2021-2022學年湖南省長沙市寧鄉(xiāng)市數(shù)學高二下期末預測試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學模擬試卷注意事項:1答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2答題時請按要求用筆。3請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1若集合M1，3，N1，3，5，則滿足MXN的集合X的個數(shù)為()A1B2C3D42已知橢圓的左焦點為ABCD3某市

2、一次高二年級數(shù)學統(tǒng)測,經(jīng)抽樣分析,成績近似服從正態(tài)分布,且,則( )A0.2B0.3C0.4D0.54雙曲線的漸近線的斜率是( )ABCD5已知關(guān)于的方程為（其中），則此方程實根的個數(shù)為（ ）A2B2或3C3D3或46函數(shù)的零點個數(shù)是（ ）A0B1C2D37集合，則等于（ ）ABCD8若隨機變量，且，則等于（）ABCD9已知點P為雙曲線右支上一點，點F1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左右焦點，點I是PF1F2的內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓的圓心），若恒有成立，則雙曲線的離心率取值范圍是（）A（1，）B（1，2）C（1，2D（1，10己知三邊，的長都是整數(shù)，如果，則符合條件的三角形的個數(shù)是（ ）ABCD11設(shè)函數(shù)滿

3、足下列條件：（1）是定義在上的奇函數(shù)；（2）對任意的，其中，常數(shù)，當時，有.則下列不等式不一定成立的是（ ）.ABCD12函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則_14調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x（單位：萬元）和年飲食支出y（單位：萬元），調(diào)查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對x的回歸直線方程：=0.245x+0.321.由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加_萬元.15已知，則向量，的夾角為_.16顏色不同的個小球全部放入個不同的盒子中，若使每個盒子不空，

4、則不同的方法有_（用數(shù)值回答）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知、為橢圓的左右焦點，是坐標原點，過作垂直于軸的直線交橢圓于（1）求橢圓的方程；（2）若過點的直線與橢圓交于、兩點，若，求直線的方程18（12分）在某?？破罩R競賽前的模擬測試中，得到甲、乙兩名學生的6次模擬測試成績(百分制)的莖葉圖.(I)若從甲、乙兩名學生中選擇一人參加該知識競賽，你會選哪位？請運用統(tǒng)計學的知識說明理由；(II)若從甲的6次模擬測試成績中隨機選擇2個，記選出的成績中超過87分的個數(shù)為隨機變量，求的分布列和均值.19（12分）已知函數(shù).（1）判斷的圖象是否是中心對稱圖形

5、？若是，求出對稱中心；若不是，請說明理由；（2）設(shè)，試討論的零點個數(shù)情況.20（12分）證明：若a0，則.21（12分）參與舒城中學數(shù)學選修課的同學對某公司的一種產(chǎn)品銷量與價格進行了統(tǒng)計,得到如下數(shù)據(jù)和散點圖.定價x(元/千克)102030405060年銷量y(千克)115064342426216586z=2 ln y14.112.912.111.110.28.9參考數(shù)據(jù):，.(1)根據(jù)散點圖判斷y與x,z與x哪一對具有較強的線性相關(guān)性(給出判斷即可,不必說明理由)?(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程(方程中的系數(shù)均保留兩位有效數(shù)字).(3)當定價為150元/千克時,試估

6、計年銷量.附:對于一組數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(xn,yn),其回歸直線x+的斜率和截距的最小二乘估計分別為22（10分）已知數(shù)列（）的通項公式為（）.（1）分別求的二項展開式中的二項式系數(shù)之和與系數(shù)之和；（2）求的二項展開式中的系數(shù)最大的項；（3）記（），求集合的元素個數(shù)（寫出具體的表達式）.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】可以是共4個，選D.2、B【解析】代入得，解得,由此可得三角形ABF為直角三角形OF=5，即c=5.由橢圓為中心對稱圖形可知當右焦點為時，,【考點定位】

7、本題考查橢圓定義，解三角形相關(guān)知識以及橢圓的幾何性質(zhì)3、A【解析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求出P（X90），即可得到答案【詳解】X近似服從正態(tài)分布N(84,2),.，故選：A.【點睛】本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，抓住正態(tài)分布曲線的對稱性即可解題，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】直接利用漸近線公式得到答案.【詳解】雙曲線漸近線方程為：答案為C【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線方程，屬于簡單題.5、C【解析】分析：將原問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)交點個數(shù)的問題，然后利用導函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)即可求得最終結(jié)果.詳解：很明顯不是方程的根，據(jù)此可將方程變形為：，原問題等價于考查函數(shù)與函數(shù)的交點的個數(shù)，令，則，

