2008年考研數(shù)學(xué)一真題及答案

18小題，每小題4分，共32分。下列每題給出的四設(shè)函數(shù),則的零點個數(shù)為(A)0(C)2(B)1(D)3【答案】B?！窘馕觥壳沂俏ㄒ坏牧泓c綜上所述，本題正確答案是B?！究键c】高等數(shù)學(xué)—一元函數(shù)積分學(xué)—積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)函數(shù)在點處的梯度等于A)C)B)(D)【答案】A?！窘馕觥烤x文庫所以綜上所述，本題正確答案是?！究键c】高等數(shù)學(xué)—多元函數(shù)微分學(xué)—方向?qū)?shù)和梯度在下列微分方程中，以為通解的是A)C)B)D)【答案】。【解析】由通解表達式可知其特征根為可見其對應(yīng)特征方程為故對應(yīng)微分方程為綜上所述，本題正確答案是?！究键c】高等數(shù)學(xué)—常微分方程—高于二階的某些常系數(shù)齊次線性微分方程--2精選文庫設(shè)函數(shù)在內(nèi)單調(diào)有界，為數(shù)列，下列命題正確的是(A)若收斂，則(B)若單調(diào)，則收斂收斂(C)若(D)若收斂，則收斂單調(diào)，則收斂【答案】B。【解析】【方法一】由于單調(diào)，單調(diào)有界，則數(shù)列收斂。單調(diào)有界，根據(jù)單調(diào)有界準則知數(shù)列【方法二】,則顯然單調(diào)，收斂，但，顯然,顯然不收斂，排除A。若取不收斂，排除C和。綜上所述，本題正確答案是B。--3精選文庫【考點】高等數(shù)學(xué)—函數(shù)、極限、連續(xù)—函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性，極限存在的兩個準則：單調(diào)有界準則和夾逼準則設(shè)為階非零矩陣，為階單位矩陣，若,則(A)(B)(C)(D)不可逆，不可逆，可逆，不可逆可逆可逆可逆，不可逆【答案】C。【解析】因為所以可知可逆，可逆綜上所述，本題正確答案是?！究键c】線性代數(shù)—矩陣—矩陣的概念和性質(zhì)，矩陣可逆的充分必要條件設(shè)為3階實對稱矩陣，如果二次曲面方程精選文庫在正交變換下的標準方程的圖形如右圖所示，則的正特征值的個數(shù)為A)B)1()3C)2【答案】B?！窘馕觥克o圖形為雙葉雙曲線，標準方程為二次型正交變換化為標準形時，其平方項的系數(shù)就是的特征值，可知的正特征值的個數(shù)為1綜上所述，本題正確答案是B?！究键c】線性代數(shù)—二次型—次型的標準形和規(guī)范形設(shè)隨機變量獨立同分布，且的分布函數(shù)為,則的分布函數(shù)為A)C)B)D)--5精選文庫【答案】A?！窘馕觥烤C上所述，本題正確答案是。【考點】概率論與數(shù)理統(tǒng)計—多維隨機變量及其分布—隨機變量的獨立性和不相關(guān)性，兩個及兩個以上隨機變量簡單函數(shù)的分布設(shè)隨機變量,且相關(guān)系數(shù)則A)C)B)D)【答案】?！窘馕觥坑上嚓P(guān)系數(shù)的性質(zhì)可知：如果可得則必有已知又,所以,得--6精選文庫而所以即綜上所述，本題正確答案是。【考點】概率論與數(shù)理統(tǒng)計—隨機變量的數(shù)字特征—隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望矩、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)及其性質(zhì)二、填空題（914小題，每小題4分，共24微分方程滿足條件的解是?！敬鸢浮?。【解析】分離變量得,l兩邊積分有利用條件，，解得綜上所述，本題正確答案是?！究键c】高等數(shù)學(xué)—常微分方程—變量可分離的微分方程--7精選文庫(10)曲線在點處的切線方程是?！敬鸢浮俊窘馕觥肯惹笄€在點處的斜率等式兩端對求導(dǎo)得在上式中，將代入可得所以曲線在該點處的切線方程為綜上所述，本題正確答案是即?！究键c】高等數(shù)學(xué)—一元函數(shù)微分學(xué)—導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義(11)已知冪級數(shù)在處收斂，在處發(fā)散，則冪級數(shù)的收斂域為?！敬鸢浮俊窘馕觥?。在處--8精選文庫發(fā)散,即時，冪級數(shù)收斂。，則收斂區(qū)間為對于冪級數(shù)又冪級數(shù)在處收斂，在處發(fā)散，所以對于冪級數(shù)收斂域為。。綜上所述，本題正確答案是【考點】高等數(shù)學(xué)—無窮級數(shù)—冪級數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間指開區(qū)間和收斂域(12)設(shè)曲面是的上側(cè)，則?！敬鸢浮俊！窘馕觥垦a曲面,取下側(cè)，記則--9精選文庫綜上所述，本題正確答案是?！