試驗設計與數(shù)據(jù)處理第三李云雁第章誤差分析

試驗設計與數(shù)據(jù)處理

（第三版）ExperimentDesignandDataProcessing第一頁，共七十四頁。引言第二頁，共七十四頁。0.1試驗設計與數(shù)據(jù)處理的發(fā)展概況20世紀20年代，英國生物統(tǒng)計學家及數(shù)學家費歇（R．A．Fisher）提出了方差分析

20世紀50年代，日本統(tǒng)計學家田口玄一將試驗設計中應用最廣的正交設計表格化數(shù)學家華羅庚教授也在國內積極倡導和普及的“優(yōu)選法”我國數(shù)學家王元和方開泰于1978年首先提出了均勻設計

第三頁，共七十四頁。0.2試驗設計與數(shù)據(jù)處理的意義0.2.1試驗設計的目的:合理地安排試驗,力求用較少的試驗次數(shù)獲得較好結果

例：某試驗研究了3個影響因素：

A：A1，A2，A3B：B1，B2，B3C：C1，C2，C3

全面試驗：27次正交試驗：9次第四頁，共七十四頁。0.2.2數(shù)據(jù)處理的目的通過誤差分析，評判試驗數(shù)據(jù)的可靠性；確定影響試驗結果的因素主次，抓住主要矛盾，提高試驗效率；確定試驗因素與試驗結果之間存在的近似函數(shù)關系，并能對試驗結果進行預測和優(yōu)化；試驗因素對試驗結果的影響規(guī)律，為控制試驗提供思路；確定最優(yōu)試驗方案或配方。第五頁，共七十四頁。第1章試驗數(shù)據(jù)的誤差分析第六頁，共七十四頁。誤差分析（erroranalysis）：對原始數(shù)據(jù)的可靠性進行客觀的評定誤差（error）：試驗中獲得的試驗值與它的客觀真實值在數(shù)值上的不一致客觀真實值——真值試驗結果都具有誤差，誤差自始至終存在于一切科學實驗過程中第七頁，共七十四頁。1.1真值與平均值1.1.1真值（truevalue）真值：在某一時刻和某一狀態(tài)下，某量的客觀值或實際值

真值一般是未知的相對的意義上來說，真值又是已知的平面三角形三內角之和恒為180°國家標準樣品的標稱值國際上公認的計量值

高精度儀器所測之值多次試驗值的平均值第八頁，共七十四頁。1.1.2平均值（mean）（1）算術平均值（arithmeticmean）

等精度試驗值適合：

試驗值服從正態(tài)分布第九頁，共七十四頁。（2）加權平均值(weightedmean)適合不同試驗值的精度或可靠性不一致時wi——權重加權和第十頁，共七十四頁。（3）對數(shù)平均值（logarithmicmean）說明：若數(shù)據(jù)的分布具有對數(shù)特性，則宜使用對數(shù)平均值對數(shù)平均值≤算術平均值如果1/2≤x1/x2≤2時，可用算術平均值代替設兩個數(shù)：x1＞0，x2

＞0，則第十一頁，共七十四頁。（4）幾何平均值（geometricmean）當一組試驗值取對數(shù)后所得數(shù)據(jù)的分布曲線更加對稱時，宜采用幾何平均值。幾何平均值≤算術平均值設有n個正試驗值：x1，x2，…，xn，則第十二頁，共七十四頁。（5）調和平均值（harmonicmean）常用在涉及到與一些量的倒數(shù)有關的場合調和平均值≤幾何平均值≤算術平均值設有n個正試驗值：x1，x2，…，xn，則：Excel在計算平均值中的應用

第十三頁，共七十四頁。1.2誤差的基本概念1.2.1絕對誤差（absoluteerror）（1）定義

絕對誤差＝試驗值－真值或（2）說明真值未知，絕對誤差也未知

可以估計出絕對誤差的范圍：絕對誤差限或絕對誤差上界或第十四頁，共七十四頁。絕對誤差估算方法：最小刻度的一半為絕對誤差；最小刻度為最大絕對誤差；根據(jù)儀表精度等級計算：絕對誤差=量程×精度等級%第十五頁，共七十四頁。1.2.2相對誤差（relativeerror）（1）定義：或（2）說明：真值未知，常將Δx與試驗值或平均值之比作為相對誤差：或第十六頁，共七十四頁?？梢怨烙嫵鱿鄬φ`差的大小范圍：相對誤差限或相對誤差上界相對誤差常常表示為百分數(shù)（%）或千分數(shù)（‰）∴第十七頁，共七十四頁。1.2.3算術平均誤差(averagediscrepancy)定義式：可以反映一組試驗數(shù)據(jù)的誤差大小試驗值與算術平均值之間的偏差——第十八頁，共七十四頁。1.2.4標準誤差(standarderror)定義式：

