抽樣信號(hào)與抽樣定理課件

§3.10~3.11抽樣信號(hào)與抽樣定理*時(shí)間抽樣與空間抽樣的實(shí)例演示§3.10~3.11抽樣信號(hào)與抽樣定理*時(shí)間抽樣與空間抽樣的1數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)簡(jiǎn)單框圖數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)簡(jiǎn)單框圖2模擬語音信號(hào)輸入反混迭失真濾波器取樣量化碼化器A/DDCM數(shù)字語音信號(hào)輸出一.抽樣的目的及所遇到的問題

pulsecodemodulation(PCM)模擬反混迭失真取樣量化碼A/DDCM數(shù)字一.抽樣的目的及所遇3問題：1）抽樣后離散信號(hào)的頻譜是什么樣的？它與未被抽樣的連續(xù)信號(hào)的頻譜有什么關(guān)系？2）連續(xù)信號(hào)被抽樣后，是否保留了原信號(hào)的所有信息？即在什么條件下，可以從抽樣的信號(hào)還原成原始信號(hào)？時(shí)域抽樣簡(jiǎn)圖：連續(xù)信號(hào)f(t)抽樣脈沖抽樣信號(hào)量化編碼fs(t)數(shù)字信號(hào)問題：時(shí)域抽樣簡(jiǎn)圖：連續(xù)信抽樣脈沖抽樣信號(hào)量化編碼fs(t)4連續(xù)離散抽樣還原（有條件）抽樣時(shí)域頻域自然抽樣理想抽樣平頂抽樣（矩形抽樣）（沖激抽樣）低通帶通(3-42)連續(xù)離散抽樣還原（有條件）抽樣時(shí)域頻域自然抽樣理想抽樣平頂抽5二.時(shí)域抽樣抽樣過程可以看成由原信號(hào)f(t)和一個(gè)開關(guān)函數(shù)p(t)的乘積來描述。

1)矩形脈沖的抽樣（自然抽樣）此時(shí)的抽樣脈沖p(t)是矩形。由于fs(t)=f(t)p(t)抽樣信號(hào)在抽樣期間脈沖頂部隨f(t)變化，故這種采樣稱為“自然抽樣”。時(shí)域抽樣簡(jiǎn)圖連續(xù)信號(hào)f(t)抽樣脈沖抽樣信號(hào)量化編碼fs(t)數(shù)字信號(hào)二.時(shí)域抽樣1)矩形脈沖的抽樣（自然抽樣）時(shí)域抽樣簡(jiǎn)圖連6*抽樣信號(hào)頻譜推導(dǎo)：令模擬帶限信號(hào)傅立葉變換為F(w).