反應(yīng)器的優(yōu)化和穩(wěn)定性

反應(yīng)器的優(yōu)化和穩(wěn)定性1第一頁，共六十八頁，2022年，8月28日第五章反應(yīng)器的優(yōu)化和穩(wěn)定性A.優(yōu)化目的：過程利益最大或總費(fèi)用最小問題分類：靜態(tài)優(yōu)化——求穩(wěn)態(tài)操作目標(biāo)函數(shù)的極值動(dòng)態(tài)優(yōu)化——求非穩(wěn)態(tài)操作目標(biāo)函數(shù)的極值B.穩(wěn)定性新平衡（或自動(dòng)恢復(fù)）——穩(wěn)定條件變化——不能建立平衡——不穩(wěn)定C.控制性：用什么控制系統(tǒng)，多大程度上將裝置控制在規(guī)定操作條件下——屬自動(dòng)控制問題平衡2第二頁，共六十八頁，2022年，8月28日5.1目標(biāo)函數(shù)和約束條件5.1.1目標(biāo)函數(shù)對(duì)反應(yīng)器：主要涉及產(chǎn)量問題和效率問題。產(chǎn)量問題：?jiǎn)挝粫r(shí)間、單位容積反應(yīng)器產(chǎn)量最大——“單產(chǎn)”或轉(zhuǎn)化為完成一定量產(chǎn)品反應(yīng)時(shí)間最短——“速度”此類問題對(duì)設(shè)備費(fèi)用較大時(shí)很重要。效率問題：一定量的原料，獲取最多產(chǎn)品，原料費(fèi)用高時(shí)很重要。變量包括三種狀態(tài)變量如器內(nèi)溫度、濃度、轉(zhuǎn)化率等操作變量流量、原料、冷卻水溫坐標(biāo)變量時(shí)間、空間目標(biāo)函數(shù)是包含上述變量（部分或全部）的函數(shù)?？梢赞D(zhuǎn)化，如T亦可作操作變量3第三頁，共六十八頁，2022年，8月28日5.1.2約束條件反應(yīng)器所特有的及反應(yīng)過程存在的特定關(guān)系式（與上述三種變量間）稱為約束條件。分為兩種：等式約束：過程方程式（物料平衡、速度式、k式等）等不等式約束：溫度極限等、不等式。5.2優(yōu)化方法優(yōu)化——根據(jù)約束條件求目標(biāo)函數(shù)之極值。

方法有多種：視目標(biāo)函數(shù)與約束條件的具體形式而定。5.2.1微分法操作變量x1

,x2

,x3

,

…,xm

狀態(tài)變量y1

,y2

,y3

,…,yn目標(biāo)函數(shù)P=P（x1

,x2

,x3

,

…,xm,y1

,y2

,y3

,…,yn）等式約束Fi=Fi（x1

,x2

,x3

,

…,xm,y1

,y2

,y3

,…,yn）=0

4第四頁，共六十八頁，2022年，8月28日將等式約束寫成yi=i（x1

,x2

,x3

,

…

,xm）（寫成操作變量的函數(shù)）

于是目標(biāo)函P=P（x1

,x2

,x3

,

…

,xm）（消去yi）若P

和P/xk是連續(xù)的，則在滿足的xh點(diǎn)存在極值。極值為極大還是極小，由二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)判別。如:對(duì)函數(shù)P=P（x1，x2）其極值存在于從而可解得（x10，x20）點(diǎn)若則5第五頁，共六十八頁，2022年，8月28日下面舉例說明應(yīng)用例1.討論2級(jí)可逆反應(yīng)的最佳溫度。（該問題屬于產(chǎn)量問題）(5.11)(5.12)可見，在CA0一定條件下，t由fA及T給出6第六頁，共六十八頁，2022年，8月28日間歇反應(yīng)器，t

