解功的問(wèn)題時(shí)，有時(shí)遇到力的作用點(diǎn)位移與受力物體的（質(zhì)心）位移不等，S是取力的作用點(diǎn)的位移，還是取物體（質(zhì)心）的位移呢？我們先看下面一些事例。1、如圖9所示，人用雙手壓在臺(tái)面上推講臺(tái)，結(jié)果雙手前進(jìn)了一段位移而講臺(tái)未移動(dòng)。試問(wèn)：人是否做了功？2、在本“部分”第3頁(yè)圖1的模型中，求拉力做功時(shí)，S是否可以取繩子質(zhì)心的位移？3、人登靜止的樓梯，從一樓到二樓。樓梯是否做功？4、如圖10所示，雙手用等大反向的力F壓固定汽缸兩邊的活塞，活塞移動(dòng)相同距離S，汽缸中封閉氣體被壓縮。施力者（人）是否做功？在以上四個(gè)事例中，S若取作用點(diǎn)位移，只有第1、2、4例是做功的（注意第3例，樓梯支持力的作用點(diǎn)并未移動(dòng)，而

31、只是在不停地交換作用點(diǎn)），S若取物體（受力者）質(zhì)心位移，只有第2、3例是做功的，而且，盡管第2例都做了功，數(shù)字并不相同。所以，用不同的判據(jù)得出的結(jié)論出現(xiàn)了本質(zhì)的分歧。面對(duì)這些似是而非的“疑難雜癥”，我們先回到“做功是物體能量轉(zhuǎn)化的量度”這一根本點(diǎn)。第1例，手和講臺(tái)面摩擦生了熱，內(nèi)能的生成必然是由人的生物能轉(zhuǎn)化而來(lái)，人肯定做了功。S宜取作用點(diǎn)的位移；第2例，求拉力的功，在前面已經(jīng)闡述，S取作用點(diǎn)位移為佳；第3例，樓梯不需要輸出任何能量，不做功，S取作用點(diǎn)位移；第4例，氣體內(nèi)能的增加必然是由人輸出的，壓力做功，S取作用點(diǎn)位移。但是，如果分別以上四例中的受力者用動(dòng)能定理，第1例，人對(duì)講臺(tái)不做功，S取

32、物體質(zhì)心位移；第2例，動(dòng)能增量對(duì)應(yīng)S取L/2時(shí)的值物體質(zhì)心位移；第4例，氣體宏觀(guān)動(dòng)能無(wú)增量，S取質(zhì)心位移。（第3例的分析暫時(shí)延后。）以上分析在援引理論知識(shí)方面都沒(méi)有錯(cuò)，如何使它們統(tǒng)一？原來(lái)，功的概念有廣義和狹義之分。在力學(xué)中，功的狹義概念僅指機(jī)械能轉(zhuǎn)換的量度；而在物理學(xué)中功的廣義概念指除熱傳遞外的一切能量轉(zhuǎn)換的量度。所以功也可定義為能量轉(zhuǎn)換的量度。一個(gè)系統(tǒng)總能量的變化，常以系統(tǒng)對(duì)外做功的多少來(lái)量度。能量可以是機(jī)械能、電能、熱能、化學(xué)能等各種形式，也可以多種形式的能量同時(shí)發(fā)生轉(zhuǎn)化。由此可見(jiàn)，上面分析中，第一個(gè)理論對(duì)應(yīng)的廣義的功，第二個(gè)理論對(duì)應(yīng)的則是狹義的功，它們都沒(méi)有錯(cuò)誤，只是在現(xiàn)階段的教材中還

33、沒(méi)有將它們及時(shí)地區(qū)分開(kāi)來(lái)而已。而且，我們不難歸納：求廣義的功，S取作用點(diǎn)的位移；求狹義的功，S取物體（質(zhì)心）位移。那么我們?cè)诮忸}中如何處理呢？這里給大家?guī)c(diǎn)建議： 1、抽象地講“某某力做的功”一般指廣義的功；2、講“力對(duì)某物體做的功”常常指狹義的功；3、動(dòng)能定理中的功肯定是指狹義的功。當(dāng)然，求解功地問(wèn)題時(shí)，還要注意具體問(wèn)題具體分析。如上面的第3例，就相對(duì)復(fù)雜一些。如果認(rèn)為所求為狹義的功，S取質(zhì)心位移，是做了功，但結(jié)論仍然是難以令人接受的。下面我們來(lái)這樣一個(gè)處理：將復(fù)雜的形變物體（人）看成這樣一個(gè)相對(duì)理想的組合：剛性物體下面連接一壓縮的彈簧（如圖11所示），人每一次蹬梯，腿伸直將軀體重心上舉，等

