2022-2023學(xué)年北師大版選擇性必修第一冊(cè)第3章4.3第2課時(shí)空間中的距離問題作業(yè)

第2課時(shí)空間中的距離問題必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.(2021北京豐臺(tái)高二上學(xué)期期中)若平面a的一個(gè)法向量為l,l),ACa,B￡a,則點(diǎn)A到平面a的距離為()TOC\o"1-5"\h\zA.lB.—C.—D.i6332.(2021山東師范大學(xué)附屬高二10月月考)四棱錐P-ABCD^,^F=(2,-1,3),AD=(-2,1,0),萬=(3,-1,4),則這個(gè)四棱錐的高為()A立B-q￡D?5°5?53.在棱長(zhǎng)為1的正方體A5C0-481CQ中,E為AQ的中點(diǎn)，則點(diǎn)G到直線CE的距離為。A.iB.在D.漁3333.如圖，點(diǎn)C在圓錐夕。的底面圓O上48是直徑,A8=8,NBAC=30°，圓錐的母線與底面成的角為6()。，則點(diǎn)4到平面P8C的距離為()A.1V5B.2V6C.1V15D.V15.(多選題)已知直線/的方向向量n=(l,(),-1)&2,1,-3)為直線/上一點(diǎn)，若點(diǎn)P(?l,0,-2)為直線/外一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線/上任意一點(diǎn)Q的距離可能為0A.2B.V3C.V2D.1.如圖,P為矩形ABCZ)所在平面外一點(diǎn),PA_L平面ABCD若已知A8=3,AO=4,PA=1,則點(diǎn)。到直線8。的距離為..如圖，直三棱柱A8C-A出G的側(cè)棱A4產(chǎn)舊，在△A8C中,NAC8=90°工。=8C=1,則點(diǎn)辦到平面4BC的距離為..如圖，正方體ABCD-A\BxC\D\的棱長(zhǎng)為1,求平面AiBD與平面BiCQi間的距離..(2021山東濟(jì)寧魚臺(tái)第一高二上學(xué)期第一次月考汝I圖，在四棱錐P-ABCD中,ACDHZAO,底面ABCD為菱形，邊長(zhǎng)為2,PC_LBRPA二PC,且NA3C=60°屏面直線P8與CO所成的角為60。.⑴求證:PO_L平面ABCD;(2)若￡是線段0C的中點(diǎn)，求點(diǎn)E到直線BP的距離.關(guān)鍵能力提升練10.如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,七廠分別是ABAD的中點(diǎn),GC_L平面A3CR且GC=2,則點(diǎn)B到平面EFG的距離為0A國(guó)A.—103TOC\o"1-5"\h\zC.-D.111.(2021山東濱州博興第三高二上學(xué)期第一次月考)若三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直,且滿足PA=P8=PL1,則點(diǎn)P到平面ABC的距離是()C.立D?坦312.(2021山西懷仁高二上學(xué)期期中)如圖,棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-4BiCi。］,。是底面AiBiCiDi的中心，則點(diǎn)。到平面ABCiDi的距離是()13.(2021天津和平匯文高二上第一次質(zhì)檢)已知直線/的一個(gè)方向向量為若點(diǎn)為直線/外一點(diǎn)/(41,-2)為直線/上一點(diǎn)，則點(diǎn)尸到直線/的距離為.14.在長(zhǎng)方體A8CD-48GU中,A8=2A4產(chǎn)AO=1,則點(diǎn)8到平面48G的距離為..如圖，在梯形ABCD中,AO〃BC,NA8C尸4_L平面ABCD,KPA=a,23點(diǎn)尸在AZ)上，且CFLPC.⑴求點(diǎn)A到平面PCF的距離；(2)求直線AD到平而PBC的距離.學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面氐面A8CD側(cè)棱P4=PD=泥，底面ABCD為直角梯形，其中3。〃4。工3_1_4。/。=2八3=23。=2.問:線段4。上是否存在一點(diǎn)。，使得它到平面PCD的距離為??若存在，求出券的值;若不存在，說明理由.答案：B易知荏=(/,/,2),根據(jù)點(diǎn)到平面的距離公式可得點(diǎn)A到平面a的距離為粵=|-lxl4-(-l)x2+2xl|-lxl4-(-l)x2+2xlVl2+22+l2|-lxl4-(-l)x2+2xlVl|-lxl4-(-l)x2+2xlVl2+22+l2=漁.故選B.6n-AB=0,