為操作時(shí)間生產(chǎn)速度對(duì)連續(xù)管式反應(yīng)器，θ為反應(yīng)時(shí)間生產(chǎn)速度對(duì)等溫操作，約束條件已寫成操作變量的顯函數(shù)（5.12），代入（5.11）式，然后按fA一定，求T偏導(dǎo)。WmA——為A的一次裝料量；V——反應(yīng)器容積；t，t′——分別為反應(yīng)時(shí)間（操作時(shí)間）和裝卸料時(shí)間。生產(chǎn)量問題化為生產(chǎn)速度問題，即在給定fA條件下使t（或θ）為最小，即相當(dāng)于生產(chǎn)速度為最大。因而t[(5.11)式]就成為在約束條件(5.12)式下求極值的問題不等式約束0<

fA≤fAe(平衡時(shí)轉(zhuǎn)化率)目標(biāo)函數(shù)7第七頁，共六十八頁，2022年，8月28日可解得TOPT，因很繁，僅寫出（5.13）這只是個(gè)關(guān)系式，尚未給出Topt，須要與原函數(shù)聯(lián)立求解，其解也很麻煩。變通的方法是按照（5.11）式，fA一定時(shí)，變T，求t，作圖討論：（5.13）式分母>0

t

tmin

ToptT因因而只有E2＞E1，才存在tmin說明：可逆反應(yīng)條件0<

fA≤fAe即有rA

≥rC8第八頁，共六十八頁，2022年，8月28日亦即(開始無其它物料C,D)或即有另外，需說明一點(diǎn)，對(duì)?t/?T=0所得繁瑣方程，可由計(jì)算機(jī)直接試算迭代求出Topt，及相當(dāng)?shù)膖min

值對(duì)非等溫操作問題：隨反應(yīng)進(jìn)行改變溫度，以保持最大反應(yīng)速度。目標(biāo)函數(shù)對(duì)T求偏導(dǎo)9第九頁，共六十八頁，2022年，8月28日令其為“0”，得（5.15）由（5.15）式，根據(jù)CA、CB、CC、CD可求得Topt

在平衡狀態(tài)時(shí)（5.16）Te——平衡溫度。由（5.15）、（5.16）式（5.17）（5.16）式有兩種用法①已知溫度時(shí)→平衡濃度②已知濃度時(shí)→平衡溫度現(xiàn)屬于后者k1、k2代入上式10第十頁，共六十八頁，2022年，8月28日微分法要求從目標(biāo)函數(shù)中消去狀態(tài)變量yi當(dāng)yi不能寫成操作變量xi的顯函數(shù)時(shí)，不能用微分法，此時(shí)，可用拉格朗日乘數(shù)法設(shè)新的目標(biāo)函數(shù)為：5.2.2拉格朗日乘數(shù)法為約束條件根據(jù)加上約束條件共2n+m個(gè)方程式中，Te可按各時(shí)刻CA、CB、CC、CD代入求出，以求Topt

各濃度由推求，可見溫度隨時(shí)間變化，實(shí)現(xiàn)困難。其中：11第十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日未知量(2n+m)個(gè)xh

m個(gè)yi

n個(gè)λin個(gè)2n+m個(gè)理論上可求解，但實(shí)際上相當(dāng)麻煩，只有簡(jiǎn)單問題可得解析解。例2.連續(xù)流攪拌槽中的連串反應(yīng)討論中間產(chǎn)物R的效率。解：效率等式約束條件由A物料平衡或（5.22）12第十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日由R物料平衡或（5.23）新目標(biāo)函數(shù)操作變量：T（含于k1，k2，k3中）及平均停留時(shí)間θ狀態(tài)變量：濃度CA、CR13第十三頁，共六十八頁，2022年，8月28日問題分為：（1）溫度T