34、效為彈簧將剛性物體舉起。這樣，我們就不難發(fā)現(xiàn)，做功的是人的雙腿而非地面，人既是輸出能量（生物能）的機(jī)構(gòu)，也是得到能量（機(jī)械能）的機(jī)構(gòu)這里的物理情形更象是一種生物情形。本題所求的功應(yīng)理解為廣義功為宜。以上四例有一些共同的特點(diǎn)：要么，受力物體情形比較復(fù)雜（形變，不能簡(jiǎn)單地看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)。如第2、第3、第4例），要么，施力者和受力者之間的能量轉(zhuǎn)化不是封閉的（涉及到第三方，或機(jī)械能以外的形式。如第1例）。以后，當(dāng)遇到這樣的問(wèn)題時(shí)，需要我們慎重對(duì)待。（學(xué)生活動(dòng)）思考：足夠長(zhǎng)的水平傳送帶維持勻速v運(yùn)轉(zhuǎn)。將一袋貨物無(wú)初速地放上去，在貨物達(dá)到速度v之前，與傳送帶的摩擦力大小為f ，對(duì)地的位移為S 。試問(wèn)：求摩擦

35、力的功時(shí)，是否可以用W = fS ？解：按一般的理解，這里應(yīng)指廣義的功（對(duì)應(yīng)傳送帶引擎輸出的能量），所以“位移”取作用點(diǎn)的位移。注意，在此處有一個(gè)隱含的“交換作用點(diǎn)”的問(wèn)題，仔細(xì)分析，不難發(fā)現(xiàn)，每一個(gè)（相對(duì)皮帶不動(dòng)的）作用點(diǎn)的位移為2S 。（另解：求貨物動(dòng)能的增加和與皮帶摩擦生熱的總和。）答：否。（學(xué)生活動(dòng)）思考：如圖12所示，人站在船上，通過(guò)拉一根固定在鐵樁的纜繩使船靠岸。試問(wèn)：纜繩是否對(duì)船和人的系統(tǒng)做功？解：分析同上面的“第3例”。答：否。六、機(jī)械能守恒與運(yùn)動(dòng)合成（分解）的綜合物理情形：如圖13所示，直角形的剛性桿被固定，水平和豎直部分均足夠長(zhǎng)。質(zhì)量分別為m1和m2的A、B兩個(gè)有孔小球，串

36、在桿上，且被長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕繩相連。忽略?xún)汕虻拇笮?，初態(tài)時(shí)，認(rèn)為它們的位置在同一高度，且繩處于拉直狀態(tài)?，F(xiàn)無(wú)初速地將系統(tǒng)釋放，忽略一切摩擦，試求B球運(yùn)動(dòng)L/2時(shí)的速度v2 。模型分析：A、B系統(tǒng)機(jī)械能守恒。A、B兩球的瞬時(shí)速度不等，其關(guān)系可據(jù)“第三部分”知識(shí)介紹的定式（滑輪小船）去尋求。（學(xué)生活動(dòng)）A球的機(jī)械能是否守恒？B球的機(jī)械能是否守恒？系統(tǒng)機(jī)械能守恒的理由是什么（兩法分析：a、“微元法”判斷兩個(gè)WT的代數(shù)和為零；b、無(wú)非彈性碰撞，無(wú)摩擦，沒(méi)有其它形式能的生成）？由“拓展條件”可以判斷，A、B系統(tǒng)機(jī)械能守恒，（設(shè)末態(tài)A球的瞬時(shí)速率為v1 ）過(guò)程的方程為：m2g = + 在末態(tài)，繩與水平桿的瞬時(shí)夾

37、角為30，設(shè)繩子的瞬時(shí)遷移速率為v ，根據(jù)“第三部分”知識(shí)介紹的定式，有：v1 = v/cos30, v2 = v/sin30兩式合并成：v1 = v2 tg30= v2/ 解、兩式，得：v2 = 七、動(dòng)量和能量的綜合（一）物理情形：如圖14所示，兩根長(zhǎng)度均為L(zhǎng)的剛性輕桿，一端通過(guò)質(zhì)量為m的球形鉸鏈連接，另一端分別與質(zhì)量為m和2m的小球相連。將此裝置的兩桿合攏，鉸鏈在上、豎直地放在水平桌面上，然后輕敲一下，使兩小球向兩邊滑動(dòng)，但兩桿始終保持在豎直平面內(nèi)。忽略一切摩擦，試求：兩桿夾角為90時(shí)，質(zhì)量為2m的小球的速度v2 。模型分析：三球系統(tǒng)機(jī)械能守恒、水平方向動(dòng)量守恒，并注意約束關(guān)系兩桿不可伸長(zhǎng)

