湘教版七年級數(shù)學(xué)下冊第一章二元一次方程組課件

1.1建立二元一次方程組第一章二元一次方程組1.1建立二元一次方程組第一章二元一次方程組1小紅家今年1月份的天然氣費(fèi)和水費(fèi)共60元，其中天然氣費(fèi)比水費(fèi)多20元.你能算出1月份小紅家的天然氣費(fèi)和水費(fèi)分別是多少嗎？可以設(shè)1月份的天然氣費(fèi)是x元，則水費(fèi)是（x-20）元.列一元一次方程得：x+（x-20）=60.解得x=40，因此天然氣費(fèi)是40元，水費(fèi)是20元.思考小紅家今年1月份的天然氣費(fèi)和水費(fèi)共60元，其中天然氣費(fèi)比可以2想一想，還有其他的方法嗎？問題中既要求水費(fèi)，又要求天然氣費(fèi)，可以設(shè)1月份的天然氣費(fèi)是x元，水費(fèi)是y元.根據(jù)題意得x+y=60，①x-y=20.②想一想，還有其他的方法嗎？問題中既要求水費(fèi)，又要求天然氣費(fèi)，3討論觀察方程①、②各含有幾個(gè)未知數(shù)？含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是多少？討論觀察方程①、②各含有幾個(gè)未知數(shù)？含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是4二元一次方程（組）像x+y=60，x-y=20這樣，含有兩個(gè)未知數(shù)(二元)，并且含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，稱這樣的方程為二元一次方程.在方程①和②中，x都表示小紅家1月份的天然氣費(fèi)，y表示1月份的水費(fèi)，它們必須同時(shí)滿足方程①和②，因此把方程①和②用大括號聯(lián)立起來，得二元一次方程（組）像x+y=60，x-y=20這樣，含有兩個(gè)5像這樣，把兩個(gè)含有相同未知數(shù)的二元一次方程（或者一個(gè)二元一次方程，一個(gè)一元一次方程）聯(lián)立起來，組成的方程組，叫作二元一次方程組.像這樣，把兩個(gè)含有相同未知數(shù)的二元一次方程（或者一個(gè)二元一次6把x=40，y=20代入方程組的每一個(gè)方程中，每一個(gè)方程左、右兩邊的值相等嗎？40+20=60，40-20=20.每一個(gè)方程左、右兩邊的值都相等.觀察把x=40，y=20代入方程組7解方程組在一個(gè)二元一次方程組中，使每一個(gè)方程的左、右兩邊的值都相等的一組未知數(shù)的值，叫做這個(gè)方程組的一個(gè)解.我們把x=40，y=20叫做二元一次方程組的一個(gè)解.這個(gè)解通常做求方程組的解的過程叫做解方程組.解方程組在一個(gè)二元一次方程組中，使每一個(gè)方程的左、右兩邊的值8【例】小玲在文具店買了3本練習(xí)本，2支圓珠筆，共花去8元，其中購買的練習(xí)本比圓珠筆多花4元.（1）為了知道練習(xí)本、圓珠筆的單價(jià)是多少元，你能列出相應(yīng)的方程組嗎？（2）是列出二元一次方程組的解嗎？【例】小玲在文具店買了3本練習(xí)本，2支圓珠筆，共花去8（1）9解：（1）設(shè)練習(xí)本的單價(jià)是x元，圓珠筆的單價(jià)是y元.

根據(jù)題意得

（2）把代入方程①中，左邊=右邊，把代入方程②中，左邊=右邊，所以是方程組的解.解：（1）設(shè)練習(xí)本的單價(jià)是x元，圓珠筆的單價(jià)是y元.101.是上例中方程組的解嗎？答案：不是.練習(xí)1.是上例中方程組的解嗎？答案：不112.一條船順流航行，每小時(shí)行24km；逆流航行，每小時(shí)行18km.（1）為了求輪船在靜水中的速度x與水的流速y，你能列出相應(yīng)的方程組嗎？（2）是列出的二元一次方程組的解嗎？答案：（1）

（2）是.2.一條船順流航行，每小時(shí)行24km；逆流航行，每小時(shí)行（1123.是下列那個(gè)哪個(gè)方程組的解？（1）（2）答案：是（1）的解，不是（2）的解.3.是下列那個(gè)哪個(gè)方程組的解？（13通過本節(jié)課，你有什么收獲？你還存在哪些疑問，和同伴交流。我思我進(jìn)步通過本節(jié)課，你有什么收獲？我思我進(jìn)步141.2.1代入消元法1.2二元一次方程組的解法第一章二元一次方程組1.2.1代入消元法1.2二元一次方程組的解法第一章二15新知探究在上一節(jié)中，我們列出了二元一次方程組并且知道x=40，y=20是這個(gè)方程組的一個(gè)解.這個(gè)解是怎么得到的呢？大家都會解一元一次方程，可是現(xiàn)在方程①和方程②中都含有兩個(gè)未知數(shù)，該如何解決呢？②①新知探究在上一節(jié)中，我們列出了二元一次方程組并且知道x=4016方程①和②中的x都表示一月份的天然氣費(fèi)，y都表示一月份的水費(fèi)，因此方程中②中的x，y分別與方程①中的x，y的值相同.由②式可得x=y+20.③于是可以把③代入①式，得（y+20）+y=60，④解方程④，得y=20.把y的值代入③式，得x=40.因此原方程組的解是方程①和②中的x都表示一月份的天然氣費(fèi)，y都表示一月17同桌同學(xué)討論，解二元一次方程組的基本思想法是什么？討論同桌同學(xué)討論，解二元一次方程組的基本思想法是什么？討論18【例1】解二元一次方程組：②①解：由②式得y=-3x+1.③把③代入①式，得5x-（-3x+1）=-9.

