2023版高三一輪總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)新教材老高考人教版教案：第6章 命題探秘3　高考中的數(shù)列問題

1、 高考中的數(shù)列問題 考點(diǎn)一數(shù)列中的數(shù)學(xué)建模問題 eq avs4al(典例1)(2021新高考卷)某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折規(guī)格為20 dm12 dm的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到10 dm12 dm，20 dm6 dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S1240 dm2，對(duì)折2次共可以得到5 dm12 dm，10 dm6 dm，20 dm3 dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S2180 dm2，以此類推則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為_；如果對(duì)折n次，那么 eq isu(k1,n,S)k_dm2.5240 eq blc(rc)(avs4alco1

2、(3f(n3,2n)依題意得，S11202240；S2603180；當(dāng)n3時(shí)，共可以得到5 dm6 dm， eq f(5,2) dm12 dm，10 dm3 dm，20 dm eq f(3,2) dm四種規(guī)格的圖形，且5630， eq f(5,2)1230，10330，20 eq f(3,2)30，所以S3304120；當(dāng)n4時(shí)，共可以得到5 dm3 dm， eq f(5,2) dm6 dm， eq f(5,4) dm12 dm，10 dm eq f(3,2) dm，20 dm eq f(3,4) dm五種規(guī)格的圖形，所以對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為5，且5315， eq f(5,2

3、)615， eq f(5,4)1215，10 eq f(3,2)15，20 eq f(3,4)15，所以S415575；所以可歸納Sk eq f(240,2k)(k1) eq f(240（k1）,2k).所以 eq isu(k1,n,S)k240 eq blc(rc)(avs4alco1(1f(3,22)f(4,23)f(n,2n1)f(n1,2n)，所以 eq f(1,2) eq isu(k1,n,S)k240 eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,22)f(3,23)f(4,24)f(n,2n)f(n1,2n1)，由得， eq f(1,2) eq isu(k1,n,S)k240

4、 eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,22)f(1,23)f(1,24)f(1,2n)f(n1,2n1)240 eq blc(rc)(avs4alco1(1f(f(1,22)f(1,2n)f(1,2),1f(1,2)f(n1,2n1)240 eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)f(n3,2n1)，所以 eq isu(k1,n,S)k240 eq blc(rc)(avs4alco1(3f(n3,2n)dm2.真題衍生某同學(xué)嘗試用數(shù)學(xué)模型來(lái)說明隔離和醫(yī)療兩大因素在對(duì)抗傳染病時(shí)的作用模型假設(shè)如下：假設(shè)1.傳染病在人群中的表現(xiàn)有潛伏期和爆發(fā)期兩種形式，潛伏期無(wú)癥狀，爆

5、發(fā)期可以被人識(shí)別，無(wú)論在潛伏期還是爆發(fā)期的病人都具有相同的傳染性潛伏期時(shí)間記為m0，以潛伏期時(shí)間m0為一個(gè)傳染周期；假設(shè)2.記r0為一個(gè)病人在一個(gè)傳染周期內(nèi)平均感染人數(shù)；假設(shè)3.某一固定區(qū)域(如某個(gè)城市)的人群，保持原有的生活習(xí)慣，即r0不變(1)第一模型：無(wú)干預(yù)模型在上述模型假設(shè)中，取m01天，r01.2，假設(shè)初始的潛伏期人數(shù)為1萬(wàn)，那么1天后將有1萬(wàn)人處于爆發(fā)期，1.2萬(wàn)人處于潛伏期，感染總?cè)藬?shù)為2.2萬(wàn)人，由此估算9天后感染總?cè)藬?shù)是_萬(wàn)人(2)第二模型：無(wú)限醫(yī)療模型，增加兩個(gè)模型假設(shè)：假設(shè)4.政府和社會(huì)加大醫(yī)療投入，將所有爆發(fā)期的病人“應(yīng)收盡收”；假設(shè)5.潛伏期病人在傳染健康人群后轉(zhuǎn)為爆

