立體幾何經(jīng)典難題匯編

1、-. z.立體幾何難題匯編11. 在正方體的頂點(diǎn)中任意選擇4個(gè)頂點(diǎn)，對于由這4個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的各種幾何形體的以下判斷中，所有正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是能構(gòu)成矩形；能構(gòu)成不是矩形的平行四邊形；能構(gòu)成每個(gè)面都是等邊三角形的四面體；能構(gòu)成每個(gè)面都是直角三角形的四面體；能構(gòu)成三個(gè)面為全等的等腰直角三角形，一個(gè)面為等邊三角形的四面體A2B3C4D5【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用【專題】證明題【分析】畫出圖形，分類找出所有情況即可【解答】解：作出正方體：在正方體的頂點(diǎn)中任意選擇4個(gè)頂點(diǎn)，對于由這4個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的各種幾何形體z只能有以下四種情況：任意一個(gè)側(cè)面和對角面皆為矩形，所以正確；四面體A1-BC1D是每個(gè)面都是等邊三角

2、形的四面體，所以正確；四面體B1-ABD的每個(gè)面都是直角三角形，所以正確；四面體A1-ABD的三個(gè)面都是等腰直角三角形，第四個(gè)面A1BD是等邊三角形由以上可知：不能構(gòu)成不是矩形的平行四邊形，故不正確綜上可知：正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是4應(yīng)選C【點(diǎn)評】全面了解正方體中的任意四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四面體和平面四邊形是解題的關(guān)鍵2. 一個(gè)半徑為1的小球在一個(gè)棱長為的正四面體容器可向各個(gè)方向自由運(yùn)動(dòng)，則該小球永遠(yuǎn)不可能接觸到的容器壁的面積是_ 【考點(diǎn)】棱錐的構(gòu)造特征【專題】計(jì)算題；壓軸題【分析】小球與正四面體的一個(gè)面相切時(shí)的情況，易知小球在面上最靠近邊的切點(diǎn)的軌跡仍為正三角形，正四面體的棱長為，故小三角形的邊長為，做出

3、面積相減，得到結(jié)果【解答】解：考慮小球與正四面體的一個(gè)面相切時(shí)的情況，易知小球在面上最靠近邊的切點(diǎn)的軌跡仍為正三角形，正四面體的棱長為故小三角形的邊長為小球與一個(gè)面不能接觸到的局部的面積為，幾何體中的四個(gè)面小球永遠(yuǎn)不可能接觸到的容器壁的面積是418=72故答案為：72【點(diǎn)評】此題考察棱柱的構(gòu)造特征，此題解題的關(guān)鍵是看出小球的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么，看出是一個(gè)正三角形，這樣題目做起來就方向明確3.2012如圖，AD與BC是四面體ABCD中互相垂直的棱，BC=2，假設(shè)AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c為常數(shù)，則四面體ABCD的體積的最大值是 _.【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積【專題】計(jì)

4、算題；壓軸題【分析】作BEAD于E，連接CE，說明B與C都是在以AD為焦距的橢球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，BE=CE取BC中點(diǎn)F，推出四面體ABCD的體積的最大值，當(dāng)ABD是等腰直角三角形時(shí)幾何體的體積最大，求解即可【解答】解：作BEAD于E，連接CE，則AD平面BEC，所以CEAD，由題設(shè)，B與C都是在以AD為焦點(diǎn)的橢圓上，且BE、CE都垂直于焦距AD，AB+BD=AC+CD=2a，顯然ABDACD，所以BE=CE取BC中點(diǎn)F，EFBC，EFAD，要求四面體ABCD的體積的最大值，因?yàn)锳D是定值，只需三角形EBC的面積最大，因?yàn)锽C是定值，所以只需EF最大即可，當(dāng)ABD是等腰直角三角

5、形時(shí)幾何體的體積最大，AB+BD=AC+CD=2a，AB=a，所以EB=EF=所以幾何體的體積為：故答案為：【點(diǎn)評】此題考察棱柱、棱錐、棱臺的體積，考察空間想象能力，邏輯推理能力以及計(jì)算能力如圖，直線l平面，垂足為O，在直角三角形ABC中，BC=1，AC=2，AB=該直角三角形在空間做符合以下條件的自由運(yùn)動(dòng)：1Al，2C則B、O兩點(diǎn)間的最大距離為 _.【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算【專題】轉(zhuǎn)化思想【分析】先將原問題轉(zhuǎn)化為平面的最大距離問題解決，以O(shè)為原點(diǎn)，OA為y軸，OC為*軸建立直角坐標(biāo)系，B、O兩點(diǎn)間的距離表示處理，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值即可【解答】解：將原問題轉(zhuǎn)化為平面的最大距離