解得x=-1.

把x=-1代入③式，得

y=4.

因此原方程組的解是可以把求得的x，y的值代入原方程組檢驗(yàn)，看是否為方程組的解.【例1】解二元一次方程組：②①解：由②式得19代入消元法解二元一次方程組的基本思想是：消去一個(gè)未知數(shù)（簡稱消元），得到一個(gè)一元一次方程，然后解這個(gè)一元一次方程.在上面的例子中，消去一個(gè)未知數(shù)的方法是：把其中一個(gè)方程的某一個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示，然后把它代入到另一個(gè)方程中，便得到一個(gè)一元一次方程.這種解方程組的方法叫作代入消元法，簡稱代入法.代入消元法解二元一次方程組的基本思想是：消去一個(gè)未知數(shù)（簡稱20【例2】用代入法解方程組：②①解：由①式得

③把③代入②式，得解得y=2.

把y=2代入③式，得x=3.

因此原方程組的解是：【例2】用代入法解方程組：②①解：由①式得211.把下列方程改寫為用含x的代數(shù)式表示y的形式.（1）2x-y=-1；（

2）x+2y-2=0.答案：（1）y=2x+1.

（2）練習(xí)1.把下列方程改寫為用含x的代數(shù)式表示y的形式.答案：（1222.用代入法解下列二元一次方程組.（1）（2）（3）（4）答案：（1）（2）（3）（4）2.用代入法解下列二元一次方程組.（1）（2）（3）（4）答23通過本節(jié)課，你有什么收獲？你還存在哪些疑問，和同伴交流。我思我進(jìn)步通過本節(jié)課，你有什么收獲？我思我進(jìn)步241.2.2加減消元法1.2二元一次方程組的解法第一章二元一次方程組1.2.2加減消元法1.2二元一次方程組的解法第一章二25新知探究如何解下面的二元一次方程組？②①我們可以用學(xué)過的代入消元法來解這個(gè)方程組，得新知探究如何解下面的二元一次方程組？②①我們可以用學(xué)過的代入26還有沒有更簡單的解法呢？我們知道解二元一次方程組的關(guān)鍵是消去一個(gè)未知數(shù)，使方程轉(zhuǎn)化為一個(gè)一元一次方程.分析方程①和②，可以發(fā)現(xiàn)未知數(shù)x的系數(shù)相同，因此只要把這兩個(gè)方程的兩邊分別相減，就可以消去其中一個(gè)未知數(shù)x，得到一個(gè)一元一次方程.即①-②，得2x+3y-（2x-3y）=-1-5，解得y=-1.把y=-1代入①式，解得x=1.因此原方程組的解是還有沒有更簡單的解法呢？我們知道解二元一次方程組的關(guān)鍵是消去27分析方程①和②，可以發(fā)現(xiàn)未知數(shù)y的系數(shù)互為相反數(shù)，因此也可以把這兩個(gè)方程的兩邊分別相加，就可以消去其中一個(gè)未知數(shù)y，得到一個(gè)一元一次方程.分析方程①和②，可以發(fā)現(xiàn)未知數(shù)y的系數(shù)互為相反數(shù)，因28【例1】解二元一次方程組：②①解：①+②，得7x+3y+2x-3y=1+8，解得x=1.

把x=1代入①式，可求出y=-2.因此原方程組的解是【例1】解二元一次方程組：②①解：①+②，得729加減消元法消去一個(gè)未知數(shù)的方法是：如果兩個(gè)方程中有一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等，那么把這兩個(gè)方程相減（或相加）；否則，先把其中一個(gè)方程乘以適當(dāng)數(shù)，將所得方程與另一個(gè)方程相減（或相加），或者先把兩個(gè)方程分別乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)，再把所得到的方程相減（或相加）．這種解二元一次方程組的方法叫做加減消元法簡稱加減法.加減消元法消去一個(gè)未知數(shù)的方法是：如果兩個(gè)方程中有一個(gè)未知數(shù)30【例2】解二元一次方程組：②①解：①×3，得6x+9y=-33.③

②-③，得-14y=42，解得y=-3.

把y=-3代入①式，可求出

x=-1.因此原方程組的解是【例2】解二元一次方程組：②①解：①×3，得31在例2中如果先消去y應(yīng)如何解？會與上述結(jié)果一致嗎？討論在例2中如果先消去y應(yīng)如何解？會與上述結(jié)果一致嗎？討論32用加減法解一元二次方程組：（1）（2）（3）（4）答案：（1）（2）（3）（4）練習(xí)用加減法解一元二次方程組：（1）（2）（3）（4）答案：（133加減消元法和代入消元法是解二元一次方程的兩種方法，它們都是通過消去其中一個(gè)未知數(shù)（消元），使二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程，從而求解，只是消元的方法不同，我們可以根據(jù)方程組的具體情況來靈活選擇適合它的消元方法.加減消元法和代入消元法是解二元一次方程的兩種方法，它們34【例3】解二元一次方程組：②①解：①×10，得2m-5n=20.

③

②-③，得3n-（-5n）=4-20，解得n=-2.

把n=-2代入①式，可求出

m=5.因此原方程組的解是【例3】解二元一次方程組：②①解：①×10，得35【例4】解二元一次方程組：②①解：①×4，得12x+16y=32.