6、發(fā)期病人，然后被收入醫(yī)院，收入醫(yī)院的病人即失去傳染性在第二模型中，取m01天，r01.2，假設(shè)初始的潛伏期人數(shù)為1萬(wàn)，由此估算_天后感染總?cè)藬?shù)將超過1 000萬(wàn)(參考數(shù)據(jù)：1.284.3，1.295.2，1.2106.2，1.22038.3，1.229197.8，1.230237.4，2.28549，2.291 207，2.2102 656)(1)1 207(2)29(1)記an為n天后感染總?cè)藬?shù)，則a12.2，a22.22，所以a92.291 207，即第9天后感染總?cè)藬?shù)是1 207萬(wàn)人(2)記bn為第n天收入醫(yī)院的人數(shù)，所以b11，b21.2.由題易得bn為首項(xiàng)為1，公比為1.2的等比數(shù)列

7、，所以bn1.2n1.若n天后總感染人數(shù)超過1 000萬(wàn)，即b1b2bn1.2bn1 000，所以11.21.221.2n1 000，所以1.2n1201.又因?yàn)?.230237.4201，1.229197.8201，所以n130，所以n29，即第29天后感染總?cè)藬?shù)將超過1 000萬(wàn)解決數(shù)列中的數(shù)學(xué)建模問題，常用的解題思路是：審題、建模、研究模型、解決新定義問題研究模型時(shí)需注意：(1)量(多個(gè)量)；(2)量之間的關(guān)系(規(guī)律)：等差、等比規(guī)律；遞推關(guān)系；其它規(guī)律由特殊到一般進(jìn)行歸納總結(jié)；(3)與數(shù)列通項(xiàng)公式有關(guān)或與前n項(xiàng)和有關(guān)等跟進(jìn)訓(xùn)練1(2021廣東佛山一模)隨著新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革持續(xù)推

8、進(jìn)，以數(shù)字化、網(wǎng)絡(luò)化、智能化以及融合化為主要特征的新型基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)越來(lái)越受到關(guān)注.5G基站建設(shè)就是“新基建”的眾多工程之一，截至2020年底，我國(guó)已累計(jì)開通5G基站超70萬(wàn)個(gè)，未來(lái)將進(jìn)一步完善基礎(chǔ)網(wǎng)絡(luò)體系，穩(wěn)步推進(jìn)5G網(wǎng)絡(luò)建設(shè)，實(shí)現(xiàn)主要城區(qū)及部分重點(diǎn)鄉(xiāng)鎮(zhèn)5G網(wǎng)絡(luò)覆蓋.2021年1月計(jì)劃新建設(shè)5萬(wàn)個(gè)5G基站，以后每個(gè)月比上一個(gè)月多建設(shè)1萬(wàn)個(gè)，預(yù)計(jì)我國(guó)累計(jì)開通500萬(wàn)個(gè)5G基站時(shí)要到()A2022年12月B2023年2月C2023年4月 D2023年6月B每個(gè)月開通5G基站的個(gè)數(shù)是以5為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，設(shè)預(yù)計(jì)我國(guó)累計(jì)開通500萬(wàn)個(gè)5G基站需要n個(gè)月，則705n eq f(n（n1）,2)

9、1500，化簡(jiǎn)整理得，n29n8600，解得n25.17或34.17(舍負(fù))，所以預(yù)計(jì)我國(guó)累計(jì)開通500萬(wàn)個(gè)5G基站需要25個(gè)月，也就是到2023年2月故選B. 考點(diǎn)二數(shù)列中的新定義問題 eq avs4al(典例2)(2021新高考卷改編)設(shè)正整數(shù)na020a121ak12k1ak2k，其中ai0，1，記(n)a0a1ak，給出下列四個(gè)結(jié)論：(2n)(n); (2n3)(n)1；(8n5)(4n3); (2n1)n.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為_對(duì)于，(n)a0a1ak，2na021a122ak12kak2k1，(2n)a0a1ak(n)，正確；對(duì)于，取n2知，2n37120121122，(7)3

