4.3三角函數(shù)的最值與綜合應(yīng)用

1、2017年高考“最后三十天”專題透析2017年高考“最后三十天”專題透析相關(guān)視頻講解請入群（學(xué)霸網(wǎng)）更多配套作業(yè)及資料請入群（聽課盤）系列三201系列三2019一輪 數(shù)學(xué)好教育云平臺教育因你我而變好教育云平臺4.3三角函數(shù)的最值與綜合應(yīng)用考綱解讀考點內(nèi)容解讀要求高考示例常考題型預(yù)測熱度1.三角函數(shù)的最值了解三角函數(shù)的最值(值域);理解三角函數(shù)取最值的條件理解2017課標(biāo)全國,14;2017江蘇,16;2015陜西,3選擇題填空題解答題2.三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì),會求形如函數(shù)y=Asin(x+)(A0,0)的綜合問題掌握2015安徽,10;2014四川,16選擇題填空題

2、解答題分析解讀1.求三角函數(shù)最值時,一般要進行一些代數(shù)變換和三角變換,要注意函數(shù)有意義的條件及正、余弦函數(shù)的有界性.2.借助輔助角公式將函數(shù)y=asinx+bcosx化為y=sin(x+)的形式,求最值是高考熱點.3.本節(jié)在高考中分值為5分或12分,屬于中低檔題.五年高考考點一三角函數(shù)的最值1.(2016課標(biāo)全國,12,5分)已知函數(shù)f(x)=sin(x+),x=-為f(x)的零點,x=為y=f(x)圖象的對稱軸,且f(x)在單調(diào),則的最大值為()A.11B.9C.7D.5答案B2.(2015陜西,3,5分)如圖,某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù)y=3sin+k,據(jù)此函數(shù)可知,

3、這段時間水深(單位:m)的最大值為()A.5B.6C.8D.10答案C3.(2017課標(biāo)全國,14,5分)函數(shù)f(x)=sin2x+cosx-的最大值是.答案14.(2017江蘇,16,14分)已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,-),x0,.(1)若ab,求x的值;(2)記f(x)=ab,求f(x)的最大值和最小值以及對應(yīng)的x的值.解析(1)因為a=(cosx,sinx),b=(3,-),ab,所以-cosx=3sinx.若cosx=0,則sinx=0,與sin2x+cos2x=1矛盾,故cosx0.于是tanx=-.又x0,所以x=.(2)f(x)=ab=(cosx,sinx)(

4、3,-)=3cosx-sinx=2cos.因為x0,所以x+,從而-1cos.于是,當(dāng)x+=,即x=0時,f(x)取到最大值3;當(dāng)x+=,即x=時,f(x)取到最小值-2.教師用書專用(58)5.(2015天津,15,13分)已知函數(shù)f(x)=sin2x-sin2,xR.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值.解析(1)由已知,有f(x)=-=-cos2x=sin2x-cos2x=sin.所以,f(x)的最小正周期T=.(2)因為f(x)在區(qū)間上是減函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù),f=-,f=-,f=.所以,f(x)在區(qū)間上的最大值為,最小值為-.6.(2015北京,1

5、5,13分)已知函數(shù)f(x)=sincos-sin2.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在區(qū)間-,0上的最小值.解析(1)因為f(x)=sinx-(1-cosx)=sin-,所以f(x)的最小正周期為2.(2)因為-x0,所以-x+.當(dāng)x+=-,即x=-時,f(x)取得最小值.所以f(x)在區(qū)間-,0上的最小值為f=-1-.7.(2013遼寧,17,12分)設(shè)向量a=(sinx,sinx),b=(cosx,sinx),x.(1)若|a|=|b|,求x的值;(2)設(shè)函數(shù)f(x)=ab,求f(x)的最大值.解析(1)由|a|2=(sinx)2+(sinx)2=4sin2x,|b|2=(

6、cosx)2+(sinx)2=1及|a|=|b|,得4sin2x=1.又x,從而sinx=,所以x=.(6分)(2)f(x)=ab=sinxcosx+sin2x=sin2x-cos2x+=sin+,當(dāng)x=時,sin取最大值1.所以f(x)的最大值為.(12分)8.(2013陜西,16,12分)已知向量a=,b=(sinx,cos2x),xR,設(shè)函數(shù)f(x)=ab.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在上的最大值和最小值.解析f(x)=(sinx,cos2x)=cosxsinx-cos2x=sin2x-cos2x=cossin2x-sincos2x=sin.(1)f(x)的最小正周期為