38、。（學(xué)生活動(dòng)）初步判斷：左邊小球和球形鉸鏈的速度方向會(huì)怎樣？設(shè)末態(tài)（桿夾角90）左邊小球的速度為v1（方向：水平向左），球形鉸鏈的速度為v（方向：和豎直方向夾角斜向左），對(duì)題設(shè)過(guò)程，三球系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有：mg( L-L) = m + mv2 + 2m 三球系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，有：mv1 + mvsin= 2mv2 左邊桿子不形變，有：v1cos45= vcos(45-) 右邊桿子不形變，有：vcos(45+) = v2cos45 四個(gè)方程，解四個(gè)未知量（v1 、v2 、v和），是可行的。推薦解方程的步驟如下1、兩式用v2替代v1和v ，代入式，解值，得：tg= 1/4 2、在回到、兩式，得

39、：v1 = v2 , v = v2 3、將v1 、v的替代式代入式解v2即可。結(jié)果：v2 = （學(xué)生活動(dòng)）思考：球形鉸鏈觸地前一瞬，左球、鉸鏈和右球的速度分別是多少？解：由兩桿不可形變，知三球的水平速度均為零，為零。一個(gè)能量方程足以解題。答：0 、 、0 。（學(xué)生活動(dòng)）思考：當(dāng)兩桿夾角為90時(shí)，右邊小球的位移是多少？解：水平方向用“反沖位移定式”，或水平方向用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律。答： 。進(jìn)階應(yīng)用：在本講模型“四、反沖”的“進(jìn)階應(yīng)用”（見(jiàn)圖8）中，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)m滑到方位角時(shí)（未脫離半球），質(zhì)點(diǎn)的速度v的大小、方向怎樣？解說(shuō)：此例綜合應(yīng)用運(yùn)動(dòng)合成、動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒知識(shí)，數(shù)學(xué)運(yùn)算比較繁復(fù)，是一道考查學(xué)生各種

40、能力和素質(zhì)的難題。據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成，有： = + = - 其中必然是沿地面向左的，為了書(shū)寫(xiě)方便，我們?cè)O(shè)其大小為v2 ；必然是沿半球瞬時(shí)位置切線(xiàn)方向（垂直瞬時(shí)半徑）的，設(shè)大小為v相 。根據(jù)矢量減法的三角形法則，可以得到（設(shè)大小為v1）的示意圖，如圖16所示。同時(shí)，我們將v1的x、y分量v1x和v1y也描繪在圖中。由圖可得：v1y =（v2 + v1x）tg 質(zhì)點(diǎn)和半球系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，有：Mv2 = mv1x 對(duì)題設(shè)過(guò)程，質(zhì)點(diǎn)和半球系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有：mgR(1-cos) = M + m ，即：mgR(1-cos) = M + m（ + ） 三個(gè)方程，解三個(gè)未知量（v2 、v1x 、v1y）是可

41、行的，但數(shù)學(xué)運(yùn)算繁復(fù)，推薦步驟如下1、由、式得：v1x = v2 ， v1y = (tg) v2 2、代入式解v2 ，得：v2 =3、由 = + 解v1 ，得：v1 =v1的方向：和水平方向成角，= arctg = arctg（）這就是最后的解。一個(gè)附屬結(jié)果：質(zhì)點(diǎn)相對(duì)半球的瞬時(shí)角速度 = = 。八、動(dòng)量和能量的綜合（二）物理情形：如圖17所示，在光滑的水平面上，質(zhì)量為M = 1 kg的平板車(chē)左端放有質(zhì)量為m = 2 kg的鐵塊，鐵塊與車(chē)之間的摩擦因素= 0.5 。開(kāi)始時(shí)，車(chē)和鐵塊以共同速度v = 6 m/s向右運(yùn)動(dòng)，車(chē)與右邊的墻壁發(fā)生正碰，且碰撞是彈性的。車(chē)身足夠長(zhǎng)，使鐵塊不能和墻相碰。重力加