10、，而2020121，(2)011，(7)3(2)1，錯(cuò)誤；對(duì)于，8n5a023a124ak2k35120122a023a124ak2k3，(8n5)11a0a1aka0a1ak2，4n3a022a123ak2k23120121a022a123ak2k2，(4n3)11a0a1aka0a1ak2，(8n5)(4n3)，正確；對(duì)于，2n120212n112012112n1，(2n1)n，正確，綜上：正確對(duì)于新信息情境下的數(shù)列問題，在讀懂題意的前提下，依據(jù)題目提供的信息，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、運(yùn)算、驗(yàn)證，使得問題得以解決跟進(jìn)訓(xùn)練2(2020全國(guó)卷

11、)01周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用，若序列a1a2an滿足ai0，1(i1，2，)，且存在正整數(shù)m，使得aimai(i1，2，)成立，則稱其為01周期序列，并稱滿足aimai(i1，2，)的最小正整數(shù)m為這個(gè)序列的周期對(duì)于周期為m的01序列a1a2an，C(k) eq f(1,m) eq o(,sup6(m),sdo6(i1)aiaik(k1，2，m1)是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo)，下列周期為5的01序列中，滿足C(k) eq f(1,5)(k1，2，3，4)的序列是()A11010 B11011C10001 D11001C對(duì)于A，因?yàn)镃(1) eq f(1110011001,5) eq f(1

12、,5)，C(2) eq f(1011001101,5) eq f(2,5)，不滿足C(k) eq f(1,5)，故A不正確；對(duì)于B，因?yàn)镃(1) eq f(1110011111,5) eq f(3,5)，不滿足C(k) eq f(1,5)，故B不正確；對(duì)于C，因?yàn)镃(1) eq f(1000000111,5) eq f(1,5)，C(2) eq f(1000010110,5)0，C(3) eq f(1001010010,5)0，C(4) eq f(1101000010,5) eq f(1,5)，滿足C(k) eq f(1,5)，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)镃(1) eq f(1110000111,5

13、) eq f(2,5)，不滿足C(k) eq f(1,5)，故D不正確綜上所述，故選C. 考點(diǎn)三數(shù)列中的綜合問題 eq avs4al(典例3)(2021浙江高考)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1 eq f(9,4)，且4Sn13Sn9(nN*).(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列bn滿足3bn(n4)an0(nN*)，記bn的前n項(xiàng)和為Tn，若Tnbn對(duì)任意nN*恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍四字解題讀想算思4Sn13Sn9(nN*)，求an的通項(xiàng)公式an與Sn的關(guān)系求基本量：a1和q方程思想3bn(n4)an0(nN*)數(shù)列求和的方法求bn前n項(xiàng)和Tn錯(cuò)位相減法Tnbn對(duì)任意nN*恒成立恒

14、成立問題的解法分離參數(shù)，求相應(yīng)函數(shù)的最值分類討論解(1)當(dāng)n1時(shí)，4(a1a2)3a194a2 eq f(9,4)9 eq f(27,4)，a2 eq f(27,16)，當(dāng)n2時(shí)，由4Sn13Sn9，得4Sn3Sn19，得4an13an.a2 eq f(27,16)0，an0， eq f(an1,an) eq f(3,4)，又 eq f(a2,a1) eq f(3,4)，an是首項(xiàng)為 eq f(9,4)，公比為 eq f(3,4)的等比數(shù)列，an eq f(9,4) eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4) eq sup10(n1)3 eq blc(rc)(avs4alco1(f

15、(3,4)n.(2)由3bn(n4)an0，得bn eq f(n4,3)an(n4) eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)n.所以Tn3 eq f(3,4)2 eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)21 eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)30 eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)4(n4) eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)n， eq f(3,4)Tn3 eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)22 eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)31 eq blc(rc)(avs4