nAD=0,2.A設(shè)平面ABCD的法向量為n-AB=0,

nAD=0,2x-y+3z=0,-2%+y=0,令產(chǎn)1,可得y=2,z=0,即n=(1,2,0),*n?4P1???8svn/P>=^=K尻，于是點(diǎn)P到平面ABCD的距離為|而||cos<n.而>|二漁，即四棱錐P-ABCD的高為更.故選55A..C以點(diǎn)A為原點(diǎn)所在直線分別為工軸、)，軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.則C(I/,0)6(I』,I),￡(0弓」)，所以前二(彥I)啟二(0。1),所以點(diǎn)Ci到直線CE的距2離信|西2.鬲嚕=.=孚故選?..C.AB由題設(shè)條件可知，而二(-3,-1,1),??nAP=]x(-3)+0x(-l)+(-l)xl=-4,,?點(diǎn)尸到直線/的距離為d二|^P|2--=VTT8=V3.Jllnll?.點(diǎn)尸到直線/上任意一點(diǎn)。的距離要大于等于次，故選AB.6T如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以A/MDAP所在直線為x軸、)，軸、z軸建立空間直角5坐標(biāo)系，則。(0,0』),8(300),0(040),??麗=(3,0,-1),麗二(-3,4,0),??點(diǎn)P到直線BD的距離??點(diǎn)P到直線3。的距離為當(dāng)..立2.解以點(diǎn)/)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則0(0,0,0)A(1,0,1)方(1』,0)Q](0,0,1)取二(0』1),硒=(-l,0,-l)，4A=(-1,0,0).設(shè)平面A1BD的法向量為n=(x,y,z),則上亞=0,則[y-z=oIn&O=0,1-%-z=0.令z=I,得y=l,x=-l,.*.11=(-],1,1),???點(diǎn)Di到平面A\BD的距離d二生3!=程=漁.\n\V33根據(jù)題意有平面AiBD,,囪?！ㄆ矫?1￡>,同理平面AiBD.BiCDPiB^Bi,???平面A]B￡>〃平面??平面4BD與平面B\CD\間的距離等于點(diǎn)Di到平面A\BD的距離，,平面A8Q與平面8CG間的距離為巨39.(1)證明：四邊形ABCD是菱形,???AC_LBD.VPC±BD,PCnAC=G??8D_L平面APC./POu平面人PC,/.BD_LPO,??PA=PC,O為AC的中點(diǎn)，???尸0_1_4。,又4。03〃二。，??尸0_1_平面ABCD(2)解連接以。為原點(diǎn),08,0C,00所在直線分別為x軸、)軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系(圖略),a：AB//CDy：.ZPBA為異面直線與C。所成角，：.ZPBA=60°.在菱形A8CO中力8=2,NABC=60°,??OA=1。8=75,

設(shè)尸0=〃,則PA=y/a2+l,PB=Va2+3,在APBA中,由余弦定理得PA2=BA2+BP2-2BABPcosZPBA,即cr+[=4+a2+3-2x2xyJa2+3x解得a=>/6(負(fù)值舍去).??8(75,0,0),P(0Q遙),E(0,|,0),??麗=(-V3,1,0),^P=(-V3,0,V6),??西=祟麗|=3,2??點(diǎn)E到直線8戶的距離d=I函2.鬻：=后三=|.10.B1LD以點(diǎn)P為原點(diǎn),PA,P8,PC所在直線分別為工軸、)，軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則A(1,0,0),8(0,1,0),。(0,0』),所以而=(-1,1,0),^4?=(-1,0,1),^4=(1,0,0).設(shè)平面ABC的法向量為n=(x,y,z),由[n.亞=0,得產(chǎn)[wAC=0,I。+z=0,令x=l,則)=z=l,所以平面ABC的一個(gè)法向量為n=(l』,l).所以點(diǎn)P所以點(diǎn)P到平面ABC的距離d=等苧選D.12.B如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn),D4QC,。。所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，連接則。(0,0,0),0(1』)Q(0,0,1Mid,0,1),??西二(條扣).平面AODiASiOu平面4。。內(nèi)，：.ABVA\D,又AOi_LAiO/3nAOi=A,??.A]O_L平面ABCiOi,故平面ABC\D\的一個(gè)法向量為西二(1,0,1),

???點(diǎn)。到平面ABC\D\的距離???點(diǎn)。到平面ABC\D\的距離d=I西訪I13.a/17VP(-1,1,-1M(4,1,-2),??瓦?=(5,0,?1),又m=(l,怎1),,Tr-?m-PA5+13..cos<m,Pi4>=—==■=—\m\\PA\2V26V26.,.sin<m,P7>=—,5L|^4|=V26,??點(diǎn)P到直線/的距離為I方|sin<m,瓦5>=V^x—=V17.14i15.解(1)由題意知ARABdO兩兩垂直，以A為原點(diǎn),AB,AO,A尸所在直線分別為X軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.則40,0O),B3,0,0),C3m,0),O(0,340),P(0,0m).設(shè)廠(0盟,0),則以"Q-aM-aQbCPQ-。,-。,。).VPC±CF,.*.CF1CP,：.CF?而=(-砂(-。)+(〃2-砂(-。)+()〃=/-。(電。)=(),解得加=2以,即F(0,2〃,0).設(shè)平面尸C尸的一個(gè)法向量為n=(xj,z),%=y,z=2x.TOC\o"1-5"\h\z?CF=-ax+ay=0,_%=y,z=2x._)即CP=-ax-ay+qz=0,取工=1,得n=(l,l,2).設(shè)點(diǎn)A到平面PC尸的距離為&由前二(4,4,0),,百.|4C-n|axl+axl+0x2V6何d=——=7==-CI.|n|V63(2)由于BP=(-4,0,4),8C=(0,a,0),AP=(0,0,a).設(shè)平面PBC的法向量為ni=3)jo,zo),；嚅：Z0=r="即琮：段取……D.設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為h,???AO〃8cApc平面P8C,???AO〃平面PBC,：.h為AD到平面PBC的距離,.|/Mila\[2fl==—=—?凡|V2216.解取AO的中點(diǎn)0,在〉PAD中：：PA=PD,：.POA.AD.又側(cè)面PAD1.平面ABCD平面尸A。八平面ABCD=ADy?"0_1_平面A8CD建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易得4(0,-1,0),8(11,0),C(1,0,0),D(0,l,0),P(0,0J),則CP=(-1,0,1),CD=(-1,1,0).假設(shè)存在點(diǎn)。，使它到平面PCD的距離為*設(shè)