6、問題解決，以O(shè)為原點(diǎn)，OA為y軸，OC為*軸建立直角坐標(biāo)系，如圖設(shè)ACO=，B*，y，則有：*=ACcos+BCsin=2cos+sin，y=BCcos=cos*2+y2=4cos2+4sincos+1=2cos2+2sin2+3=2sin2+ +3，當(dāng)sin2+ =1時(shí)，*2+y2最大，為 +3，則B、O兩點(diǎn)間的最大距離為1+ .故答案為：1+ 【點(diǎn)評】此題考察了點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算，解答關(guān)鍵是將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題解決，利用三角函數(shù)的知識求最大值5.如圖，直線l平面，垂足為O，正四面體ABCD的棱長為4，C在平面，B是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)O到AD的距離為最大時(shí)，正四面體在平面上

7、的射影面積為A4+2B2 +2C4D4【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；棱錐的構(gòu)造特征；簡單空間圖形的三視圖【專題】計(jì)算題；壓軸題；空間位置關(guān)系與距離【分析】確定直線BC與動(dòng)點(diǎn)O的空間關(guān)系，得到最大距離為AD到球心的距離+半徑，再考慮取得最大距離時(shí)四面體的投影情況，即可求得結(jié)論【解答】解：由題意，直線BC與動(dòng)點(diǎn)O的空間關(guān)系：點(diǎn)O是以BC為直徑的球面上的點(diǎn)，所以O(shè)到AD的距離為四面體上以BC為直徑的球面上的點(diǎn)到AD的距離，最大距離為AD到球心的距離即BC與AD的公垂線+半徑=2+2 .慮取得最大距離時(shí)四面體的投影情況，此時(shí)我們注意到AD垂直平面OBC，且平行平面，故其投影是以AD為底，O到AD 的

8、距離投影，即2+2 cos45=2+為高的等腰三角形，其面積=應(yīng)選A【點(diǎn)評】此題考察點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算，考察學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題.6. 設(shè)l1，l2，l3為空間中三條互相平行且兩兩間的距離分別為4，5，6的直線給出以下三個(gè)結(jié)論：Ailii=1，2，3，使得A1A2A3是直角三角形；Ailii=1，2，3，使得A1A2A3是等邊三角形；三條直線上存在四點(diǎn)Aii=1，2，3，4，使得四面體A1A2A3A4為在一個(gè)頂點(diǎn)處的三條棱兩兩互相垂直的四面體其中，所有正確結(jié)論的序號是ABCD【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用【專題】空間位置關(guān)系與距離【分析】此題利用畫圖結(jié)合運(yùn)動(dòng)變化的思想進(jìn)展分析我

9、們不妨先將A、B、C按如下圖放置，容易看出此時(shí)BCAB=AC現(xiàn)在，我們將A和B往上移，并且總保持AB=AC這是可以做到的，只要A、B的速度滿足一定關(guān)系，而當(dāng)A、B移得很高很高時(shí)，就得到和都是正確的至于，結(jié)合條件利用反證法的思想方法進(jìn)展說明即可【解答】解：我們不妨先將A、B、C按如下圖放置容易看出此時(shí)BCAB=AC現(xiàn)在，我們將A和B往上移，并且總保持AB=AC這是可以做到的，只要A、B的速度滿足一定關(guān)系，而當(dāng)A、B移得很高很高時(shí)，不難想象ABC將會變得很扁，也就是會變成頂角A非常鈍的一個(gè)等腰鈍角三角形于是，在移動(dòng)過程中，總有一刻，使ABC成為等邊三角形，亦總有另一刻，使ABC成為直角三角形而且還是等腰的這樣，就得到和都是正確的至于，如下圖為方便書寫，稱三條兩兩垂直的棱所共的頂點(diǎn)為假設(shè)A是，則由ADAB，ADAC知L3ABC，從而ABC三邊的長就是三條直線的距離 4、5、6，這就與ABAC矛盾同理可知D是時(shí)也矛盾；假設(shè)C是，則由BCCA，BCCD知BCCAD，而l1CAD，故BCl1