水資源供需分析

1、城 市 水 資 源 利 用 與 管 理LU Baohong,SUN Yingying水文及水資源學(xué)院2022年8月18日第四章 水資源供需分析 供需分析的概念及分類 區(qū)域可供水量的計(jì)算 區(qū)域水資源供需平衡 區(qū)域水資源供需分析方法 水利工程可供水量計(jì)算4.1 供需分析的概念及分類 在特定的水資源條件和需水要求下，充分發(fā)揮水利工程的作用，通過(guò)水利工程的調(diào)節(jié)計(jì)算可得到水利工程供水和需水之間的關(guān)系，即水資源供需分析供需分析的概念水資源時(shí)空分布不均與社會(huì)經(jīng)濟(jì)及生態(tài)需水不匹配水利工程調(diào)節(jié)滿足需求Qtq工程供水能力：工程措施充分發(fā)揮其設(shè)計(jì)能力時(shí)可提供的水量Q日平均河道可引 Qc渠道，全引Q日平均河道可引 Q

2、c渠道，q引Qc渠道水資源供需分析未來(lái)社經(jīng)需求預(yù)測(cè)需水?dāng)M定方案實(shí)現(xiàn)平衡可供水量：給定來(lái)水條件下，考慮供水對(duì)象的需水要求，水工程可提供的水量Q需Q下Q（t）Qtt從分析范圍分供需分析的分類計(jì)算單元的供需分析河道流域的供需分析整個(gè)區(qū)域的供需分析河道外用水的供需分析：消耗性水河道內(nèi)用水的供需分析：非消耗性水4.1 供需分析的概念及分類現(xiàn)狀水平年供需分析規(guī)劃水平年供需分析一次供需分析二次供需分析三次供需分析從分析深度分從用水發(fā)展分從用水性質(zhì)分 劃分平衡區(qū)和計(jì)算單元 分析水資源供需現(xiàn)狀和存在的一些問(wèn)題 分析不同發(fā)展階段（不同水平年）水資源 供需情況和實(shí)現(xiàn)供需平衡的方向 分析實(shí)現(xiàn)本區(qū)域水的長(zhǎng)期穩(wěn)定供給的措

3、施和方案計(jì)劃4.1 供需分析的概念及分類供需分析的流程 來(lái)水條件：來(lái)水的大小及來(lái)水年內(nèi)分配 用水條件：不同的用水特性及合理用水、節(jié)約用水情況 水質(zhì)條件：不同的水源、泥沙和污染程度 工程條件：現(xiàn)有工程設(shè)施的能力及調(diào)節(jié)運(yùn)用方式的變化 水資源管理水平4.2 水利工程可供水量計(jì)算 在不同的來(lái)水頻率或保證頻率下，為滿足不同水平年的需水要求，各項(xiàng)水利工程設(shè)施可提供的水量。可供水量的影響因素可供水量的定義“不同水平年”中的水平，指的是水資源開發(fā)利用程度，表現(xiàn)在各類供水工程措施的多少、工程狀況和管理水平等方面“不同保證率”可視作供水工程措施對(duì)用戶供水的保證程度。同一供水工程措施在不同的豐、枯年份可供水量是不同

4、的。同一灌溉面積在不同豐、枯年份的需水量也是不同的“考慮需水要求”指的是在計(jì)算可供水量時(shí)，要把供水和需水結(jié)合考慮，棄水和不能為用戶所利用的水量不能算作可供水量?！翱晒┧康目伞弊郑硎灸撤N計(jì)算條件下，供水工程設(shè)施“可能”、或“可以”提供的水量。供水工程措施的可供水量與工程的供水能力是不同的，供水能力為工程措施充分發(fā)揮作用可提供的水量，未考慮需水要求，可供水量只是供水能力中為用戶利用了的那部分水量“供水工程措施可提供的”是指可供水量一定是供水工程措施所提供的，沒(méi)有通過(guò)供水工程措施直接為用戶所利用的水量，如農(nóng)作物利用的天然降水量、農(nóng)作物根系吸收的土壤水分和地下水，都不能算作可供水量（灌溉定額是指扣

5、除農(nóng)作物利用的天然水量后需要補(bǔ)充的水量）。所以，供水工程措施未控制的集雨面積上的水資源量是不可能成為可供水量的。可供水量的內(nèi)涵4.2 水利工程可供水量計(jì)算引水工程：指從河道或其它地表水體能夠自流取水的水利工程。4.2 水利工程可供水量計(jì)算單項(xiàng)工程的可供水量蓄水工程：在時(shí)間上對(duì)水資源重新分配，在來(lái)水多時(shí)把水蓄起來(lái)，在來(lái)水少是根據(jù)用水要求適時(shí)適量的供水。提水工程：包括地表水提水工程和地下水提水工程。地表水提水工程可供水量是指通過(guò)動(dòng)力機(jī)械設(shè)備從江河、湖泊中提取的水量。地下水提水工程可供水量指通過(guò)提水設(shè)備從地下提取為用戶所用的水量。系列調(diào)節(jié)計(jì)算法4.2 水利工程可供水量計(jì)算單項(xiàng)工程的可供水量計(jì)算典型年

6、法區(qū)域的可供水量，一般先單項(xiàng)工程著手，而后綜合計(jì)算。區(qū)域的可供水量計(jì)算引水工程：指從河道或其它地表水體能夠自流取水的水利工程可供水量：許可的引水量必須從年最大引水量中減去用戶不用的水量，剩余部分才是引水工程可以供給的水量供水能力：工程措施充分發(fā)揮作用時(shí)可提供的水量4.2 水利工程可供水量計(jì)算引水工程大、中型引水工程河道無(wú)調(diào)節(jié)能力約束條件渠道過(guò)水能力下游河道流量要求用戶的用水要求小型引水工程 4.2 水利工程可供水量計(jì)算引水工程可供水量計(jì)算供水系數(shù)法W可供某一水平年某一來(lái)水頻率引水工程的可供水量；np 某一來(lái)水頻率引水工程的供水系數(shù)； A引水工程的灌溉面積；W某一來(lái)水頻率毛灌溉定額 例1（一用戶

7、情形）已知: (1)表中單位為m3/s (2)用水戶為單用戶情形 (3)渠道過(guò)水能力為70m3/s ，下游流量要求為60 m3/s求解：各時(shí)段可供水量？4.2 水利工程可供水量計(jì)算例1計(jì)算結(jié)果問(wèn)題：如果用水戶為多用戶情形，如何分配水量？4.2 水利工程可供水量計(jì)算a.不考慮取水口下游流量限制b.不考慮引水渠道過(guò)水能力例2（兩用戶情形）方法1：屬地優(yōu)先原則用戶1：可供水量Q1=100 m3/s用戶2：可供水量Q2=120-100+100*20%+60= 100 m3/s4.2 水利工程可供水量計(jì)算4.2 水利工程可供水量計(jì)算缺點(diǎn):未考慮用水戶重要性用戶2用戶1=20%Y區(qū)=60D1=100D2=

8、200Y1=120Q1Q2方法2：均衡受益原則，兩者缺水率相等 用戶1：可供水量Q1=64.28 m3/s; 用戶2：可供水量Q2=128.59 m3/s 用戶1：可供水量Q1=44.44 m3/s ；用戶2：可供水量Q2=144.44 m3/s用戶2用戶1=20%Y區(qū)=60D1=100D2=200Y1=120Q1Q2方法3：均衡受益原則，考慮用戶重要性假設(shè)用戶2的重要性是用戶1的2倍，即4.2 水利工程可供水量計(jì)算多用戶供水模式考慮用戶重要性屬地優(yōu)先權(quán)模式 4.2 水利工程可供水量計(jì)算均衡受益模式先滿足上游需水，再考慮下游用戶 從河道提水河道來(lái)水情況下游河道流水要求提水設(shè)備能力 提水工程可供