42、速度g = 10 m/s2 ，試求：1、鐵塊相對(duì)車(chē)運(yùn)動(dòng)的總路程；2、平板車(chē)第一次碰墻后所走的總路程。模型分析：本模型介紹有兩對(duì)相互作用時(shí)的處理常規(guī)。能量關(guān)系介紹摩擦生熱定式的應(yīng)用。由于過(guò)程比較復(fù)雜，動(dòng)量分析還要輔助以動(dòng)力學(xué)分析，綜合程度較高。由于車(chē)與墻壁的作用時(shí)短促而激烈的，而鐵塊和車(chē)的作用是舒緩而柔和的，當(dāng)兩對(duì)作用同時(shí)發(fā)生時(shí)，通常處理成“讓短時(shí)作用完畢后，長(zhǎng)時(shí)作用才開(kāi)始”（這樣可以使問(wèn)題簡(jiǎn)化）。在此處，車(chē)與墻壁碰撞時(shí)，可以認(rèn)為鐵塊與車(chē)的作用尚未發(fā)生，而是在車(chē)與墻作用完了之后，才開(kāi)始與鐵塊作用。規(guī)定向右為正向，將矢量運(yùn)算化為代數(shù)運(yùn)算。車(chē)第一次碰墻后，車(chē)速變?yōu)関 ，然后與速度仍為v的鐵塊作用，動(dòng)

43、量守恒，作用完畢后，共同速度v1 = = ，因方向?yàn)檎?，必朝墻運(yùn)動(dòng)。（學(xué)生活動(dòng)）車(chē)會(huì)不會(huì)達(dá)共同速度之前碰墻？動(dòng)力學(xué)分析：車(chē)離墻的最大位移S = ,反向加速的位移S= ，其中a = a1 = ，故S S ，所以，車(chē)碰墻之前，必然已和鐵塊達(dá)到共同速度v1 。車(chē)第二次碰墻后，車(chē)速變?yōu)関1 ，然后與速度仍為v1的鐵塊作用，動(dòng)量守恒，作用完畢后，共同速度v2 = = = ，因方向?yàn)檎?，必朝墻運(yùn)動(dòng)。車(chē)第三次碰墻，共同速度v3 = = ，朝墻運(yùn)動(dòng)。以此類(lèi)推，我們可以概括鐵塊和車(chē)的運(yùn)動(dòng)情況鐵塊：勻減速向右勻速向右勻減速向右勻速向右平板車(chē)：勻減速向左勻加速向右勻速向右勻減速向左勻加速向右勻速向右顯然，只要車(chē)和鐵

44、塊還有共同速度，它們總是要碰墻，所以最后的穩(wěn)定狀態(tài)是：它們一起停在墻角（總的末動(dòng)能為零）。1、全程能量關(guān)系：對(duì)鐵塊和車(chē)系統(tǒng)，Ek =E內(nèi) ，且，E內(nèi) = f滑 S相 ，即：（m + M）v2 = mgS相 代入數(shù)字得：S相 = 5.4 m2、平板車(chē)向右運(yùn)動(dòng)時(shí)比較復(fù)雜，只要去每次向左運(yùn)動(dòng)的路程的兩倍即可。而向左是勻減速的，故第一次：S1 = 第二次：S2 = = 第三次：S3 = = n次碰墻的總路程是： S = 2（ S1 + S2 + S3 + + Sn ）= （ 1 + + + + ） = （ 1 + + + + ）碰墻次數(shù)n，代入其它數(shù)字，得：S = 4.05 m（學(xué)生活動(dòng)）質(zhì)量為M 、

45、程度為L(zhǎng)的木板固定在光滑水平面上，另一個(gè)質(zhì)量為m的滑塊以水平初速v0沖上木板，恰好能從木板的另一端滑下。現(xiàn)解除木板的固定（但無(wú)初速），讓相同的滑塊再次沖上木板，要求它仍能從另一端滑下，其初速度應(yīng)為多少？解：由第一過(guò)程，得滑動(dòng)摩擦力f = 。第二過(guò)程應(yīng)綜合動(dòng)量和能量關(guān)系（“恰滑下”的臨界是：滑塊達(dá)木板的另一端，和木板具有共同速度，設(shè)為v ），設(shè)新的初速度為m =（ m + M ）vm - （ m + M ）v2 = fL解以上三式即可。答：= v0 。第十五講 機(jī)械振動(dòng)和機(jī)械波知識(shí)點(diǎn)擊1簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的描述和基本模型 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述：當(dāng)一質(zhì)點(diǎn)，或一物體的質(zhì)心偏離其平衡位置x，且其所受合力F滿(mǎn)足，故得，