③②×3，得12x+9y=-3.④

③-④，得16y-9y=32-（-3），解得y=5.

把y=5代入①式，可求出

x=-4.因此原方程組的解是【例4】解二元一次方程組：②①解：①×4，得36【例5】在方程y=kx+b中，當(dāng)x=1時(shí)，y=-1；當(dāng)x=-1時(shí)，y=3.試求k和b的值.解：根據(jù)題意得①+②，得2=2b，解得b=1.

把b=1代入①式，得k=-2.

所以k=-2，b=1.②①【例5】在方程y=kx+b中，當(dāng)x=1時(shí)，y=-1；當(dāng)x=371.解下列二元一次方程組：（1）（2）答案：（1）（2）練習(xí)1.解下列二元一次方程組：（1）（2）答案：（1）（2）練習(xí)382.已知和都是方程y=ax+b的解，求a，b的值.答案：2.已知和39通過本節(jié)課，你有什么收獲？你還存在哪些疑問，和同伴交流。我思我進(jìn)步通過本節(jié)課，你有什么收獲？我思我進(jìn)步401.3二元一次方程組的應(yīng)用第一章二元一次方程組1.3二元一次方程組的應(yīng)用第一章二元一次方程組41“雞兔同籠”是我國古代著名的數(shù)學(xué)趣題之一.大約在1500年前成書的《孫子算經(jīng)》中就有關(guān)于“雞兔同籠”的記載：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”這四句話的意思是：有若干只雞兔關(guān)在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有35個(gè)頭；從下面數(shù)，有94條腿.問籠中各有幾只雞和兔？思考“雞兔同籠”是我國古代著名的數(shù)學(xué)趣題之一.大約在1500年42本題涉及的等量關(guān)系有：雞頭數(shù)+兔頭數(shù)=35，雞的腿數(shù)+兔子的腿數(shù)=94.設(shè)雞有x只，圖有y只.根據(jù)燈亮關(guān)系，得解這個(gè)方程組，得答：籠中有23只雞，12只兔.本題涉及的等量關(guān)系有：43【例1】某業(yè)余運(yùn)動員針對自行車和長跑項(xiàng)目進(jìn)行專項(xiàng)訓(xùn)練.某次訓(xùn)練中，他騎自行車的平均速度為10m/s，跑步的平均速度為m/s，自行車路段和長跑路段共5km，共用時(shí)15min.求自行車路段和長跑路段的長度.分析：本問題涉及的等量關(guān)系有：自行車路段長度+長跑路段長度=總路程，騎自行車的時(shí)間+長跑時(shí)間=總時(shí)間.【例1】某業(yè)余運(yùn)動員針對自行車和長跑項(xiàng)目進(jìn)行專項(xiàng)訓(xùn)練.分析：44解：設(shè)自行車路段的長度為xm，長跑路段的長度為ym.

根據(jù)等量關(guān)系，得解這個(gè)方程組，得因此自行車路段長度為3000m，長跑路段的長度為2000m.解：設(shè)自行車路段的長度為xm，長跑路段的長度為ym.45【例2】某食品廠要配制含蛋白質(zhì)15%的食品100kg現(xiàn)在有含蛋白質(zhì)分別為20%和12%的甲乙兩種配料.用這兩種配料可以配制出所要求的食品嗎?如果可以的話，它們各需多少千克?分析：本問題涉及的等量關(guān)系有：甲配料質(zhì)量+乙配料質(zhì)量=總質(zhì)量，甲配料含蛋白質(zhì)質(zhì)量+乙配料含蛋白質(zhì)質(zhì)量=總蛋白質(zhì)質(zhì)量.【例2】某食品廠要配制含蛋白質(zhì)15%的食品100kg現(xiàn)在有含46解：設(shè)含蛋白質(zhì)20%的配料需用xkg，含蛋白質(zhì)12%的配料需用ykg.