9、水量計(jì)算4.2 水利工程可供水量計(jì)算 從湖泊、大江、大河中提水 提水量不太大時(shí)，基本不考慮需水限制 提取地下水 應(yīng)以不致造成不良后果為前提蓄水工程4.2 水利工程可供水量計(jì)算中小型水庫(kù)年調(diào)節(jié)水庫(kù)大型水庫(kù)水庫(kù)具有調(diào)節(jié)能力，可以根據(jù)需水對(duì)天然徑流再分配資料允許情況下，根據(jù)水庫(kù)來(lái)水、用水及水庫(kù)有效蓄水量逐時(shí)段調(diào)節(jié)計(jì)算不同的調(diào)節(jié)模式，有不同的結(jié)果多年調(diào)節(jié)水庫(kù)量多且缺乏實(shí)測(cè)資料已知：（1）表中水量單位為萬(wàn)立米 （2）假設(shè)水庫(kù)始、末水位均為死水位 （3）水庫(kù)調(diào)節(jié)庫(kù)容為200萬(wàn)立米例3求解： 水庫(kù)各時(shí)段可供水量4.2 水利工程可供水量計(jì)算大型水庫(kù)（3）“相對(duì)缺水率最小”模式 需水約束 水量平衡約束有效蓄水量

10、約束多用戶重要性（1）“有水就用”模式（2）“過(guò)程相似”模式4.2 水利工程可供水量計(jì)算例3計(jì)算結(jié)果問(wèn)題：若調(diào)節(jié)庫(kù)容為100萬(wàn)立方，計(jì)算結(jié)果如何？4.2 水利工程可供水量計(jì)算0模式2： V調(diào)節(jié)200模式3： V調(diào)節(jié)100不同計(jì)算模式示意圖庫(kù)容有限時(shí)供水過(guò)程示意圖4.2 水利工程可供水量計(jì)算水量利用系數(shù)法：利用關(guān)系進(jìn)行推求4.2 水利工程可供水量計(jì)算庫(kù)容系數(shù)利用系數(shù)關(guān)系曲線 ( 某省實(shí)際資料計(jì)算分析得出)復(fù)蓄指數(shù)法:水庫(kù)、塘壩年可供水量與有效庫(kù)容之比值。中型水庫(kù)小型水庫(kù)4.3 區(qū)域可供水量計(jì)算基于模擬的可供水量計(jì)算基于優(yōu)化的可供水量計(jì)算系統(tǒng)概化 用戶概化水源劃分工程安排系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)圖 水資源系統(tǒng)：是

11、指在一定范圍或環(huán)境下，為實(shí)現(xiàn)水資源開發(fā)利用目標(biāo)，由相互聯(lián)系、相互制約、相互作用的若干水資源工程單元和管理技術(shù)單元組成的有機(jī)體。 區(qū)域可供水量的計(jì)算：就是在各種用水戶需水要求下，對(duì)區(qū)域內(nèi)部所有水利工程的可供水量進(jìn)行計(jì)算。4.3 區(qū)域可供水量計(jì)算系統(tǒng)概化4.3 區(qū)域可供水量計(jì)算研究區(qū)域分區(qū)：按行政區(qū)劃分區(qū)按自然地理單元分區(qū)按社會(huì)經(jīng)濟(jì)單元?jiǎng)澐职戳饔蛩Y源分區(qū)與區(qū)域行政分區(qū)相結(jié)合的方法劃分(1)用戶概化蓄水工程引水工程提水工程調(diào)水工程中水回用當(dāng)?shù)厮?dāng)?shù)氐乇硭?dāng)?shù)氐叵滤偕鈦?lái)水4.2 水利工程可供水量計(jì)算(2)水源分類(3)工程安排水源與分區(qū)分類型用戶之間，通過(guò)各種供水工程相聯(lián)系。按照供水工程、概化

12、用戶在流域水系上和自然地理上的拓?fù)潢P(guān)系，把水源與用戶連接起來(lái)，形成系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)圖。系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)圖是對(duì)真實(shí)系統(tǒng)的抽象概化，由概化元素構(gòu)成。概化元素包括計(jì)算單元、水利工程、分匯水節(jié)點(diǎn)以及各種輸水通道等。4.2 水利工程可供水量計(jì)算(4)系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)圖計(jì)算單元是劃分的最小一級(jí)計(jì)算分區(qū)，是各類資料收集整理的基本單元，也是水資源利用的主體對(duì)象；在網(wǎng)絡(luò)圖上用長(zhǎng)方形框表示，屬于“面”元素。4.2 水利工程可供水量計(jì)算概化用戶分匯水節(jié)點(diǎn)包括天然節(jié)點(diǎn)和人為設(shè)置的節(jié)點(diǎn)兩類，前者是重要河流的交匯點(diǎn)或分水點(diǎn)，后者主要是對(duì)水量水質(zhì)有特殊要求或希望掌握的控制斷面，在網(wǎng)絡(luò)圖上屬于“點(diǎn)”元素。輸水通道是對(duì)不同類別輸水途徑的概化，包括河流

13、水系，水利工程到計(jì)算單元的供水傳遞關(guān)系，計(jì)算單元退水的傳遞關(guān)系、水利工程之間或計(jì)算單元之間的聯(lián)系等，在網(wǎng)絡(luò)圖上屬于“線”元素。水利工程是網(wǎng)絡(luò)圖上標(biāo)明的水庫(kù)及引提水工程等。4.3 區(qū)域可供水量計(jì)算水利系統(tǒng)可供水量計(jì)算分類一個(gè)區(qū)域，有各種水利工程構(gòu)成一個(gè)或多個(gè)水利系統(tǒng)，共同為用戶提供水源。通常情況下，可供水量應(yīng)包括部分水量：蓄：當(dāng)?shù)貜搅魍ㄟ^(guò)水庫(kù)湖洼河網(wǎng)調(diào)節(jié)可提供的水量引：計(jì)算區(qū)以外，通過(guò)天然或人工河道自流引入的那部分客水提：從河道或地下，通過(guò)動(dòng)力機(jī)械設(shè)備提取的那部分客水調(diào)：從外流域調(diào)入補(bǔ)給的那部分水量回：工農(nóng)業(yè)和城鎮(zhèn)居民生活用水的回歸廢棄水中，可調(diào)蓄利用的水量先是用小工程的水，再使用大工程的水先用