46、則該物體將在其平衡位置附近作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量：一個(gè)彈簧振子的能量由振子的動(dòng)能和彈簧的彈性勢(shì)能構(gòu)成，即簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期：如果能證明一個(gè)物體受的合外力，那么這個(gè)物體一定做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，而且振動(dòng)的周期，式中m是振動(dòng)物體的質(zhì)量。彈簧振子：恒力對(duì)彈簧振子的作用：只要m和k都相同，則彈簧振子的振動(dòng)周期T就是相同的，這就是說(shuō)，一個(gè)振動(dòng)方向上的恒力一般不會(huì)改變振動(dòng)的周期。多振子系統(tǒng)：如果在一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)中有不止一個(gè)振子，那么我們一般要找振動(dòng)系統(tǒng)的等效質(zhì)量。懸點(diǎn)不固定的彈簧振子：如果彈簧振子是有加速度的，那么在研究振子的運(yùn)動(dòng)時(shí)應(yīng)加上慣性力單擺及等效擺：?jiǎn)螖[的運(yùn)動(dòng)在擺角小于50時(shí)可近似地看做是一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)的

47、周期為，在一些“異型單擺”中，的含義及值會(huì)發(fā)生變化。（6）同方向、同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成：若有兩個(gè)同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，它們的圓頻率都是，振幅分別為A1和A2，初相分別為和，則它們的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程分別為 因振動(dòng)是同方向的，所以這兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)在任一時(shí)刻的合位移仍應(yīng)在同一直線(xiàn)上，而且等于這兩個(gè)分振動(dòng)位移的代數(shù)和，即由旋轉(zhuǎn)矢量法，可求得合振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為這表明，合振動(dòng)仍是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，它的圓頻率與分振動(dòng)的圓頻率相同，而其合振幅為合振動(dòng)的初相滿(mǎn)足2機(jī)械波：（1）機(jī)械波的描述：如果有一列波沿x方向傳播，振源的振動(dòng)方程為y=Acost，波的傳播速度為，那么在離振源x遠(yuǎn)處一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程便是，在此方程中有兩個(gè)自變量：

48、t和x，當(dāng)t不變時(shí)，這個(gè)方程描寫(xiě)某一時(shí)刻波上各點(diǎn)相對(duì)平衡位置的位移；當(dāng)x不變時(shí)，這個(gè)方程就是波中某一點(diǎn)的振動(dòng)方程（2）簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程：簡(jiǎn)諧振動(dòng)在均勻、無(wú)吸收的彈性介質(zhì)中傳播所形成的波叫做平面簡(jiǎn)諧波。如果一列簡(jiǎn)諧波在平面內(nèi)，以波速u(mài)沿軸正方向傳播，振源（設(shè)其位于坐標(biāo)原點(diǎn)）的振動(dòng)方程為，由于波是振動(dòng)狀態(tài)的傳播，故知坐標(biāo)原點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)傳播到離振源處要滯后的時(shí)間。這表明若坐標(biāo)原點(diǎn)振動(dòng)了t時(shí)間，x處的質(zhì)點(diǎn)只振動(dòng)了的時(shí)間，于是x處振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位移可表為 顯然，上式適用于表述ox軸上所有質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)，它就是平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)，也常稱(chēng)為平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程。同理，如果簡(jiǎn)諧波沿ox軸負(fù)方向傳播，則波函數(shù)為為了加深

49、對(duì)波函數(shù)物理含義的理解，下面以為例做討論。當(dāng)時(shí)（好似用攝像機(jī)對(duì)著坐標(biāo)為這一質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行拍攝），則。它表示的是坐標(biāo)為的質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的位移，即該處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程。當(dāng)時(shí)（好似用照相機(jī)對(duì)一組質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻進(jìn)行照相），則。它表示在給定的時(shí)刻各質(zhì)點(diǎn)的位移分布情況，相應(yīng)的圖像稱(chēng)為時(shí)刻的波形圖。3波的干涉和多普勒效應(yīng)波的疊加：幾列波在同一介質(zhì)中傳播時(shí)，在它們相遇的區(qū)域內(nèi)，每列波都將保持各自原有的頻率、波長(zhǎng)和傳播方向，并不相互干擾波的這種性質(zhì)叫做波的獨(dú)立性因此在幾列波重疊的區(qū)域內(nèi)，每個(gè)介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)都將同時(shí)參與幾列波引起的振動(dòng)，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)都是由幾個(gè)分振動(dòng)合成的故在任一時(shí)刻，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移都是幾列波各自的分振動(dòng)引起的位移