8、列表考查函數(shù)的性質(zhì)如下：+-+單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞減單調(diào)遞增函數(shù)在有意義的區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，故的單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性一致，且函數(shù)的極值繪制函數(shù)圖像如圖所示，觀察可得，與函數(shù)恒有3個交點，即題中方程實根的個數(shù)為3.本題選擇C選項.點睛：函數(shù)零點的求解與判斷方法：(1)直接求零點：令f(x)0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間a，b上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點(3)利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值

9、，就有幾個不同的零點6、B【解析】因為和在均為增函數(shù)，所以在單調(diào)遞增，所以函數(shù)至多一個零點，再給賦值，根據(jù)可得函數(shù)在上有一個零點【詳解】因為與均在上為增函數(shù)，所以函數(shù)至多一個零點又，即函數(shù)在上有一個零點答案選B【點睛】零點問題可根據(jù)零點存在定理進行判斷，也可采用構(gòu)造函數(shù)法，根據(jù)構(gòu)造的兩新函數(shù)函數(shù)交點個數(shù)來確定零點個數(shù)7、B【解析】試題分析：集合，,，故選B.考點：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及集合的運算.8、A【解析】由正態(tài)密度曲線的對稱性得出，由此可得出結(jié)果.【詳解】由于，則正態(tài)密度曲線關(guān)于直線對稱，所以，故選A.【點睛】本題考查正態(tài)分布在指定區(qū)間上概率的計算，解題時要確定正態(tài)密度曲線的對稱軸，

10、利用對稱性列等式計算，考查計算能力，屬于中等題.9、D【解析】根據(jù)條件和三角形的面積公式，求得的關(guān)系式，從而得出離心率的取值范圍，得到答案【詳解】設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，則，因為，所以,由雙曲線的定義可知，所以，即，又由，所以雙曲線的離心率的取值范圍是，故選D【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)離心率的求解，其中求雙曲線的離心率(或范圍)，常見有兩種方法：求出 ，代入公式；只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，即可得的值(范圍)10、D【解析】根據(jù)題意，可取的值為1、2、3、25，由三角形的三邊關(guān)系，有，對分情況討論，分析可得可取的情況，即可得這種情況下符合條件的

11、三角形的個數(shù)，由分類計數(shù)原理，結(jié)合等差數(shù)列的前項和公式，計算可得答案【詳解】解：根據(jù)題意，可取的值為1、2、3、25，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，有，當時，有2526，則25，有1種情況，當時，有2527，則25、26，有2種情況，當時，有2528，則25、26、27，有3種情況，當時，有2529，則25、26、27、28，有4種情況，當時，有有2550，則25、26、27、2849，有25種情況，則符合條件的三角形共有123425；故選：D【點睛】本題考查分類計數(shù)原理的運用，涉及三角形三邊的關(guān)系，關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)變化時，符合條件的三角形個數(shù)的變化規(guī)律11、C【解析】因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，由條件（

12、2）得;因為，所以;因為，所以，即即;當時，與大小不定，所以選C.12、D【解析】先求出函數(shù)的定義域，然后求出函數(shù)的導函數(shù)，接著求當導函數(shù)大于零時，的取值范圍，結(jié)合函數(shù)的定義域，最后寫出單調(diào)增區(qū)間.【詳解】函數(shù)的定義域為，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以有或，而函數(shù)的定義域為，所以當時，函數(shù)單調(diào)遞增，故本題選D.【點睛】本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)增區(qū)間問題，解題的關(guān)系是結(jié)合定義域，正確求解導函數(shù)大于零這個不等式.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分別設(shè)出直線與曲線和曲線的切點，然后求導利用切線的幾何意義利用斜率相等可得答案.【詳解】設(shè)直線與曲線切于點，與曲線切于點，則有，

13、從而，所以切線方程，所以故答案為：.【點睛】本題主要考查導數(shù)的幾何意義,兩曲線的公切線問題，屬于中檔題14、0.245【解析】當變?yōu)闀r，=0.245(x+1)+0.321=0.245x+0.321+0.245，而0.245x+0.321+0.245-（0.245x+0.321）=0.245.因此家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加0.245萬元，本題填寫0.245.15、【解析】根據(jù)條件即可求出,利用,根據(jù)向量的夾角范圍即可得出夾角.【詳解】,.,故答案為: .【點睛】本題考查向量的數(shù)量積公式,向量數(shù)量積的坐標表示,屬于基礎(chǔ)題,難度容易.16、1【解析】分析：利用擋板法把4個小球分成3組