14、自流水，再用蓄水和提水先近后遠(yuǎn)先用地表水，再用地下水，盡量維持地下水采補(bǔ)平衡先用當(dāng)?shù)厮òㄟ^(guò)境水），再調(diào)外流域水優(yōu)水優(yōu)用，自來(lái)水和地下水用于生活和一部分工業(yè)，其他水用于水質(zhì)要求低的農(nóng)業(yè)和部分工業(yè)4.3 區(qū)域可供水量計(jì)算調(diào)節(jié)計(jì)算原則水利系統(tǒng)可供水量計(jì)算的具體調(diào)度原則應(yīng)根據(jù)各系統(tǒng)的具體情況制定，應(yīng)力求做到統(tǒng)籌兼顧，合理安排，有利于緩解供需矛盾，有利于使有限的水資源取得較好的社會(huì)經(jīng)濟(jì)生態(tài)效益，有利于區(qū)域可持續(xù)發(fā)展。以概化的系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)圖為基礎(chǔ)，以事先擬定的各種調(diào)配規(guī)則為依據(jù)，按一定次序，對(duì)各水源、各計(jì)算單元進(jìn)行各水利工程調(diào)節(jié)計(jì)算的方法。地表水地下水4.3 區(qū)域可供水量計(jì)算基于模擬的可供水量計(jì)算統(tǒng)籌兼顧

15、各分區(qū)各種類型的用水需求、合理安排各種水源各類工程的供水策略，有利于系統(tǒng)內(nèi)的供需平衡?？傄笥?jì)算方法（1）計(jì)算程序可供水量的計(jì)算：先支流后干流，自上游到下游，逐計(jì)算單元計(jì)算。每一計(jì)算單元的計(jì)算遵循水量平衡的原則。（2）供水次序?qū)τ?jì)算單元，誰(shuí)先供？先用自流水，后用蓄水和提水；先用地表水，后用地下水；先用本流域的水（包括過(guò)境水），后用外流域調(diào)水；水質(zhì)優(yōu)的水用于生活等用戶，其它水用于水質(zhì)要求較低的農(nóng)業(yè)或部分工業(yè)用戶。（3）用水次序?qū)﹣?lái)的水，誰(shuí)先用？先盡量滿足生活需水，再依此是河道內(nèi)最小生態(tài)需水、工業(yè)和第三產(chǎn)業(yè)需水、農(nóng)業(yè)需水、河道外生態(tài)需水等。4.3 區(qū)域可供水量計(jì)算區(qū)域水資源一般性的調(diào)配規(guī)則 4.

16、3 區(qū)域可供水量計(jì)算計(jì)算單元內(nèi)部分配，包括對(duì)當(dāng)?shù)氐乇硭暗叵滤人吹姆峙洌哼@類水源原則上只對(duì)所在計(jì)算單元內(nèi)部各類用戶進(jìn)行供水，不跨單元利用。一個(gè)水源對(duì)多個(gè)單元間聯(lián)合分配，包括大型水庫(kù)、外流域調(diào)水、處理后污水等水源或水量的分配與傳遞：這類水源可為多個(gè)計(jì)算單元所使用，其水量的傳遞和利用關(guān)系由系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)圖傳輸線路確定如一條河流上有上下兩個(gè)計(jì)算單元，可以應(yīng)用“分散余缺”方式進(jìn)行計(jì)算等。后者也是系統(tǒng)模擬的重點(diǎn)和難點(diǎn)水源間、計(jì)算單元間相互關(guān)系反映需水結(jié)構(gòu)調(diào)控方案的變量。如各區(qū)域各部門的發(fā)展規(guī)模，節(jié)約用水方案，生態(tài)需水調(diào)控方案等。隱含在模型的需水變量中起作用。反映供水結(jié)構(gòu)調(diào)控方案的變量。如水利工程的布局、規(guī)

17、模及建設(shè)次序等。隱含在模型中的水利工程運(yùn)行約束域中起作用。反映運(yùn)行管理策略方案的變量。如水量宏觀調(diào)配、工程運(yùn)行策略的變量。以不同水源向不同用戶的供水量反映。4.3 區(qū)域可供水量計(jì)算基于優(yōu)化的可供水量計(jì)算決策變量的分類4.3 區(qū)域可供水量計(jì)算根據(jù)區(qū)域水源的來(lái)源形式，可將水源分為外調(diào)水源和自產(chǎn)水源。設(shè)區(qū)域中有I種供水水源（i=1,2，I）。區(qū)域用水部門的劃分，設(shè)區(qū)域中有K個(gè)用水部門（k=1,2，K），對(duì)于水資源分區(qū)j，一般情況下有K個(gè)用水部門。不同的季節(jié)用水部門（特別是農(nóng)業(yè)用水）對(duì)水的需求會(huì)有所增減，因此，將規(guī)劃水平年按月進(jìn)行時(shí)段劃分， t=1,2，T。 由此可見(jiàn)，在特定規(guī)劃水平年，對(duì)整個(gè)區(qū)域而言

18、是一個(gè)擁有IJKT個(gè)決策變量的水資源優(yōu)化配置問(wèn)題。根據(jù)可供水量的涵義，供水系統(tǒng)優(yōu)化是解決水資源的短缺問(wèn)題。為了更好地滿足生活、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)以及生態(tài)等的需求，確定模型的目標(biāo)為區(qū)域供水系統(tǒng)相對(duì)總?cè)彼孔钚　ＤＰ托问綖椋簽閰^(qū)域在第j分區(qū)第k用水部門第t時(shí)段的需水量；為區(qū)域第i供水水源給第j分區(qū)第k用水部門第時(shí)段的供水量；為第j分區(qū)第k用水部門相對(duì)其他用水部門優(yōu)先得到供給水資源的重要程度系數(shù)。4.3 區(qū)域可供水量計(jì)算目標(biāo)函數(shù) （1）可供水量約束（2）需水量約束（3）供水能力約束（4）工程運(yùn)行可行域約束（5）變量非負(fù)約束4.3 區(qū)域可供水量計(jì)算約束條件4.3 區(qū)域可供水量計(jì)算模型求解結(jié)合模型的特點(diǎn)，選擇優(yōu)

19、化方法進(jìn)行求解例4 一座年調(diào)節(jié)水庫(kù)，若自蓄水期到供水期末，一個(gè)完整的計(jì)算期T為一年，劃分為12個(gè)相等的時(shí)段，每個(gè)時(shí)段長(zhǎng)T為一個(gè)月，每月入庫(kù)水量為Q1，Q2，,Q12，且相應(yīng)的需水量為D1，D2，,D12。目標(biāo)函數(shù)水量平衡約束水庫(kù)蓄水量限制供水量限制因此，水庫(kù)優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型為：4.3 區(qū)域可供水量計(jì)算動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法優(yōu)化階段變量t：可取1個(gè)月或旬狀態(tài)變量：月初水庫(kù)Vt-1為狀態(tài)變量。離散時(shí)，取水庫(kù)蓄水量的變化量為步長(zhǎng)V，將庫(kù)蓄水量分成m-1個(gè)網(wǎng)格，共有m個(gè)庫(kù)蓄水量。決策變量：選用各時(shí)段的供水量Xt，相應(yīng)于一個(gè)決策，就有一個(gè)階段效應(yīng)（如相對(duì)缺水率）狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：Qt為環(huán)境輸入變量，則輸入狀態(tài)變量Vt-

20、1，決策變量Xt，輸出狀態(tài)變量Vt之間的關(guān)系為：Vt=Vt-1+Qt-Xt遞推方程：順推、逆推逆推算法，得到的動(dòng)態(tài)規(guī)劃的遞推方程：4.3 區(qū)域可供水量計(jì)算4.3 區(qū)域可供水量計(jì)算動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法求解原模型轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型：動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法包括兩步（逆推法）（1）根據(jù)最優(yōu)化原理按照遞推方程自最后階段向前逐時(shí)段求出相對(duì)缺水率平方和最小的逆時(shí)序遞推過(guò)程；（2）求出最優(yōu)策略及相應(yīng)的個(gè)狀態(tài)的回代過(guò)程。4.3 區(qū)域可供水量計(jì)算Dynamic Programming (DP)分級(jí)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法是分級(jí)決策方法和“最優(yōu)化原理”相結(jié)合而產(chǎn)生的一種有效的優(yōu)化方法。它的基本思想是把一個(gè)可以分級(jí)決策的問(wèn)題按照“最優(yōu)化原理”