50、的矢量和這種現(xiàn)象稱(chēng)為波的疊加波的干涉：兩列頻率相同、振動(dòng)方向相同、相位差恒定的波叫做相干波。兩列相干波傳到同一個(gè)區(qū)域，可使某些位置的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)加強(qiáng)，某些位置的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)減弱，而且振動(dòng)加強(qiáng)和振動(dòng)減弱的區(qū)域相互間隔，這種現(xiàn)象叫做波的干涉。多普勒效應(yīng)：當(dāng)聲源和觀(guān)察者之間存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，會(huì)發(fā)生收聽(tīng)頻率和聲源頻率不一致的現(xiàn)象該種現(xiàn)象神稱(chēng)為多普勒效應(yīng)為了簡(jiǎn)單，這里僅討論波源或觀(guān)察者的運(yùn)動(dòng)方向與波的傳播方向共線(xiàn)的情況設(shè)波速為，波的頻率為，接收到的頻率為：（a）觀(guān)察者以速度u向波源運(yùn)動(dòng)：(b)波源以速度向觀(guān)察者運(yùn)動(dòng)：(c)波源和觀(guān)察者都運(yùn)動(dòng)：根據(jù)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的基本模型和各種變形的振動(dòng)模型，求振動(dòng)周期是振動(dòng)問(wèn)題的一種基

51、本類(lèi)型，解題中要注意簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征或的形式，從中得出有關(guān)等效量。 例1一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)如圖71所示，不計(jì)一切摩擦，繩不可伸長(zhǎng)，m1、m2及彈簧的勁度系數(shù)k已知求m2上下振動(dòng)的周期。分析和解：本題是一個(gè)彈簧振子的變式模型，解題時(shí)要根據(jù)受力分析由牛頓運(yùn)動(dòng)定律得出振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征，然后由周期公式就可求出其振動(dòng)周期設(shè)某一時(shí)刻彈簧伸長(zhǎng)，繩上張力是FT。 分析m1： 分析m2：消去FT：，假設(shè)振子平衡時(shí)彈簧伸長(zhǎng)，此時(shí)m1、m2的加速度為零，則有設(shè)m1偏離平衡位置的位移為，則 將代入式，可得 所以這個(gè)振子系統(tǒng)的等效質(zhì)量是，周期為波的干涉問(wèn)題大多是問(wèn)題簡(jiǎn)單，解答繁復(fù)，根據(jù)矢量疊加原理和波的干涉特征，大多

52、產(chǎn)生多值問(wèn)題，在處理這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，一般先不急于代人數(shù)據(jù)，文字運(yùn)算有助于從物理意義角度思考問(wèn)題例3如圖73所示，在半徑為45 m的圓形跑道的P點(diǎn)和圓心Q點(diǎn)各有一個(gè)相同的揚(yáng)聲器，發(fā)出的都是波長(zhǎng)10 m的完全相同的聲波，一個(gè)人從直徑PH的H點(diǎn)出發(fā)，沿逆時(shí)針?lè)较蚶@圓周走一圈，問(wèn)他離開(kāi)H點(diǎn)后，到達(dá)P點(diǎn)前共聽(tīng)到幾次最弱的聲音？分析和解：本題是根據(jù)波的干涉原理來(lái)解決聲波干涉的現(xiàn)象，解題時(shí)可從波程差和振動(dòng)加強(qiáng)或減弱的條件出發(fā)。如圖74所示，設(shè)人走到圓弧上的A點(diǎn)處，APH=，則P、Q兩點(diǎn)波源到A的路程差S滿(mǎn)足：S2RcosR考慮人的運(yùn)動(dòng)范圍，對(duì)于，有， 為使人能聽(tīng)到最弱的聲音，S又應(yīng)滿(mǎn)足： 結(jié)合，將R=45 m，

53、 =10 m代入，得到N=0，1,2,3,4,5時(shí)，人能聽(tīng)到最弱的聲音，共10次。波動(dòng)問(wèn)題的最大特征就是其多解性，包括速度的正負(fù)方向，距離相差整數(shù)倍波長(zhǎng)時(shí)振動(dòng)的完全等效，都應(yīng)仔細(xì)考慮，在處理這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，一般應(yīng)先求出產(chǎn)生多解量的表達(dá)式，然后通過(guò)文字運(yùn)算得到所求量的表達(dá)式，最后根據(jù)有關(guān)物理意義確定題解。例4圖75中的實(shí)線(xiàn)和虛線(xiàn)分別表示沿軸方向傳播的正弦波t=0和t=1s時(shí)刻的波形。 （1）求該波的頻率和波速； （2）寫(xiě)出X=0及X=1 m處的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方程。分析和解：本題的特點(diǎn)是波的傳播方向不確定和周期的不確定（或距離相差整數(shù)倍波長(zhǎng)時(shí)振動(dòng)的完全等效）形成多解。 （1）由題給圖象可知，如果波向x正方向

