材料力學(xué)第五節(jié)

§5-1純彎曲§5-2純彎曲時的正應(yīng)力§5-3橫力彎曲時的正應(yīng)力§5-4彎曲切應(yīng)力§5-5關(guān)于彎曲理論的基本假設(shè)§5-6提高彎曲強度的措施§5-1純彎曲

CD段剪力為零，彎矩為常量，該段梁的變形稱為純彎曲。AC、BD段梁的內(nèi)力既有彎矩又有剪力，該段梁的變形稱為橫力彎曲。梁的純彎曲實驗實驗現(xiàn)象：橫向線(ab）變形后仍為直線，但有轉(zhuǎn)動；縱向線變?yōu)榍€，且上縮下伸；橫向線與縱向線變形后仍正交。平面假設(shè)：橫截面變形后仍為平面，只是繞中性軸發(fā)生轉(zhuǎn)動，仍垂直于變形后的梁軸線。中性層：梁內(nèi)一層纖維既不伸長也不縮短，因而纖維不受拉應(yīng)力和壓應(yīng)力，此層纖維稱中性層。中性軸：中性層與橫截面的交線。假設(shè)①平面假設(shè)②縱向纖維間無正應(yīng)力§5-2純彎曲時的正應(yīng)力1.變形幾何關(guān)系MMm2n2sysLyO1O2ra2'dxn2m2n1m1O曲率中心n2dxn1m1m2ya1ya2e1O1O2e2x中性層z中性軸y對稱軸oa2a1ydqdldqxe2e1

2.物理關(guān)系（胡克定律)MsminsmaxMsminsmaxdAyz(中性軸)xzyOsdAM中性軸通過截面形心3.靜力關(guān)系②梁的上、下邊緣處，彎曲正應(yīng)力取得最大值，分別為：

—抗彎截面模量。

4.純彎曲梁橫截面上的應(yīng)力(彎曲正應(yīng)力)：

①距中性層y處的應(yīng)力矩形截面：5.三種典型截面對中性軸的慣性矩實心圓截面截面為外徑D、內(nèi)徑d(a=d/D)的空心圓:

§5-3橫力彎曲時的正應(yīng)力彎曲正應(yīng)力分布彈性力學(xué)精確分析表明，當(dāng)跨度l與橫截面高度h之比l/h>5（細(xì)長梁）時，純彎曲正應(yīng)力公式對于橫力彎曲近似成立。橫力彎曲最大正應(yīng)力彎曲正應(yīng)力公式適用范圍：①線彈性范圍—正應(yīng)力小于比例極限sp；②精確適用于純彎曲梁；③對于橫力彎曲的細(xì)長梁(跨度與截面高度比L/h>5)，上述公式的誤差不大，但公式中的M應(yīng)為所研究截面上的彎矩，即為截面位置的函數(shù)。彎曲正應(yīng)力強度條件1.彎矩最大的截面上2.離中性軸最遠(yuǎn)處4.脆性材料抗拉和抗壓性能不同，二方面都要考慮3.變截面梁要綜合考慮

與根據(jù)強度條件可進行：強度校核:截面設(shè)計:確定梁的許可荷載:FAYFBYBAl=3mq=60kN/mxC1mMx30zy180120KFSx90kN90kN1.求支反力解：例5-3-1：求圖示梁（1）C截面上K點正應(yīng)力；（2）C截面上最大正應(yīng)力；（3）全梁上最大正應(yīng)力；（4）已知E=200GPa，C截面的曲率半徑ρ2.C截面最大正應(yīng)力C截面彎矩C截面慣性矩（壓應(yīng)力）3.全梁最大正應(yīng)力最大彎矩4.C截面曲率半徑ρC截面彎矩C截面慣性矩例5-3-2：某車間欲安裝簡易吊車，大梁選用工字鋼。已知電葫蘆自重，起重量，跨度，材料的許用應(yīng)力。試選擇工字鋼的型號。（4）選擇工字鋼型號（5）討論（3）根據(jù)計算（1）計算簡圖（2）繪彎矩圖解：36c工字鋼例5-3-3：已知16號工字鋼Wz=141cm3，l=1.5m，a=1m，[]=160MPa，E=210GPa，在梁的下邊緣C點沿軸向貼一應(yīng)變片，測得C點軸向線應(yīng)變，求F并校核梁正應(yīng)力強度。CNO.16FABCFAB例5-3-4：T型截面鑄鐵梁，截面尺寸如圖,,試校核梁的強度。（2）求截面對中性軸z的慣性矩（1）求截面形心z1yz52解：（4）B截面校核（3）作彎矩圖（5）C截面要不要校核？（4）B截面校核（3）作彎矩圖例5-3-5：圖a所示為橫截面如圖b所示的槽形截面鑄鐵梁，該截面對于中性軸z的慣性矩Iz=5493×104mm4。已知圖a中，b=2m。鑄鐵的許用拉應(yīng)力[t]=30MPa，許用壓應(yīng)力[

c]=90MPa。試求梁的許可荷載[F]。(a)(b)