21、逐級(jí)尋求最佳決策序列，達(dá)到整體優(yōu)化的目標(biāo) 為說(shuō)明分級(jí)決策的概念，用下面例子進(jìn)行分析。下圖是從P到Q的路徑圖。A、B、C、D、E、F是路徑的中結(jié)點(diǎn)，圖上的數(shù)字表示該路徑的長(zhǎng)度。現(xiàn)在的問(wèn)題 是要求出P到Q的最短路徑 PQ共有8條路經(jīng), P Q最短為: P-D-B-F-Q,長(zhǎng)度21,這是窮舉法2423282522212522當(dāng)可行方案較多時(shí)，計(jì)算工作量很大。如有n級(jí)，在前n1級(jí)中從每點(diǎn)出發(fā)有M條路，而第n級(jí)的每一點(diǎn)（除Q點(diǎn)）出發(fā)只有一條路，則可行路徑共有Mn1條 “窮舉法”為分級(jí)決策提供了一個(gè)基礎(chǔ)，仍以上圖的最短路徑問(wèn)題為例，按圖把問(wèn)題分為四個(gè)階段，xi稱為狀態(tài)變量，di稱為決策變量，gi稱為級(jí)收益

22、 方框中的編號(hào)表示級(jí)第一級(jí)表示從P到A或D的過(guò)程取第一級(jí)的輸入狀態(tài)變量x1P，表示該級(jí)是從P出發(fā)的從P可以走向A，也可以走向D，即可以在走向A或D，要在兩者中進(jìn)行決策:d1 =A或D而第一級(jí)的收益則是這一過(guò)程中走過(guò)的路徑的長(zhǎng)度。它是輸入狀態(tài)變量x1與決策變量d1的函數(shù)，g1(x1, d1)，當(dāng)d1=A時(shí)，x1=P，則g1(P,A)10，當(dāng)d1=D時(shí)，有g(shù)1(P,D)=12求從P到Q的最短路徑，第一級(jí)不能確定最佳決策，要考慮到后面各級(jí)的影響考慮第一級(jí),不知道d1取A優(yōu)，還是取D。無(wú)法確定第二級(jí)最優(yōu)出發(fā)點(diǎn)是A/D因此第二級(jí)的輸入狀態(tài)取決于第一級(jí)的決策，x2d1。當(dāng)d1確定之后x2即隨之確定。這就是

23、為什么稱其為狀態(tài)“變量”的原因該級(jí)的收益函數(shù)g2（x2，d2）則有四個(gè)可能值當(dāng)x2A，d2B，則第二級(jí)的收益g2（A，B）6當(dāng)x2A，d2E，則第二級(jí)的收益g2（A，E）7當(dāng)x2D，d2B，則第二級(jí)的收益g2（D，B）2當(dāng)x2D，d2E，則第二級(jí)的收益g2（D，E）2第二級(jí)輸入狀態(tài)變量x2不論為A或D，決策變量d2只可能選B或E第三級(jí)的輸入狀態(tài)變量，應(yīng)取x3d2，即第三階段的出發(fā)點(diǎn)取決于第二階段的決策值。但不論第三階段的出發(fā)點(diǎn)為B或E，可能通往的點(diǎn)將為C或F 該級(jí)收益函數(shù)g3(x3，d3)的值有以下四種可能：g3(B，C)3 g3(B，F(xiàn))3g3(E，C)6 g3(E，F(xiàn))4第四級(jí)的輸入狀態(tài)變

24、量x4應(yīng)取d3，第四階段的出發(fā)點(diǎn)取決于第三階段的決策值：d3取C或F。但C或F只可能通往Q . g4(C，Q)5 g4(F，Q)4 因本問(wèn)題是第一級(jí)輸入狀態(tài)變量(x1)已知，對(duì)初始狀態(tài)已知的初值問(wèn)題，計(jì)算程序一般是逆推計(jì)算通向Q點(diǎn)的路徑有兩條，當(dāng) x4C時(shí)，g4(C，Q)*=5 x4F時(shí)， g4(F，Q)*=4 *表示余下部分的最佳收益輸入狀態(tài)變量x3B或E，而決策變量d3C或F，通往Q的路徑有四種 (1) x3B，d3C，則從B到Q的總長(zhǎng)度為 g3（B，C）+g4（C，Q）*3+58(2) x3B，d3F，則從B到Q的總長(zhǎng)度為 g3（B，F(xiàn)）+g4（F，Q）*3+47(1)，(2)兩方案都是

25、自B通往Q的路徑。顯然BFQ較BCQ短，因此，只要路徑通到B點(diǎn)，必將選BFQ，而不應(yīng)選BCQ路徑求P到Q的最短路徑，可采用“分級(jí)決策方法”，即分級(jí)求出最佳決策第二步：分析第三級(jí)第一步：從第四級(jí)開始計(jì)算選擇（面臨階段效益+余留階段效益)最優(yōu)的路徑(3) x3E，d3C，則從E到Q g3(E, C)+g4(C, Q)*6+511(4) x3=E，d3=d，則從E到Q g3(E, F)+g4(F, Q)*4+48因此，E到Q必選EFQ輸入x2A或D，而決策d2B或E，因此通往Q的路徑也有四種方案(1) x2A，d2B，即從A經(jīng)過(guò)B到Q，考慮到第二步從B到Q,應(yīng)選EFQ才可能使所選路徑最短。于是有 g

26、2（A，B）+g3（B，F(xiàn)）+ g4（F，Q）*6+713(2) x2A，d2E，即從A經(jīng)E到Q，其長(zhǎng)度為 g2（A，E）+ g3（E，F(xiàn)）+ g4（F，Q）*7+815比較(1)，(2)可知，從A到Q的最短路徑應(yīng)為ABFQ第三步：分析第二級(jí)x2D，d2B，如前法有g(shù)2(D，B)+ g3(B，F(xiàn))+ g4(F，Q)*2+79x2D，d2E，同理有g(shù)2(D，E)+ g3(E，F(xiàn))+ g4(F，Q)*2+810比較(3)，(4)得，凡經(jīng)D到Q的最短路徑都應(yīng)選DBFQ在前面幾步中，我們可以看到：采用分級(jí)決策方法，可以在逐級(jí)計(jì)算中不斷淘汰一些較差的方案，減少計(jì)算工作量輸入狀態(tài)變量?jī)H可取一個(gè)值x1P，而

27、決策的變量d1A或D通往Q的方案有兩個(gè)(1) x1P，d1A，其長(zhǎng)度為g1(P，A)+ g2(A，B)+ g3(B，F(xiàn))+ g4(F，Q)*10+1323(2) x1P，d1D，其長(zhǎng)度為g1(P，D)+ g2(D，E)+ g3(E，F(xiàn))+ g4(F，Q)*12+9=21(4)第四步：分析第一級(jí)由(1)，(2)結(jié)果可知，從P到Q的最短路徑應(yīng)為：PDBFQ其長(zhǎng)度為21，這就是要求的最佳解。相應(yīng)的各級(jí)的決策值d1D，d2B，d3F，d4Q寫成序列形式d1，d2，d3，d4D，B，F(xiàn)，Q，稱為該問(wèn)題的“最優(yōu)決策序列”這種分級(jí)決策方法所需加法10次，比較運(yùn)算6次，較窮舉法計(jì)算工作量為少動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法就是以

