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文檔簡介
§3.5非齊次邊界條件的定解問題處理原則:不論方程是否為齊次的,都選?。ㄈ菀浊蠼獾模┹o助函數(shù),通過函數(shù)之間的代換:
使得新的未知函數(shù)具有齊次邊界條件。例求解下面定解問題解:設(shè)法做一代換,使得邊界條件變成齊次的。輔助函數(shù)的作用是使新的未知函數(shù)v滿足齊次邊界條件,即:為此,令由應(yīng)滿足為了計(jì)算方便,通常選取w
為x的一次多項(xiàng)式,即設(shè):因此,令因此則未知函數(shù)
滿足齊次邊界條件。關(guān)于v
的定解問題:其中用特征函數(shù)法求解注:如果邊界條件不全是第一類的,則1)若
令2)若
令3)若
令例求解定解問題:解:邊界條件都為第一類,選取輔助函數(shù)令則問題轉(zhuǎn)化為解定解問題這是具有齊次邊界條件的非齊次方程,其特征函數(shù)為因此上述問題具有形如的形式解,其中待定函數(shù)注:對于給定的定解問題,如果方程中的非齊次項(xiàng)
f
和邊界條件中的都和自變量t無關(guān),將方程和邊界條件同時(shí)變成齊次的。則可選取輔助函數(shù)w(x)
,通過代換
例求解定解問題
其中A,B
為常數(shù)。解:這個(gè)問題的特點(diǎn)為:方程及邊界條件都是非齊次的。由于非齊次項(xiàng)和邊界條件都和t
無關(guān),令代入到方程有邊界條件變?yōu)椋撼跏紬l件變?yōu)椋簽榱耸龟P(guān)于v(x,t)的方程以及邊界條件都是齊次的,選w(x)滿足這是二階常微分方程的定解問題,它的解為于是關(guān)于v(x,t)的定解問題為
利用分離變量法,其中原定解問題的解:練習(xí)求解定解問題提示:其中w(x)滿足例在矩形域內(nèi)求下面定解問題:解:先把一組邊界條件化成齊次的。比如要把x=0及x=a上的邊界條件化成齊次的,可以令其中則關(guān)于v的定解問題為其中然后利用特征函數(shù)法:用分離變量法求得:一、選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。原則:根據(jù)邊界形狀及邊界條件的表達(dá)式最簡單。二、若邊界條件是非齊次的,引進(jìn)輔助函數(shù)把邊界條件化為齊次。三、對于齊次邊界條件、非齊次方程的定解問題,可將問題分解為兩個(gè):其一是方程齊次,并具有原定解條件的定解問題(分離變量法);其二是具有齊次定解條件的非齊次方程的定解問題(特征函數(shù)法)。用分離變量法解一般的定解問題例求解下列定解問題其中為常數(shù)。解
1)邊界條件齊次化。令于是滿足如下定解問題2)將問題分解為兩個(gè)定解問題。非齊次方程齊次邊界條件定解問題設(shè)滿足定解問題其中滿足定解問題3)求解問題(I),(II).首先,利用分離變量法求解問題(I).將疊加,利用初始條件確定系數(shù)計(jì)算得其次,利用特征函數(shù)法求解問題(II).由于代入問題(II)的方程及初始條件,得比較系數(shù)解得所以4)綜合上述結(jié)果,得到原問題的解課后作業(yè)P91習(xí)題1
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