即f(t)F(w)抽樣脈沖序列的傅立葉變換為p(t)P(w)設(shè)抽樣為均勻抽樣，周期為Ts，則抽樣頻率為由于p(t)是周期信號(hào)，可知p(t)的傅立葉變換為：其中*抽樣信號(hào)頻譜推導(dǎo)：由于p(t)是周期信號(hào)，可知p(t)的傅7由頻域卷積定理得，時(shí)域相乘的傅立葉變換等于它們的頻譜在頻域里相卷積。把計(jì)算出的P(w)代入上式得：上式表明： 信號(hào)在時(shí)域被抽樣后，它的頻譜Fs(w)是連續(xù)信號(hào)的頻譜F(w)以抽樣頻率Ws為間隔周期地重復(fù)而得到的。在重復(fù)過程中，幅度被抽樣脈沖p(t)的傅立葉系數(shù)所加權(quán)，加權(quán)系數(shù)取決于抽樣脈沖序列的形狀。由頻域卷積定理得，時(shí)域相乘的傅立葉變換等于它們的頻譜在頻域里8由以上推導(dǎo)可知，當(dāng)抽樣脈沖為矩形抽樣脈沖時(shí)，幅度以Sa函數(shù)的規(guī)律變化。從Fs(w)的頻譜圖可見抽樣后的信號(hào)頻譜包括有原信號(hào)的頻譜以及無限個(gè)經(jīng)過平移的原信號(hào)的頻譜，平移的頻率為抽樣頻率及其各次諧波頻率。且平移后的頻譜幅值隨頻率而呈Sa函數(shù)分布。但因矩形脈沖占空系數(shù)很小，所以其頻譜所占的頻帶幾乎是無限寬的。由以上推導(dǎo)可知，當(dāng)抽樣脈沖為矩形抽樣脈沖時(shí)，幅度以Sa函數(shù)的9(1)如果抽樣脈沖寬度與系統(tǒng)中各時(shí)間常數(shù)相比十分小的時(shí)候，這個(gè)沖激函數(shù)的假定將是一個(gè)很好的近似，它將使分析簡(jiǎn)化。(2)通過沖激抽樣的方法在數(shù)字信號(hào)處理中有著廣泛的應(yīng)用。（點(diǎn)抽樣；均勻抽樣）結(jié)語：抽樣率必須選得大于信號(hào)頻譜最高頻率的兩倍。結(jié)語：抽樣率必須選得大于信號(hào)頻譜最高頻率的兩倍。10２）沖激抽樣若抽樣脈沖是沖激序列，此時(shí)稱為“沖激抽樣”或“理想抽樣”。設(shè)Ts為抽樣間隔，則抽樣脈沖為由于T(t)的傅立葉系數(shù)為：所以沖激抽樣信號(hào)的頻譜為：２）沖激抽樣由于T(t)的傅立葉系數(shù)為：所以沖激抽樣信11上式表明：由于沖激序列的傅立葉系數(shù)Pn為常數(shù)，所以F(w)是以ws為周期等幅地重復(fù)，如下圖所示：F(w)-wmwmwFs(w)1/Tsws-wsw抽樣前信號(hào)頻譜抽樣后信號(hào)頻譜下面對(duì)矩形脈沖抽樣和沖激抽樣進(jìn)行比較和小結(jié)：上式表明：由于沖激序列的傅立葉系數(shù)Pn為常數(shù)，所以F(w)是12時(shí)域理想抽樣的傅立葉變換FT