14、，然后再把這3組小球全排列，再根據(jù)分步計數(shù)原理求得所有的不同放法的種數(shù)詳解：在4個小球之間插入2個擋板，即可把4個小球分成3組，方法有種然后再把這3組小球全排列，方法有種再根據(jù)分步計數(shù)原理可得所有的不同方法共有 種，故答案為1點睛：本題主要考查排列、組合以及簡單計數(shù)原理的應用，利用擋板法把4個小球分成3組，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或【解析】（1）根據(jù)點坐標，結(jié)合，求得的值，進而求得橢圓的方程.（2）當軸時，求得兩點的坐標，計算出.當不垂直軸時，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，寫出韋達定理，由列方程，解方

15、程求得直線的斜率，進而求得直線的方程.【詳解】（1）由于軸，且，所以，解得，所以橢圓方程為.（2）設(shè).當軸時，不符合題意.當不垂直軸時，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程并化簡得，所以，由于，所以，即，所以，解得.所以直線的方程為或.【點睛】本小題主要考查橢圓標準方程的求法，考查直線和橢圓相交交點坐標的求法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，考查運算求解能力，屬于中檔題.18、 ()答案見解析；()答案見解析.【解析】(1)由題意考查兩人的平均值均為82，方差甲乙分別為，結(jié)合方差可知乙的方差小，即乙發(fā)揮更穩(wěn)定，故可選擇學生乙參加知識競賽. (2)由題意可知：的所有可能取值為0，1，2，結(jié)合超幾何分布概率

16、公式求得概率值，得到分布列，然后計算可得均值為.【詳解】(I)學生甲的平均成績x甲82，學生乙的平均成績x乙82，又s(68-82)2(76-82)2(79-82)2(86-82)2(88-82)2(95-82)277，s(71-82)2(75-82)2(82-82)2(84-82)2(86-82)2(94-82)2，則x甲x乙，ss，說明甲、乙的平均水平一樣，但乙的方差小，即乙發(fā)揮更穩(wěn)定，故可選擇學生乙參加知識競賽. (II)隨機變量的所有可能取值為0，1，2，且P(0)，P(1)，P (2)，則的分布列為012P所以均值E()012.19、（1）的圖象是中心對稱圖形，對稱中心為：；（2）當

17、或時，有個零點；當時，有個零點【解析】（1）設(shè)，通過奇偶性的定義可求得為奇函數(shù)，關(guān)于原點對稱，從而可得的對稱中心，得到結(jié)論；（2），可知為一個解，從而將問題轉(zhuǎn)化為解的個數(shù)的討論，即的解的個數(shù)；根據(jù)的范圍，分別討論不同范圍情況下方程解的個數(shù)，從而得到零點個數(shù)，綜合得到結(jié)果.【詳解】（1） 設(shè) 定義域為：為奇函數(shù)，圖象關(guān)于對稱的圖象是中心對稱圖形，對稱中心為：（2）令，可知為其中一個解，即為一個零點只需討論的解的個數(shù)即可當時，無解有且僅有一個零點當時 ， 為方程的解有，共個零點當時，（i）若，即時，為方程的解有，共個零點（ii）若，即時，的解為：有且僅有一個零點（iii）若，即時，方程無解有且僅有

18、一個零點綜上所述：當或時，有個零點；當時，有個零點【點睛】本題考查函數(shù)對稱性的判斷、函數(shù)零點個數(shù)的討論.解決本題中零點個數(shù)問題的關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為方程根的個數(shù)的討論，從而根據(jù)的不同范圍得到方程根的個數(shù)，進而得到零點個數(shù)，屬于較難題.20、見解析【解析】試題分析:用分析法證明不等式成立的充分條件成立,要證原命題,只要證,即只要證，進而展開化簡,可得只要證明，故得證.試題解析:要證只需證 因為，所以不等式兩邊均大于零因此只需證，即證 只需證 只需證，即證 只需證，而顯然成立，所以原不等式成立.點睛: 從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件，定理，定義，公理等)為止，這種證明方法叫做分析法綜合法是利用已知條件和某些數(shù)學定義，公理，定理等，經(jīng)過一系列推理論證，最后推導出所要