量生產(chǎn)系統(tǒng)中的產(chǎn)品種類和垂直差異

1、 批量生產(chǎn)系統(tǒng)中的產(chǎn)品種類和垂直差異Denis Z. Yu*Solof usns，Crkson Universiy, P.O Box 579, otdam,1399, USA摘要:我們開發(fā)一個集成建?？蚣?研究了壟斷公司的決策的產(chǎn)品多樣性和相關生產(chǎn)批量打算垂直差異化的產(chǎn)品以及設計質(zhì)量屬性。客戶是異構的邊際估值的產(chǎn)品質(zhì)量水平和使他們的購買決策效用函數(shù)最大化的價格和質(zhì)量。我們的要緊觀點是公司的最優(yōu)數(shù)量的產(chǎn)品變異是由一個參數(shù)是一個函數(shù)的市場大小和政府運作有關的成本,如設置和庫存持有成本。其參數(shù)能夠是解釋為相對成本的生產(chǎn)技術。更廉價的生產(chǎn)技術為公司提供了機會,生產(chǎn)更多的產(chǎn)品變體。更昂貴的生產(chǎn)技術會減少

2、產(chǎn)品種類,降低產(chǎn)品的質(zhì)量,并減少總市場覆蓋率(比如,市場覆蓋的百分比)。我們的結果表明,生產(chǎn)產(chǎn)品種類總是對一個給定的生產(chǎn)技術,只要每個客戶段生成非零利潤。此外,該公司的訪問客戶的偏好信息能夠提高盈利能力通過更高的質(zhì)量水平和提高市場覆蓋率。關鍵詞：產(chǎn)品生產(chǎn);產(chǎn)品種類;垂直差異;經(jīng)濟產(chǎn)物批量生產(chǎn)規(guī)模；生產(chǎn)線設計odct vari d veical dfferentato ina atch prodution syteDeni .Y*Scol of Busiess，Clarkon Uieriy， . Box 579, Posdm, NY 1699, USbsract:edeop itegatd de

3、lng frwortost onoolis firsdecons o podct aety andrelteprocnbac plaig forveticaly diffeentied poucs alon esign qualty attribues.Cstrs are hterogeeos in thir argnal valuts of h podut quality leveland make teir urchase deisonso maximize tity fncio f rie a qulity. Ou ey nghishfms optimal nuber o prodct

4、arant drmined byaarameter whchs unction o market sie and pations-reld costs such asetup and inventor hldingcos. Th parameter ca be tereedsthe elaive costf ruco thnoloy.s eensivpoutioteology pvides thefr oportnit to produemr prdc rant. ore xpenive pduction technolgy result in es rdct ariety， lower pr

5、octuaity,and esstotal market overage(i., rctge f the cveedmarket).resltiniaes tatproucing prodct arety is alas eneficil fo a ven production technology aslog as ah ustomeregmnt gertes nonro pofit In dditon, the fm access o te custmers preferece informioncan icreae ofiability er quaity leves andicreas

6、ed mrket corag.Kewords:Poduction;Podut vaity;etcl dffeetition；Economic rouctnatch sizeProut line esign 引言 提供產(chǎn)品品種能夠關心公司更好地匹配客戶的偏好與產(chǎn)品設計特性和增加銷售量在異構的消費者市場。缺點是,大量的產(chǎn)品變量接近生產(chǎn)和減少的規(guī)模經(jīng)濟而增量銷售量和市場份額的增加導致操作和物流費用。在實踐中我們觀看這兩個例子的單一產(chǎn)品和產(chǎn)品多樣化策略方面的產(chǎn)品。那個問題是什么是最優(yōu)策略當一個公司制造的產(chǎn)品種類的決定。制造商在汽車和反面-蘇美爾電子行業(yè)經(jīng)常努力尋求平衡增加產(chǎn)品種類和結果之間不經(jīng)濟如更高

7、的生產(chǎn)規(guī)模的設置和庫存持有成本。盡管眾所周知,最優(yōu)的產(chǎn)品種類決策涉及跨職能的市場之間的交互和操作(Karmaar,96）,幾乎沒有證據(jù)解決這些問題通過一個集成的方法。本文提供了一個程式化模型研究壟斷公司的產(chǎn)品在一個統(tǒng)一的框架的各種決定并提供理論和新見解全然問題是阻止-礦山最優(yōu)產(chǎn)品種類。 為促進我們的分析,我們認為如此一個建模環(huán)境,壟斷者公司提供差異化的產(chǎn)品這一事件成為一個批量生產(chǎn)系統(tǒng)。該公司需要使產(chǎn)品設計質(zhì)量、價格和生產(chǎn)批次的決定，同時完全生產(chǎn)設置成本和庫存持有成本。這類型的制造系統(tǒng)是常見的時候,制造商需要提早生成產(chǎn)品客戶的需求。該公司在我們的研究生產(chǎn)技術,同意不同產(chǎn)品質(zhì)量標準中描述了該產(chǎn)品設

8、計屬性和屬性,更多的是為首選鑒于價格(例如一輛雷克薩斯勝于一個凱美瑞,4個。高清電視是32更可取。一個)。產(chǎn)品變量與不同的質(zhì)量水平相似但他們不是完美的替代品,因為所有的客戶有不同的估值的產(chǎn)品質(zhì)量。每個客戶使購買決定基于最大化效用函數(shù)的價格和質(zhì)量水平。該公司能夠?qū)崿F(xiàn)利潤最大化的市場細分通過認真地定價產(chǎn)品變量。公司擁有一批生產(chǎn)系統(tǒng)設置費用只要系統(tǒng)開始處理一個批處理產(chǎn)品。單位生產(chǎn)成本的每個產(chǎn)品是一個凸遞增函數(shù)的質(zhì)量水平。有一個資本控股與成本有關的半成品（WP)存貨。增加產(chǎn)品種類明顯增加生產(chǎn)裝置在如此一個和庫存積存批量生產(chǎn)系統(tǒng),并隨后施加負面阻礙公司的總體成本結構。因此,該公司差不多共同決定最佳的產(chǎn)品