一定，求最佳θ加上兩個(gè)約束方程，共5個(gè)方程，求解

θ，CA，CR，λ1，λ25個(gè)變量，得14第十四頁，共六十八頁，2022年，8月28日

（2）θ一定，求最優(yōu)溫度Topt方法同上（略）此例簡(jiǎn)單，用微分法可直接求解。例如：應(yīng)用兩個(gè)約束方程，可直接得出僅含操作變量的顯式，目標(biāo)函數(shù)（5.28）式，對(duì)該式直接微分即可求得θopt和Topt若目標(biāo)函數(shù)寫成操作變量的函數(shù)P=P(x1，x2，，xm)，那么P與xh構(gòu)成m+1維空間。形象些說，當(dāng)m=2時(shí)，構(gòu)成三維空間，若以圖形表示函數(shù)，就為曲面，曲面的最高點(diǎn)（或最低點(diǎn)）即極值點(diǎn)所謂“登山”即從曲面上任意點(diǎn)（初始解）出發(fā)向峰點(diǎn)逼近的過程。5.2.3登山法15第十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日例如：求y最小值(y顯見不能為負(fù)值)。設(shè)從起點(diǎn)（0,－1）出發(fā)，代入函數(shù)式得y＝14.4下一步走到（1,1）點(diǎn)，y＝7.11向極值逼近！一步步試算總可找到極值點(diǎn)，但這不科學(xué)。應(yīng)合理確定搜索矢量和步長，才能系統(tǒng)地逐步逼近極值。（1）搜索矢量與步長搜索矢量表示從出發(fā)點(diǎn)前進(jìn)的矢量，步長則表示求前進(jìn)步幅大小。若以矢量表示出發(fā)點(diǎn)、到達(dá)點(diǎn)，則與搜索矢量的關(guān)系可表示為（5.35）取單位步長，p=1,上例表示為登山方向矢量16第十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日即搜索矢量起點(diǎn)、終點(diǎn)Dm必須滿足（5.35）式，或由該式協(xié)調(diào)，然而，都是未知的，需要有一種方法解決這一問題。（2）快速登山法或并且xh

在方向移動(dòng)距離為

ε

為任意常數(shù)，相當(dāng)于步長符號(hào)“”，求極大用“＋”，求極小用“－”。17第十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日例3討論日產(chǎn)10噸化工廠生產(chǎn)費(fèi)用最小值圖e.5.3.a流程圖取反應(yīng)流體壓力為x1（kg/cm2）循環(huán)比x2（—）各部分費(fèi)用：反應(yīng)器分離機(jī)循環(huán)泵混合器和壓縮機(jī)目標(biāo)函數(shù)解：以則目標(biāo)函數(shù)可簡(jiǎn)化為18第十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日出發(fā)點(diǎn)任選，設(shè)x1

=800，x2

=6，P0

=3133333在出發(fā)點(diǎn)從而得新的試探點(diǎn)（第一步終點(diǎn)）(x1)1=883，(x2)1=5.78，P1=3109460一般經(jīng)驗(yàn)，ε使xi變化約10％19第十九頁，共六十八頁，2022年，8月28日以后逐步計(jì)算，直到P/xi=0為止，即為極值點(diǎn)。（1000，4）點(diǎn)Pmin=3×106當(dāng)然，本例變量少，可用微分法直接求解可解得注意：如果用解析法求不出P/xi值，可用xi＋數(shù)值法估算（類似定義）得搜索矢量20第二十頁，共六十八頁，2022年，8月28日步長很重要，P曲面復(fù)雜時(shí)要選小些，曲面簡(jiǎn)單時(shí)可大些；當(dāng)存在兩個(gè)以上極值時(shí)，一旦到達(dá)其一就不能前進(jìn)，為此應(yīng)選擇幾個(gè)出發(fā)點(diǎn)；到達(dá)是極值點(diǎn)還是鞍點(diǎn)，落入鞍點(diǎn)就無法解脫；變步長方法：一次成功，下次取3倍步長；一次失敗，下次取1/2步長。為什么搜索失??？如從1點(diǎn)出發(fā)，因步長太大，超越極值點(diǎn)2點(diǎn)P值小于1點(diǎn)12起止開始時(shí)，步長小些為好，視P增加情況而定。0－1步長太大0－1P增長不多要判別平坦或越過15432021第二十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日5.2.4線性規(guī)劃（LinearProgramming）當(dāng)P為線性函數(shù)，且約束（等式、不等式）也為線性時(shí)的優(yōu)化問題就成為線性規(guī)劃問題。

“實(shí)際可行面積”或“可行域”—由線性約束條件所圍成的平面面積，優(yōu)化即圍繞此面積周邊進(jìn)行計(jì)算,使函數(shù)P最大。例4.計(jì)算函數(shù)最大值約束x≥0,y≥0，y≤x+2,y≤4－x

解：約束條件圍成右圖面積由K=y+0.5x寫出等K值方程y=－0.5x＋K

K＝K0＝0時(shí)，y=－0.5x

K＝K1＝1時(shí)，y=－0.5x＋1

K＝K2

＝2時(shí)，y=－0.5x＋2……12341234xyy=x+2(1,3)K3,5K3K2K1K0線性規(guī)劃圖解“可行域”22第二十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日不同K值構(gòu)成一個(gè)平行線族，線愈高，則K值愈大，但K必須位于“可行面積”（可行域）內(nèi)最后得K3.5