究键c】高等數(shù)學(xué)—多元函數(shù)積分學(xué)—二重積分與三重積分的概念、性質(zhì)、計算和應(yīng)用，兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及計算(13)設(shè)為2階矩陣，為線性無關(guān)的2維列向量，，，則的非零特征值為?！敬鸢浮?。【解析】【方法一】定義法：由可得矩陣的特征值為，因此的非零特征值為?！痉椒ǘ?-10精選文庫矩陣相似：可知，的特征值易得為，所以可得矩陣的特征值為，因此的非零特征值為。綜上所述，本題正確答案是?！究键c】線性代數(shù)—矩陣的特征值和特征向量—矩陣的特征值和特征向量的概念、性質(zhì)，相似變換、相似矩陣的概念及性質(zhì)(14)設(shè)隨機變量服從參數(shù)為1的泊松分布，則?！敬鸢浮俊窘馕觥坑梢阎?，有所以,所以綜上所述，本題正確答案是?！究键c】概率論與數(shù)理統(tǒng)計—隨機變量的數(shù)字特征—一維隨機變量及函數(shù)的數(shù)字特征三、解答題：小題，共94分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過--11精選文庫程或演算步驟。(15)（本題滿分9分）求極限【解析】【方法一】（等價無窮小代（洛必達法則）換）（）(等價無窮小代換)【方法二】（等價無窮小代換）（變量代換）（洛必達法則）--12精選文庫（等價無窮小代換）【方法三】由泰勒公式,可得則，上式【方法四】（拉格朗日中值定理）【方法五】由于當(dāng)時,,則--13精選文庫所以【考點】高等數(shù)學(xué)—函數(shù)、極限、連續(xù)—無窮小量的性質(zhì)及無窮小量的比較，極限的四則運算法則(16)（本題滿分9分）計算曲線積分,其中是曲線上從點到點的一段?！窘馕觥俊痉椒ㄒ弧俊痉椒ǘ刻砑虞S上從點區(qū)域，則到點的直線段，為與圍成的封閉--14精選文庫【考點】高等數(shù)學(xué)—多元函數(shù)積分學(xué)—二重積分與三重積分的概念、性質(zhì)、計算和應(yīng)用，兩類曲線積分的概念、性質(zhì)及計算，格林(Green)公式(17)（本題滿分11分）已知曲線求曲線距面最遠和最近的點?！窘馕觥吭O(shè)為曲線上任意一點，則點到面的距離為，即原題化為求在條件下的最值點，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)--15精選文庫解方程組得，從而得可能極值點：有上存在距依次為。【考點】高等數(shù)學(xué)—多元函數(shù)微分學(xué)—多元函數(shù)的極值和條件極值(18)（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)連續(xù)，(I)利用定義證明函數(shù)可導(dǎo)，且；(II)當(dāng)是以2為周期的周期函數(shù)時，證明函數(shù)也是以2為周期的周期函數(shù)?！窘馕觥?I)對于任意的,由于函數(shù)連續(xù)，所以--16精選文庫（積分中值定理）其中介于和又之間。,可知可導(dǎo)，且(II)【方法一】對于任意的，有所以，從而有（常數(shù)）--17精選文庫又則，也是以2為周期的周期函數(shù)?！痉椒ǘ繉τ谌我獾模袆t故也是以2為周期的周期函數(shù)。【方法三】對于任意的，有--18精選文庫由于所以以2為周期，則故也是以2為周期的周期函數(shù)?！痉椒ㄋ摹繉τ谌我獾?，有則故也是以2為周期的周期函數(shù)。【考點】高等數(shù)學(xué)—函數(shù)、極限、連續(xù)—函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性高等數(shù)學(xué)—一元函數(shù)積分學(xué)—積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)--19精選文庫(19)（本題滿分11分）將函數(shù)展開成余弦級數(shù)，并求的和。【解析】因為是偶函數(shù)，于是,對有所以令,故里葉級數(shù)，函數(shù)在上的正弦級數(shù)和余弦級數(shù)(20)（本題滿分10分）--20精選文庫設(shè)為3維列向量，矩陣的轉(zhuǎn)置。證明：,其中分別是(I)秩；(II)若線性相關(guān)，則秩【解析】。(I)因為為3維列向量，所以都是3階矩陣，且秩那么(II)線性相關(guān)，則設(shè)于是，【考點】線性代數(shù)—矩陣—矩陣的秩(21)（本題滿分12分）設(shè)元線性方程組，其中--21精選文庫(I)證明行列式；(II)當(dāng)為何值時，該方程組有唯一解，并求；(III)當(dāng)為何值時，該方程組有無窮多解，并求通解?！窘馕觥?I)數(shù)學(xué)歸納法：記階行列式的值為當(dāng)當(dāng)設(shè)當(dāng)時,命題正確；時，,命題正確時，命題正確時，按第一列展開，則有--22精選文庫命題正確，所以。(II)由克拉默法則，時方程組有唯一解，且用克拉默法則，有(III)當(dāng)由,方程組有無窮多解，其通解為,其中為任意常數(shù)。(22)（本題滿分11分）設(shè)二維隨機變量相互獨立，的概率密度為，的概率為記。(Ⅰ求；--23精選文庫(Ⅱ求概率密度【解析】。(