54、傳播，則兩時(shí)間間隔內(nèi)該機(jī)械波可能向前傳播了，其中n=0，1，2，3，同理，如果波沿x軸負(fù)方向傳播, （2）如果波向x軸正方向傳播，則有x=0時(shí)，x=lm時(shí)，同理，如果波向x軸負(fù)方向傳播，則有x=0時(shí)，x=1時(shí)，等效擺的問(wèn)題也簡(jiǎn)諧振動(dòng)的另一基本模型單擺的變形模型，求振動(dòng)周期時(shí)一般考慮等效擺長(zhǎng)和等效重力加速度，但對(duì)于剛體構(gòu)成的復(fù)擺，其等效量的計(jì)算往往要考慮質(zhì)心及剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量才能簡(jiǎn)化解題過(guò)程。 例5如圖76所示，由勻質(zhì)金屬絲做成的等腰三角形可在圖示平面內(nèi)作小振幅振動(dòng)在位置（a）和（b）的情形，長(zhǎng)邊是水平的所有三種情形的振動(dòng)周期均相等試求出該周期分析和解：該題中，懸掛的三角形架為一復(fù)擺，而復(fù)擺的周期

55、公式為，對(duì)象是剛體，I為剛體對(duì)懸點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，h為質(zhì)心與懸點(diǎn)間的距離另外，題中得出兩位置相異、周期相同的置點(diǎn)與質(zhì)量心間的距離S1、S2滿(mǎn)足，與m，I無(wú)關(guān)，這是一個(gè)非常重要的結(jié)論。如圖77，設(shè)三個(gè)懸點(diǎn)分別距金屬架Sa，Sb，Sc，對(duì)于懸掛點(diǎn)距質(zhì)心為S的復(fù)擺的周期T，討論如下： 其中Io為系統(tǒng)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。將式視為一關(guān)于S的一元二次方程，則當(dāng)T為一確定G位于A(yíng)C的中點(diǎn)，Sa=Sc=5cm，式的兩解為Sa=5 cm，Sb=21. 6 cm即類(lèi)型五、多普勒效應(yīng)的問(wèn)題是波源或觀(guān)察者的運(yùn)動(dòng)與波的傳播三者間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，一般地說(shuō)可化為行程問(wèn)題來(lái)解，但解題過(guò)程會(huì)比較復(fù)雜，所以直接用推導(dǎo)得出的公式比較簡(jiǎn)

56、單。 例6一個(gè)人站在廣場(chǎng)中央，對(duì)著甲、乙、丙三個(gè)伙伴吹哨子（頻率），甲、乙、丙距廣場(chǎng)中央都是100m遠(yuǎn)，且分別在廣場(chǎng)中央的南東北面，第四個(gè)伙伴丁從西面乘車(chē)以40m/s的速度趕來(lái)，忽然有一陣穩(wěn)定的風(fēng)由南向北吹來(lái)，速度為速度為10m/s，如圖78所示，求甲、乙、丙、丁四人聽(tīng)到哨聲的頻率各是多少？已知當(dāng)時(shí)聲速為320m/s。分析和解：由于風(fēng)吹動(dòng)引起介質(zhì)相對(duì)聲源和觀(guān)察者以速度運(yùn)動(dòng)，即，應(yīng)用多普勒效應(yīng)公式 對(duì)甲：，則對(duì)乙：由于在東西方向無(wú)速度分量，故，所以對(duì)丙：，對(duì)?。簎=0， 第十五講 熱力學(xué)基礎(chǔ)一、知識(shí)點(diǎn)擊1氣體的壓強(qiáng)和內(nèi)能理想氣體狀態(tài)方程理想氣體的狀態(tài)方程表述了一定質(zhì)量的氣體的壓強(qiáng)p、體積V和熱力