是最大值此時(shí)y=3x=1由此可見，因K等值線一定要在可行面積內(nèi)的才有用，故平行移動(dòng)K線，最后必切（交）于可行面積內(nèi)的某個(gè)頂點(diǎn)（或邊），這便是所求極值。第一定理：線性規(guī)劃目標(biāo)函數(shù)的最佳值必定位于由約束條件規(guī)定的凸多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)上。以上是按2個(gè)變量討論的。當(dāng)變量為N個(gè)時(shí)，最優(yōu)值位于N維空間多邊形（凸面體）的一個(gè)頂點(diǎn)上，不過這種情況需用矩陣代數(shù)求解。N維問題：目標(biāo)函數(shù)（5.41）不等式約束（5.42）23第二十三頁，共六十八頁，2022年，8月28日引入松弛變量Zi，把不等式化為等式為了符號(hào)上取得一致，xi與Zi統(tǒng)改為fj表示（5.43）xi1≤j≤mZj-mm+1≤j≤m

+l=Nfj=由此可改寫（5.43）式，得（5.44）24第二十四頁，共六十八頁，2022年，8月28日寫為矩陣形式或?qū)懗上蛄勘硎荆耗繕?biāo)函數(shù)寫成：（5.45）（5.46）25第二十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日由于fm+1，…，fm+l不為“0”必須Cm+1，…，Cm+l為“0”，以保證原條件不變上式中，設(shè)則，則目標(biāo)函數(shù)可寫成：從而，線性規(guī)劃問題概括為約束（5.48）未知量f1，f2，…，fm+l共m+l個(gè)方程l個(gè)（不計(jì)P=cTf）可見，有無窮多組解，但其中使P達(dá)最大者為最優(yōu)解（5.47）26第二十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日Dantzig

程序

（計(jì)算方法）（運(yùn)籌學(xué)中，迭代或旋轉(zhuǎn)運(yùn)算）因方程只有l(wèi)

個(gè)，變量為m+l

個(gè)，故先假定l個(gè)變量然后求解。（1）（設(shè)f1

=f2

=f3

=…=fm=0）求初始可行解根據(jù)（5.45）式，f1

…

fm為“0”，又am+1

…

am+l為1，構(gòu)成單位向量這一點(diǎn)從（5.44）式顯而易見即am+1,

am+2

…am+l構(gòu)成單位系數(shù)矩陣上解代入目標(biāo)函數(shù)P=0因f1

…fm都是零，故稱從原點(diǎn)出發(fā)，為其一解。27第二十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日解釋：

（i）主成分（基變量）由上可見，從原點(diǎn)出發(fā)可理解為選定l維坐標(biāo)系，使符合初始條件。所以，am+1

,

am+2

,

…,am+l應(yīng)滿足條件即am+i＝1都是單位矢量

am+1,am+2,…,am+l稱坐標(biāo)的主成分（基）（ii）剩余成分（非基變量）其余矢量a1，a2

…am都分解到坐標(biāo)軸上，每個(gè)有l(wèi)個(gè)分量，用as表示（s=1,2,

…,m）28第二十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日（5.52）式中βm+1,s可理解為as在軸m+1軸上的分量，am＋1

為m＋1軸的單位矢量等等。上式可改寫為（5.53）實(shí)際上即為剩余部分，用單位向量線性表示。（5.54）而ais即為方程組（5.44）中的各系數(shù)。（2）從出發(fā)點(diǎn)前進(jìn)，使P增長方法：變換坐標(biāo)，保持l維，用剩余成分中的一個(gè)（一個(gè)非基變量）代替主成分中的某一個(gè)（某一個(gè)基變量

）。非基向量在基向量上的投影。29第二十九頁，共六十八頁，2022年，8月28日舉例說明：引入松弛變量f3,f4

后約束方程變?yōu)椋海╝）（b）問題有無窮多解設(shè)f1＝f2＝0則f3＝8

f4＝6將方程系數(shù)列成表（進(jìn)行基變換）a1a2a3a4b基變量f3a324108f4a442016由方程（a），（b）初始可行解30第三十頁，共六十八頁，2022年，8月28日（a）-（b）/2得（c）（b）/4得（d）此時(shí)基變量就成為a3，a1，方程性質(zhì)未變，列表a1a2a3a4b基變量f3a3031-1/25f1a111/201/43/2此時(shí)：f4