9、種類和經(jīng)濟生產(chǎn)批次。我們的分析從單一的產(chǎn)品情況。我們探究差不多收入之間的權衡,生產(chǎn)設置，和發(fā)明的緣故保守黨控股(資本的機會成本）。通過考慮公司的提供的兩個不同產(chǎn)品,我們識不極限阻礙因素的產(chǎn)品種類和分析公司通過使用一個職位產(chǎn)品質(zhì)量打算。我們的研究產(chǎn)品種類最終擴展到多的情況兩種產(chǎn)品?，F(xiàn)有的經(jīng)濟和市場營銷文獻發(fā)覺,產(chǎn)品種類的極限存在由于固定成本或任何類型的前期成本生產(chǎn)系統(tǒng)。我們的結果顯示那個固定生產(chǎn)設置成本只是其中一個阻礙因素產(chǎn)品品種。事實上所有的政府運作有關的成本和市場大小確定最佳要求通過一個參數(shù)，品種這能夠被認為是生產(chǎn)技術的相關費用。用一個不太昂貴的技術,該公司能夠產(chǎn)生更多的產(chǎn)品變量和達到更高的

10、市場覆蓋。2 文獻綜述 這項研究在生產(chǎn)線設計和產(chǎn)品種類有特不不同的集中在經(jīng)濟學、市場營銷和運營人治理文獻。這項研究在經(jīng)濟學和市場營銷文學強調(diào)生產(chǎn)線設計和相關的定價決定為了有效地提取客戶的盈余。在具有開創(chuàng)性的工作產(chǎn)品差異化，ssa and Rsen(1978)現(xiàn)在一個垂直分異模型和推導出最佳定價打算提出一個異構客戶人口?？蛻舻钠迷谫|(zhì)量上是連續(xù)在一個有界范圍和可變成本的產(chǎn)品是一個凸遞增函數(shù)的質(zhì)量水平。Hteling(1929)在內(nèi)簡化一個位置模式假設客戶沿著直線均勻分布。ancaster （1975)延伸Hoteing的選址模型擴展調(diào)查最優(yōu)產(chǎn)品種類而使社會福利最大化。一項調(diào)查在類似的類型的產(chǎn)品種

11、類模型提供了Lancase(9)。通過假設市場是由獨特的客戶群體,Morthy(984）開發(fā)了框架模型研究壟斷者的生產(chǎn)線設計策略。Kiand hae (200)擴展模型來研究產(chǎn)品設計問題與多個質(zhì)量類型屬性和表明,單一產(chǎn)品從來不是最優(yōu)的兩個段案例。這項工作由illa-Bo (199)遵循類似的框架和認為分銷渠道。Choudha et al(205)利用垂直分異模型來研究的阻礙個性化的定價在公司的選擇在質(zhì)量。作者假設完全了解客戶的意愿支付（一級價格卑視)。考慮質(zhì)量依靠固定成本，Matsubasi et a(29)比較單個產(chǎn)品和全線汽車策略探討負產(chǎn)品種類的阻礙。在所有上述研究,相關操作成本制定為質(zhì)量

12、依靠固定成本或可變成本通常簡化為一個常數(shù)或凸遞增函數(shù)。還有一些其他的報紙考慮產(chǎn)品開發(fā)成本作為設置成本在做產(chǎn)品的設計決策。Krsn and Zhu （06)研究生產(chǎn)線的設計問題,一個家庭進展與固定開發(fā)成本困難的產(chǎn)品和質(zhì)量依靠可變成本在市場的兩個消費者群體。oes and Mendlson(211)提出一個類似的類型的工作進行調(diào)查一個公司的成本結構如何阻礙信息商品沒有可變成本但質(zhì)量依靠開發(fā)成本和工業(yè)產(chǎn)品沒有開發(fā)成本但質(zhì)量依靠可變成本。然而,有一個缺乏研究的集成模型的產(chǎn)品線和產(chǎn)品的定位和設計考慮政府運作有關的成本,如設置和庫存持有。我們的研究增加了那個流的文學通過包括固定的生產(chǎn)成本和庫存持有成本和營

13、運成本的含義上選擇這些公司的產(chǎn)品系列設計。 在運營治理文獻生產(chǎn)線的設計和產(chǎn)品品種、市場分割通常和客戶的選擇和相關的定價決策的可能不被集成在模型中。Benjafar ad Gup（198）調(diào)查效應的調(diào)度和批處理大小的政策在選擇的產(chǎn)品結構和能力的靈活和專用的生產(chǎn)設施為給定數(shù)量的產(chǎn)品和客戶要求。一個聯(lián)合國生產(chǎn)批量打算問題是多產(chǎn)品解決droe （99)來選擇產(chǎn)品種類和生產(chǎn)靈活性。作者表明,增加產(chǎn)品的品種導致更靈活的技術,最佳品種隨著需求和隨設置和持有成本。oson adao(202）地址制造商的產(chǎn)品組合和定價決策在生產(chǎn)系統(tǒng),要么制造商股市或制造商訂購。兩個設置時刻和設置成本考慮到他們的非線性整數(shù)規(guī)劃模

14、型。Gau dHonon(2006)采納一個位置模式(基于霍特林,99年）,研究了單周期庫存分類問題。通過應用一個類似客戶偏好模型,江澤民e al。(06)考慮一個公司的大規(guī)模定制和大規(guī)模生產(chǎn)策略。德賽etal。(01）調(diào)查營銷和開發(fā)公司圖靈權衡模型中有兩個獨特的客戶群體和組件的存在共性。通過使用一個類似的假設兩個獨特的客戶群體,Nesine和泰勒(207)阻礙研究的生產(chǎn)技術制造商的產(chǎn)品系列設計策略與一個coomcrder數(shù)量(經(jīng)濟訂購量）類型的生產(chǎn)模式。金姆和Chhajed（208)考慮有多少產(chǎn)品模塊化提供兩個離散細分市場高和低的估值產(chǎn)品。然而,結果這些現(xiàn)有的模型是con-tiget假設可能

15、產(chǎn)品的數(shù)量變異和相關的細分市場是給定的參數(shù)如此之間的相互關系,產(chǎn)品種類和市場細分決策是被忽視的。我們的工作同意產(chǎn)品定位空間是連續(xù)的,這完全不同于現(xiàn)有的研究如Netessne和泰勒(2007)。 在我們的模型中，可能的數(shù)量的變體產(chǎn)品不再是有限的數(shù)量細分市場。相反，我們的分析有助于我們了解市場細分的決定是由最優(yōu)生產(chǎn)總值品種。因此,我們的結果是截然不同的研究Netsn和泰勒(7)。例如,我們觀看到更昂貴的生產(chǎn)技術會導致更高的總市場覆蓋在一個給定的數(shù)字產(chǎn)品的變體。我們是也能夠跟蹤的行列式產(chǎn)品種類回差不多的阻礙因素的相對成本生產(chǎn)工藝因素，這是可變的生產(chǎn)成本、固定的生產(chǎn)成本,庫存持有成本,以及整個市場規(guī)模