相卷積相乘FT時(shí)域理想抽樣的傅立葉變換FT相卷積相乘FT13關(guān)于非理想抽樣理想抽樣非理想抽樣關(guān)于非理想抽樣理想抽樣非理想抽樣14*結(jié)語*結(jié)語15唯一唯一唯一唯一16f.不滿足抽樣定理時(shí)產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象f.不滿足抽樣定理時(shí)產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象17設(shè)有一連續(xù)信號(hào)f(t)，它的頻譜則只要抽樣間隔滿足，連續(xù)信號(hào)f(t)就可表示為：證明：由于f(t)的頻帶有限,而時(shí)域抽樣必導(dǎo)致頻域周期。在周期重復(fù)時(shí)，為保證|wm|內(nèi)為F(w)，則重復(fù)周期應(yīng)滿足ws>=2wm,將抽樣信號(hào)通過截止頻率為wm的理想低通濾波器，便能從Fs(w)中恢復(fù)F(w),也就是說，能從抽樣信號(hào)fs(t)中恢復(fù)三.抽樣定理（定理一）Fs(w)設(shè)有一連續(xù)信號(hào)f(t)，它的頻譜證明：由于f(t)的頻帶有18復(fù)原始信號(hào)f(t)。設(shè)f(t)F(w),fs(t)Fs(w),則當(dāng)Fs(w)通過截止頻率為wm的理想低通濾波器時(shí)，濾波器的響應(yīng)頻譜為F(w),顯然濾波器的作用等效于一個(gè)開關(guān)函數(shù)G2wm(w)同F(xiàn)s(w)的相乘。由時(shí)域卷積定理知：由傅立葉變換的對(duì)稱性可知：而復(fù)原始信號(hào)f(t)。設(shè)f(t)F(w),fs(t)F19則（內(nèi)插公式）證畢上式表明f(t)可以展開為正交的抽樣函數(shù)的無窮級(jí)數(shù)且級(jí)數(shù)的系數(shù)等于抽樣值f(nTs),這樣，若在抽樣信號(hào)fs(t)的每個(gè)抽樣值上畫一個(gè)峰值為f(nTs)的Sa函數(shù)的波形，合成的波形就是f(t).另外，我們知道：Sa函數(shù)的波形就是理想低通濾波器的沖激響應(yīng)h(t)，這樣，若fs(t)通過理想低通濾波器，那么每一個(gè)抽樣值產(chǎn)生一個(gè)沖激響應(yīng)h(t)，這些響應(yīng)進(jìn)行疊加便得到f(t)，從而達(dá)到恢復(fù)信號(hào)的目的。則（內(nèi)插公式）證畢上式表明f(t)可以展開為正交的20Tsfs(t)tTsh(t)Tsf(t)卷積Fs(w)wmws1wcH(w)相乘F(w)wmTsfs(t)tTsh(t)Tsf(t)卷積Fs(w)wmw21由抽樣信號(hào)恢復(fù)原連續(xù)信號(hào)取主頻帶：時(shí)域卷積定理：由抽樣信號(hào)恢復(fù)原連續(xù)信號(hào)取主頻帶：22定理二：設(shè)f(t)是一帶限連續(xù)信號(hào)，最高頻率為wm,根據(jù)定理一對(duì)f(t)進(jìn)行抽樣，得f(nT)，則f(nT)經(jīng)過一個(gè)頻率響應(yīng)為如圖的理想低通濾波器后便得到f(t).(自證)H(jw)wwc-wc10由于定理二是討論由離散信號(hào)恢復(fù)成連續(xù)信號(hào)，所以又稱重建定理。*信號(hào)抽樣與重建的動(dòng)態(tài)演示定理二：設(shè)f(t)是一帶限連續(xù)信號(hào)，最高頻率為wm,根據(jù)定理23三.頻域抽樣但反之不一定成立如：白噪聲時(shí)域抽樣與頻域抽樣的對(duì)稱性頻域有限時(shí)域無限時(shí)域有限頻域無限F(jw)f(t)F(jw)以ws為周期重復(fù)f(t)以T為周期重復(fù)ws三.頻域抽樣但反之不一定成立時(shí)域抽樣與頻域抽樣的對(duì)稱性頻域有24*頻域抽樣定理若信號(hào)為時(shí)限信號(hào)，它集中在的時(shí)間范圍內(nèi)，若在頻域中，以不大于的頻率間隔對(duì)的頻譜進(jìn)行抽樣，則抽樣后的頻譜可以唯一地表示原信號(hào)。*頻域抽樣定理若信號(hào)為時(shí)限信號(hào)25根據(jù)時(shí)域和頻域?qū)ΨQ性，可推出頻域抽樣定理偶函數(shù)變量置換根據(jù)時(shí)域和頻域?qū)ΨQ性，可推出頻域抽樣定理偶函數(shù)變量置換26*頻域抽樣后的時(shí)間函數(shù)相乘卷積*頻域抽樣后的時(shí)間函數(shù)相乘卷積27抽樣信號(hào)與抽樣定理課件28抽樣定理小結(jié)時(shí)域?qū)?/p>