稱為換出變量；f1

稱為換入變量。取f2=f

4=02次可行解P增大然后，再次進(jìn)行基變換，以f3為換出變量，f2

為換入變量，得

f1=2/3f2=5/331第三十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日3次可行解此時(shí)函數(shù)達(dá)其極值對(duì)于l維坐標(biāo)系，其基向量由l個(gè)單位向量所組成(1)令非基變量為“0”，即可得一初始可行解(2)由此出發(fā)，進(jìn)行基變換，求得可行解和P值(3)每變換一次得一個(gè)P，可看出它的增減但是：如何進(jìn)行變量變換（基變換）？用哪個(gè)非基變量as替換基變量am+i才能保證P值增長？(只有滿足這一要求，才有實(shí)際意義或變換才有意義)。變換方法由符號(hào)運(yùn)算（5.56）32第三十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日適當(dāng)選擇θ

值，如

這樣am+i項(xiàng)被消去，而θas留下，即將as引入基變量（換入變量），am+i成為非基變量（換出變量）。由（5.56）式看出，消去am+i和引入as是任意的，但必須保證變換后的結(jié)果能使所有的fm+i都是正值（題給條件），因此，規(guī)定θ必須是正值，且i必須使θ值為最小者。這要從基變量變換后P值的變化來看變換前（實(shí)質(zhì)aik最大者）基變量變換后令稱為補(bǔ)償函數(shù)由此得33第三十三頁，共六十八頁，2022年，8月28日下面舉例說明（見p155~p160）例5求函數(shù)最大值解：①引入松弛變量（x4，x5，x6）將不等式約束化為等式②求初始可行解，并判斷換入基變量和換出基變量可見，只要Cs－Zs>0

P

便增長。（第1表）34第三十四頁，共六十八頁，2022年，8月28日a1a2a3a4a5a6bCa41－1010010a542－3010100a651－3001140CS312000ZS0000000CS－

ZS312000（第1表）第1列（f1）Cs–Zs最大，f1為換入基變量第1列θ值θ4值為最小，確定f4

為換出變量因而基變量成為f1,f5,f6

（a1,a5,a6）單位矢量35第三十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日③第2可行解（將f1

系數(shù)向量a1化為單位向量）判別換入換出變量初始可行解為（第2表）第2列Cs–Zs最大，f2為換入基變量a1a2a3a4a5a6bca11－1010013a506－3－41060a6063－50190CS312000ZS3－303003CS－

ZS042－300f5應(yīng)為換出變量（θ＞0)(原2行—4×1行）(原3行—5×1行）36第三十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日④求第3可行解，其它同前第2可行解（第3表）第3列Cs-Zs最大，f3為換入基變量上表L3-L2上表L2/6

+L1原L2/6a1a2a3a4a5a6bca110－1/21/31/6023a201－1/2－2/31/6011a6006－1－1130CS312000ZS31－21/32/307CS－

ZS004－1/3－2/3037第三十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日⑤求第4可行解僅3表3列Cs-Zs

>0，且該列中僅為正β6.3為正，故換出變量為f6。第3可行解（第4表）上表L3/12

+L1上表L3/12

+L2上表L3/6a1a2a3a4a5a6bca11001/41/121/129/43a2010－3/41/121/125/41a3001－1/6－1/61/61/22CS312000ZS312－1/302/39CS－

ZS0001/30－2/3雖所有松弛變量（x5

,x6

,x7）均從基變量中消去了，但此時(shí)并非最優(yōu)解。因第4列Cs-Zs

仍為正，且β1.4

>0

，故目標(biāo)函數(shù)P仍可能增大。故仍需以f4

為換入基變量，f1

為換出變量，求第5可行解。38第三十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日上表得，第4可行解⑥第5可行解a1a2a3a4a5a6bca440011/31/390a231001/31/381a32/3010－1/92/922CS312000ZS13/31201/97/912CS－

ZS－4/3000－1/9－7/9由Cs-Zs

判別Cs-Zs

<0，此時(shí)優(yōu)化解即為目標(biāo)函數(shù)的最大值為39第三十九頁，共六十八頁，2022年，8月28日另外，根據(jù)（5.59）式可由當(dāng)前次的θ