16、。 其余的紙是由以下。第三節(jié)包含建?？蚣芎陀懻搯我划a(chǎn)品的情況下。第四部分提供了該公司的最佳選擇生產(chǎn)線設計和生產(chǎn)批次當兩個垂直提供差異化的產(chǎn)品。一般情況下用提供超過兩種產(chǎn)品被認為是在第五部分。第六節(jié)認為此案中,該公司擁有完全的信息客戶的偏好的質(zhì)量水平。我們最后總結我們的結果和治理在第七節(jié)。所有證明呈現(xiàn)在附錄。3 單一產(chǎn)品 我們先從差不多的案例中，一個壟斷公司生產(chǎn)一個產(chǎn)品,提供一個異構的市場。那個公司需要做決定的產(chǎn)品設計質(zhì)量,銷售價格,經(jīng)濟生產(chǎn)批量大小。單一產(chǎn)品的案例是構建塊的建?？蚣苎芯刻峁┊a(chǎn)品種類。.1 差不多模型和假設 公司的總體目標市場的特點是客戶移民與預定率。到達的客戶在他們的邊際評價的

17、異構的產(chǎn)品質(zhì)量水平。我們使用參數(shù)代表客戶的偏好在質(zhì)量水平。假設有統(tǒng)一的分配優(yōu)化與支持在，1,也確實是講，客戶的非均質(zhì)性的產(chǎn)品質(zhì)量的估值水平均勻分布在所有的移動。均勻分布的假設遵循常見的做法在現(xiàn)有經(jīng)濟文學，模型客戶收入色散(例如,GbsewiczandTse, 99 ；Trole， 88)，這是其他許多研究也采納了作品(如，Choudarye al., 205; Chamberseal., 2006)。一般來講，生產(chǎn)線的設計模型能夠特不復雜和難以解決（一個全面審查的最優(yōu)的產(chǎn)品線設計方法中能夠看到Beloni t l.,00)。我們采納均勻分布的假設,確保易化和促進博覽會的分析研究，但我們的結果的

18、數(shù)值驗證緣故:能夠與支持分布在0,，如發(fā)行版在廣泛的形狀和參數(shù)組合。 我們還假設參數(shù)是私人的信息每個到達客戶和公司只明白分布的。這種假設進行部分第3到第5節(jié)。我們認為此案的公司明白每個客戶的(即完整信息在第節(jié)優(yōu)化)。假設一個客戶只需要一個單位的產(chǎn)品和產(chǎn)品是不同意的在客戶重新分配。客戶讓他們的購買決策的效用最大化他們的消費是定義為一個線性函數(shù)的價格和質(zhì)量水平,是價格,代表質(zhì)量水平。任何客戶已非負效用情愿購買產(chǎn)品。均勻分布的和線性效用函數(shù)導致一個線性需求函數(shù)，不僅是廣泛的采納現(xiàn)存文獻也驗證了經(jīng)驗證據(jù)，如自行車的例子Schmidtn Portus （200）。該公司有如此一個生產(chǎn)技術，單位名單-嚴格

19、凸優(yōu)化成本是遞增函數(shù)的質(zhì)量水平。我們進一步假定單位成本函數(shù)是二次質(zhì)量標準,定義為,就質(zhì)量水平而言，是一個正的測量價值。那個二次可變成本是廣泛應用于經(jīng)濟學和市場文化，如Mthy (1984, 198) ， Vllas-Bas （1998）,andDsai al (2001)。 這項技術同意公司生產(chǎn)產(chǎn)品質(zhì)量問在一系列,該公司擁有一批量生產(chǎn)系統(tǒng)，會有一個固定的生產(chǎn)費用當曾經(jīng)一批產(chǎn)品與一個可行的質(zhì)量標準生產(chǎn)。W庫存持有成本導致由于機會資金成本,這取決于單位成本的產(chǎn)品。我們采納了使用的儲存成本配方tsine a Tylor (20),即庫存持有成本率給出了代表儲存成本的資本。注意,是運作有關的成本參數(shù)而

20、代表了潛在的市場規(guī)模。3.單一產(chǎn)品的要緊結果 公司的決策變量在我們的集成模型中為產(chǎn)品質(zhì)量水平，銷售價格,和生產(chǎn)批量.已知一個產(chǎn)品質(zhì)量水平為，銷售價格為,有且僅有,使作為一個市場分區(qū)變量將整個市場分為兩段，以一個包括客戶的偏好參數(shù)范圍,同時情愿購買此產(chǎn)品。實際的客戶回憶率定義為：，即為購買此產(chǎn)品的顧客的回憶慮。能夠進一步被定義為市場覆蓋率，代表已覆蓋市場的百分比。公司的利潤計算公式為:,這種利潤函數(shù)已廣泛應用于經(jīng)濟學和市場營銷，但它沒有考慮文學的營運成本如設置和庫存持有。在我們的批量生產(chǎn)系統(tǒng),我們將固定的生產(chǎn)成本和庫存持有成本在該公司的利潤函數(shù)通過增加生產(chǎn)批量大小Q作為決策變量。因此,該公司的目

21、標是最大化利潤為： ()在第二個因素是固定的生產(chǎn)成本，第三個因素是平均持有成本制品的庫存。對公式()定義p和h，那么該公司的優(yōu)化問題能夠?qū)憺橐韵碌暮泻偷淖畲蠡瘑栴},而且Q是實際決策變量。 (2）注意,只有最后兩個術語的函數(shù)（2)取決于批量生產(chǎn)規(guī)模Q。因此,只要驗證了邊界情況,接下來我們就能夠解決優(yōu)化問題。給定一個可行的和，那么,那個最優(yōu)經(jīng)濟生產(chǎn)批量大小取決于。把回代入公式（2)，我們能夠把公司的優(yōu)化問題用以下形式表示:。 （3）給定（0，1)，嚴格凹在q解出方程,我們有最優(yōu)的質(zhì)量水平，這就意味著，由于，把代入方程（3），能夠把那個公司的問題轉(zhuǎn)化為含有單一決策變量， (4），假如，一個能夠獲得