抽樣等效于頻域?qū)?/p>

重復(fù)

時(shí)域抽樣間隔不大于。頻域?qū)Τ闃拥刃в跁r(shí)域?qū)?/p>

重復(fù)

頻域抽樣間隔不大于

。滿足抽樣定理，則不會(huì)產(chǎn)生混疊。抽樣定理小結(jié)時(shí)域?qū)Τ闃拥刃в陬l域?qū)?9*一余弦信號(hào)的周期為T0，用Ts=T0/12的時(shí)間間隔對(duì)它進(jìn)行理想抽樣，求抽樣信號(hào)的頻譜。*一余弦信號(hào)的周期為T0，用Ts=T0/12的時(shí)間間隔對(duì)它30抽樣信號(hào)與抽樣定理課件31抽樣信號(hào)與抽樣定理課件32圖b圖b33圖c圖c34抽樣信號(hào)與抽樣定理課件35抽樣信號(hào)與抽樣定理課件36抽樣信號(hào)與抽樣定理課件37抽樣信號(hào)與抽樣定理課件381.采樣在何種程度上造程信息的丟失？這種丟失的本質(zhì)是什么？

2.對(duì)一連續(xù)函數(shù)進(jìn)行抽樣，它能否被完全恢復(fù)？若可以如何作到？3.為了保持圖象的信息，我們必須如何細(xì)微地對(duì)函數(shù)進(jìn)行采樣？

4.如果我們將采樣后的函數(shù)當(dāng)成是連續(xù)的，涉及哪些假設(shè)近似和誤差？思考題1.采樣在何種程度上造程信息的丟失？這種丟失的本質(zhì)4.如果我39舊版：3-47，3-52，3-53新版：3-38，3-39，3-42作業(yè)：舊版：3-47，3-52，3-53作業(yè)：40

矩形脈沖的抽樣乘卷矩形脈沖的抽樣乘卷41*時(shí)域理想抽樣的傅立葉變換相乘相卷時(shí)域抽樣頻域周期重復(fù)*時(shí)域理想抽樣的傅立葉變換相乘相卷時(shí)域抽樣頻域周期重復(fù)42§3.10~3.11抽樣信號(hào)與抽樣定理*時(shí)間抽樣與空間抽樣的實(shí)例演示§3.10~3.11抽樣信號(hào)與抽樣定理*時(shí)間抽樣與空間抽樣的43數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)簡(jiǎn)單框圖數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)簡(jiǎn)單框圖44模擬語音信號(hào)輸入反混迭失真濾波器取樣量化碼化器A/DDCM數(shù)字語音信號(hào)輸出一.抽樣的目的及所遇到的問題

pulsecodemodulation(PCM)模擬反混迭失真取樣量化碼A/DDCM數(shù)字一.抽樣的目的及所遇45問題：1）抽樣后離散信號(hào)的頻譜是什么樣的？它與未被抽樣的連續(xù)信號(hào)的頻譜有什么關(guān)系？2）連續(xù)信號(hào)被抽樣后，是否保留了原信號(hào)的所有信息？即在什么條件下，可以從抽樣的信號(hào)還原成原始信號(hào)？時(shí)域抽樣簡(jiǎn)圖：連續(xù)信號(hào)f(t)抽樣脈沖抽樣信號(hào)量化編碼fs(t)數(shù)字信號(hào)問題：時(shí)域抽樣簡(jiǎn)圖：連續(xù)信抽樣脈沖抽樣信號(hào)量化編碼fs(t)46連續(xù)離散抽樣還原（有條件）抽樣時(shí)域頻域自然抽樣理想抽樣平頂抽樣（矩形抽樣）（沖激抽樣）低通帶通(3-42)連續(xù)離散抽樣還原（有條件）抽樣時(shí)域頻域自然抽樣理想抽樣平頂抽47二.時(shí)域抽樣抽樣過程可以看成由原信號(hào)f(t)和一個(gè)開關(guān)函數(shù)p(t)的乘積來描述。