,(Cs-Zs

)值，預(yù)測(cè)下次的新目標(biāo)函數(shù)值。例如：如上算得第1次：

P=0θ

4=1Cs-Zs=3預(yù)測(cè)P’=P+θ(Cs-Zs)=0+1×3＝3與計(jì)算值相同第2次：

P=3θ5=1Cs-Zs=4預(yù)測(cè)P’=3＋1×4＝7與計(jì)算值相同第3次：

P=7θ6=1/2Cs-Zs=4預(yù)測(cè)P’=7+?×4＝9與計(jì)算值相同因此時(shí)表5中Cs-Zs

<0，故目標(biāo)函數(shù)極大值即為12雖然這種方法能預(yù)測(cè)下次的極值，但仍須以上述表格的運(yùn)行結(jié)果為依據(jù)，才能進(jìn)行繼續(xù)預(yù)測(cè)。當(dāng)然，直接應(yīng)用表格運(yùn)算也可解決問題。第4次：

P=9θ1=9Cs-Zs=1/3預(yù)測(cè)P’=9+1/3×9＝12與計(jì)算值相同40第四十頁，共六十八頁，2022年，8月28日目標(biāo)函數(shù)適當(dāng)選取x(t)，可使目標(biāo)函數(shù)P達(dá)極值。P稱為泛函數(shù)（簡(jiǎn)稱泛函），x(t)稱為變函數(shù)。5.2.5變分法泛函的極值求解就是變分問題。如：兩點(diǎn)A—B間沿何曲線積分時(shí)距離最短？yxA(xA,,yA,)B(xB,,yB,)y=y(x,)亦即相當(dāng)于選擇y=y(x)，使積分（泛函）達(dá)極值。即求最小問題41第四十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日泛函的極值條件是變分為0：即得歐拉（Euler）方程或講義丟掉用上述方法求變函數(shù)xq不明顯含有變量t當(dāng)時(shí)，可使用另一種形式的歐拉方程或42第四十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日例6粒子由A→B，時(shí)間最短的軌跡方程y=y(x)解：（無阻力）A點(diǎn)速度為零至中間某點(diǎn)（1）(方向切于曲線)設(shè)A→B距離s，中間某微段ds（2）粒子由A→B的時(shí)間（I相當(dāng)于目標(biāo)函數(shù)P）（3）此處x為變量yxABy=y(x,)v被積函數(shù)（q）不顯含變量x，故用方程亦即（4）整理得（5）dxdyds43第四十三頁，共六十八頁，2022年，8月28日由三角公式得（6）仍由亦解得（6）式代入上式得44第四十四頁，共六十八頁，2022年，8月28日積分可得為擺線方程，R為圓半徑A=Rtgθ=dy/dx推論12個(gè)以上變函數(shù)的變分問題（x為自變量，y、z為x函數(shù)）極值滿足（5.62）推論2多個(gè)自變量的泛函問題（x，y，z為自變量，U為x，y，z函數(shù)）45第四十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日該泛函達(dá)極值的必要條件為：（5.63）有約束條件的泛函達(dá)極值問題泛函形式約束條件引入拉格朗日乘子，給出新的泛函形式新的泛函極值的必要條件為：（5.64）46第四十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日例7.圓形管道橫斷面旋度平方的面積分為最?。l件），平均流速U0，求速度分布。梯度散度旋度圓柱坐標(biāo)47第四十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日旋度平方的面積分的泛函形式即為目標(biāo)函數(shù)由流體不可壓縮，流量為Const，約束條件組成新的目標(biāo)函數(shù)：圓形斷面，速度分布與無關(guān)，且VZ=V，故圓管

V僅為r的函數(shù)，故有48第四十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日積分或者為單變量函數(shù)，自變量和約束條件的泛函問題，由（5.64）方程則有49第四十九頁，共六十八頁，2022年，8月28日可求得由此說明：①與流體力學(xué)中層流條件所得速度分布一致;②實(shí)際問題一般難以得分析解，數(shù)值解為多;③極值須用二階變分驗(yàn)算。勒讓德判據(jù)，假如滿足

