電磁場(chǎng)課件：chapter1-矢量分析-part 3

矢量的基本運(yùn)算三種常用的坐標(biāo)系矢量場(chǎng)和標(biāo)量場(chǎng)標(biāo)量函數(shù)的梯度矢量函數(shù)的散度矢量函數(shù)的旋度亥姆霍茲定理矢量分析散度

散度代表場(chǎng)中任一點(diǎn)處，通量對(duì)體積的變化率，因此又可稱為通量源密度。

矢量的散度是一個(gè)標(biāo)量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)，體積縮小趨近于0點(diǎn)；內(nèi)容回顧--散度與高斯定理對(duì)通量用兩種方法來(lái)求解結(jié)果必然相等面積分與體積分之間的關(guān)系高斯散度定理旋度

旋度代表場(chǎng)中任一點(diǎn)處，環(huán)流面密度的最大值及取最大值時(shí)的方向

矢量的旋度是矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)，面積縮小趨于0點(diǎn)；內(nèi)容回顧—旋度是否有類似于高斯散度定理的關(guān)系存在？？流速場(chǎng)閉合路徑的環(huán)量的求法---斯托克斯定理1.根據(jù)定義來(lái)求解2.根據(jù)旋度來(lái)求解旋度的含義：環(huán)流面密度的最大值，當(dāng)方向一致時(shí)對(duì)同一個(gè)物理量用兩種方法來(lái)求解結(jié)果必然相等證明：由旋度的定義對(duì)于有限大面積S，可將其按如圖方式進(jìn)行分割，對(duì)每一小面積元有斯托克斯定理斯托克斯（Stockes）定理矢量對(duì)閉合回路的線積分等于該回路所包圍任意表面上對(duì)該矢量旋度的面積分。在電磁場(chǎng)理論中，Gauss公式和Stockes公式是兩個(gè)非常重要的公式。

矢量函數(shù)的線積分與面積分的互換。

該公式表明了區(qū)域S中場(chǎng)A與邊界L上的場(chǎng)A之間的關(guān)系圖0.4.3斯托克斯定理斯托克斯（Stockes）定理的意義線積分---面積分-----體積分例1-8：已知F=ayxy-ay2x,計(jì)算如圖所示的第一象限半徑為3的1/4圓盤的逆時(shí)針?lè)较蚓€積分，并驗(yàn)證斯托克斯定理．解：用直角坐標(biāo)系，由于Ｆ在xOy平面上，故dz=0.1/4圓周的方程為：x2+y2=9(0<x,y<3)由于在OA路徑上有y=0,dy=0，及在BO路徑上有x=0,dx=0，即Fdl在這兩部分積分中均為０，所以xyAB0由上可得：所以：例1-9

求矢量場(chǎng)A=x(z-y)ax+y(x-z)ay+z(y-x)az在點(diǎn)M(1，0，1)處的旋度以及沿n=2ax+6ay+3az方向的環(huán)量面密度。提示：利用旋度來(lái)求解解：矢量場(chǎng)A的旋度在點(diǎn)M(1，0，1)處的旋度n方向的單位矢量在點(diǎn)M(1，0，1)處沿n方向的環(huán)量面密度例1-10

在坐標(biāo)原點(diǎn)處放置一點(diǎn)電荷q，在自由空間產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為求自由空間任意點(diǎn)(r≠0)電場(chǎng)強(qiáng)度的旋度▽×E。解：靜電場(chǎng)：為無(wú)旋場(chǎng)，旋度為0。兩個(gè)零恒等式任何標(biāo)量場(chǎng)梯度的旋度恒為零。任何矢量場(chǎng)的旋度的散度恒為零。重要的場(chǎng)論公式類比梯度類似于“縱向”的概念，旋度類似于“橫向”的概念

兩種類型的“源”一、亥姆霍茲定理：在有限區(qū)域內(nèi)，矢量場(chǎng)由它的散度、旋度及邊界條件惟一地確定。(1）矢量場(chǎng)可分解為一個(gè)無(wú)旋有散場(chǎng)和有旋無(wú)散場(chǎng)之和；（2）若矢量場(chǎng)在某區(qū)域內(nèi)處處：和

則由其在邊界上的場(chǎng)分布確定。注意：不存在整個(gè)空間內(nèi)散度和旋度處處均為零的矢量場(chǎng)。說(shuō)明：亥姆霍茲定理通量源漩渦源二、無(wú)旋場(chǎng)與無(wú)散場(chǎng)1、無(wú)旋場(chǎng)：但在某些位置或整個(gè)空間內(nèi)，有則稱在該區(qū)域內(nèi)，場(chǎng)為無(wú)旋場(chǎng)。重要性質(zhì)：

無(wú)旋場(chǎng)場(chǎng)矢量沿任何閉合路徑的環(huán)流等于零（無(wú)旋渦源）。由于可引入一個(gè)矢量輔助函數(shù)表征標(biāo)量場(chǎng)2、無(wú)散場(chǎng)：

重要性質(zhì)：

無(wú)散場(chǎng)通過(guò)任何閉合曲面S的通量等于零（無(wú)通量源）。結(jié)論：若矢量場(chǎng)在某區(qū)域內(nèi)，處處

若矢量場(chǎng)在某區(qū)域內(nèi)，處處，但則稱在該區(qū)域內(nèi)，場(chǎng)為無(wú)散場(chǎng)。結(jié)論：討論：由于，可引入一個(gè)矢量輔助函數(shù)表征矢量場(chǎng)即稱為無(wú)散場(chǎng)的矢量位函數(shù)。3、就矢量場(chǎng)整體而言，無(wú)旋場(chǎng)的散度不能處處為零，而無(wú)散場(chǎng)的旋度不能處處為零，一般的矢量場(chǎng)，可能既有散度，又有旋度。已知矢量A的通量源密度矢量A的旋度源密度場(chǎng)域邊界條件在電磁場(chǎng)中電荷密度電流密度J場(chǎng)域邊界條件（矢量A唯一地確定）亥姆霍茲定理的意義：是研究電磁場(chǎng)的一條主線。電荷電流電場(chǎng)磁場(chǎng)靜電場(chǎng)變電場(chǎng)變的磁場(chǎng)靜的磁場(chǎng)源場(chǎng)例：判斷矢量場(chǎng)的性質(zhì)=0=0=000=0下列哪種場(chǎng)存在？1.無(wú)旋有散場(chǎng)2.有旋無(wú)散場(chǎng)3.無(wú)旋無(wú)散場(chǎng)4.有旋有散場(chǎng)本章小結(jié)運(yùn)算關(guān)系梯度通量散度高斯定理環(huán)量旋度斯托克斯定理例1-11：證明矢量A旋度的散度恒為零。

例1-12：證明標(biāo)量A梯度的旋度恒為零。

例1-11：證明矢量A旋度的散度恒為零。

證明：利用Del算子