1)矩形脈沖的抽樣（自然抽樣）此時(shí)的抽樣脈沖p(t)是矩形。由于fs(t)=f(t)p(t)抽樣信號(hào)在抽樣期間脈沖頂部隨f(t)變化，故這種采樣稱為“自然抽樣”。時(shí)域抽樣簡(jiǎn)圖連續(xù)信號(hào)f(t)抽樣脈沖抽樣信號(hào)量化編碼fs(t)數(shù)字信號(hào)二.時(shí)域抽樣1)矩形脈沖的抽樣（自然抽樣）時(shí)域抽樣簡(jiǎn)圖連48*抽樣信號(hào)頻譜推導(dǎo)：令模擬帶限信號(hào)傅立葉變換為F(w).即f(t)F(w)抽樣脈沖序列的傅立葉變換為p(t)P(w)設(shè)抽樣為均勻抽樣，周期為Ts，則抽樣頻率為由于p(t)是周期信號(hào)，可知p(t)的傅立葉變換為：其中*抽樣信號(hào)頻譜推導(dǎo)：由于p(t)是周期信號(hào)，可知p(t)的傅49由頻域卷積定理得，時(shí)域相乘的傅立葉變換等于它們的頻譜在頻域里相卷積。把計(jì)算出的P(w)代入上式得：上式表明： 信號(hào)在時(shí)域被抽樣后，它的頻譜Fs(w)是連續(xù)信號(hào)的頻譜F(w)以抽樣頻率Ws為間隔周期地重復(fù)而得到的。在重復(fù)過程中，幅度被抽樣脈沖p(t)的傅立葉系數(shù)所加權(quán)，加權(quán)系數(shù)取決于抽樣脈沖序列的形狀。由頻域卷積定理得，時(shí)域相乘的傅立葉變換等于它們的頻譜在頻域里50由以上推導(dǎo)可知，當(dāng)抽樣脈沖為矩形抽樣脈沖時(shí)，幅度以Sa函數(shù)的規(guī)律變化。從Fs(w)的頻譜圖可見抽樣后的信號(hào)頻譜包括有原信號(hào)的頻譜以及無限個(gè)經(jīng)過平移的原信號(hào)的頻譜，平移的頻率為抽樣頻率及其各次諧波頻率。且平移后的頻譜幅值隨頻率而呈Sa函數(shù)分布。但因矩形脈沖占空系數(shù)很小，所以其頻譜所占的頻帶幾乎是無限寬的。由以上推導(dǎo)可知，當(dāng)抽樣脈沖為矩形抽樣脈沖時(shí)，幅度以Sa函數(shù)的51(1)如果抽樣脈沖寬度與系統(tǒng)中各時(shí)間常數(shù)相比十分小的時(shí)候，這個(gè)沖激函數(shù)的假定將是一個(gè)很好的近似，它將使分析簡(jiǎn)化。(2)通過沖激抽樣的方法在數(shù)字信號(hào)處理中有著廣泛的應(yīng)用。（點(diǎn)抽樣；均勻抽樣）結(jié)語：抽樣率必須選得大于信號(hào)頻譜最高頻率的兩倍。結(jié)語：抽樣率必須選得大于信號(hào)頻譜最高頻率的兩倍。52２）沖激抽樣若抽樣脈沖是沖激序列，此時(shí)稱為“沖激抽樣”或“理想抽樣”。設(shè)Ts為抽樣間隔，則抽樣脈沖為由于T(t)的傅立葉系數(shù)為：所以沖激抽樣信號(hào)的頻譜為：２）沖激抽樣由于T(t)的傅立葉系數(shù)為：所以沖激抽樣信53上式表明：由于沖激序列的傅立葉系數(shù)Pn為常數(shù)，所以F(w)是以ws為周期等幅地重復(fù)，如下圖所示：F(w)-wmwmwFs(w)1/Tsws-wsw抽樣前信號(hào)頻譜抽樣后信號(hào)頻譜下面對(duì)矩形脈沖抽樣和沖激抽樣進(jìn)行比較和小結(jié)：上式表明：由于沖激序列的傅立葉系數(shù)Pn為常數(shù)，所以F(w)是54時(shí)域理想抽樣的傅立葉變換FT