22、解決上述封閉決策模型，在下面的定理里進行了總結。定理一：當,最佳市場分區(qū)的決策,最優(yōu)質(zhì)量水平,最優(yōu)銷售價格,經(jīng)濟生產(chǎn)批量大小;,產(chǎn)生的最優(yōu)利潤，依次為,當,該公司沒有任何利潤，最佳的選擇是不生產(chǎn)任何產(chǎn)品。我們能夠通過定義一個參數(shù),來描述生產(chǎn)技術的相關費用，包括相關程序費用（),和市場規(guī)模(）。定理一在生產(chǎn)可行性方面給出了一個重要的結果,表明假如E足夠大,大于,那么該公司生產(chǎn)任何產(chǎn)品差不多上沒有利潤的。換句話講,確實是不值得運用昂貴的技術來投入生產(chǎn)。那個結果通常是忽略了在許多現(xiàn)有的文獻中由于排除政府運作有關的成本。我們的研究復蘇的實踐,產(chǎn)品設計和生產(chǎn)的決定基于集成建?？蚣?。最佳的方法,有以下的情

23、況。情況1 (i),最佳的質(zhì)量水平和銷售價格在市場規(guī)模下增加，在其他花費參數(shù)下減少。 (i)該公司的最大利潤函數(shù)在下增加,在下減少。 請注意,最優(yōu)的價格上漲最優(yōu)質(zhì)量水平,因此他們擁有類似的屬性。明顯增加成本參數(shù)會導致最優(yōu)的價格,均會下降最佳的質(zhì)量水平。為了進一步了解交互產(chǎn)品質(zhì)量之間的設計和批量生產(chǎn)效果，我們需要探究經(jīng)濟生產(chǎn)批量大小的靜力學分析。我們總結結果如下。情況 (i)最佳經(jīng)濟生產(chǎn)批量大小在K或下都增加。 (ii)令 (i)令 毫不驚奇,傳統(tǒng)經(jīng)濟訂購量模型的結果,生產(chǎn)批量大小增加固定的生產(chǎn)成本,在那個地點仍然遵循。然而,這是違反直覺的，隨單位生產(chǎn)成本參數(shù)增加，幾乎完全通過經(jīng)濟訂購量概念將作

24、為庫存持有成本的一部分。依照產(chǎn)品設計和政府運作有關的成本的綜合考慮，該公司回應單位生產(chǎn)成本增加降低產(chǎn)品質(zhì)量水平,它差不多上會導致產(chǎn)品價值降低,從而降低庫存持有成本。因此,之間的折衷固定生產(chǎn)成本和庫存持有成本靠近,增加批量大小來挽救固定成本,同時保持庫存持有成本還在可控范圍內(nèi)。類似的邏輯能夠用來解釋生產(chǎn)批量大小和儲存成本率。因為低而且還在增加，效果增加的成本占主導地位的資本控股，減少了質(zhì)量水平,從而導致減少批量大小來保存庫存持有成本。當足夠高,降低在質(zhì)量水平會拖垮儲存成本顯著(產(chǎn)品價值是凸增加質(zhì)量水平）和固定生產(chǎn)成本扮演更重要角色的權衡。作為一個結果，生產(chǎn)批量大小變得下降g。那個市場規(guī)模在兩種不

25、同的方式。在一個手問N增加l依照經(jīng)濟訂購量的邏輯模型,并在另一方面，增加導致更高的產(chǎn)品價值和因此高庫存持有成本。因此,問N第一次下降l，然后增加l越大。為了解釋這些結果，我們在圖中做了幾點講明,（，如圖1(a)。，如圖1(b）)。圖1 在單一生產(chǎn)情況下的關于和的函數(shù)圖解 我們定義作為總生產(chǎn)成本,包括變量生產(chǎn)成本、固定生產(chǎn)成本和庫存持有成本。當生產(chǎn)一個單一產(chǎn)品，總生產(chǎn)成本 =。因此，總生產(chǎn)成本在所有相關程序花費參數(shù)（）下減少，在市場規(guī)模()下增加。后者的結果是符合共同的直覺從更大的市場需要更多的生產(chǎn)數(shù)量給定一個常數(shù)的市場覆蓋率。然而,這是違反直覺的理解的總生產(chǎn)成本降低在所有成本參數(shù)。顯式考慮之間

26、相互作用的產(chǎn)品設計和生產(chǎn)技術借我們一個直觀的解釋的結果,即該公司提供了較低的產(chǎn)品質(zhì)量水平下昂貴的生產(chǎn)技術,它有助于減少兩個產(chǎn)品價值和庫存持有成本。4 兩種產(chǎn)品 在相對成本的生產(chǎn)技術決定公司的生產(chǎn)可行性在單一產(chǎn)品的情況下?，F(xiàn)在我們想要探究其阻礙產(chǎn)品種類。我們研究那個案例，此案例中公司生產(chǎn)兩種有差不的產(chǎn)品。假設該公司生產(chǎn)兩種質(zhì)量水平分不為和的產(chǎn)品,這兩種產(chǎn)品有垂直差異。令和表示這兩種產(chǎn)品的銷售價格，同時銷售價格是質(zhì)量水平下的價格。顯然我們必須使，不然沒有客戶想要買質(zhì)量較差的產(chǎn)品。一個客戶實際購買高質(zhì)量的產(chǎn)品的函數(shù)為。而他實際購買低質(zhì)量產(chǎn)品的函數(shù)為。關于情愿買高質(zhì)量的產(chǎn)品的客戶，他們應該符合，同時關

27、于情愿低質(zhì)量的產(chǎn)品的客戶來講,他們又符合，同時。條件和被稱作個體理性的約束條件。條件和被稱作激勵相容約束條件。由于非負的價格和質(zhì)量水平,存在，使得，。個體理性和激勵相容約束,關于，確保每個產(chǎn)品收到積極的客戶的需求是等價的。因此,能夠得到一個唯一的使得,。時，客戶傾向于購買高質(zhì)量的產(chǎn)品，時，客戶傾向購買質(zhì)量較低的產(chǎn)品。我們客戶的有用函數(shù)的兩個產(chǎn)品和產(chǎn)生的市場細分,如圖。圖2 當公司生產(chǎn)兩種質(zhì)量水平的產(chǎn)品時顧客的實際函數(shù) 就如我們定義的那樣，和是劃分市場的實際變量。是消費者購買高質(zhì)量的產(chǎn)品的到達比率，是消費者購買低質(zhì)量產(chǎn)品的到達比率。我們定義有效的到達率為和。庫存持有成本率的兩個產(chǎn)品則為和。該公司