16、alco1(f(3,4)4(n5) eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)n(n4) eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4) eq sup10(n1)，兩式相減得 eq f(1,4)Tn3 eq f(3,4) eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)2 eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)3 eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)4 eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)n(n4) eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4) eq sup10(n1) eq f(9,4) eq f(f(9

17、,16)blcrc(avs4alco1(1blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)sup10(n1),1f(3,4)(n4) eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4) eq sup10(n1) eq f(9,4) eq f(9,4)4 eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4) eq sup10(n1)(n4) eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4) eq sup10(n1)n eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4) eq sup10(n1)，所以Tn4n eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4) eq sup10

18、(n1).由Tnbn對(duì)任意nN*恒成立，得4n eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4) eq sup10(n1)(n4) eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)n恒成立，即(n4)3n0恒成立，n4時(shí)，不等式恒成立；n4時(shí)， eq f(3n,n4)3 eq f(12,n4)，得3；所以31.答題模板第一步根據(jù)4Sn13Sn9(nN*)及an與Sn的關(guān)系，判斷出數(shù)列的類型，進(jìn)而確立數(shù)列的通項(xiàng)公式第二步通過3bn(n4)an0(nN*)求出bn第三步根據(jù)和的表達(dá)式或通項(xiàng)的特征，選擇合適的方法(定義法、分組轉(zhuǎn)化法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法)求和第四步聯(lián)想不等式恒成立問題

19、的解法，分離變量，轉(zhuǎn)化成函數(shù)最值，求參數(shù)范圍第五步反思解題過程，檢驗(yàn)易錯(cuò)點(diǎn)、規(guī)范解題步驟跟進(jìn)訓(xùn)練3(2021重慶八中模擬)已知數(shù)列 eq blcrc(avs4alco1(an)滿足a13a25a3 eq blc(rc)(avs4alco1(2n1)ann eq blc(rc)(avs4alco1(n1).(1)求數(shù)列 eq blcrc(avs4alco1(an)的通項(xiàng)公式；(2)在bn eq blc(rc)(avs4alco1(anan1)28n，bn eq f(2n,an)，bn eq f(（1）n,an)，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并求解該問題若_，求數(shù)列 eq blcrc

20、(avs4alco1(bn)的前n項(xiàng)和Tn.解(1)對(duì)于a13a25a3 eq blc(rc)(avs4alco1(2n1)ann eq blc(rc)(avs4alco1(n1)，當(dāng)n 1時(shí)，有a11；當(dāng)n2，有a13a25a3 eq blc(rc)(avs4alco1(2n3)an1n1，得： eq blc(rc)(avs4alco1(2n1)an1，所以an eq f(1,2n1).經(jīng)檢驗(yàn)：an eq f(1,2n1)對(duì)n 1也成立所以數(shù)列 eq blcrc(avs4alco1(an)的通項(xiàng)公式為an eq f(1,2n1).(2)選條件：bn eq blc(rc)(avs4alco1(

21、anan1)28nbn eq blc(rc)(avs4alco1(anan1)28n eq f(8n,blc(rc)(avs4alco1(2n1)2blc(rc)(avs4alco1(2n1)2) eq f(1,blc(rc)(avs4alco1(2n1)2) eq f(1,blc(rc)(avs4alco1(2n1)2)所以數(shù)列 eq blcrc(avs4alco1(bn)的前n項(xiàng)和：Tnb1b2bn eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,12)f(1,32) eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,32)f(1,52) eq blcrc(avs4alco1(f(1,b

22、lc(rc)(avs4alco1(2n1)2)f(1,blc(rc)(avs4alco1(2n1)2) eq f(1,12) eq f(1,blc(rc)(avs4alco1(2n1)2) eq f(4n24n,blc(rc)(avs4alco1(2n1)2).選條件：bn eq f(2n,an).則bn eq blc(rc)(avs4alco1(2n1)2n.所以數(shù)列 eq blcrc(avs4alco1(bn)的前n項(xiàng)和：Tnb1b2bn eq blc(rc)(avs4alco1(121) eq blc(rc)(avs4alco1(322) eq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4a