與中垂線有關(guān)的問題

-.z.與中垂線有關(guān)的問題【根底知識精講】一條直線經(jīng)過線段中點(diǎn)且與該線段垂直，則稱該直線為線段的垂直平分線.線段的垂直平分線是到線段兩端距離相等的點(diǎn)的集合.1.定理：垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等，2.逆定理：到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段中垂線上.1的證明，利用了全等三角形，2的證明利用等腰三角形的"三線合一〞的性質(zhì).【重點(diǎn)難點(diǎn)解析】例1△ABC中，AB，BＣ，ＣＡ的中垂線分別為l1,l2,l3〔圖1〕.求證l1,l2,l3三線共點(diǎn).圖1例2假設(shè)三角形三邊的中垂線的交點(diǎn)在*一邊上，則該三角形一定是()A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形圖2例3如圖3,△ABC中∠A=120°AB=AC,AB的中垂線交AB于D，BC于F.則=.例4如圖4，AD為△ABC的角平分線，AD的中垂線交AB于E，BC延長線于F，求證∠CAF=∠B.圖4【難題巧解點(diǎn)撥】例1△ABC中，∠A=90°,AB=AC,D、E、F分別在AB，AC，BC上，且AD=AE，CD為EF中垂線，求證BF=2AD(圖5).圖5例2如圖6，AD為△ABC的高，∠B=2∠C，BD=5，BC=20，求AB.圖6【同步達(dá)綱練習(xí)】判斷()1.三角形兩邊的垂直平分線交在三角形一邊上，該三角形為等邊三角形.()2.到三角形三頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在三角形內(nèi).()3.到三角形距離三邊相等的點(diǎn)是三條中垂線的交點(diǎn).()4.四邊形ABCD中共有一點(diǎn)P，使PA=PB=PC=PD，則∠A+∠C=180°.()5.和線段兩端距離相等的點(diǎn)只有線段的中點(diǎn).()6.和線段兩端相等的點(diǎn)不一定在線段上.二、選擇題1.到三角形三個頂點(diǎn)距離相等的是()A.三條中線交點(diǎn)B.三條高的交點(diǎn)C.三條角平分線的交點(diǎn)D.三條中垂線的交點(diǎn)2.線段AB外有兩點(diǎn)C，D(在AB同側(cè))使CA=CB，DA=DB，∠ADB=80°,∠CAD=10°,則∠ACB=()A.90°B.100°C.110°D.120°3.BD為CE的中垂線，A在CB延長線上，∠C=34°,則∠ABE=()A.17°B.34°C.68°D.136°4.O為△ABC三邊中垂線的交點(diǎn)，則O稱為△ABC的()A.外心B.內(nèi)心C.垂心D.重心5.假設(shè)三角形一邊中垂線過另一邊中點(diǎn)，則該三角形必為()A．鈍角三角形B.銳角三角形C.直角三角形D.等腰三角形圖76.△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°AC的中垂線交AC于E.交AB于D，(圖7)則圖中60°的角共有()A．6個B.5個C.4個D3個三、填空1.△ABC中，AB=AC，P為形內(nèi)一點(diǎn)，PB=PC，則P在的中垂線上，P還在∠的平分線上.2.△ABC中，AB=AC=14，腰AB的中垂線交AC于D，△BCD周長為4cm,則BC=.3.△ABC中，AB=AC，∠A=120°,AB中垂線交BC于E，則=.4.正△ABC內(nèi)一點(diǎn)O到三邊距離相等，且OA=OB=OC.則∠BOC=.5.△ABC的邊AC、BC的中垂線交于AB上一點(diǎn)O，且OC=BC，則∠A=.6.假設(shè)PA=PB，DA=DB，則PD是AB的.四、解答1.△ABC中，∠C=90°,AB的中垂線交AB于D，AC于E.且∠EBC=40°,求∠A及∠BED的度數(shù).2.O為等邊三角形三邊中線交點(diǎn)，求證BO與CO的中垂線必三等分BC.【素質(zhì)優(yōu)化訓(xùn)練】1.AD為△ABC的角平分線，DE∥AC,交AB于E.過E作AD的垂線交BC延長線于F(圖8),求證〔∠BAC+∠AFC〕=90°-∠B.2.如圖9，△ABC中，AB=AC，AE∥BC,D為直線AE上任一點(diǎn).求證DB+DC＞2AB.【拓展訓(xùn)練】例1：如圖1，在△ABC中，AC=27，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，△BCE的周長等于50，求BC的長.點(diǎn)評：此題是△ABC中一邊AB的垂直平分線AC相交;則當(dāng)AB的垂直平分線與BC相交時，(如圖2),對應(yīng)的是△ACE的周長，它的周長也等于AC+BC.圖形變化，但結(jié)論不變.圖2圖2變式1：如圖1，在△ABC中，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，假設(shè)∠BEC=70°，則∠A=.變式2：如圖3，在Rt△ABC中，AB的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)E。假設(shè)BE=2，∠B=15°求：AC的長。圖3圖3例2:如圖5，在△ABC中，AB=AC,BC=12,∠BAC=120°,AB的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)E,AC的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)N.(1)求△AEN的周長.(2)求∠EAN的度數(shù).(3)判斷△AEN的形狀.變式1:如圖6，在△ABC中，AB=AC,BC=12,∠BAC=130°,AB的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)E,AC的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)N.(1)求△AEN的周長.(2)求∠EAN的度數(shù).(3)判斷△AEN的形狀.變式2:如圖7，在△ABC中，BC=12,∠BAC=100°,AB的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)E,AC的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)N.(1)求△AEN的周長.(2)求∠EAN的度數(shù).【課后練習(xí)】1、如圖，：AB=BC=14㎝，DE垂直平分AB，交BC于E，AC=8㎝。求△AEC的周長。2、如圖，：在△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，DE垂直平分AB，BD=8。求AC的長。3、如圖，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F。求證：AD⊥EF。4、如圖，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=20，BD:CD=5:3，求點(diǎn)D到AB的距離。5、如圖，：AB∥CD，BE、CF分別是∠ABC、∠BCD的平分線，