電磁場課件：chapter1-矢量分析-part 3

矢量的基本運算三種常用的坐標系矢量場和標量場標量函數(shù)的梯度矢量函數(shù)的散度矢量函數(shù)的旋度亥姆霍茲定理矢量分析散度

散度代表場中任一點處，通量對體積的變化率，因此又可稱為通量源密度。

矢量的散度是一個標量，是空間坐標點的函數(shù)，體積縮小趨近于0點；內(nèi)容回顧--散度與高斯定理對通量用兩種方法來求解結(jié)果必然相等面積分與體積分之間的關(guān)系高斯散度定理旋度

旋度代表場中任一點處，環(huán)流面密度的最大值及取最大值時的方向

矢量的旋度是矢量，是空間坐標點的函數(shù)，面積縮小趨于0點；內(nèi)容回顧—旋度是否有類似于高斯散度定理的關(guān)系存在？？流速場閉合路徑的環(huán)量的求法---斯托克斯定理1.根據(jù)定義來求解2.根據(jù)旋度來求解旋度的含義：環(huán)流面密度的最大值，當方向一致時對同一個物理量用兩種方法來求解結(jié)果必然相等證明：由旋度的定義對于有限大面積S，可將其按如圖方式進行分割，對每一小面積元有斯托克斯定理斯托克斯（Stockes）定理矢量對閉合回路的線積分等于該回路所包圍任意表面上對該矢量旋度的面積分。在電磁場理論中，Gauss公式和Stockes公式是兩個非常重要的公式。

矢量函數(shù)的線積分與面積分的互換。

該公式表明了區(qū)域S中場A與邊界L上的場A之間的關(guān)系圖0.4.3斯托克斯定理斯托克斯（Stockes）定理的意義線積分---面積分-----體積分例1-8：已知F=ayxy-ay2x,計算如圖所示的第一象限半徑為3的1/4圓盤的逆時針方向線積分，并驗證斯托克斯定理．解：用直角坐標系，由于Ｆ在xOy平面上，故dz=0.1/4圓周的方程為：x2+y2=9(0<x,y<3)由于在OA路徑上有y=0,dy=0，及在BO路徑上有x=0,dx=0，即Fdl在這兩部分積分中均為０，所以xyAB0由上可得：所以：例1-9

求矢量場A=x(z-y)ax+y(x-z)ay+z(y-x)az在點M(1，0，1)處的旋度以及沿n=2ax+6ay+3az方向的環(huán)量面密度。提示：利用旋度來求解解：矢量場A的旋度在點M(1，0，1)處的旋度n方向的單位矢量在點M(1，0，1)處沿n方向的環(huán)量面密度例1-10

在坐標原點處放置一點電荷q，在自由空間產(chǎn)生的電場強度為求自由空間任意點(r≠0)電場強度的旋度▽×E。解：靜電場：為無旋場，旋度為0。兩個零恒等式任何標量場梯度的旋度恒為零。任何矢量場的旋度的散度恒為零。重要的場論公式類比梯度類似于“縱向”的概念，旋度類似于“橫向”的概念

兩種類型的“源”一、亥姆霍茲定理：在有限區(qū)域內(nèi)，矢量場由它的散度、旋度及邊界條件惟一地確定。(1）矢量場可分解為一個無旋有散場和有旋無散場之和；（2）若矢量場在某區(qū)域內(nèi)處處：和

則由其在邊界上的場分布確定。注意：不存在整個空間內(nèi)散度和旋度處處均為零的矢量場。說明：亥姆霍茲定理通量源漩渦源二、無旋場與無散場1、無旋場：但在某些位置或整個空間內(nèi)，有則稱在該區(qū)域內(nèi)，場為無旋場。重要性質(zhì)：

無旋場場矢量沿任何閉合路徑的環(huán)流等于零（無旋渦源）。由于可引入一個矢量輔助函數(shù)表征標量場2、無散場：

重要性質(zhì)：

無散場通過任何閉合曲面S的通量等于零（無通量源）。結(jié)論：若矢量場在某區(qū)域內(nèi)，處處

若矢量場在某區(qū)域內(nèi)，處處，但則稱在該區(qū)域內(nèi)，場為無散場。結(jié)論：討論：由于，可引入一個矢量輔助函數(shù)表征矢量場即稱為無散場的矢量位函數(shù)。3、就矢量場整體而言，無旋場的散度不能處處為零，而無散場的旋度不能處處為零，一般的矢量場，可能既有散度，又有旋度。已知矢量A的通量源密度矢量A的旋度源密度場域邊界條件在電磁場中電荷密度電流密度J場域邊界條件（矢量A唯一地確定）亥姆霍茲定理的意義：是研究電磁場的一條主線。電荷電流電場磁場靜電場變電場變的磁場靜的磁場源場例：判斷矢量場的性質(zhì)=0=0=000=0下列哪種場存在？1.無旋有散場2.有旋無散場3.無旋無散場4.有旋有散場本章小結(jié)運算關(guān)系梯度通量散度高斯定理環(huán)量旋度斯托克斯定理例1-11：證明矢量A旋度的散度恒為零。

例1-12：證明標量A梯度的旋度恒為零。

例1-11：證明矢量A旋度的散度恒為零。

證明：利用Del算子