28、需要找出當時的最優(yōu)。因此,該公司的優(yōu)化問題在提供兩個質(zhì)量級不能夠制定為: 注意產(chǎn)品的價格能夠替代為。我們重新定義該公司的問題，作為一個把作為決策變量的混合型問題。 （5) 類似的方法中使用單一產(chǎn)品的情況下能夠適用于那個地點。給定任意,經(jīng)濟批量生產(chǎn)規(guī)模,可被描述為: 和 令表示該公司的利潤函數(shù)與決策變量。把和回代入方程(5),得出以下優(yōu)化問題: (6)它是直接展示共同凹在。給定,通過解決一階條件，我們得到的最優(yōu)質(zhì)量水平。解決方案是：, 。 (7)因為所有的質(zhì)量水平必須是積極的,該公司的合理性條件要求,這就意味著。就像在單生產(chǎn)總值情況下,將放回公式（6），我們能夠調(diào)整公司的問題作為一個利潤最大化和

29、市場分區(qū)決策變量，,。 （)能夠證實必須大于。假如條件成立,則利潤方程（8)在時達到最大化。將回代入方程（8)，得到一個有單一決策變量的模型,。 (9)通過解決那個最大化問題,我們描述公司的最優(yōu)產(chǎn)品種類決定在下面:情況3，公司的最優(yōu)選擇的產(chǎn)品種類: (i)若,該公司生產(chǎn)任何產(chǎn)品差不多上沒有利潤的。 (ii)若，該公司最佳的選擇是生產(chǎn)單一產(chǎn)品。(iii）若,生產(chǎn)兩種不同產(chǎn)品更有收益。 上述內(nèi)容表明該公司的產(chǎn)品種類決定完全由E,相對成本的生產(chǎn)技術。這是最優(yōu)的公司提供的產(chǎn)品種類當所有成本參數(shù),a和g是相對小的或潛在的市場規(guī)模夠大,也確實是講,一個更廉價的生產(chǎn)技術。我們擴大產(chǎn)品種類的結果,一般情況下超

30、過兩種產(chǎn)品在第五部分。此外,我們提供該公司的最優(yōu)選擇的市場劃分、質(zhì)量設計和經(jīng)濟生產(chǎn)批量。定理2.當,該公司的最佳市場分區(qū)決策,最佳的質(zhì)量水平，最佳的銷售價格,經(jīng)濟生產(chǎn)批量大小,在下面給出:(i)是獨特的解決方案，在范圍內(nèi)，同時。（ii）(i）由上可得。（iv)可計算出。圖 比較靜力學的市場劃分決定和最優(yōu)質(zhì)量水平。a為關于和的E的函數(shù),b為關于和的K的函數(shù)。此外,我們能夠得出以下屬性的公司的最佳市場分區(qū)和產(chǎn)品設計決策。命題4 當，有以下的內(nèi)容：（i)在范圍內(nèi)增長,在范圍內(nèi)增長（i)在下增長，在下減少，選擇最優(yōu)的質(zhì)量水平和價格屬性:(ii)在下增長，在下減少(iv)在下增長,在下減少相比之下，單一

31、產(chǎn)品的情況下，市場劃分決定的不再是常數(shù)。當提供產(chǎn)品種類時,在E下減少。當時，剛好與84年的Mooy相符合,當考慮營運成本,而且，市場劃分決定減少在所有成本參數(shù)和增加市場規(guī)模。我們展示這些屬性的市場劃分和產(chǎn)品質(zhì)量的決定，如圖3()。圖中還包括土地市場的優(yōu)化分區(qū)決定和質(zhì)量水平的單一產(chǎn)品的情況下。看圖3（b)，E增長到2/27，兩個質(zhì)量水平的下降和低質(zhì)量的方法為零而高質(zhì)量的水平符合質(zhì)量的單一產(chǎn)品。注意實際上代表的是比例的市場覆蓋這兩種產(chǎn)品銷售。下面的結果在市場覆蓋率立即遵循從命題4。推論1 整體市場覆蓋率和市場覆蓋率的優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品在下增長。市場覆蓋的低質(zhì)量的產(chǎn)品在E下減少。因此,當生產(chǎn)技術變得更加昂貴的

32、（E變得更大）,該公司減少了質(zhì)量水平和降低銷售價格補償通過擴大市場覆蓋率,特不是市場覆蓋的高質(zhì)量產(chǎn)品。深化我們的理解之間的交互設計和產(chǎn)品線相對成本的決心制造一定的技術,我們需要比較靜力學的經(jīng)濟生產(chǎn)批量大小.這些結果顯示在命題5。命題 經(jīng)濟生產(chǎn)批量大小有以下的內(nèi)容：()在下增長,在下減少（ii)在K和下增長(ii）令，有且僅有一個使得,()令，有且僅有一個使得,我們提出一個特不有味的結果在命題5,經(jīng)濟生產(chǎn)批量大小的高質(zhì)量產(chǎn)品的變化在所有成本參數(shù)和單調(diào)市場規(guī)模而劣質(zhì)產(chǎn)品就表現(xiàn)為單一的產(chǎn)品。比較靜力學的經(jīng)濟生產(chǎn)批次的結果實際上是兩種力量作用于公司的決定,即改變質(zhì)量水平和市場覆蓋成本參數(shù)和市場規(guī)模。他

33、們在相反的方向行動這兩個產(chǎn)品。整體效果取決于力是要緊因素。固定生產(chǎn)成本K和變量生產(chǎn)成本參數(shù)在上有完全相同的效應,如同對單一產(chǎn)品的作用。我們能夠應用類似的邏輯用于單一產(chǎn)品案例來關心我們理解之間的折衷固定生產(chǎn)成本和庫存持有成本。我們第一次通知,市場覆蓋的變化并非總是主導因素變化的經(jīng)濟生產(chǎn)批量大小。市場規(guī)模的增加會導致增加的質(zhì)量水平和降低市場覆蓋優(yōu)質(zhì)的產(chǎn)品。然而,增加的偏移量變化和結果都在一個更大的生產(chǎn)批量大小為了救濟效果增加的固定的生產(chǎn)成本。當持有的資本成本率變得更高,該公司通過減少響應質(zhì)量水平的高質(zhì)量產(chǎn)品的同時擴大其市場覆蓋率。兩個效應主導的變化,從而導致減少生產(chǎn)批量大小保存庫存持有成本。比較靜