57、學(xué)溫度T之間的關(guān)系，將密度公式代人，可得利用1 mol的理想氣體在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的參量可以得到 理想氣體的內(nèi)能由于理想氣體分子間不存在分子力，也就沒(méi)有分子力勢(shì)能因此，理想氣體的內(nèi)能就是氣體所有分子熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能的總和，即一定質(zhì)量理想氣體內(nèi)能的改變量是2分子熱運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn) 能量守恒定律和熱力學(xué)第一定律物質(zhì)分子熱運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)：由于晶體中微粒間的作用力很強(qiáng)，占主要地位微粒的熱運(yùn)動(dòng)主要表現(xiàn)為以結(jié)點(diǎn)為平衡位置的微振動(dòng)，這稱(chēng)為熱振動(dòng)。其振動(dòng)的時(shí)間、方向、振幅、頻率等都是雜亂無(wú)章的；氣體中分子間距大，分子力往往可以忽略，熱運(yùn)動(dòng)占主要地位分子能在空間自由運(yùn)動(dòng)，是完全無(wú)序的因此它充滿(mǎn)能到達(dá)的空間，沒(méi)有一定的體積和形狀，容易被

58、壓縮，具有流動(dòng)性；液體分子間距離小，相互作用力較強(qiáng)，其分子熱運(yùn)動(dòng)主要表現(xiàn)為在平衡位置作微振動(dòng)，但它也能遷移到新的平衡位置振動(dòng)上表現(xiàn)出不易壓縮，具有一定體積的特點(diǎn)，這像固體；同時(shí)它具有流動(dòng)性、沒(méi)有固定形狀，這像氣體?？梢?jiàn)液體的性質(zhì)是介于氣體與固體之間的。能量守恒定律和熱力學(xué)第一定律 能量守恒和轉(zhuǎn)化定律是自然界最普遍、最根本的規(guī)律之一，它在物理學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域有不同的體現(xiàn)，而熱力學(xué)第一定律和物態(tài)變化就是該定律在熱學(xué)領(lǐng)域中的生動(dòng)體現(xiàn)熱力學(xué)第一定律：在某一變化過(guò)程中，如果外界對(duì)物體做的功是W，物體從外界吸收的熱量是Q，則物體內(nèi)能的增量E=W+Q。在使用這個(gè)定律時(shí)要注意三個(gè)量的正負(fù)；外界對(duì)物體做功，W取正；

59、物體對(duì)外界做功，W取負(fù)；物體從外界吸熱，Q取正；物體對(duì)外界放熱，Q取負(fù)；物體內(nèi)能增加，E取正；物體內(nèi)能減少，E取負(fù)。氣體的壓強(qiáng)問(wèn)題解題關(guān)鍵就在于受力分析時(shí)不能遺漏缸內(nèi)氣體產(chǎn)生的壓強(qiáng)和缸外大氣壓強(qiáng)產(chǎn)生的壓力，然后列出力的平衡方程或動(dòng)力學(xué)方程即可求解。 例1兩端開(kāi)口的橫截面積為S的直管固定在水平方向上，在管內(nèi)有兩個(gè)活塞開(kāi)始左邊活塞通過(guò)勁度系數(shù)為k的未形變的彈簧與固定的壁相連兩個(gè)活塞之間的氣體壓強(qiáng)P0等于外界大氣壓強(qiáng)右活塞到右管口的距離為H，它等于兩活塞之間的距離（圖81）將右活塞緩慢地拉向右管口，為了維持活塞在管口的平衡，問(wèn)需用多大的力作用在此活塞上？摩擦不計(jì)溫度恒定分析和解：隨著右活塞被拉向管口

60、，兩活塞之間氣體的體積將擴(kuò)大，壓強(qiáng)減小，于是左活塞也向右移動(dòng)，彈簧拉長(zhǎng)；力F作用在右活塞上，將它拉到管口處，列出此時(shí)兩活塞的平衡條件：左活塞：P0SPSkx=0 右活塞：F十PSP0S=0 式中P為后來(lái)兩活塞之間氣體壓強(qiáng)可得： F二P0SPS=kx可見(jiàn)，x=0，F(xiàn)=0；k=0，F(xiàn)=0. 因溫度恒定，根據(jù)玻意耳定律有 P0HSP(2Hx）S由此，得 將式代入式，得到關(guān)于F的二次方程： F2（P0S +2kH) F+P0SkH=0其解既然k=0時(shí)，F(xiàn)=0，所以最終答案應(yīng)為 與氣體的壓強(qiáng)相聯(lián)系的不穩(wěn)定平衡問(wèn)題，可通過(guò)力的分析列出力的平衡方程和位置變化后的能量變化相結(jié)合來(lái)求解。 例2一個(gè)質(zhì)量為m=20