根據(jù)等量關(guān)系，得解這個(gè)方程組，得答：可以配制出所要求的食品，其中含蛋白質(zhì)20%的配料需用37.5kg，含蛋白質(zhì)12%的配料需用62.5kg.解：設(shè)含蛋白質(zhì)20%的配料需用xkg，含蛋白質(zhì)12%的配料47建立二元一次方程組解決實(shí)際問題的步驟如下：實(shí)際問題列二元一次方程組解方程組檢驗(yàn)解是否符合實(shí)際情況分析等量關(guān)系設(shè)兩個(gè)未知數(shù)建立二元一次方程組解決實(shí)際問題的步驟如下：實(shí)際問題列二元一次481.一塊金與銀的合金重250g，放在水中稱，減輕了16g.已知金在水中稱，金重減輕；銀在水中稱，銀重減輕.求這塊合金中含金、銀各多少克.答案：這塊合金中含金190g，含銀60g.練習(xí)1.一塊金與銀的合金重250g，放在水中稱，減輕了16g.已492.甲、乙兩種商品原來的單價(jià)和為100元，因市場變化，甲商品降價(jià)10%，乙商品提價(jià)40%，調(diào)價(jià)后兩種商品的單價(jià)和比原來的單價(jià)和提高了20%.求甲、乙兩種商品原來的單價(jià).答案：甲商品原來的單價(jià)40元，乙商品原來的單價(jià)60元.2.甲、乙兩種商品原來的單價(jià)和為100元，因市場變化，甲答案50小華從家里到學(xué)校的路是一段平路和一段下坡路.假設(shè)他始終保持平路每分鐘走60m，下坡路每分鐘走80m，上坡路每分鐘走40m，則他從家里到學(xué)校需要10min，從學(xué)校到家里需15min.問小華家離學(xué)校多遠(yuǎn)？思考小華從家里到學(xué)校的路是一段平路和一段下坡路.假設(shè)他始終思考51小華家到學(xué)校的路程分為兩段：平路與坡路（回家所走的上坡路長即為去學(xué)校的下坡路長）.根據(jù)問題中涉及的路程、速度與時(shí)間的數(shù)量關(guān)系，可得走平路的時(shí)間+走下坡路的時(shí)間=10min，走上坡路的時(shí)間+走平路的時(shí)間=15min.設(shè)小華家到學(xué)校平路長xm，下坡長ym.根據(jù)等量關(guān)系得小華家到學(xué)校的路程分為兩段：平路與坡路（回家所走的52解這個(gè)方程組，得因此，平路長為300m，下坡長為400m，小華家離學(xué)校700m.解這個(gè)方程組，得因此，平路長為300m，下坡長為400m，小53【例3】某城市規(guī)定：出租車起步價(jià)所包含的路程為0~3km，超過3km的部分按每千米另收費(fèi).甲說：“我乘這種出租車走了11km，付了17元.”乙說：“我乘這種出租車走了23km，付了35元.”請你算一算：出租車的起步價(jià)是多少元？超過3km后，每千米的車費(fèi)是多少元？分析：本問題涉及的等量關(guān)系有：總車費(fèi)=0~3km的車費(fèi)（起步價(jià)）+超過3km后的車費(fèi).【例3】某城市規(guī)定：出租車起步價(jià)所包含的路程為0~3km，分54解：設(shè)出租車的起步價(jià)是x元，超過3km后每千米收費(fèi)y元.根據(jù)等量關(guān)系，得即解這個(gè)方程組，得答：這種出租車的起步價(jià)是5元，超過3km后每千米收費(fèi)1.5元.解：設(shè)出租車的起步價(jià)是x元，超過3km后每千米收費(fèi)y元.55【例4】某裝訂車間的工人要將一批書打包后送往郵局，其中每包書的數(shù)目相等.第一次它們領(lǐng)來這批書的，結(jié)果打了14個(gè)包還多35本；第二次他們把剩下的書全部取出來，連同第一次打包打包剩下的書一起，剛好又打了11包.那么這批書共有多少本？【例4】某裝訂車間的工人要將一批書打包后送往郵局，其56解：設(shè)這批書共有x本，每包書有y本.

根據(jù)等量關(guān)系，得

解這個(gè)方程組，得答：這批書共有1500本.解：設(shè)這批書共有x本，每包書有y本.571.星期日，小軍與小明所在年級分別有同學(xué)去頤和園和圓明園參觀，其參觀人數(shù)和門票花費(fèi)如下表：頤和園參觀人數(shù)圓明園參觀人數(shù)門票花費(fèi)總計(jì)小軍所在年級3030750元小明所在年級3020650元問：頤和園和圓明園的門票各多少元？答案：頤和園門票15元，圓明園門票10元.思考1.星期日，小軍與小明所在年級分別有同學(xué)去頤和園和圓明園參觀582.王先生家廚房需更換地面瓷磚，他采用兩種顏色的地磚搭配使用，其中彩色地磚24元/塊，單色地磚12元/塊，購買的單色地磚數(shù)比彩色地磚數(shù)的2倍少15塊，買兩種地磚共花去2220元.求購買的彩色地磚數(shù)和單色地磚數(shù).答案：購買彩色地磚50塊，單色地磚85塊.2.王先生家廚房需更換地面瓷磚，他采用兩種顏色的地磚搭答案：59通過本節(jié)課，你有什么收獲？你還存在哪些疑問，和同伴交流。我思我進(jìn)步通過本節(jié)課，你有什么收獲？我思我進(jìn)步601.4三元一次方程組第一章二元一次方程組1.4三元一次方程組第一章二元一次方程組61小麗家三口人的年齡之和為80歲，小麗的爸爸比媽媽大6歲，小麗的年齡是爸爸與媽媽年齡和的.問這家人的年齡分別是多少歲?可建立二元一次方程組來解決.設(shè)爸爸的年齡為x歲，小麗的年齡為y歲，則媽媽的年齡為（x-6）歲.根據(jù)題意得：思考小麗家三口人的年齡之和為80歲，小麗的爸爸比媽媽大6歲，小可62解上述方程組得x=38，y=10.因此爸爸的年齡為38歲，媽媽的年齡為32歲，小麗的年齡為10歲.想一想，還有其他的方法列方程組求解嗎？因?yàn)橐笕齻€(gè)人的年齡，所以可設(shè)爸爸的年齡為x歲，媽媽的年齡為y歲，小麗的年齡為z歲.根據(jù)題意得：

