高中數(shù)學(xué)人教B版本冊(cè)總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí) 2023版第1章距離和高度問(wèn)題

應(yīng)用舉例第1課時(shí)距離和高度問(wèn)題1.能將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題.(難點(diǎn))2.能夠用正、余弦定理等知識(shí)和方法求解與距離、高度有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題.(重點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理實(shí)際測(cè)量中的有關(guān)名詞、術(shù)語(yǔ)閱讀教材P12～P13問(wèn)題3，完成下列問(wèn)題.實(shí)際測(cè)量中的有關(guān)名詞、術(shù)語(yǔ)名稱(chēng)定義圖示基線在測(cè)量上，根據(jù)測(cè)量需要適當(dāng)確定的線段叫做基線鉛垂平面與地面垂直的平面坡角坡面與水平面的夾角α為坡角坡比坡面的垂直高度與水平寬度之比坡比：i＝eq\f(h,l)仰角在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線上方時(shí)，視線與水平線的夾角俯角在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線下方時(shí)視線與水平線的夾角判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)一般來(lái)說(shuō)，在測(cè)量過(guò)程中基線越長(zhǎng)，測(cè)量精確度越低.()(2)已知三角形的三個(gè)角，能夠求其三條邊.()(3)兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離無(wú)法求得.()(4)坡面與水平面的夾角稱(chēng)之為坡角.()(5)坡面的水平寬度與坡面的鉛直高度之比稱(chēng)為坡比.()(6)坡角的范圍是[0，π].()【解析】(1)×.因?yàn)樵跍y(cè)量過(guò)程中基線越長(zhǎng)，測(cè)量的精確度越高.(2)×.因?yàn)橐馊切?，至少要知道這個(gè)三角形的一條邊.(3)×.兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離我們可以借助余弦定理求得.(4)√.由坡角的定義可知.(5)×.因?yàn)槠卤仁侵钙旅娴你U直高度與坡面的水平寬度的比.(6)×.坡角的范圍是(0，π).【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×(6)×[小組合作型]測(cè)量距離問(wèn)題要測(cè)量對(duì)岸A，B兩點(diǎn)之間的距離，選取相距eq\r(3)km的C、D兩點(diǎn)，并測(cè)得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A，B之間的距離.【精彩點(diǎn)撥】將題中距離、角度轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，再利用正弦、余弦定理解三角形.【自主解答】如圖所示，在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝eq\r(3)km.在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.∴BC＝eq\f(\r(3)sin75°,sin60°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2).在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝(eq\r(3))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)＋\r(2),2)))2－2×eq\r(3)×eq\f(\r(6)＋\r(2),2)×cos75°＝3＋2＋eq\r(3)－eq\r(3)＝5，∴AB＝eq\r(5)(km)，∴A，B之間的距離為eq\r(5)km.三角形中與距離有關(guān)的問(wèn)題的求解策略：1解決三角形中與距離有關(guān)的問(wèn)題，若在一個(gè)三角形中，則直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的線段在多個(gè)三角形中，要根據(jù)條件選擇適當(dāng)?shù)娜切?，再利用正、余弦定理求?2解決三角形中與距離有關(guān)的問(wèn)題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為求三角形中的邊，分析所解三角形中已知哪些元素，還需要求出哪些元素，靈活應(yīng)用正、余弦定理來(lái)解決[再練一題]1.如圖1-2-1，在河岸邊有一點(diǎn)A，河對(duì)岸有一點(diǎn)B，要測(cè)量A，B兩點(diǎn)的距離，先在岸邊取基線AC，測(cè)得AC＝120m，∠BAC＝45°，∠BCA＝75°，求A，B兩點(diǎn)間的距離.