數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)：第三章 分離變量法5

§3.5非齊次邊界條件的定解問(wèn)題處理原則:不論方程是否為齊次的,都選?。ㄈ菀浊蠼獾模┹o助函數(shù)，通過(guò)函數(shù)之間的代換:

使得新的未知函數(shù)具有齊次邊界條件。例求解下面定解問(wèn)題解：設(shè)法做一代換，使得邊界條件變成齊次的。輔助函數(shù)的作用是使新的未知函數(shù)v滿足齊次邊界條件,即：為此，令由應(yīng)滿足為了計(jì)算方便,通常選取w

為x的一次多項(xiàng)式，即設(shè):因此，令因此則未知函數(shù)

滿足齊次邊界條件。關(guān)于v

的定解問(wèn)題：其中用特征函數(shù)法求解注：如果邊界條件不全是第一類的，則1)若

令2)若

令3)若

令例求解定解問(wèn)題:解：邊界條件都為第一類，選取輔助函數(shù)令則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解定解問(wèn)題這是具有齊次邊界條件的非齊次方程，其特征函數(shù)為因此上述問(wèn)題具有形如的形式解,其中待定函數(shù)注：對(duì)于給定的定解問(wèn)題,如果方程中的非齊次項(xiàng)

f

和邊界條件中的都和自變量t無(wú)關(guān)，將方程和邊界條件同時(shí)變成齊次的。則可選取輔助函數(shù)w(x)

，通過(guò)代換

例求解定解問(wèn)題

其中A,B

為常數(shù)。解：這個(gè)問(wèn)題的特點(diǎn)為：方程及邊界條件都是非齊次的。由于非齊次項(xiàng)和邊界條件都和t

無(wú)關(guān)，令代入到方程有邊界條件變?yōu)椋撼跏紬l件變?yōu)椋簽榱耸龟P(guān)于v(x,t)的方程以及邊界條件都是齊次的，選w(x)滿足這是二階常微分方程的定解問(wèn)題,它的解為于是關(guān)于v(x,t)的定解問(wèn)題為

利用分離變量法，其中原定解問(wèn)題的解：練習(xí)求解定解問(wèn)題提示：其中w(x)滿足例在矩形域內(nèi)求下面定解問(wèn)題：解:先把一組邊界條件化成齊次的。比如要把x=0及x=a上的邊界條件化成齊次的，可以令其中則關(guān)于v的定解問(wèn)題為其中然后利用特征函數(shù)法：用分離變量法求得:一、選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。原則:根據(jù)邊界形狀及邊界條件的表達(dá)式最簡(jiǎn)單。二、若邊界條件是非齊次的,引進(jìn)輔助函數(shù)把邊界條件化為齊次。三、對(duì)于齊次邊界條件、非齊次方程的定解問(wèn)題，可將問(wèn)題分解為兩個(gè)：其一是方程齊次,并具有原定解條件的定解問(wèn)題(分離變量法)；其二是具有齊次定解條件的非齊次方程的定解問(wèn)題(特征函數(shù)法)。用分離變量法解一般的定解問(wèn)題例求解下列定解問(wèn)題其中為常數(shù)。解

1）邊界條件齊次化。令于是滿足如下定解問(wèn)題2）將問(wèn)題分解為兩個(gè)定解問(wèn)題。非齊次方程齊次邊界條件定解問(wèn)題設(shè)滿足定解問(wèn)題其中滿足定解問(wèn)題3）求解問(wèn)題(I),(II).首先，利用分離變量法求解問(wèn)題(I).將疊加，利用初始條件確定系數(shù)計(jì)算得其次，利用特征函數(shù)法求解問(wèn)題(II).由于代入問(wèn)題（II）的方程及初始條件，得比較系數(shù)解得所以4）綜合上述結(jié)果,得到原問(wèn)題的解課后作業(yè)P91習(xí)題1