28、分級(jí)決策方法為基礎(chǔ)的5.2 分級(jí)決策的數(shù)學(xué)模型 分級(jí)決策求解最短路徑問(wèn)題，其模型可用圖表示如下 圖中x1，x2，.，xN，xN+1，為狀態(tài)變量?？梢钥闯鏊鼈兂３Ｊ且粋€(gè)級(jí)的輸出而又是下一級(jí)的輸入，因此狀態(tài)變量在相連的上、下兩級(jí)之間起著信息傳遞的作用。d1，d2，.，dN為N個(gè)決策變量，分級(jí)決策問(wèn)題就是在一定條件下（如x1已給的初值問(wèn)題），確定決策序列，使問(wèn)題的總收益G為最佳圖中g(shù)1，g2，.，gN，為N個(gè)級(jí)的收益的“和”為該問(wèn)題的總收益Gg1g2.gN。如果“和”為通常意義下的和，則有 Gg1+g2+.+gN 如果“和”為通常的乘積，則有Gg1g2gN 一個(gè)滿足分級(jí)條件的問(wèn)題，按照一定的要求將問(wèn)

29、題分成N級(jí)，把一個(gè)原是一個(gè)多個(gè)變量的問(wèn)題，在采用了分級(jí)決策后轉(zhuǎn)成為一個(gè)在每一級(jí)僅含單個(gè)變量的問(wèn)題。求解容易，這是分級(jí)決策的優(yōu)越性將一個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)換為分級(jí)決策，這個(gè)問(wèn)題應(yīng)滿足什么條件？它們是：狀態(tài)變量的轉(zhuǎn)移性和收益函數(shù)的可分性一個(gè)問(wèn)題分級(jí)后，每一級(jí)的輸入狀態(tài)變量應(yīng)是前一級(jí)輸出狀態(tài)變量每一級(jí)的輸出狀態(tài)是該級(jí)的輸入狀態(tài)與決策變量的共同作用的結(jié)果狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：xi+1yi(xi, di)輸入輸出函數(shù)關(guān)系當(dāng)決策序列d1，d2，.，dN和初始狀態(tài)變量x1已知時(shí) x2y1(x1，d1) x3y2(x2，d2)=y2(y1(x1，d1), d2) xi+1yi(xi，di) yi(yi-1(xi-1，di-1)，

30、di） yi(yi-1(.y2(y1(x1，d1)，d2).，di-1)，di) ( i1，2，N) 上式說(shuō)明了級(jí)間狀態(tài)變量之間的關(guān)系，還說(shuō)明了已知初始狀態(tài)x1的初值問(wèn)題，當(dāng)決策序列d1，d2，.，dN已給，就可以求得xi(i2)的值 狀態(tài)變量的轉(zhuǎn)移性 2. 總收益函數(shù)的可分性 為了采用分級(jí)決策的方法，須把問(wèn)題劃分為N個(gè)級(jí)，各級(jí)收益gi的“和”為總收益（G）。如果總收益函數(shù)為下列形式，即可滿足這一要求 一個(gè)問(wèn)題采用分級(jí)決策的方法，其狀態(tài)變量應(yīng)具有轉(zhuǎn)移性，而總收益函數(shù)具有可分性。由此，可得分級(jí)決策的一個(gè)重要性質(zhì) =gK(xK，dK)+ gK+1(xK+1，dK+1)+ gM(xM，dM) + g

31、N(xN，dN) 又因xK+i+1yK+i(xK+i, dK+i)，i1，2，N-1 GK,M=gK(xK，dK)+gK+1(yK(xK，dK),dK+1)+.+gM(yM-1(yM-2 (.(yK(xK，dK)，dK+1).)，dM) 由遞推公式可以看出第KN級(jí)的收益僅與第K級(jí)的輸入狀態(tài)變量xk和第K級(jí)到第N級(jí)的決策有關(guān), 與第K級(jí)以前的狀態(tài)變量和決策無(wú)關(guān).該性質(zhì)稱為分級(jí)決策的 “無(wú)后效”性 ，數(shù)學(xué)上稱馬爾可夫性（過(guò)去現(xiàn)在未來(lái)）設(shè)d1，d2分別為A、B各應(yīng)生產(chǎn)的單位數(shù)，則可列出如下數(shù)學(xué)模型：s. t4d1+2d230d10d20O. fmax G1d1+0.8d2d1+0.8d2顯見(jiàn)有解：d

32、10， d215max G0.81512（億元）上述的靜態(tài)規(guī)劃亦可用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法求解例1 某水庫(kù)有30(m3/s)month的水用于灌溉A、B兩種作物，已知每生產(chǎn)單位產(chǎn)量的A作物需4 (m3/s)month水，生產(chǎn)單位產(chǎn)量的B作物需2 (m3/s)month的水。而A、B產(chǎn)品在市場(chǎng)上單位產(chǎn)量售價(jià)分別為1億元和8千萬(wàn)元，求如何分配兩種作物的種植量，使總收益最大。這是線性（靜態(tài)）規(guī)劃問(wèn)題 建立分級(jí)決策模型 12x1=30d1d2x2=x1-4d1x3=x2-2d21d10.8d2d1，d2為可控制、可調(diào)整的變量，可選其為決策變量，可以提供的水量作為輸入狀態(tài)變量 第一級(jí)可供水為30，即第一級(jí)輸入x1

33、30，實(shí)際供水量為4d1，還剩x1-4d1為第一級(jí)輸出x2（x1-4d1） 第二級(jí)輸入狀態(tài)為x2而在第二級(jí)中用去2d1，故該級(jí)輸出x3x2-2d2 第一級(jí)的級(jí)收益為：g11d1；第二級(jí)的級(jí)收益為：g20.8d2。 建立分級(jí)決策模型 12x1=30d1d2x2=x1-4d1x3=x2-2d21d10.8d2得分級(jí)決策模型：極大化Gg1（x1，d1）+ g2（x2，d2） d1+0.8d2約束條件 x130 x2y1（x1，d1）x1-4d1 x3y2（x2，d2）x2-2d2 xi0，i1，2，3；dj0，j1，2例2 在三個(gè)電網(wǎng)中共建四座規(guī)模相同的電站。電網(wǎng)中電站增加，電網(wǎng)供電區(qū)的社會(huì)收益也增

34、加，具體數(shù)據(jù)如下表所示。為使三個(gè)電網(wǎng)總的社會(huì)受益最大，每個(gè)電網(wǎng)應(yīng)建多少座電站？上表中數(shù)字，例如，第一行第三列的16表示在第一個(gè)電網(wǎng)中修建一座水電站，其供電區(qū)社會(huì)收益為16億元/年，表中其它數(shù)字的含義與此類似 記di為在第i電網(wǎng)修建電站數(shù)，gi(di)為第i電網(wǎng)相應(yīng)社會(huì)效益，則有下述max約束條件 4, di是0的整數(shù)把三個(gè)電網(wǎng)作為三級(jí)。對(duì)于第一個(gè)電網(wǎng)，其輸入變量x1為可提供修建4座電站，即x14，若修建了d1座電站，因d1是可選擇的，可控制的量，把它作為決策變量。電網(wǎng)1的供電區(qū)收益為g1(x1, d1)在電網(wǎng)1中修建了d1座電站，由狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程x2y1(x1, d1)x1-d1，即還剩x1-d