Euler

方程例6（極?。├?（極小）50第五十頁，共六十八頁，2022年，8月28日5.2.6最大原理xi

—狀態(tài)變量，T—操作變量，t—坐標(biāo)變量求使P達(dá)極值的f0

函數(shù)。狀態(tài)變量速度式：設(shè)x0

為虛擬成分，且（5.67）xi

是T的函數(shù)反應(yīng)工程中計(jì)算最佳溫度是一個(gè)重要問題。目標(biāo)函數(shù)（5.66）51第五十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日現(xiàn)以數(shù)學(xué)符號(hào)引入另一個(gè)函數(shù)J（5.68）λi(t)稱可變拉氏乘子，與t有關(guān)，與T無關(guān)，又稱為時(shí)間乘子。λi(t)邊界條件（規(guī)定）在反應(yīng)過程中0～θ

時(shí)間內(nèi)，對(duì)應(yīng)的最佳溫度為溫度分布。如何使P達(dá)極值？下面介紹Katz

方法（1960年）設(shè)x0

滿足52第五十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日（5.70）對(duì)于溫度T的變分xi(0)已知λi(0)一定J－P為Const，J增大，P必增大，反之亦然，問題為求J極值。由變分法δT=0，可得極值必要條件。

自變量t，xi…T均為t之函數(shù)，J為泛函。同樣，xi的變分（5.68）右端積分Ttt53第五十三頁，共六十八頁，2022年，8月28日說明：（5.76）（1）求μi（a）可寫成（b）（c）54第五十四頁，共六十八頁，2022年，8月28日對(duì)（c）Talor級(jí)數(shù)展開（d）比較（a）,（d）式，并考慮定義式（b）,有或（5.75）（2）求λi（5.75）代入（5.76）（5.77）55第五十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日上式很復(fù)雜，可適當(dāng)選取λi使其簡(jiǎn)化如（5.78）即取第j個(gè)因子可推出由此，式（5.77）右端首末項(xiàng)對(duì)消，有（5.79）因

≠0，欲使δJ=0，必有（5.80）上式為使P達(dá)極值的條件。問題的邊界條件(共軛函數(shù))56第五十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日說明：以上為問題最優(yōu)解的必要條件，但不是充分條件?？赡苡卸鄠€(gè)解滿足上述條件，只有一個(gè)為最優(yōu)。也可能因約束條件限制使過程不能達(dá)最佳狀態(tài)。這時(shí)可用彭策根（Pontryagain）最大原理。由哈密頓函數(shù)：H與P的極值（極大、極?。┫鄳?yīng)?，F(xiàn)考察（5.83）問題的邊界條件57第五十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日將共軛函數(shù)（5.78）和極值必要條件（5.80）代入（5.83）得積分上式且因f0也是常數(shù)，故H在最佳點(diǎn)一定是常數(shù)。H函數(shù)加上λi

把變分問題轉(zhuǎn)化為微分問題，即dH/dt=0得極值條件，但須加上共軛函數(shù)條件。后項(xiàng)為“0”，前項(xiàng)必為“0”，即H=Const在最佳條件下，T可由H/T=0求解。例8：連續(xù)流反應(yīng)器中的連串反應(yīng)A→B→C，設(shè)反應(yīng)為1級(jí)試求使產(chǎn)物B產(chǎn)率最大的溫度分布。58第五十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日解：反應(yīng)速度方程（1）（2）式中：x1、x2

為反應(yīng)器中任意點(diǎn)A、B濃度（CA、CB），t=l/vl——該點(diǎn)至入口距離，v平均流速，反應(yīng)常數(shù)為：求B產(chǎn)率最大，即必須x2(θ)為最大，目標(biāo)函數(shù)可寫為（3）共軛函數(shù)為即（4）59第五十九頁，共六十八頁，2022年，8月28日本題中而由（4）式，可得（5）（6）溫度選取必須使H最大，即60第六十頁，共六十八頁，2022年，8月28日式中且（7）61第六十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日（1）（2）（5）（6）初始、邊界條件則沿反應(yīng)器的最佳溫度分布為宜用數(shù)值求解方便起見設(shè)，則整個(gè)問題化為解下列方程：62第六十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日5.2.7動(dòng)態(tài)規(guī)劃以多段橫流液—液萃取過程為例。原液流量

Q,濃度

x0,各