7、T=,即函數(shù)f(x)的最小正周期為.(2)0 x,-2x-.由正弦函數(shù)的性質(zhì),當(dāng)2x-=,即x=時,f(x)取得最大值1.當(dāng)2x-=-,即x=0時,f(0)=-,當(dāng)2x-=,即x=時,f=,f(x)的最小值為-.因此,f(x)在上的最大值是1,最小值是-.考點二三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用1.(2015安徽,10,5分)已知函數(shù)f(x)=Asin(x+)(A,均為正的常數(shù))的最小正周期為,當(dāng)x=時,函數(shù)f(x)取得最小值,則下列結(jié)論正確的是()A.f(2)f(-2)f(0)B.f(0)f(2)f(-2)C.f(-2)f(0)f(2)D.f(2)f(0)f(-2)答案A2.(2014安徽,11

8、,5分)若將函數(shù)f(x)=sin的圖象向右平移個單位,所得圖象關(guān)于y軸對稱,則的最小正值是.答案解析根據(jù)題意設(shè)g(x)=f(x-)=sin,則g(x)的圖象關(guān)于y軸對稱,g(0)=1,即sin=1,-2+=k+(kZ),=-(kZ).當(dāng)k=-1時,的最小正值為.3.(2014四川,16,12分)已知函數(shù)f(x)=sin.(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)若是第二象限角,f=coscos2,求cos-sin的值.解析(1)因為函數(shù)y=sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為,kZ.由-+2k3x+2k,kZ,得-+x+,kZ.所以,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,kZ.(2)由已知,有sin=cos(cos2

9、-sin2),所以sincos+cossin=(cos2-sin2).即sin+cos=(cos-sin)2(sin+cos).當(dāng)sin+cos=0時,由是第二象限角,知=+2k,kZ.此時,cos-sin=-.當(dāng)sin+cos0時,有(cos-sin)2=.由是第二象限角,知cos-sin0,此時cos-sin=-.綜上所述,cos-sin=-或-.教師用書專用(48)4.(2013江西,10,5分)如圖,半徑為1的半圓O與等邊三角形ABC夾在兩平行線l1,l2之間,ll1,l與半圓相交于F,G兩點,與三角形ABC兩邊相交于E,D兩點.設(shè)弧的長為x(0 x),y=EB+BC+CD,若l從l1

10、平行移動到l2,則函數(shù)y=f(x)的圖象大致是()答案D5.(2015福建,19,13分)已知函數(shù)f(x)的圖象是由函數(shù)g(x)=cosx的圖象經(jīng)如下變換得到:先將g(x)圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變),再將所得到的圖象向右平移個單位長度.(1)求函數(shù)f(x)的解析式,并求其圖象的對稱軸方程;(2)已知關(guān)于x的方程f(x)+g(x)=m在0,2)內(nèi)有兩個不同的解,.(i)求實數(shù)m的取值范圍;(ii)證明:cos(-)=-1.解析(1)將g(x)=cosx的圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)得到y(tǒng)=2cosx的圖象,再將y=2cosx的圖象向右平移個單位長度后

11、得到y(tǒng)=2cos的圖象,故f(x)=2sinx.從而函數(shù)f(x)=2sinx圖象的對稱軸方程為x=k+(kZ).(2)(i)f(x)+g(x)=2sinx+cosx=sin(x+).依題意知,sin(x+)=在0,2)內(nèi)有兩個不同的解,當(dāng)且僅當(dāng)1,故m的取值范圍是(-,).(ii)證法一:因為,是方程sin(x+)=m在0,2)內(nèi)的兩個不同的解,所以sin(+)=,sin(+)=.當(dāng)1m時,+=2,即-=-2(+);當(dāng)-m1時,+=2,即-=3-2(+),所以cos(-)=-cos2(+)=2sin2(+)-1=2-1=-1.證法二:因為,是方程sin(x+)=m在0,2)內(nèi)的兩個不同的解,所

12、以sin(+)=,sin(+)=.當(dāng)1m時,+=2,即+=-(+);當(dāng)-m1時,+=2,即+=3-(+).所以cos(+)=-cos(+).于是cos(-)=cos(+)-(+)=cos(+)cos(+)+sin(+)sin(+)=-cos2(+)+sin(+)sin(+)=-+=-1.6.(2014湖北,17,11分)某實驗室一天的溫度(單位:)隨時間t(單位:h)的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系:f(t)=10-cost-sint,t0,24).(1)求實驗室這一天的最大溫差;(2)若要求實驗室溫度不高于11,則在哪段時間實驗室需要降溫?解析(1)f(t)=10-2=10-2sin,因為0t24,所

13、以t+11時,實驗室需要降溫.由(1)得f(t)=10-2sin,故有10-2sin11,即sin-.又0t24,因此t+,即10t0.從而g()=1-cos=1-=1-=.(2)f(x)g(x)等價于sinx1-cosx,即sinx+cosx1.于是sin.從而2k+x+2k+,kZ,即2kx2k+,kZ.故使f(x)g(x)成立的x的取值集合為x2kx2k+,kZ.三年模擬A組20162018年模擬基礎(chǔ)題組考點一三角函數(shù)的最值1.(2018云南玉溪模擬,6)當(dāng)-x時,函數(shù)f(x)=sin(2+x)+cos(2-x)-sin的最大值和最小值分別是()A.,-B.,C.,-D.,-答案A2.(