35、1座電站，這是電網(wǎng)1的輸出狀態(tài)變量，即電網(wǎng)2的輸入狀態(tài)變量，在電網(wǎng)2中可以修建的電站數(shù)為x2，若電網(wǎng)2修建了d2座電站，獲得收益g2(x2，d2)，還剩x3x2-d2座電站可供電網(wǎng)3修建在電站3中修建了d3座電站，獲得收益g3(x3，d3)，這時(shí)還剩x4x3-d3座電站，由于題意，有x40132d1d2d3x1=4x2=x1-d1x3=x2-d2x4=x3-d3=0g1(x1,d1)g2(x2,d2)g3(x3,d3)G1-3分級(jí)決策數(shù)學(xué)模型如下：極大化約束條件x14xi+1xi-dii1，2，3x40 xi，di0的整數(shù)，i1，2，3132d1d2d3x1=4x2=x1-d1x3=x2-d2

36、x4=x3-d3=0g1(x1,d1)g2(x2,d2)g3(x3,d3)G1-3在例1中我們選取生產(chǎn)A、B兩種作物單位數(shù)為決策變量，例2中選取三個(gè)電網(wǎng)修建電站數(shù)為決策變量，把問(wèn)題劃為分級(jí)決策數(shù)學(xué)模型。將一個(gè)較為復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題劃為分級(jí)決策問(wèn)題，如果可能的話，適當(dāng)?shù)剡x取決策變量往往是一個(gè)關(guān)鍵。如何選取決策變量并沒(méi)有一定的方法可循，這除解題經(jīng)驗(yàn)外，主要還是靠對(duì)實(shí)際問(wèn)題的理解 5.3 動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法 為了建立動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本方程收益函數(shù)遞推方程，先介紹動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法中常用的術(shù)語(yǔ)、符號(hào)及其含義動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型和前面分級(jí)決策模型是一樣的 132d1d2d3x1x2x3xN+1g1(x1,d1)g2(x2,d2)g

37、3(x3,d3)G1-NNgN(xN,dN)d3級(jí)：動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法的特點(diǎn)是先將一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題分解成相互聯(lián)系而又相對(duì)獨(dú)立的若干小問(wèn)題。每一問(wèn)題即為“級(jí)”，把這些小問(wèn)題按順序編號(hào)，如上圖，分別記以1,2,N,共有N級(jí)。編號(hào)一般由前向后，或由后向前（特殊情形）。級(jí)變量常以K表示 狀態(tài)變量：圖中每一級(jí)的輸入xK稱為狀態(tài)變量。一般第K級(jí)的輸入狀態(tài)變量就是第K-1級(jí)的輸出變量。狀態(tài)變量可以取一個(gè)數(shù)，一組數(shù)，一函數(shù)等當(dāng)狀態(tài)變量取一數(shù)時(shí)，其取值范圍可用“狀態(tài)集合”表示：XKxk(1), xk(2),. xk(p)有時(shí)也稱xk(i),為狀態(tài)。還有時(shí)為條件集合，如XKrxk1,r，xk2,r，. Xkp,r即當(dāng)?shù)贙

38、-2級(jí)輸出狀態(tài)（K-1級(jí)輸入狀態(tài)）為xrk-1時(shí)，第K-1級(jí)輸出狀態(tài)（第K級(jí)輸入狀態(tài)）的集合為xk，.決策變量：決策變量是在某級(jí)狀態(tài)變量給定之后，在該級(jí)可能給出的可控制量。圖中d1, d2,，dk,dN為決策變量。決策變量與狀態(tài)變量一樣，可以為一個(gè)數(shù)、一組數(shù)、一函數(shù)等。決策變量的取值范圍稱作：允許決策集合。為說(shuō)明決策變量取決于狀態(tài)變量，記作dk(xk)，亦稱作參數(shù)決策變量，dk(xk)Dk(xk) Dk(xk) 第K級(jí)的輸入狀態(tài)為xk時(shí)的允許決策集合 狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程 xk+1yk(xk，dk) 把各級(jí)的狀態(tài)及決策變量聯(lián)系起來(lái)132d1d2d3x1x2x3xN+1g1(x1,d1)g2(x2,d2

39、)g3(x3,d3)G1-NNgN(xN,dN)d3策略：由各級(jí)決策組成的決策序列稱為該問(wèn)題的策略 若初始狀態(tài)x1已給，由參數(shù)決策變量dk(xk)Dk(xk)與狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程xi+1yi(xi，di), 設(shè)各級(jí)的決策變量dk(xk)(k1，2,N)均已確定，則整個(gè)決策過(guò)程也就完全確定。決策序列(d1(x1)，d2(x2),dk(xk),dN(xN)就是一個(gè)策略，而且是可行的策略，記作P1,N(x1)，一個(gè)動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題，可能有多種可能策略，即策略中每一決策為允許決策的策略。可行策略之集合稱作“可行策略集合”。對(duì)于x1已給的可行策略集合記作P1,N(x1) 同樣地，若第K級(jí)輸入狀態(tài)xk已確定，則稱決

40、策序列 dk(xk), dk+1(xk+1)，dN(xN)為從xk出發(fā)的一個(gè)子策略，記作Pk,N(xk)。相應(yīng)之子策略集合記作Pk,N(xk)收益函數(shù) 記gk為第K級(jí)的收益，gk輸入狀態(tài)變量xk和決策dk的函數(shù)，稱作第K級(jí)收益函數(shù) gkgk（xk，dk） 動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法與分級(jí)決策方法一樣，只能用于求解其總收益可分為級(jí)收益的這類問(wèn)題，如有下列形式： G1，N= 或G1，N G1，N為從第一級(jí)到第N級(jí)收益的“和”。記GK，N為從第K級(jí)到第N級(jí)各級(jí)收益的“和”，接上式有GK，N= GK，N 當(dāng)決策不同，策略亦不同，各級(jí)的收益函數(shù)的值也隨之而改變，因此總收益GK,N的值也不相同?？梢杂檬找孀鳛楹饬恳粋€(gè)策

41、略方案的優(yōu)劣的主要目標(biāo)。如x1初值已知，若選取了某一可行策略PK,Nd1,d2,dNPK,N(x1)，總收益也隨之而定?？偸找鍳K,N是x1與PK,N的函數(shù)，記作fK,N，用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法解問(wèn)題，就是在可行策略集合中尋求一個(gè)最佳策略p*1,NPK,N，使總收益函數(shù)值為最佳： 1,NOpt G1,N(x1，p1,N)= G1，N(x1，p*1,N) “最佳收益“可以是最小成本（費(fèi)用），也可以是最大獲利.因此在使用最佳收益這一名詞不應(yīng)只理解為收益函數(shù)的最大值。 K,N為第K級(jí)到第N級(jí)的收益和。動(dòng)態(tài)規(guī)劃中常要用到K,N的最佳值 K,NOptGK,N（ ，pK,N）GK,N( , p*K,N) 式中 表