34、力學的與單一產(chǎn)品的結果是完全一樣的。我們講明的屬性,在的期望下，圖()。房地產(chǎn)的總生產(chǎn)成本在單一產(chǎn)品的情況下也能夠推廣到如此的兩個產(chǎn)品。我們獲得的總生產(chǎn)成本由以下兩個產(chǎn)品。推論2 令表示總生產(chǎn)成本當公司產(chǎn)生兩個垂直差異化的產(chǎn)品。我們有。總生產(chǎn)成本在市場規(guī)模下增加和在操作成本參數(shù)相關,K,下減少。推論2 表明一個昂貴的生產(chǎn)技術導致的減少產(chǎn)品價值都和庫存持有成本,從而減少總生產(chǎn)成本。為了更好的理解那個利潤貢獻每種產(chǎn)品的總利潤，我們定義了相對利潤衡量的高質(zhì)量的產(chǎn)品,低質(zhì)量的產(chǎn)品，分不是高質(zhì)量和低質(zhì)量產(chǎn)品的最優(yōu)利潤,是該公司的最優(yōu)利潤。下面的結果提供了屬性的相對利潤措施。圖4比較靜力學的經(jīng)濟生產(chǎn)批量大

35、小的兩個產(chǎn)品模型。a為關于和的的函數(shù),命題六 在E下增長,在E減少。b為關于和的函數(shù)。我們繪制相對利潤措施,關于為的方程,如圖5那個數(shù)字講明了高質(zhì)量的產(chǎn)品提供更多的利潤總額（超過80%)。此外，我們繪制最優(yōu)利潤的單一產(chǎn)品和兩個產(chǎn)品，如圖5（b）。結果表明,它更有利于產(chǎn)生兩個不同產(chǎn)品和福利減少營運成本的。圖5 單一產(chǎn)品與兩種產(chǎn)品的相關利潤和總利潤模型。為關于和的的函數(shù),b為關于單一產(chǎn)品最優(yōu)收益和兩種產(chǎn)品收益的的函數(shù)。5 n種產(chǎn)品我們擴展我們的建模框架來研究公司的產(chǎn)品種類和n種產(chǎn)品的決定。當生產(chǎn)技術是更昂貴的，也確實是講。足夠小,我們假設產(chǎn)品提供質(zhì)量水平,。N種產(chǎn)品的價格滿足。個體理性和激勵相容約

36、束，確保每個產(chǎn)品收到確定的客戶需求需要種產(chǎn)品市場分區(qū)變量同時要滿足條件產(chǎn)品i的有效到達率被定義為，。一個圖解講明客戶的有用功能和市場分區(qū)變量n產(chǎn)品圖6所示。圖 當公司生產(chǎn)種質(zhì)量水平的產(chǎn)品時，客戶的效用函數(shù)。(）我們定義矢量庫存持有成本的產(chǎn)品i為該公司希望找出最優(yōu)質(zhì)量水平,銷售價格和經(jīng)濟制造一定批量大小決心為每個產(chǎn)品的同時最大化利潤總額。我們制定公司的問題如下:。 （1)給定，經(jīng)濟生產(chǎn)批量大小由決定,替代的表達式和換算為: (11)用經(jīng)濟生產(chǎn)批量大小向量回代入方程(0）,能夠改寫該公司的優(yōu)化問題為： (2)給定， 它是直接展示共同凹在(見附錄)。依照一階條件對的期望，我們可得到最優(yōu)質(zhì)量矢量作為的

37、方程,（) (13）因為所有的質(zhì)量水平應該是確定的,因此要求如同前面一樣,將回代入方程(2）收益率的優(yōu)化問題的決定變量為 （4)應用類似的方法解決這兩種產(chǎn)品的情況下模型(1),我們能夠獲得公司的最優(yōu)產(chǎn)品系列設計決策的產(chǎn)品情況。以下結果描述公司的最優(yōu)選擇的產(chǎn)品種類。命題7 假設N是最大數(shù)量的產(chǎn)品變體，能夠支持的生產(chǎn)技術。我們定義為的最大值，同意公司生產(chǎn)N產(chǎn)品。，當時，能夠由解決以下以個變量組成的個方程來得到:。 此外，當時，N是生產(chǎn)產(chǎn)品的最佳數(shù)量變異。 表一表明當時,適合生產(chǎn)種產(chǎn)品,更多的值能夠通過數(shù)值求解系統(tǒng)的方程來求出，在命題7中。顯然變體產(chǎn)品的數(shù)量N是減少為E增加。E最優(yōu)產(chǎn)品種類能有效決定

38、提供。市場大小促進產(chǎn)品種類而其他營運成本參數(shù)防止公司提供更多的產(chǎn)品變體。以下的屬性最佳市場分區(qū)變量直接來自于命題。表1 產(chǎn)品種類變量和臨界值。 ,變量數(shù)量 0.26 3 .013282 4007607 50.00720 60.0475 70.00293 80.008 0.0085 10圖7 最佳市場分區(qū)變量函數(shù)的E(4個變量）。推論3 假設N是變體產(chǎn)品的數(shù)量，是最佳的市場劃分決定。那么,在下減少。高質(zhì)量產(chǎn)品的市場覆蓋在下增長，低質(zhì)量產(chǎn)品的市場覆蓋在下減少。我們現(xiàn)在有用見解治理產(chǎn)品種類從數(shù)值研究N產(chǎn)品情況。我們以圖形方式講明了進化的最佳市場分區(qū)變量作為函數(shù)的在圖,以時為例。讓代表最佳市場分區(qū)變量

39、單一產(chǎn)品案例，市場劃分變量表示產(chǎn)品，當公司生產(chǎn)j種產(chǎn)品變體時。關于N的情況那個符號變體與一個用于推論3:。圖7還肖像的相對定位的變體產(chǎn)品在一個產(chǎn)品線。一個直接的觀看是,整體市場覆蓋率增加但產(chǎn)品質(zhì)量提供一個較小的最高細分市場比往常當我們增加數(shù)量的產(chǎn)品變體從到。使用類似的符號,圖描述了相應的行為的最優(yōu)質(zhì)量水平相同示例。當我們增加產(chǎn)品種類從到變體,一個新的低端產(chǎn)品質(zhì)量比之前任何較低介紹了產(chǎn)品的線,而質(zhì)量的高端產(chǎn)品是增加的。同樣，產(chǎn)品的質(zhì)量2,在新的產(chǎn)品線是提高相關于同一等級的產(chǎn)品在前面的產(chǎn)品線。從市場分割的角度來看,整個市場覆蓋率增加通過增加產(chǎn)品品種。然而,這擴大了市場覆蓋面是由于擴大醫(yī)保覆蓋范圍的