解：最大負(fù)彎矩所在B截面處，若截面的上邊緣處最大拉應(yīng)力st,max達(dá)到[st]，則下邊緣處最大壓應(yīng)力sc,max為根據(jù)可知此sc,max并未達(dá)到許用壓應(yīng)力[sc]，也就是說，就B截面而言，梁的強度由最大拉應(yīng)力控制。顯然，B截面上的最大拉應(yīng)力控制了梁的強度。B截面：C截面：第四章彎曲應(yīng)力當(dāng)然，這個許可荷載是在未考慮梁的自重的情況下得出的，但即使考慮自重，許可荷載也不會減少很多。于是由B截面上最大拉應(yīng)力不得超過鑄鐵的許用拉應(yīng)力[st]的條件來求該梁的許可荷載[F]：由此得F≤19200N，亦即該梁的許可荷載為[F]=19.2kN。第四章彎曲應(yīng)力討論：我國營造法中，對矩形截面梁給出的尺寸比例是h:b=3:2。試用彎曲正應(yīng)力強度證明：從圓木鋸出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。解：由此得§5-4彎曲切應(yīng)力一、矩形梁橫截面上的切應(yīng)力1、公式推導(dǎo)：n1m'n'2m1'ze11'1'11ye2e1x2112dxbAyyxdxxM+dMMFSFSss+dst'mnmm'dxtyt'AFs(x)+dFs(x)M(x)M(x)+dM(x)Fs(x)dxs1xyzs2t’tb由剪應(yīng)力互等Fst方向：與橫截面上剪力方向相同；t大?。貉亟孛鎸挾染鶆蚍植?，沿高度h分布為拋物線。最大剪應(yīng)力為平均剪應(yīng)力的1.5倍。二、其它截面梁橫截面上的剪應(yīng)力其中Fs為截面剪力；Sz為y點以下的面積對中性軸之靜矩；Iz為整個截面對z軸之慣性矩；b為y點處截面寬度。1、研究方法與矩形截面同；剪應(yīng)力的計算公式亦為：2、工字形截面梁的剪應(yīng)力腹板翼緣在腹板上：在翼緣上，有平行于Fs的剪應(yīng)力分量，分布情況較復(fù)雜，但數(shù)量很小，并無實際意義，可忽略不計。在翼緣上，還有垂直于Fs方向的剪應(yīng)力分量，它與腹板上的剪應(yīng)力比較，一般來說也是次要的。腹板負(fù)擔(dān)了截面上的絕大部分剪力，翼緣負(fù)擔(dān)了截面上的大部分彎矩。3、圓截面梁的剪應(yīng)力下面求最大剪應(yīng)力：三、彎曲剪應(yīng)力強度條件解：畫內(nèi)力圖求危面內(nèi)力例5-4-1：矩形(bh=120180mm2)截面木梁如圖，[]=7MPa，[]=0.9MPa，試求最大正應(yīng)力和最大剪應(yīng)力之比,并校核梁的強度。xM+Fs–+xq=3.6kN/mABL=3m求最大應(yīng)力并校核強度應(yīng)力之比例5-4-2：

T形梁尺寸及所受荷載如圖所示,已知[s]c=100MPa，[s]t=50MPa，[t]=40MPa，yc=17.5mm，Iz=18.2×104mm4。求：1)C左側(cè)截面E點的正應(yīng)力、切應(yīng)力；2)校核梁的正應(yīng)力、切應(yīng)力強度條件。CAB40401010ycCAB40401010yc1FS0.250.75(kN)_+M(kN.m)0.250.5+_2）作梁的Fs和M圖1）求支座反力：該梁滿足強度要求該梁滿足強度要求例5-4-3：懸臂梁由三塊木板粘接而成?？缍葹?m。膠合面的許可切應(yīng)力為[膠]=0.34MPa，木材的[]=10MPa，[]=1MPa，求許可載荷。1.畫梁的剪力圖和彎矩圖2.按正應(yīng)力強度條件計算許可載荷3.按切應(yīng)力強度條件計算許可載荷解：4.按膠合面強度條件計算許可載荷5.梁的許可載荷為§5-5關(guān)于彎曲理論的基本假設(shè)在導(dǎo)出純彎曲正應(yīng)力的計算公式時，引用了兩個假設(shè)：（1）平面假設(shè)；（2）縱向纖維間無正應(yīng)力假設(shè)。假設(shè)材料仍是線彈性的，對于橫力彎曲問題，按純彎曲正應(yīng)力的計算公式將會導(dǎo)致計算誤差。可見上、下表面無切應(yīng)變，中性層最大。切應(yīng)變沿高度方向呈拋物線變化，可見這勢必使橫截面不能保持平面，而引起翹曲。理論分析表明：當(dāng)截面高度h遠(yuǎn)小于跨度l的梁，上述偏差是非常小的；而h遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于跨度l，卻正是桿件的幾何特征。zq(x)Fs+dFsFsdxprnrsrsptF’sF’s+dF’syy理論分析表明：h遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于跨度l，y是可以忽略的，這正是假設(shè)縱向纖維間無正應(yīng)力的根據(jù)§5-6提高彎曲強度的措施控制梁彎曲強度的主要因素是彎曲正應(yīng)力，即以