42、示第K級(jí)的輸入狀態(tài)變量不能任意選取，它是由xk-1與dk-1唯一確定的，p*K,N為以 為始點(diǎn)的最佳子策略 1957年Bellman.R.提出了最佳化原理，它是奠定動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法的最基本的原理。該原理為：作為分級(jí)決策過(guò)程的最佳策略具有這樣的性質(zhì)：不論過(guò)去的狀態(tài)和決策如何，對(duì)于由前面的決策所形成的狀態(tài)而言，后面各級(jí)的決策也必然構(gòu)成最佳策略。換句話說(shuō)，即為每個(gè)最佳策略只能由最佳子策略所組成 最佳化原理和動(dòng)態(tài)規(guī)劃遞推公式 1Nk32x1x2x3x4xkxk+1xNxN+1d1d2d3dkdN+g1g2g3gkgN1,Nk,N對(duì)于問(wèn)題的最佳策略p*1，Nd1*，d2*，. ，dK*，. ，dN*總收益則

43、為最佳收益f1,NOpt G1,N(x1，p1,N)= G1,N(x1，p*1，N)。 初值x1已給，從第1級(jí)到第K級(jí)，各級(jí)狀態(tài)變量由前面的決策所決定：由x1到d1*,有x2*y1(x1*,d1*);再由d2*, 有x3*y2(x2*,d2*); ,xK*yK-1(xK-1*,dK-1*), 那么，對(duì)于xK*，從第K級(jí)到第N級(jí)決策必然是最佳（子）策略，即 pK，N p*K，NdK*，. ，dN* 這一點(diǎn)可由前面最短路徑問(wèn)題清除地看出。從P到Q的最短路徑為PDBFQ。對(duì)于B到終點(diǎn)Q，其最短路徑一定是BFQ1Nk32x1x2x3x4xkxk+1xNxN+1d1d2d3dkdN+g1g2g3gkgN

44、1,Nk,N 利用最佳化原理，可以把一個(gè)多級(jí)決策的問(wèn)題的求解過(guò)程看成是一個(gè)連續(xù)遞推過(guò)程，由后向前逐步推算。在求解時(shí)，各級(jí)以前的狀態(tài)和決策，對(duì)其后面的子問(wèn)題來(lái)說(shuō)，只不過(guò)相當(dāng)于該級(jí)的初始條件，它并不影響后面過(guò)程對(duì)最優(yōu)（子）策略的選擇。這樣，就把一個(gè)N級(jí)決策問(wèn)題按級(jí)從后面向前分成N個(gè)相互聯(lián)系的子問(wèn)題，其中每一個(gè)子問(wèn)題均是一個(gè)比原問(wèn)題簡(jiǎn)單得多的優(yōu)化問(wèn)題，且每一個(gè)子問(wèn)題的求解僅利用它的下一階段（即下一級(jí)到末級(jí)）子問(wèn)題的優(yōu)化結(jié)果。對(duì)N個(gè)子問(wèn)題依次求解，最后即可求得原問(wèn)題的最優(yōu)解。據(jù)此討論，可以給出動(dòng)態(tài)規(guī)劃遞推方程 為了使遞推方程的關(guān)系一致，對(duì)第N級(jí)的輸出狀態(tài)變量xN+1，規(guī)定有N+1，N(xN+1)C 邊

45、界條件 這里C是一個(gè)常數(shù)，其值可由邊界條件來(lái)確定，在最短路徑問(wèn)題中第四級(jí)的輸出狀態(tài)x4只能取終點(diǎn)Q，此時(shí)有5,4(Q)0 對(duì)于收益函數(shù)的和為通常意義下的和GK，N1KN則有K，N(xk)Opt (gk(xk，dk)+fk+1，N(xN+1) dk(xk)Dk(xk)xkXK再加上狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程 xk+1yk（xk，dk（xk） 動(dòng)態(tài)規(guī)劃解法 因此本例應(yīng)從第2（N2）級(jí)開始求解。當(dāng)N2時(shí)，第2級(jí)是這樣一個(gè)規(guī)劃問(wèn)題。即在約束條件為x2-2d20 (不應(yīng)出現(xiàn)剩余水為負(fù)值)d20 (供水量不為負(fù)值) 解得： d2d20d20.5x2要使第2級(jí)收益函數(shù)g2(x2, d2)0.8d2為最大,d2 , max

46、 d2= 0.5x2，d2*(x2)0.5 x2，而第2級(jí)的最佳收益 2,2(x2)0.80.5x20.4 x2現(xiàn)以上節(jié)中的例1說(shuō)明，很顯然，這是一個(gè)初值問(wèn)題。對(duì)于初值問(wèn)題，一般采用逆推求解 12x1=30d1d2x2=x1-4d1x3=x2-2d21d10.8d2動(dòng)態(tài)規(guī)劃是分級(jí)決策方法和最優(yōu)化原理相結(jié)合當(dāng)N1時(shí)第1級(jí)受約束于x1-4d10, d10, 即d1d10d10.25x1 使1，2級(jí)的總收益最大G1,2g1(x1，d1)+1,2(x2)d1+0.4x2為了求出第一級(jí)的最佳決策d1，利用動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)移方程x2x1-4d1 代入G1,2g1(x1，d1)+1,2(x2)d1+0.4x2得:G1

47、,2d1+0.4x20.4x1-0.6d1在d1的允許決策集合之內(nèi)：0d10.25x1，使G1,2最大，則應(yīng)選取d1(x1)0，為此有1,2(x1)max G1,20.4x1 因 x130, d1(x1)0，則 x2x1-4d130-030而 d2(x2)0.5x20.53015總最佳收益 1,2(x1)0.4x10.43012（億元） 根據(jù)上述求解過(guò)程， N級(jí)決策變量的動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法可以歸納如下：將問(wèn)題按決策變量分成N級(jí)，各級(jí)的狀態(tài)變量，決策變量和級(jí)收益函數(shù)如下圖：2. 當(dāng)給定了初值x1，計(jì)算從最后一級(jí)向前逐級(jí)進(jìn)行。對(duì)于第N級(jí)，則是確定第N級(jí)的最佳決策值d*(xN)，以使第N級(jí)的收益為最佳，即

48、滿足 N,N(xk)Opt gN(xN，dN) 1Nk32x1x2x3x4xkxk+1xNxN+1d1d2d3dkdNg1g2g3gkgN1,N注意:由于第N級(jí)前面各級(jí)的決策尚未作出，第N級(jí)的輸入狀態(tài)變量xN亦未定，因此由上式求第N級(jí)的最佳決策值dN只能是xN的函數(shù)，或稱為參數(shù)最佳決策d*N (xN)，而只當(dāng)xN定后，才能最終定出決策值dN*dN*(xN)是xN的函數(shù)，故N,N也為xN的函數(shù)?？蓪憺?N,N(xN) （3）在求出第N級(jí)的參數(shù)最佳決策d*N (xN)和最佳收益N,N(xN)后，同理可求出第N-1級(jí)的參數(shù)最佳決策由第N-1級(jí)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程xNyN-1(xN-1)和 從第N-1到N級(jí)的

49、收益和函數(shù) GN-1,NgN-1(xN-1, dN-1)N,N(xN)利用“最佳化原理”，上式第二項(xiàng)為第N級(jí)的最佳收益，也就在確定第N-1級(jí)的最佳決策d*N-1 (xN-1)時(shí)，認(rèn)為N-1級(jí)以后的子策略（即第N級(jí)的決策構(gòu)成的策略）已為最佳策略。通過(guò)可求最佳參數(shù)決策d*N-1 (xN-1)(4)按照由后向前的次序逐級(jí)計(jì)算，到K+1級(jí)，則有從K1級(jí)到N級(jí)的最佳收益函數(shù)K+1,N(xK+1)和參數(shù)最佳決策序列d*K+1(xK+1), d*K+2(xK+2),由此可列出從K級(jí)到N級(jí)的收益函數(shù)GK,NgK(xK,dK)K+1，N(xK+1)通過(guò)第K級(jí)的收益函數(shù)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，可求得第K級(jí)的參數(shù)最佳決策d