40、低端質(zhì)量譜,而高端產(chǎn)品填補了的需要細分市場比往常小。圖8 最佳質(zhì)量水平的的函數(shù)（4個變量）?？傊?所有相關的成本（即,單位成本、固定成本和庫存持有成本）和市場因素造成的行列式的最佳產(chǎn)品種類通過參數(shù)E,這在一個平方根型公式強調(diào)市場規(guī)模作為主持人,和固定的生產(chǎn)成本和庫存持有成本產(chǎn)生更高的產(chǎn)品種類。關于一個給定的數(shù)量的產(chǎn)品變體，如支持的因素產(chǎn)品種類變得更強(E降低)公司的回應減少其總市場覆蓋率通過增加的質(zhì)量這方面,高收入和低端產(chǎn)品。那個戰(zhàn)略強調(diào)偏愛會議通過更高質(zhì)量的產(chǎn)品的需求,大多數(shù)的產(chǎn)生的利潤來自高端產(chǎn)品。然而，當變體產(chǎn)品的數(shù)量增加,公司能夠增加總市場覆蓋率通過引入一個新的低端產(chǎn)品質(zhì)量不及之前的產(chǎn)

41、品但質(zhì)量水平的所有其他變體相關于他們的改進之前的值。因此，高端產(chǎn)品的質(zhì)量也得到了提高并要覆蓋一個較小的細分市場。全部信息在之前的章節(jié)中,我們假設公司沒有對每個客戶的信息在質(zhì)量上的偏好。假如公司擁有完整的客戶的偏好信息,即每個到達客戶的眾所周知,產(chǎn)品能夠定價提取所有客戶的盈余。換句話講,我們想調(diào)查充分信息的價值,當公司的機會客戶特不卑視。在單一產(chǎn)品情況下,假如市場覆蓋率為(時，顧客會購買該產(chǎn)品),當為時,公司操縱銷售價格，這使得客戶的有用程序零,例如,。該公司的利潤函數(shù)如下:依照類似的解決過程的第三節(jié),我們解決公司的利潤最優(yōu)化問題,通過以下內(nèi)容，我們總結了最優(yōu)解決方案。命題8 在單個產(chǎn)品的完全信

42、息中,，.令代表最優(yōu)的解決方案組件部分信息(第三節(jié))?；叵胍幌?關于這種情況下的市場覆蓋面是,而關于全信息，專門明顯，。因此，該公司還提供了更大的完整信息市場覆蓋面,賣更高質(zhì)量的產(chǎn)品和高收入利潤而設置更大的生產(chǎn)批次。由于,在完全信息公司是有利可圖的,一個更廣泛的E值的范圍。比較靜力學的與相似?？紤]現(xiàn)在的情況下,公司銷售兩個分化產(chǎn)品以兩段前來的顧客。時，在零效用下以的價格購買高品質(zhì)的產(chǎn)品。相似的，時,在零效用下以的價格購買低品質(zhì)的產(chǎn)品。因此，全部的市場覆蓋為。該公司的利潤方程為使用類似的技術在第四節(jié)得到:命題 在完全信息和兩個產(chǎn)品在專用的設施，假如，公司的最優(yōu)產(chǎn)品定位決策,最優(yōu)質(zhì)量水平,和最優(yōu)生

43、產(chǎn)批量大小分不為：(i）是下面式子唯一的解決方案范圍為,橫跨間隔,超過范圍。(i)。(iii) 注意，大于。由于,則能夠表明因此,與完整的信息該公司生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量更高的利潤和更多提供了更大的市場覆蓋率通過較大的生產(chǎn)批次。比較靜力學的最優(yōu)產(chǎn)品定位，質(zhì)量和生產(chǎn)批量大小差不多相應的部分信息情況下?？傊?，我們的結果表明，完全信息的客戶首選項能夠關心公司在質(zhì)量提供產(chǎn)品質(zhì)量較高的水平，蓋一個更大的市場,賺取更高利潤。提高盈利能力相關于部分信息例代表公司的價值的增量客戶偏好信息。7 結論產(chǎn)品的種類和質(zhì)量的設計是至關重要的戰(zhàn)略關于一個公司的決策。公司通常會使這些決定在一個市場營銷導向與濃度在定價和方式消費者剩

44、余萃取。人們認為,提供更多產(chǎn)品變量能夠更好地為異構的消費者市場,提高市場占有率。然而,增加產(chǎn)品品種有重大阻礙的操作費用以生產(chǎn)設置和庫存持有。到解決差異的跨功能的考慮產(chǎn)品種類的決定，我們提供了一個完整的建?？蚣芴接懧?lián)合產(chǎn)品品種和經(jīng)濟生產(chǎn)批次的決定一個公司與一批生產(chǎn)系統(tǒng)。我們提供見解在產(chǎn)品質(zhì)量的設計,產(chǎn)品種類祭，和由此產(chǎn)生的市場覆蓋面和分割。在差不多情況與單個產(chǎn)品，我們的模型收益率新結果,該公司選擇的經(jīng)濟生產(chǎn)批量大小。通過考慮到產(chǎn)品設計質(zhì)量,公司的經(jīng)濟生產(chǎn)批量大小不再是單調(diào)的客戶需求率(市場大小)和庫存持有成本盡管事實上單一產(chǎn)品有恒定的市場覆蓋(）。產(chǎn)品質(zhì)量水平本身增加市場規(guī)模和減少在所有營運成本

45、。注意,更改在產(chǎn)品質(zhì)量和價格專門容易改變主導的固定的生產(chǎn)成本相關于庫存持有成本,因此阻礙了經(jīng)濟生產(chǎn)批量大小。該公司的最優(yōu)選擇的生產(chǎn)批次本質(zhì)上反映了折衷創(chuàng)收,方產(chǎn)品優(yōu)化設置減少,和庫存控股操縱。本文回答了那個問題是什么因素決定的最佳的產(chǎn)品種類和兩個或兩個以上的產(chǎn)品變體。在一個批量生產(chǎn)系統(tǒng)，所有成本參數(shù)和市場因素導致該公司的最優(yōu)產(chǎn)品多樣化的選擇。那個答案是具有一個參數(shù)E代表相對生產(chǎn)成本的技術,這表明市場大小一個主持人和所有相關成本障礙增加產(chǎn)品種類。產(chǎn)品變量的數(shù)量能夠唯一由E相關于預先確定的閾值。鑒于產(chǎn)品變異的數(shù)量,該公司的回應更廉價的生產(chǎn)技術(E變小)是減少整體市場覆蓋面,提高設計質(zhì)量的兩個高端和