x+y+z=80，

x-y=6，x+y=7z.解上述方程組得x=38，y=10.想一想，還有其他的方法列方63三人的年齡必須同時(shí)滿足上述三個(gè)方程，所以，我們把這三個(gè)方程聯(lián)立在一起寫成：可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)方程組中含有三個(gè)未知數(shù)，每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)均為1，并且一共有三個(gè)方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組.在三元一次方程組中，適合每一個(gè)方程的一組未知數(shù)的值，叫做這個(gè)方程組的一個(gè)解.三人的年齡必須同時(shí)滿足上述三個(gè)方程，所以，我們把這可以發(fā)現(xiàn)，64解二元一次方程組可以利用代入法或加減法消去一個(gè)未知數(shù)，使其轉(zhuǎn)化為一元一次方程來求解，那么我們在解三元一次方程組時(shí)，能不能同樣利用代入法或加減法來消去一個(gè)或兩個(gè)未知數(shù)，使其轉(zhuǎn)化為二元一次方程組或一元一次方程呢？思考解二元一次方程組可以利用代入法或加減法消去一個(gè)未知數(shù)，思考65現(xiàn)在我們來解下面的三元一次方程組：①②③我們把①、②兩式相加得到一個(gè)只含x和z的二元一次方程，即2x+z=86.再把②、③兩式相加又得到一個(gè)只含x和z的二元一次方程，即2x=6+7z.由此可得到一個(gè)關(guān)于x，z的二元一次方程組：解得現(xiàn)在我們來解下面的三元一次方程組：①②③我們把①、②兩式相加66把x=38，z=10代入①式，得38+y+10=80，解得y=32.因此，三元一次方程組的解為從上面解方程組的過程可以看出，解三元一次方程組的基本思想是：先消去一個(gè)未知數(shù)，將解三元一次方程組轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組，進(jìn)而再轉(zhuǎn)化為解二元一次方程.消元的基本方法仍然是代入法和加減法.把x=38，z=10代入①式，得38+y+10=8067【例】解三元一次方程組：分析：通過觀察發(fā)現(xiàn)，z或y的系數(shù)較為簡單，可以先下去消去z或y來求解.①②③【例】解三元一次方程組：分析：通過觀察發(fā)現(xiàn)，z或y的系數(shù)較為68解：②×4-①，得7x-17z=4.

②-③，得2x-5z=3.兩次轉(zhuǎn)化都必須是消去同一個(gè)未知數(shù).由此得到解這個(gè)二元一次方程組得把x=-31，z=-13代入③式，得y=42.所以原方程組的解為解：②×4-①，得7x-17z=4.兩次轉(zhuǎn)化都必須是691.解下列三元一次方程組：（1）（2）答案：（1）（2）練習(xí)1.解下列三元一次方程組：（1）（2）答案：（1）（2）練習(xí)702.有甲、乙、丙三人，若甲、乙的年齡之和為15歲，乙、丙的年齡之和為16歲，丙、甲的年齡之和為17歲，則甲、乙、丙三人的年齡分別為多少歲？答案：甲8歲，乙7歲，丙9歲.2.有甲、乙、丙三人，若甲、乙的年齡之和為15歲，乙、丙答案71通過本節(jié)課，你有什么收獲？你還存在哪些疑問，和同伴交流。我思我進(jìn)步通過本節(jié)課，你有什么收獲？我思我進(jìn)步721.1建立二元一次方程組第一章二元一次方程組1.1建立二元一次方程組第一章二元一次方程組73小紅家今年1月份的天然氣費(fèi)和水費(fèi)共60元，其中天然氣費(fèi)比水費(fèi)多20元.你能算出1月份小紅家的天然氣費(fèi)和水費(fèi)分別是多少嗎？可以設(shè)1月份的天然氣費(fèi)是x元，則水費(fèi)是（x-20）元.列一元一次方程得：x+（x-20）=60.解得x=40，因此天然氣費(fèi)是40元，水費(fèi)是20元.思考小紅家今年1月份的天然氣費(fèi)和水費(fèi)共60元，其中天然氣費(fèi)比可以74想一想，還有其他的方法嗎？問題中既要求水費(fèi)，又要求天然氣費(fèi)，可以設(shè)1月份的天然氣費(fèi)是x元，水費(fèi)是y元.根據(jù)題意得x+y=60，①x-y=20.②想一想，還有其他的方法嗎？問題中既要求水費(fèi)，又要求天然氣費(fèi)，75討論觀察方程①、②各含有幾個(gè)未知數(shù)？含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是多少？討論觀察方程①、②各含有幾個(gè)未知數(shù)？含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是76二元一次方程（組）像x+y=60，x-y=20這樣，含有兩個(gè)未知數(shù)(二元)，并且含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，稱這樣的方程為二元一次方程.在方程①和②中，x都表示小紅家1月份的天然氣費(fèi)，y表示1月份的水費(fèi)，它們必須同時(shí)滿足方程①和②，因此把方程①和②用大括號聯(lián)立起來，得二元一次方程（組）像x+y=60，x-y=20這樣，含有兩個(gè)77像這樣，把兩個(gè)含有相同未知數(shù)的二元一次方程（或者一個(gè)二元一次方程，一個(gè)一元一次方程）聯(lián)立起來，組成的方程組，叫作二元一次方程組.像這樣，把兩個(gè)含有相同未知數(shù)的二元一次方程（或者一個(gè)二元一次78把x=40，y=20代入方程組的每一個(gè)方程中，每一個(gè)方程左、右兩邊的值相等嗎？40+20=60，40-20=20.每一個(gè)方程左、右兩邊的值都相等.觀察把x=40，y=20代入方程組79解方程組在一個(gè)二元一次方程組中，使每一個(gè)方程的左、右兩邊的值都相等的一組未知數(shù)的值，叫做這個(gè)方程組的一個(gè)解.我們把x=40，y=20叫做二元一次方程組的一個(gè)解.這個(gè)解通常做求方程組的解的過程叫做解方程組.解方程組在一個(gè)二元一次方程組中，使每一個(gè)方程的左、右兩邊的值80【例】小玲在文具店買了3本練習(xí)本，2支圓珠筆，共花去8元，其中購買的練習(xí)本比圓珠筆多花4元.（1）為了知道練習(xí)本、圓珠筆的單價(jià)是多少元，你能列出相應(yīng)的方程組嗎？（2）是列出二元一次方程組的解嗎？【例】小玲在文具店買了3本練習(xí)本，2支圓珠筆，共花去8（1）81解：（1）設(shè)練習(xí)本的單價(jià)是x元，圓珠筆的單價(jià)是y元.

