概率第四章-習(xí)題課

1闡述了數(shù)學(xué)期望、方差的概念及背景，要掌握它們的性質(zhì)與計(jì)算，會(huì)求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差。2要熟記兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、泊松分布、均勻分布、指數(shù)分布和正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望與方差。3給出了契比雪夫不等式，要會(huì)用契比雪夫不等式作簡(jiǎn)單的概率估計(jì)。4引進(jìn)了協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的概念，要掌握它們的性質(zhì)與計(jì)算。5要掌握二維正態(tài)隨機(jī)變量的不相關(guān)與獨(dú)立的等價(jià)性。6給出了矩與協(xié)方差矩陣。第四章小結(jié)返回主目錄一、闡述了數(shù)學(xué)期望、方差的概念及背景，要掌握它們的性質(zhì)與計(jì)算，會(huì)求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差。第四章小結(jié)返回主目錄1、數(shù)學(xué)期望：2、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè)Y=g(X),g(x)是連續(xù)函數(shù)，若X,Y獨(dú)立，則E(XY)=E(X)E(Y)性質(zhì)返回主目錄

若(X,Y)是二維隨機(jī)變量，是二元連續(xù)函數(shù)，則

(1)若(X,Y)的分布律為，(2).若(X,Y)的概率密度為則第四章小結(jié)返回主目錄第四章小結(jié)第四章小結(jié)返回主目錄3、方差

連續(xù)型。

性質(zhì)定義：計(jì)算公式：()22EXEXDX-=二、要熟記兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、泊松分布、均勻分布、指數(shù)分布和正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望與方差。第四章小結(jié)返回主目錄1.兩點(diǎn)分布2.二項(xiàng)分布4.均勻分布5．正態(tài)分布

6.指數(shù)分布第四章小結(jié)返回主目錄三、給出了契比雪夫不等式，要會(huì)用契比雪夫不等式作簡(jiǎn)單的概率估計(jì)。稱Y是隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)化了的隨機(jī)變量。隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)化：1、協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)的定義第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征協(xié)方差定義：COV(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)返回主目錄特別COV（X，X）=DX計(jì)算公式:COV（X，Y）=E(XY)-E(X)E(Y)D(aX+bY)=特別相關(guān)系數(shù)四、引進(jìn)了協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的概念，要掌握它們的性質(zhì)與計(jì)算。第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征定理：若X，Y獨(dú)立，則X,Y不相關(guān)。返回主目錄但是，X，Y不相關(guān)，不一定有X，Y相互獨(dú)立。2、協(xié)方差的性質(zhì)X，Y獨(dú)立與X,Y不相關(guān)的關(guān)系：第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征說(shuō)明X與Y之間沒(méi)有線性關(guān)系并不表示它們之間沒(méi)有關(guān)系。3、相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)的量．之間線性關(guān)系緊密程度與量相關(guān)系數(shù)是表征隨機(jī)變YX存在著線性關(guān)系；之間以概率與時(shí)，當(dāng)，11YXYX=r之間的線性關(guān)系越弱；與時(shí)，越接近于當(dāng)，YXYX0r()．不相關(guān)之間不存在線性關(guān)系與時(shí)，當(dāng)，YXYX0=r第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征則X，Y獨(dú)立=0X，Y不相關(guān)。返回主目錄§3協(xié)方差五、要掌握二維正態(tài)隨機(jī)變量的不相關(guān)與獨(dú)立的等價(jià)性。5、n維正態(tài)分布的性質(zhì)第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征返回主目錄4)相互獨(dú)立的一維正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合服從正態(tài)分布第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征返回主目錄5)n維正態(tài)隨機(jī)變量的邊緣分布是一維正態(tài)分布；反之，若服從正態(tài)分布，且相互獨(dú)立，則服從n維正態(tài)分布。注:()(),~)1222121rssmm，，，，，若NYX)2,(~2122221221srsssmmabbabaNbYaX++++則),(~22221221ssmmbabaNbYaX+++則第四章小結(jié)返回主目錄第四章習(xí)題課例1則X與Y的聯(lián)合分布為。第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征例2解：返回主目錄第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征例2續(xù)先求：返回主目錄第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征例2（續(xù)）則：返回主目錄例3解：例4解例5解例6解第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征§5矩求隨機(jī)變量X