相卷積相乘FT時(shí)域理想抽樣的傅立葉變換FT相卷積相乘FT55關(guān)于非理想抽樣理想抽樣非理想抽樣關(guān)于非理想抽樣理想抽樣非理想抽樣56*結(jié)語*結(jié)語57唯一唯一唯一唯一58f.不滿足抽樣定理時(shí)產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象f.不滿足抽樣定理時(shí)產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象59設(shè)有一連續(xù)信號(hào)f(t)，它的頻譜則只要抽樣間隔滿足，連續(xù)信號(hào)f(t)就可表示為：證明：由于f(t)的頻帶有限,而時(shí)域抽樣必導(dǎo)致頻域周期。在周期重復(fù)時(shí)，為保證|wm|內(nèi)為F(w)，則重復(fù)周期應(yīng)滿足ws>=2wm,將抽樣信號(hào)通過截止頻率為wm的理想低通濾波器，便能從Fs(w)中恢復(fù)F(w),也就是說，能從抽樣信號(hào)fs(t)中恢復(fù)三.抽樣定理（定理一）Fs(w)設(shè)有一連續(xù)信號(hào)f(t)，它的頻譜證明：由于f(t)的頻帶有60復(fù)原始信號(hào)f(t)。設(shè)f(t)F(w),fs(t)Fs(w),則當(dāng)Fs(w)通過截止頻率為wm的理想低通濾波器時(shí)，濾波器的響應(yīng)頻譜為F(w),顯然濾波器的作用等效于一個(gè)開關(guān)函數(shù)G2wm(w)同F(xiàn)s(w)的相乘。由時(shí)域卷積定理知：由傅立葉變換的對(duì)稱性可知：而復(fù)原始信號(hào)f(t)。設(shè)f(t)F(w),fs(t)F61則（內(nèi)插公式）證畢上式表明f(t)可以展開為正交的抽樣函數(shù)的無窮級(jí)數(shù)且級(jí)數(shù)的系數(shù)等于抽樣值f(nTs),這樣，若在抽樣信號(hào)fs(t)的每個(gè)抽樣值上畫一個(gè)峰值為f(nTs)的Sa函數(shù)的波形，合成的波形就是f(t).另外，我們知道：Sa函數(shù)的波形就是理想低通濾波器的沖激響應(yīng)h(t)，這樣，若fs(t)通過理想低通濾波器，那么每一個(gè)抽樣值產(chǎn)生一個(gè)沖激響應(yīng)h(t)，這些響應(yīng)進(jìn)行疊加便得到f(t)，從而達(dá)到恢復(fù)信號(hào)的目的。則（內(nèi)插公式）證畢上式表明f(t)可以展開為正交的62Tsfs(t)tTsh(t)Tsf(t)卷積Fs(w)wmws1wcH(w)相乘F(w)wmTsfs(t)tTsh(t)Tsf(t)卷積Fs(w)wmw63由抽樣信號(hào)恢復(fù)原連續(xù)信號(hào)取主頻帶：時(shí)域卷積定理：由抽樣信號(hào)恢復(fù)原連續(xù)信號(hào)取主頻帶：64定理二：設(shè)f(t)是一帶限連續(xù)信號(hào)，最高頻率為wm,根據(jù)定理一對(duì)f(t)進(jìn)行抽樣，得f(nT)，則f(nT)經(jīng)過一個(gè)頻率響應(yīng)為如圖的理想低通濾波器后便得到f(t).(自證)H(jw)wwc-wc10由于定理二是討論由離散信號(hào)恢復(fù)成連續(xù)信號(hào)，所以又稱重建定理。*信號(hào)抽樣與重建的動(dòng)態(tài)演示定理二：設(shè)f(t)是一帶限連續(xù)信號(hào)，最高頻率為wm,根據(jù)定理65三.頻域抽樣但反之不一定成立如：白噪聲時(shí)域抽樣與頻域抽樣的對(duì)稱性頻域有限時(shí)域無限時(shí)域有限頻域無限F(jw)f(t)F(jw)以ws為周期重復(fù)f(t)以T為周期重復(fù)ws三.頻域抽樣但反之不一定成立時(shí)域抽樣與頻域抽樣的對(duì)稱性頻域有66*頻域抽樣定理若信號(hào)為時(shí)限信號(hào)，它集中在的時(shí)間范圍內(nèi)，若在頻域中，以不大于的頻率間隔對(duì)的頻譜進(jìn)行抽樣，則抽樣后的頻譜可以唯一地表示原信號(hào)。*頻域抽樣定理若信號(hào)為時(shí)限信號(hào)67根據(jù)