根據(jù)題意得

（2）把代入方程①中，左邊=右邊，把代入方程②中，左邊=右邊，所以是方程組的解.解：（1）設(shè)練習(xí)本的單價(jià)是x元，圓珠筆的單價(jià)是y元.821.是上例中方程組的解嗎？答案：不是.練習(xí)1.是上例中方程組的解嗎？答案：不832.一條船順流航行，每小時(shí)行24km；逆流航行，每小時(shí)行18km.（1）為了求輪船在靜水中的速度x與水的流速y，你能列出相應(yīng)的方程組嗎？（2）是列出的二元一次方程組的解嗎？答案：（1）

（2）是.2.一條船順流航行，每小時(shí)行24km；逆流航行，每小時(shí)行（1843.是下列那個(gè)哪個(gè)方程組的解？（1）（2）答案：是（1）的解，不是（2）的解.3.是下列那個(gè)哪個(gè)方程組的解？（85通過本節(jié)課，你有什么收獲？你還存在哪些疑問，和同伴交流。我思我進(jìn)步通過本節(jié)課，你有什么收獲？我思我進(jìn)步861.2.1代入消元法1.2二元一次方程組的解法第一章二元一次方程組1.2.1代入消元法1.2二元一次方程組的解法第一章二87新知探究在上一節(jié)中，我們列出了二元一次方程組并且知道x=40，y=20是這個(gè)方程組的一個(gè)解.這個(gè)解是怎么得到的呢？大家都會解一元一次方程，可是現(xiàn)在方程①和方程②中都含有兩個(gè)未知數(shù)，該如何解決呢？②①新知探究在上一節(jié)中，我們列出了二元一次方程組并且知道x=4088方程①和②中的x都表示一月份的天然氣費(fèi)，y都表示一月份的水費(fèi)，因此方程中②中的x，y分別與方程①中的x，y的值相同.由②式可得x=y+20.③于是可以把③代入①式，得（y+20）+y=60，④解方程④，得y=20.把y的值代入③式，得x=40.因此原方程組的解是方程①和②中的x都表示一月份的天然氣費(fèi)，y都表示一月89同桌同學(xué)討論，解二元一次方程組的基本思想法是什么？討論同桌同學(xué)討論，解二元一次方程組的基本思想法是什么？討論90【例1】解二元一次方程組：②①解：由②式得y=-3x+1.③把③代入①式，得5x-（-3x+1）=-9.

解得x=-1.

把x=-1代入③式，得

y=4.

因此原方程組的解是可以把求得的x，y的值代入原方程組檢驗(yàn)，看是否為方程組的解.【例1】解二元一次方程組：②①解：由②式得91代入消元法解二元一次方程組的基本思想是：消去一個(gè)未知數(shù)（簡稱消元），得到一個(gè)一元一次方程，然后解這個(gè)一元一次方程.在上面的例子中，消去一個(gè)未知數(shù)的方法是：把其中一個(gè)方程的某一個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示，然后把它代入到另一個(gè)方程中，便得到一個(gè)一元一次方程.這種解方程組的方法叫作代入消元法，簡稱代入法.代入消元法解二元一次方程組的基本思想是：消去一個(gè)未知數(shù)（簡稱92【例2】用代入法解方程組：②①解：由①式得

③把③代入②式，得解得y=2.

把y=2代入③式，得x=3.

因此原方程組的解是：【例2】用代入法解方程組：②①解：由①式得931.把下列方程改寫為用含x的代數(shù)式表示y的形式.（1）2x-y=-1；（

2）x+2y-2=0.答案：（1）y=2x+1.

（2）練習(xí)1.把下列方程改寫為用含x的代數(shù)式表示y的形式.答案：（1942.用代入法解下列二元一次方程組.（1）（2）（3）（4）答案：（1）（2）（3）（4）2.用代入法解下列二元一次方程組.（1）（2）（3）（4）答95通過本節(jié)課，你有什么收獲？你還存在哪些疑問，和同伴交流。我思我進(jìn)步通過本節(jié)課，你有什么收獲？我思我進(jìn)步961.2.2加減消元法1.2二元一次方程組的解法第一章二元一次方程組1.2.2加減消元法1.2二元一次方程組的解法第一章二97新知探究如何解下面的二元一次方程組？②①我們可以用學(xué)過的代入消元法來解這個(gè)方程組，得新知探究如何解下面的二元一次方程組？②①我們可以用學(xué)過的代入98還有沒有更簡單的解法呢？我們知道解二元一次方程組的關(guān)鍵是消去一個(gè)未知數(shù)，使方程轉(zhuǎn)化為一個(gè)一元一次方程.分析方程①和②，可以發(fā)現(xiàn)未知數(shù)x的系數(shù)相同，因此只要把這兩個(gè)方程的兩邊分別相減，就可以消去其中一個(gè)未知數(shù)x，得到一個(gè)一元一次方程.即①-②，得2x+3y-（2x-3y）=-1-5，解得y=-1.把y=-1代入①式，解得x=1.因此原方程組的解是還有沒有更簡單的解法呢？我們知道解二元一次方程組的關(guān)鍵是消去99分析方程①和②，可以發(fā)現(xiàn)未知數(shù)y的系數(shù)互為相反數(shù)，因此也可以把這兩個(gè)方程的兩邊分別相加，就可以消去其中一個(gè)未知數(shù)y，得到一個(gè)一元一次方程.分析方程①和②，可以發(fā)現(xiàn)未知數(shù)y的系數(shù)互為相反數(shù)，因100【例1】解二元一次方程組：②①解：①+②，得7x+3y+2x-3y=1+8，解得x=1.