和Y

的密度函數(shù)(2)問(wèn)X

和Y是否獨(dú)立？為什么？例7第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征則解：由題意，不妨設(shè)二維隨機(jī)變量例7（續(xù)）第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征因此有且例7（續(xù)）第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)例7（續(xù)）第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征（2）由題設(shè)例7（續(xù)）例8解其數(shù)學(xué)期望為例9第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征對(duì)N個(gè)人進(jìn)行驗(yàn)血，有兩種方案：（1）對(duì)每人的血液逐個(gè)化驗(yàn)，共需N次化驗(yàn)；（2）將采集的每個(gè)人的血分成兩份，然后取其中的一份，按k個(gè)人一組混合后進(jìn)行化驗(yàn)（設(shè)N是k的倍數(shù)），若呈陰性反應(yīng)，則認(rèn)為k個(gè)人的血都是陰性反應(yīng)，這時(shí)k個(gè)人的血只要化驗(yàn)一次；如果混合血液呈陽(yáng)性反應(yīng)，則需對(duì)k個(gè)人的另一份血液逐一進(jìn)行化驗(yàn)，這時(shí)k個(gè)人的血要化驗(yàn)k+1次；返回主目錄（例9續(xù)）第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征解：設(shè)X表示第二個(gè)方案下的總化驗(yàn)次數(shù)，表示第i個(gè)組的化驗(yàn)次數(shù)，則返回主目錄第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征（例9續(xù)）例如：當(dāng)p=0.1，q=0.9時(shí)，可證明k=4可使最??；這時(shí)，工作量將減少40%.返回主目錄例10若有n把看上去樣子相同的鑰匙，其中只有一把能打開(kāi)門上的鎖，用它們?nèi)ピ囬_(kāi)門上的鎖。設(shè)取到每只鑰匙是等可能的。若把鑰匙試開(kāi)一次后除去，試用下面兩種方法求試開(kāi)次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望。（1）寫(xiě)出X的分布律；（2）不寫(xiě)出X的分布律。解因此則沿用（1）中的記號(hào)，則有故有例11假設(shè)一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率是0.2，機(jī)器發(fā)生故障時(shí)全天停止工作。若一周5個(gè)工作日里無(wú)故障，可獲利潤(rùn)10萬(wàn)元；發(fā)生一次故障仍可獲利潤(rùn)5萬(wàn)元；發(fā)生兩次故障所獲利潤(rùn)0萬(wàn)元；發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損2萬(wàn)元。求一周內(nèi)期望利潤(rùn)是多少？解設(shè)X表示一周5天內(nèi)機(jī)器發(fā)生故障的天數(shù)，則

X~B(5,0.2)?？傻靡訷表示所獲利潤(rùn)，則利潤(rùn)表達(dá)式為期望利潤(rùn)例12第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征返回主目錄

設(shè)某種商品每周的需求量X是服從區(qū)間[10，30]上的均勻分布的隨機(jī)變量，而經(jīng)銷商店進(jìn)貨的數(shù)量為區(qū)間[10，30]中的整數(shù)，商店每銷出一單位商品可得利潤(rùn)500元；若供大于求，則削價(jià)處理，每處理一單位商品虧損100元；若供不應(yīng)求，商店可從外部調(diào)劑供應(yīng)，每單位商品僅獲利潤(rùn)300元。為使商店所獲利潤(rùn)不小于9280元，試確定最少進(jìn)貨的數(shù)量。分析：設(shè)y為經(jīng)銷商店的進(jìn)貨量，Z為商店所獲利潤(rùn)，第一步：確定利潤(rùn)Z與需求量X、進(jìn)貨量y的關(guān)系；第二步：固定y，求E（Z）；第三步：求y，使例12第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征返回主目錄解：設(shè)y為經(jīng)銷商店的進(jìn)貨量，Z為商店所獲利潤(rùn)，（例12續(xù)）第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征X的概率密度為故最少進(jìn)貨量為21。例13設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)服從矩形上的均勻分布，記解由題意知，(X,Y)的聯(lián)合概率密度為所以，(U,V)的聯(lián)合分布律及各自的邊緣分布律為

UV01010.2500.250.50.250.750.50.5所以，因此，第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征例14用某臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知正品率隨著該機(jī)器所用次數(shù)的增加而指數(shù)下降，即P{第k次生產(chǎn)出的產(chǎn)品是正品}=假設(shè)每次生產(chǎn)100件產(chǎn)品，試求這臺(tái)機(jī)器前10次生產(chǎn)中平均生產(chǎn)的正品總數(shù)。解：設(shè)X是前10次生產(chǎn)的產(chǎn)品中的正品數(shù)，并設(shè)返回主目錄第四