46、低端產(chǎn)品。因為高端產(chǎn)品貢獻更多的總利潤,該戰(zhàn)略表明,高質(zhì)量提供優(yōu)先考慮在利潤上。盡管如此，更廉價的生產(chǎn)技術導致都在增加總生產(chǎn)成本和該公司的凈利潤。我們發(fā)覺它總是有利于該公司生產(chǎn)的最大可能嗎產(chǎn)品變量的數(shù)量為給定客戶的知識。質(zhì)量偏好同意公司提取所有客戶的盈余通過實現(xiàn)個性化的定價。在完整的存在信息公司提供高質(zhì)量的產(chǎn)品,涵蓋了較大的部分市場,賺取更高的利潤。這項研究的第一步是解決問題的產(chǎn)品種類在一份聯(lián)合營銷和操作框架。在以后研究,我們想理解需求的不確定性的作用并考慮更詳細的生產(chǎn)系統(tǒng)如此的因素作為生產(chǎn)擁擠效應由于排隊和質(zhì)量依靠生產(chǎn)能力的投資。附錄定理1的證明：該公司的優(yōu)化問題(4）取而代之的是最大化的,

47、。由于嚴格凹在上,，令,則能夠得到最佳的，。要保證實際利潤，則需。那么,通過能夠直接獲得以及。命題1的證明：定理1表明因此，最優(yōu)利潤函數(shù)能夠?qū)懗?，的內(nèi)容容易被運用和進展。命題的證明 通過定理1可知此外,由于,則有規(guī)定,則結果如下,相似的,通過定義,能夠得到期望下的的性質(zhì)。命題的證明通過定理1可知，當且僅當時,該公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品是有益的。依照定理2的證明中顯示的的內(nèi)容，令方程（9）中,例如，該公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品或者兩種不同的產(chǎn)品無關緊要。通過求解,得到。因此，只要,關于該公司來講生產(chǎn)兩種不同的產(chǎn)品是有益的。定理2的證明 我們需要。都大于。在證明那個命題之前,先給出以下的結論。引理/輔助定理1 設

48、是的根，。時，利潤方程用指代,當時,為單峰,在時,有最理想的值。證明：令。當。時，易證。當，隨著。因此，。的第一個衍生為,令。因為。因為,因此是一個凸面遞減的函數(shù)。由于,我們有,同時是一個凹面遞減的函數(shù)。另外，我們有，同時當時，。因為.則在區(qū)間上為單峰。最大價值達到，因此，。通過引理可知能夠通過解決方程得到。解出方程能夠得到。在的基礎上,能夠得出最理想的生產(chǎn)質(zhì)量水平和理想的生產(chǎn)批量大小。理想的銷售價格為。命題4的證明 依照，得出。在定理2的證明中,我們定義了函數(shù)。當在區(qū)間內(nèi)為單峰。因此,我們有當時,。則和在E上遞減。因此,和在上遞增，在上遞減。我們有。依據(jù)，可知。同時,。直接表明在上遞增,因此

49、，在上遞增,在。將，代入理想的銷售價格，我們有,可知和在上遞增。推論1的證明:已知在上遞減，則和在上遞增，在上遞減。命題5的證明:將回代入,則可寫成。使用，則在上遞減。因此,在和上遞增。規(guī)定。能夠應用隱函數(shù)定理的一階最優(yōu)性條件，來自。此外,考慮到是關于的一個函數(shù),我們得到因為,。當，。那么，在上遞增。相似的,我們有,當，在上遞減。將代入，。表明在上遞減，在上遞增。此外,我們能夠得到，有且只有一個,使得,同時當時，當時,。因此,存在一個和的一一對應關系。關于給定的,令與一致。因為。那么,變化的結果關于的期望如下，考慮是一個關于的函數(shù)，我們能夠得到,。有且僅有一個，使得,同時當時，。當時，。關于給

50、定的，令與一致。那么,我們就能夠得到在的關系下的的性質(zhì)。命題6的證明：我們能夠重新定義該公司的利潤函數(shù)為，,在那個地點，同時。通過定義和。定義。利用的性質(zhì)，能夠得出。則在上遞減,例如,在上遞增,在上遞減?！霸谏蠟檫B續(xù)凹函數(shù)”的證明：關于任意一種產(chǎn)品，我們有，是代表除了以外的任意產(chǎn)品的質(zhì)量水平。則,只有消極的對角元素與所有非對角的元素是零,那么它是負的明確的。命題7的證明：令,則簡寫為，同時。那么,該公司的最優(yōu)化問題等同于，(15)我們給出。當時，。當產(chǎn)品趨于零利潤,我們有。那么,。是下述方程的解,。則，。設是在一個確定的價格下的最優(yōu)解。最大數(shù)量的可能的產(chǎn)品變體意味著該產(chǎn)品利潤為零，同時能夠被定

51、義為。也是下列方程的解，。給定，最優(yōu)的產(chǎn)品定位決策能夠通過。通過和等式，我們有,和，那么，。因此,是上述方程和等式的解。關于任意,假設該公司生產(chǎn)種不同的產(chǎn)品，是下列方程的解，.構造使得，同時.我們能夠得到.推論3的證明：給定,理想的是方程的解。因此，.例如，.將回代入利潤方程,令,我們有一階最優(yōu)性條件，,令.我們能夠得到那么,凸同時減少在.類似的，它符合條件。因此，凸同時增加在。事實上,它證明和都在上減少。依照歸納法來講,它表明在上減少。命題8的證明：在第三節(jié)中，用收益函數(shù)代替，我們用同樣的方法得到考慮時的該公司的最優(yōu)化問題, (16） （) 目標函數(shù)（16)在時達到最大值。約束條件(1)服從

52、可行性條件,表明。那么,相應的能夠被導出。直接分化給比較靜力學最優(yōu)的解決方案。通過比較在命題8中的,和定理1中的，我們能夠得到.命題9的證明：該公司的收益函數(shù)在那個案例中為,。程序在第四節(jié)收益率公司的優(yōu)化問題將作為決策變量,（18) , (19) , (0) (2)通過對定理的證明，優(yōu)化問題(18)-(1)能夠概括為單個決策變量,。此外,的唯一最優(yōu)解由下式?jīng)Q定,。因為,因此跨越間隔，同時在E上減少。最佳的質(zhì)量水平和經(jīng)濟生產(chǎn)規(guī)模能夠依照它們能夠表示為純函數(shù)而被導出。依照定理2的證明,我們能夠把最優(yōu)解的專用的情況用代替。關于任意的,我們能夠得到,以及,。參考文獻1Belln,A.,reun,.,S

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