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：18082023】圖1-2-1【解】在△ABC中，AC＝120，∠A＝45°，∠C＝75°，則∠B＝180°－(∠A＋∠C)＝60°，由正弦定理，得AB＝ACeq\f(sinC,sinB)＝eq\f(120sin75°,sin60°)＝20(3eq\r(2)＋eq\r(6)).即A，B兩點(diǎn)間的距離為20(3eq\r(2)＋eq\r(6))m.測(cè)量高度問(wèn)題(1)如圖1-2-2，從山頂望地面上C，D兩點(diǎn)，測(cè)得它們的俯角分別為45°和30°，已知CD＝100米，點(diǎn)C位于BD上，則山高AB等于()圖1-2-2A.100米 B.50eq\r(3)米C.50eq\r(2)米 (eq\r(3)＋1)米(2)在一幢20m高的樓頂測(cè)得對(duì)面一塔吊頂?shù)难鼋菫?0°，塔基的俯角為45°，那么這座塔吊的高是()A.20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(3),3)))m (1＋eq\r(3))m(eq\r(6)＋eq\r(2))m (eq\r(6)＋eq\r(2))m【精彩點(diǎn)撥】(1)解決本題關(guān)鍵是求AB時(shí)確定在哪一個(gè)三角形中求解，該三角形是否可解.(2)解決本題關(guān)鍵是畫(huà)出示意圖.【自主解答】(1)設(shè)山高為h，則由題意知CB＝h，DB＝eq\r(3)h，所以eq\r(3)h－h(huán)＝100，即h＝50(eq\r(3)＋1).(2)如圖，由條件知四邊形ABCD為正方形，∴AB＝CD＝20m，BC＝AD＝20m.在△DCE中，∠EDC＝60°，∠DCE＝90°，CD＝20m，∴EC＝CD·tan60°＝20eq\r(3)m.∴BE＝BC＋CE＝(20＋20eq\r(3))m.選B.【答案】(1)D(2)B解決測(cè)量高度問(wèn)題的一般步驟：1畫(huà)圖：根據(jù)已知條件畫(huà)出示意圖.2分析三角形：分析與問(wèn)題有關(guān)的三角形.3求解：運(yùn)用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解.在解題中，要綜合運(yùn)用立體幾何知識(shí)與平面幾何知識(shí)，注意方程思想的運(yùn)用[再練一題]2.某興趣小組要測(cè)量電視塔AE的高度H(單位：m).如圖1-2-3所示，豎直放置的標(biāo)桿BC的高度h＝4m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.該小組已測(cè)得一組α，β的值，算出了tanα＝，tanβ＝，請(qǐng)據(jù)此算出H的值.圖1-2-3【解】由AB＝eq\f(H,tanα)，BD＝eq\f(h,tanβ)，AD＝eq\f(H,tanβ)及AB＋BD＝AD，得eq\f(H,tanα)＋eq\f(h,tanβ)＝eq\f(H,tanβ)，解得H＝eq\f(htanα,tanα－tanβ)＝eq\f(4×,－＝124.因此，算出的電視塔的高度H是124m.[探究共研型]與立體幾何有關(guān)的測(cè)量高度問(wèn)題探究1已知A，B是海平面上的兩個(gè)點(diǎn)，相距800m，在A點(diǎn)測(cè)得山頂C的仰角為45°，∠BAD＝120°，又在B點(diǎn)測(cè)得∠ABD＝45°，其中D是點(diǎn)C到水平面的垂足.試畫(huà)出符合題意的示意圖.【提示】用線段CD表示山，用△DAB表示海平面.結(jié)合題中相應(yīng)的距離及角度，畫(huà)出立體圖形，如圖所示：探究2在探究1中若要求山高CD怎樣求解？【提示】由探究1知CD⊥平面ABD，首先在△ABD中利用正弦定理求出AD的長(zhǎng)，然后在Rt△ACD中求出CD.如圖1-2-4，為了測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C和D，測(cè)得CD＝200米，在C點(diǎn)和D點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角分別是45°和30°，且∠CBD＝30°，求塔高AB.圖1-2-4【精彩點(diǎn)撥】利用方程的思想，設(shè)AB＝h.表示出BC＝h，BD＝eq\f(h,tan30°)＝eq\r(3)h，然后在△BCD中利用余弦定理求解.【自主解答】在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，若設(shè)AB＝h，則BC＝h.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，則BD＝eq\r(3)h.在△BCD中，由余弦定理可得CD2＝BC2＋BD2－2·BC·BD·cos∠CBD，即2023＝h2＋(eq\r(3)h)2－2·h·eq\r(3)h·eq\f(\r(3),2)，所以h2＝2023，解得h＝200(h＝－200舍去)，即塔高AB＝200米.