達(dá)朗貝爾公式教學(xué)內(nèi)容

達(dá)朗貝爾公式c.齊次二階線性偏微分方程:若則稱(chēng)方程是齊次的2.疊加原理當(dāng)泛定方程和定解條件都是線性的，可以把定解問(wèn)題的解看作幾個(gè)部分的解的線性疊加.27.4達(dá)朗貝爾公式定解問(wèn)題無(wú)限長(zhǎng)的自由振動(dòng)端點(diǎn)的反射

半無(wú)限長(zhǎng)弦的自由振動(dòng)半無(wú)限長(zhǎng)桿的自由振動(dòng)3.定解問(wèn)題的整體性(除上述兩種類(lèi)型外的數(shù)學(xué)物理方程)4.定解問(wèn)題的適定性滿(mǎn)足達(dá)朗貝爾公式延拓,利用達(dá)朗貝爾公式3一.無(wú)界弦的自由振動(dòng)

1.無(wú)界弦的自由振動(dòng)(1)無(wú)界弦的含義：無(wú)界弦不是指無(wú)限長(zhǎng)的弦，是指所關(guān)心的那一段弦遠(yuǎn)離兩端，在所討論的時(shí)間內(nèi)，弦兩端的影響來(lái)不及傳到這段弦上，因而認(rèn)為弦的兩端在無(wú)限遠(yuǎn)，就不必給弦的兩端提出邊界條件。

定解問(wèn)題初值問(wèn)題(2)自由振動(dòng)：弦不受強(qiáng)迫力的作用，振動(dòng)是自由的

方程是齊次的4定解問(wèn)題：

2.求無(wú)界弦的自由振動(dòng)方程

⑴求偏微分方程的通解

分析范定方程的形式,為表示的簡(jiǎn)化對(duì)稱(chēng)做變量代換:得方程的通解通解的物理意義:正行波,

反行波

5利用定解條件來(lái)確定函數(shù)⑵由初始條件得解得——達(dá)朗貝爾公式6例一.求解初值問(wèn)題7討論：達(dá)朗貝爾解的物理意義

I.只有初始位移時(shí):代表以速度a沿x軸正向傳播的波代表以速度a沿x軸負(fù)向傳播的波II.只有初始速度時(shí)：令,則結(jié)論：達(dá)朗貝爾解表示沿x軸正、反向傳播的兩列波的疊加。8練習(xí):初位移9二.端點(diǎn)的反射1.半無(wú)界弦的自由振動(dòng)半無(wú)界的弦只有一個(gè)端點(diǎn),設(shè)端點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)定解問(wèn)題:分析:端點(diǎn)固定。不能直接應(yīng)用達(dá)朗貝爾公式，擴(kuò)大定義，考慮端點(diǎn)固定，作奇延拓10由達(dá)朗貝爾公式得到解，其中x≥0的部分即所討論問(wèn)題的解。11在初速為0的情況下，如右圖所示右半邊實(shí)線:左右兩方向移動(dòng)的波左半邊細(xì)線:其奇延拓端點(diǎn)的影響表現(xiàn)為反射波反射波的相位跟入射波相反,形成半波損失122.半無(wú)限長(zhǎng)桿的自由振動(dòng)

桿的端點(diǎn)自由定解問(wèn)題:分析:端點(diǎn)自由。不能直接應(yīng)用達(dá)朗貝爾公式，擴(kuò)大定義，考慮端點(diǎn)自由，作偶延拓13由達(dá)朗貝爾公式得到解，其中x≥0的部分即所討論問(wèn)題的解。14三.一般情況下的數(shù)學(xué)物理方程一般情況下，無(wú)法像對(duì)無(wú)限長(zhǎng)弦那樣，先求通解，然后用定解條件求特解。定解問(wèn)題的整體性物理問(wèn)題數(shù)學(xué)問(wèn)題定解問(wèn)題是一個(gè)整體四.定解問(wèn)題的適定性如定解問(wèn)題滿(mǎn)足(1)有解(2)解是唯一的(3)解是穩(wěn)定的則稱(chēng)此定解問(wèn)題是適定的。