把x=1代入①式，可求出y=-2.因此原方程組的解是【例1】解二元一次方程組：②①解：①+②，得7101加減消元法消去一個(gè)未知數(shù)的方法是：如果兩個(gè)方程中有一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等，那么把這兩個(gè)方程相減（或相加）；否則，先把其中一個(gè)方程乘以適當(dāng)數(shù)，將所得方程與另一個(gè)方程相減（或相加），或者先把兩個(gè)方程分別乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)，再把所得到的方程相減（或相加）．這種解二元一次方程組的方法叫做加減消元法簡稱加減法.加減消元法消去一個(gè)未知數(shù)的方法是：如果兩個(gè)方程中有一個(gè)未知數(shù)102【例2】解二元一次方程組：②①解：①×3，得6x+9y=-33.③

②-③，得-14y=42，解得y=-3.

把y=-3代入①式，可求出

x=-1.因此原方程組的解是【例2】解二元一次方程組：②①解：①×3，得103在例2中如果先消去y應(yīng)如何解？會與上述結(jié)果一致嗎？討論在例2中如果先消去y應(yīng)如何解？會與上述結(jié)果一致嗎？討論104用加減法解一元二次方程組：（1）（2）（3）（4）答案：（1）（2）（3）（4）練習(xí)用加減法解一元二次方程組：（1）（2）（3）（4）答案：（1105加減消元法和代入消元法是解二元一次方程的兩種方法，它們都是通過消去其中一個(gè)未知數(shù)（消元），使二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程，從而求解，只是消元的方法不同，我們可以根據(jù)方程組的具體情況來靈活選擇適合它的消元方法.加減消元法和代入消元法是解二元一次方程的兩種方法，它們106【例3】解二元一次方程組：②①解：①×10，得2m-5n=20.

③

②-③，得3n-（-5n）=4-20，解得n=-2.

把n=-2代入①式，可求出

m=5.因此原方程組的解是【例3】解二元一次方程組：②①解：①×10，得107【例4】解二元一次方程組：②①解：①×4，得12x+16y=32.

③②×3，得12x+9y=-3.④

③-④，得16y-9y=32-（-3），解得y=5.

把y=5代入①式，可求出

x=-4.因此原方程組的解是【例4】解二元一次方程組：②①解：①×4，得108【例5】在方程y=kx+b中，當(dāng)x=1時(shí)，y=-1；當(dāng)x=-1時(shí)，y=3.試求k和b的值.解：根據(jù)題意得①+②，得2=2b，解得b=1.

把b=1代入①式，得k=-2.

所以k=-2，b=1.②①【例5】在方程y=kx+b中，當(dāng)x=1時(shí)，y=-1；當(dāng)x=1091.解下列二元一次方程組：（1）（2）答案：（1）（2）練習(xí)1.解下列二元一次方程組：（1）（2）答案：（1）（2）練習(xí)1102.已知和都是方程y=ax+b的解，求a，b的值.答案：2.已知和111通過本節(jié)課，你有什么收獲？你還存在哪些疑問，和同伴交流。我思我進(jìn)步通過本節(jié)課，你有什么收獲？我思我進(jìn)步1121.3二元一次方程組的應(yīng)用第一章二元一次方程組1.3二元一次方程組的應(yīng)用第一章二元一次方程組113“雞兔同籠”是我國古代著名的數(shù)學(xué)趣題之一.大約在1500年前成書的《孫子算經(jīng)》中就有關(guān)于“雞兔同籠”的記載：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”這四句話的意思是：有若干只雞兔關(guān)在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有35個(gè)頭；從下面數(shù)，有94條腿.問籠中各有幾只雞和兔？思考“雞兔同籠”是我國古代著名的數(shù)學(xué)趣題之一.大約在1500年114本題涉及的等量關(guān)系有：雞頭數(shù)+兔頭數(shù)=35，雞的腿數(shù)+兔子的腿數(shù)=94.設(shè)雞有x只，圖有y只.根據(jù)燈亮關(guān)系，得解這個(gè)方程組，得答：籠中有23只雞，12只兔.本題涉及的等量關(guān)系有：115【例1】某業(yè)余運(yùn)動員針對自行車和長跑項(xiàng)目進(jìn)行專項(xiàng)訓(xùn)練.某次訓(xùn)練中，他騎自行車的平均速度為10m/s，跑步的平均速度為m/s，自行車路段和長跑路段共5km，共用時(shí)15min.求自行車路段和長跑路段的長度.分析：本問題涉及的等量關(guān)系有：自行車路段長度+長跑路段長度=總路程，騎自行車的時(shí)間+長跑時(shí)間=總時(shí)間.【例1】某業(yè)余運(yùn)動員針對自行車和長跑項(xiàng)目進(jìn)行專項(xiàng)訓(xùn)練.分析：116解：設(shè)自行車路段的長度為xm，長跑路段的長度為ym.