14、2017廣東惠州第三次調(diào)研,8)函數(shù)y=cos2x+2sinx的最大值為()A.B.1C.D.2答案C3.(2016河北衡水中學(xué)二調(diào),15)函數(shù)y=sinx-cosx-sinxcosx的最大值為.答案+解析令sinx-cosx=t-,則t2=1-2sinxcosx,函數(shù)y=t-=t2+t-=(t+1)2-1,故當(dāng)t=時,函數(shù)y取得最大值+.考點二三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用4.(2018廣東五校聯(lián)考,8)將曲線C1:y=sin上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移個單位長度,得到曲線C2:y=g(x),則g(x)在-,0上的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.B.C.D.答案B5.

15、(2017河南焦作二模,5)將函數(shù)y=cos圖象上的點P向右平移m(m0)個單位長度后得到點P,若P在函數(shù)y=cos2x的圖象上,則()A.t=-,m的最小值為B.t=-,m的最小值為C.t=-,m的最小值為D.t=-,m的最小值為答案D6.(2017廣東海珠上學(xué)期高三綜合測試(一),12)已知函數(shù)f(x)=|cosx|sinx,給出下列四個說法:函數(shù)f(x)的周期為;若|f(x1)|=|f(x2)|,則x1=x2+k,kZ;f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增;f(x)的圖象關(guān)于點中心對稱.其中正確說法的個數(shù)是()A.3B.2C.1D.0答案CB組20162018年模擬提升題組(滿分:55分時間:50分

16、鐘)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.(2018遼寧莊河高級中學(xué)、沈陽第二十中學(xué)第一次聯(lián)考,6)已知函數(shù)f(x)=asinx+cosx(a為常數(shù),xR)的圖象關(guān)于直線x=對稱,則函數(shù)g(x)=sinx+acosx的圖象()A.關(guān)于點對稱B.關(guān)于點對稱C.關(guān)于直線x=對稱D.關(guān)于直線x=對稱答案C2.(2018河南洛陽尖子生第一次聯(lián)考,11)已知函數(shù)f(x)=sin(sinx)+cos(sinx),xR,則下列說法正確的是()A.函數(shù)f(x)是周期函數(shù),且最小正周期為B.函數(shù)f(x)是奇函數(shù)C.函數(shù)f(x)在區(qū)間上的值域為1,D.函數(shù)f(x)在上是增函數(shù)答案C3.(2017江西撫州七校聯(lián)考,

17、9)將函數(shù)f(x)=2sin的圖象向左平移個單位,再向上平移1個單位,得到函數(shù)g(x)的圖象.若g(x1)g(x2)=9,且x1,x2-2,2,則2x1-x2的最大值為()A.B.C.D.答案A4.(2016河南南陽期中,6)如圖所示,M,N是函數(shù)y=2sin(x+)(0)的圖象與x軸的交點,點P在M,N之間的函數(shù)圖象上運動,若當(dāng)MPN面積最大時,=0,則=()A.B.C.D.8答案A5.(人教A必4,一,1-6,例2,變式)函數(shù)f(x)=|sinx|+2|cosx|的值域為()A.1,B.1,2C.2,D.,3答案A二、填空題(共5分)6.(2018江蘇鹽城期中,10)設(shè)函數(shù)f(x)=Asi

18、n(x+)其中A,為常數(shù)且A0,0,-,f(x)的部分圖象如圖所示,若f()=,則f的值為.答案三、解答題(共25分)7.(2018湖北荊州一模,17)已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx+2sin2x.(1)若f(x)=0,x,求x的值;(2)將函數(shù)f(x)的圖象先向左平移個單位,再將圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)g(x)的圖象,若函數(shù)y=h(x)與y=g(x)的圖象關(guān)于直線x=對稱,求函數(shù)h(x)在上的值域.解析f(x)=2sinxcosx+2sin2x=sin2x+1-cos2x=2sin+1.(1)由f(x)=0,得2sin+1=0,sin=-.2x-=-

19、+2k或2x-=-+2k,kZ,x=k或x=-+k,kZ,又x,x=0或-或.(2)將函數(shù)f(x)的圖象先向左平移個單位,可得函數(shù)圖象的解析式為y=2sin+1=2sin+1=2cos2x+1,再將圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)圖象的解析式為g(x)=2cosx+1.函數(shù)y=h(x)與y=g(x)的圖象關(guān)于直線x=對稱,h(x)=g=2sinx+1.x,sinx.故函數(shù)h(x)的值域為(0,3.8.(2017湖北百所重點校高三聯(lián)考,20)已知函數(shù)f(x)=sin-2sincos.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期T和單調(diào)遞增區(qū)間;(2)若x,且F(x)=-4f(x)-cos的最小值是-,求實數(shù)的值.解析(1)f(x)=sin-2sincos=