測(cè)量高度問(wèn)題的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)：1“空間”向“平面”的轉(zhuǎn)化：測(cè)量高度問(wèn)題往往是空間中的問(wèn)題，因此先要選好所求線段所在的平面，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題.2“解直角三角形”與“解斜三角形”結(jié)合，全面分析所有三角形，仔細(xì)規(guī)劃解題思路[再練一題]3.要測(cè)量底部不能到達(dá)的東方明珠電視塔的高度，在黃浦江西岸選擇甲、乙兩觀測(cè)點(diǎn)，在甲、乙兩點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45°，30°，在水平面上測(cè)得電視塔與甲地連線及甲、乙兩地連線所成的角為120°，甲、乙兩地相距500m，則電視塔的高度是()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：18082023】A.100eq\r(2)m B.400mC.200eq\r(3)m D.500m【解析】由題意畫(huà)出示意圖，設(shè)塔高AB＝hm，在Rt△ABC中，由已知得BC＝hm，在Rt△ABD中，由已知得BD＝eq\r(3)hm，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋h·500，解得h＝500(m).【答案】D1.甲、乙兩人在同一地平面上的不同方向觀測(cè)20m高的旗桿，甲觀測(cè)的仰角為50°，乙觀測(cè)的仰角為40°，用d1，d2分別表示甲、乙兩人離旗桿的距離，那么有()>d2 <d2>20m <20m【解析】如圖，設(shè)旗桿高為h，則d1＝eq\f(h,tan50°)，d2＝eq\f(h,tan40°).因?yàn)閠an50°>tan40°，所以d1<d2.【答案】B2.在某個(gè)位置測(cè)得某山峰仰角為θ，對(duì)著山峰在地面上前進(jìn)600m后測(cè)得仰角為2θ，繼續(xù)在地面上前進(jìn)200eq\r(3)m以后測(cè)得山峰的仰角為4θ，則該山峰的高度為()A.200m B.300mC.400m D.100eq\r(3)m【解析】法一：如圖，△BED，△BDC為等腰三角形，BD＝ED＝600(m)，BC＝DC＝200eq\r(3)(m).在△BCD中，由余弦定理可得cos2θ＝eq\f(6002＋200\r(3)2－200\r(3)2,2×600×200\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，∴2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt△ABC中，AB＝BC·sin4θ＝200eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝300(m)，故選B.法二：由于△BCD是等腰三角形，eq\f(1,2)BD＝DCcos2θ，即300＝200eq\r(3)cos2θ.cos2θ＝eq\f(\r(3),2)，2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt△ABC中，AB＝BC·sin4θ＝200eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝300(m)，故選B.【答案】B3.某人先向正東方向走了xkm，然后他向右轉(zhuǎn)150°，向新的方向走了3km，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好為eq\r(3)km，那么x的值為()\r(3) \r(3)\r(3)或eq\r(3) 【解析】如圖，在△ABC中由余弦定理得3＝9＋x2－6xcos30°，即x2－3eq\r(3)x＋6＝0，解之得x＝2eq\r(3)或eq\r(3).【答案】C4.在高出海平面200m的小島頂上A處，測(cè)得位于正西和正東方向的兩船的俯角分別是45°與30°，此時(shí)兩船間的距離為_(kāi)_______m.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：18082023】【解析】過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，由圖易知∠BAH＝45°，∠CAH＝60°，AH＝200m，則BH＝AH＝200m，CH＝AH·tan60°＝200eq\故兩船距離BC＝BH＋CH＝200(eq\r(3)＋1)m.【答案】200(eq\r(3)＋1)5.如圖1-2-5所示，在山頂鐵塔上B處測(cè)得地面上一點(diǎn)A的俯角為α，在塔底C處測(cè)得點(diǎn)A的俯角為β，已知鐵塔BC部分的高為h，求出山高CD.圖1-2-5【解】法一：在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠BAD＝α，則eq\f(BC,sinα－β)＝eq\f(AB,sin90°＋β)，∴AB＝eq\f(BCsin90°＋β,sinα－β).在Rt△ABD中，BD＝ABsin∠BAD＝eq\f(BCsin90°＋