根據(jù)等量關(guān)系，得解這個(gè)方程組，得因此自行車路段長度為3000m，長跑路段的長度為2000m.解：設(shè)自行車路段的長度為xm，長跑路段的長度為ym.117【例2】某食品廠要配制含蛋白質(zhì)15%的食品100kg現(xiàn)在有含蛋白質(zhì)分別為20%和12%的甲乙兩種配料.用這兩種配料可以配制出所要求的食品嗎?如果可以的話，它們各需多少千克?分析：本問題涉及的等量關(guān)系有：甲配料質(zhì)量+乙配料質(zhì)量=總質(zhì)量，甲配料含蛋白質(zhì)質(zhì)量+乙配料含蛋白質(zhì)質(zhì)量=總蛋白質(zhì)質(zhì)量.【例2】某食品廠要配制含蛋白質(zhì)15%的食品100kg現(xiàn)在有含118解：設(shè)含蛋白質(zhì)20%的配料需用xkg，含蛋白質(zhì)12%的配料需用ykg.

根據(jù)等量關(guān)系，得解這個(gè)方程組，得答：可以配制出所要求的食品，其中含蛋白質(zhì)20%的配料需用37.5kg，含蛋白質(zhì)12%的配料需用62.5kg.解：設(shè)含蛋白質(zhì)20%的配料需用xkg，含蛋白質(zhì)12%的配料119建立二元一次方程組解決實(shí)際問題的步驟如下：實(shí)際問題列二元一次方程組解方程組檢驗(yàn)解是否符合實(shí)際情況分析等量關(guān)系設(shè)兩個(gè)未知數(shù)建立二元一次方程組解決實(shí)際問題的步驟如下：實(shí)際問題列二元一次1201.一塊金與銀的合金重250g，放在水中稱，減輕了16g.已知金在水中稱，金重減輕；銀在水中稱，銀重減輕.求這塊合金中含金、銀各多少克.答案：這塊合金中含金190g，含銀60g.練習(xí)1.一塊金與銀的合金重250g，放在水中稱，減輕了16g.已1212.甲、乙兩種商品原來的單價(jià)和為100元，因市場變化，甲商品降價(jià)10%，乙商品提價(jià)40%，調(diào)價(jià)后兩種商品的單價(jià)和比原來的單價(jià)和提高了20%.求甲、乙兩種商品原來的單價(jià).答案：甲商品原來的單價(jià)40元，乙商品原來的單價(jià)60元.2.甲、乙兩種商品原來的單價(jià)和為100元，因市場變化，甲答案122小華從家里到學(xué)校的路是一段平路和一段下坡路.假設(shè)他始終保持平路每分鐘走60m，下坡路每分鐘走80m，上坡路每分鐘走40m，則他從家里到學(xué)校需要10min，從學(xué)校到家里需15min.問小華家離學(xué)校多遠(yuǎn)？思考小華從家里到學(xué)校的路是一段平路和一段下坡路.假設(shè)他始終思考123小華家到學(xué)校的路程分為兩段：平路與坡路（回家所走的上坡路長即為去學(xué)校的下坡路長）.根據(jù)問題中涉及的路程、速度與時(shí)間的數(shù)量關(guān)系，可得走平路的時(shí)間+走下坡路的時(shí)間=10min，走上坡路的時(shí)間+走平路的時(shí)間=15min.設(shè)小華家到學(xué)校平路長xm，下坡長ym.根據(jù)等量關(guān)系得小華家到學(xué)校的路程分為兩段：平路與坡路（回家所走的124解這個(gè)方程組，得因此，平路長為300m，下坡長為400m，小華家離學(xué)校700m.解這個(gè)方程組，得因此，平路長為300m，下坡長為400m，小125【例3】某城市規(guī)定：出租車起步價(jià)所包含的路程為0~3km，超過3km的部分按每千米另收費(fèi).甲說：“我乘這種出租車走了11km，付了17元.”乙說：“我乘這種出租車走了23km，付了35元.”請你算一算：出租車的起步價(jià)是多少元？超過3km后，每千米的車費(fèi)是多少元？分析：本問題涉及的等量關(guān)系有：總車費(fèi)=0~3km的車費(fèi)（起步價(jià)）+超過3km后的車費(fèi).【例3】某城市規(guī)定：出租車起步價(jià)所包含的路程為0~3km，分126解：設(shè)出租車的起步價(jià)是x元，超過3km后每千米收費(fèi)y元.根據(jù)等量關(guān)系，得即解這個(gè)方程組，得答：這種出租車的起步價(jià)是5元，超過3km后每千米收費(fèi)1.5元.解：設(shè)出租車的起步價(jià)是x元，超過3km后每千米收費(fèi)y元.127【例4】某裝訂車間的工人要將一批書打包后送往郵局，其中每包書的數(shù)目相等.第一次它們領(lǐng)來這批書的，結(jié)果打了14個(gè)包還多35本；第二次他們把剩下的書全部取出來，連同第一次打包打包剩下的書一起，剛好又打了11包.那么這批書共有多少本？【例4】某裝訂車間的工人要將一批書打包后送往郵局，其128解：設(shè)這批書共有x本，每包書有y本.

根據(jù)等量關(guān)系，得

解這個(gè)方程組，得答：這批書共有1500本.解：設(shè)這批書共有x本，每包書有y本.1291.星期日，小軍與小明所在年級分別有同學(xué)去頤和園和圓明園參觀，其參觀人數(shù)和門票花