50、*N(xN)和K級(jí)的最佳收益函數(shù)K,N(xK),即動(dòng)態(tài)規(guī)劃基本方程遞推方程(5)當(dāng)計(jì)算到第一級(jí)時(shí)，則有G1,Ng1(x1, d1)f2,N(x2) 求出d*1(x1)，因初值x1是已知的，這樣第一級(jí)決策d*1(x1)就可確定，通過(guò)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，可逐個(gè)確定d*2 d*3，d*N,從而得到最佳策略d*2, d*3，d*N。對(duì)于初值問(wèn)題，x1已給，亦可按由前向后的順?biāo)惴ㄇ蟪鲎罴褯Q策序列第一步（逆推）K=N d*N(xN)K=N-1 d*N-1(xN-1) K=1 d*1(x1)第二步（順推）x1 d*1xi+1=yi(xi,di) d*2 dNxi+1yi(xi) N+1，N(xN+1)C邊界條件遞

51、推方程狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程余留階段收益面臨階段收益K-N級(jí)最佳收益初值問(wèn)題動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型初值問(wèn)題動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解過(guò)程逆推 得參數(shù)最優(yōu)決策：d*1(x1)， d*2(x2)， d*N(xN)132d1d2d3x1=4x2=x1-d1x3=x2-d2x4=x3-d3=0g1(x1,d1)g2(x2,d2)g3(x3,d3)G1-3例2 在三個(gè)電網(wǎng)中共建四座規(guī)模相同的電站。電網(wǎng)中電站增加，電網(wǎng)供電區(qū)的社會(huì)受益也增加，具體數(shù)據(jù)如下表。為使三個(gè)電網(wǎng)總的社會(huì)受益最大，每個(gè)電網(wǎng)應(yīng)建多少座電站？ xi+1yi(xi) N+1，N(xN+1)C邊界條件遞推方程狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程表1令：4，3(x4)0當(dāng)k3時(shí)，有x3表2當(dāng)K2時(shí)，

52、有遞推關(guān)系以狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程x3x2d2代入得對(duì)于x2得每一個(gè)給定值，可求出d2得取值范圍D2(x2)；然后對(duì)于d2的每一個(gè)可能值，求得x3x2d2，在上表中查出相應(yīng)的3,3(x3)的值，計(jì)g2(x3，d2)3,3(x2d2)，最后確定最大值，即為在給定的x2之下的2,3(x2) 當(dāng)x22時(shí)，當(dāng)d20，x3x2d2202g2(x2，d2)3,3(x3)01212當(dāng)d21，x3x2d2211g2(x2，d2)3,3(x3)141024當(dāng)d22，x3x2d2220g2(x2，d2)3,3(x3)18018 max12，24，1824，而d21，x31，填入下表中，類似地可以算出當(dāng)x2等于其它值時(shí)的2,

53、3(x2)的值及相應(yīng)的d2，x3，填入下表中x2表3當(dāng)K=1時(shí)，由遞推關(guān)系 以狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程x2x1d1代入得 計(jì)算結(jié)果列于表4，由表4可知d12，x22。由表3，當(dāng)x22時(shí)d21，x31。再由表2，d31，即三個(gè)電網(wǎng)修建電站數(shù)分別為2，1，1?？偣╇娛找鏋?0億元/年 表4上面介紹的例子或是始點(diǎn)固定的，或是終點(diǎn)固定的問(wèn)題 例6 某廠新購(gòu)某種新機(jī)床125臺(tái)。據(jù)統(tǒng)計(jì)，這種設(shè)備5年后將被其它新設(shè)備所代替。此機(jī)床如在低負(fù)荷狀態(tài)下工作，年損壞率為20%，年利潤(rùn)為6萬(wàn)元/臺(tái)，如在高負(fù)荷狀態(tài)下工作，年損壞率為50%，年利潤(rùn)為10萬(wàn)元/臺(tái)。應(yīng)如何安排這些機(jī)床的生產(chǎn)負(fù)荷，才能使5年內(nèi)獲得最大的利潤(rùn)？每一年為一級(jí)

54、，共劃分為5級(jí)。設(shè)第K年年初完好機(jī)床臺(tái)數(shù)為第K級(jí)的輸入狀態(tài)變量xK，第K年安排高負(fù)荷狀態(tài)下工作的機(jī)床臺(tái)數(shù)dK為決策變量，則低負(fù)荷狀態(tài)下工作的機(jī)床臺(tái)數(shù)為xKdK臺(tái)。于是第K年可得利潤(rùn)為 10dK+6（xKdK）4dK+6xK因此得遞推方程因二種負(fù)荷下機(jī)床損壞率為20,50，故第K+1年年初得完好機(jī)床臺(tái)數(shù)為 狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程 因?yàn)?年后機(jī)床將被新設(shè)備代替，因此當(dāng)K5時(shí)，遞推方程右式可記作0，問(wèn)題解算過(guò)程如下 當(dāng)K=5時(shí)，有由于是d5得單調(diào)上升函數(shù)，d5=x5得 當(dāng)K4時(shí) 將轉(zhuǎn)移方程 代入上式，得由于 是d4得單調(diào)上升函數(shù)，得d4x4，于是 4.4 區(qū)域水資源供需分析方法水平年法1系列法2典型年法3區(qū)域

55、水資源供需分析方法的分類區(qū)域水資源供需分析：掌握未來(lái)一段時(shí)期區(qū)域需水能夠滿足的程度。通常我們并不針對(duì)未來(lái)每一年去分析，而是選擇幾個(gè)代表年去分析，通過(guò)對(duì)代表年的分析，基本掌握區(qū)域水資源供給與需求的態(tài)勢(shì)。選擇出的代表年，要能夠反映區(qū)域發(fā)展不同階段社會(huì)經(jīng)濟(jì)達(dá)到的水平、相應(yīng)的需水水平和水資源開發(fā)利用水平，所以通常稱其為水平年?，F(xiàn)狀年需水量4.4 區(qū)域水資源供需分析方法水平年法1對(duì)于給定的水平年：（1）預(yù)測(cè)區(qū)域內(nèi)各分區(qū)各部門的需水量。（2）綜合考慮區(qū)域內(nèi)水資源條件、需水要求、經(jīng)濟(jì)實(shí)力、技術(shù)水平等因素，作出水平年水利工程建設(shè)的初步安排。（3）根據(jù)預(yù)測(cè)的需水量和相應(yīng)的水利工程安排情況，按照可供水量計(jì)算方法，作水資源長(zhǎng)系列的逐年分析計(jì)算，以掌握未來(lái)不同來(lái)水條件下區(qū)域水資源供需狀態(tài)。4.4 區(qū)域水資源供需分析方法現(xiàn)狀年需水量分析農(nóng)業(yè)需水量系列一般來(lái)說(shuō)，區(qū)域內(nèi)各概化用戶要求的供水保證率是不同的。生活、工業(yè)用戶的保證率高，農(nóng)業(yè)用戶的保證率可低一些等。在計(jì)算中要予以考慮。通過(guò)對(duì)長(zhǎng)系列調(diào)