表示當前樣本對總體數(shù)據(jù)的估計；表示樣本均數(shù)與總體均數(shù)的相對誤差；樣本個數(shù)n越大，標準誤越小，表明所抽取的樣本能夠較好地代表總體樣本第十九頁，共七十四頁。

（1）定義：以不可預知的規(guī)律變化著的誤差，絕對誤差時正時負，時大時?。?）產(chǎn)生的原因：偶然因素（3）特點：具有統(tǒng)計規(guī)律小誤差比大誤差出現(xiàn)機會多正、負誤差出現(xiàn)的次數(shù)近似相等當試驗次數(shù)足夠多時，誤差的平均值趨向于零可以通過增加試驗次數(shù)減小隨機誤差隨機誤差不可完全避免的

1.3.1隨機誤差（randomerror）1.3試驗數(shù)據(jù)誤差的來源及分類第二十頁，共七十四頁。1.3.2系統(tǒng)誤差（systematicerror）

（1）定義：一定試驗條件下，由某個或某些因素按照某一確定的規(guī)律起作用而形成的誤差（2）產(chǎn)生的原因：多方面（3）特點：系統(tǒng)誤差大小及其符號在同一試驗中是恒定的它不能通過多次試驗被發(fā)現(xiàn)，也不能通過取多次試驗值的平均值而減小只要對系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因有了充分的認識，才能對它進行校正，或設法消除。

第二十一頁，共七十四頁。1.3.3過失誤差（mistake）（1）定義：

一種顯然與事實不符的誤差（2）產(chǎn)生的原因：

實驗人員粗心大意造成

（3）特點：可以完全避免沒有一定的規(guī)律

第二十二頁，共七十四頁。1.4.1精密度（precision）（1）含義：反映了隨機誤差大小的程度在一定的試驗條件下，多次試驗值的彼此符合程度

例：甲：11.45，11.46，11.45，11.44

乙：11.39，11.45，11.48，11.50（2）說明：可以通過增加試驗次數(shù)而達到提高數(shù)據(jù)精密度的目的試驗數(shù)據(jù)的精密度是建立在數(shù)據(jù)用途基礎之上的試驗過程足夠精密，則只需少量幾次試驗就能滿足要求1.4試驗數(shù)據(jù)的精準度

第二十三頁，共七十四頁。（3）精密度判斷①極差（range）②標準差（standarderror，SD）R↓，精密度↑標準差↓，精密度↑第二十四頁，共七十四頁。③方差（variance）

標準差的平方：樣本方差（s2

）總體方差（σ2

）方差↓，精密度↑第二十五頁，共七十四頁。④相對標準偏差（relativestandarddeviation，RSD）

也稱變異系數(shù)（coefficientofvariation，簡稱CV）定義式：適用于兩個或多個數(shù)據(jù)資料分散程度、變異程度或精密程度的比較例1-5第二十六頁，共七十四頁。1.4.2正確度（correctness）

（1）含義：反映系統(tǒng)誤差的大小（2）正確度與精密度的關系：

精密度不好，但當試驗次數(shù)相當多時，有時也會得到好的正確度

精密度高并不意味著正確度也高

（a）（b）（c）第二十七頁，共七十四頁。1.4.3準確度（accuracy）（1）含義：反映了系統(tǒng)誤差和隨機誤差的綜合表示了試驗結果與真值的一致程度（2）三者關系無系統(tǒng)誤差的試驗精密度：A＞B＞C正確度：A＝B＝C準確度：A＞B＞C第二十八頁，共七十四頁。有系統(tǒng)誤差的試驗精密度：A＇＞B＇＞C＇準確度：A＇＞B＇＞C＇，A＇＞B，CExcel在計算誤差中的應用

第二十九頁，共七十四頁。1.5.1隨機誤差的檢驗

1.5試驗數(shù)據(jù)誤差的統(tǒng)計假設檢驗

1.5.1.1檢驗（

-test）

（1）目的：對試驗數(shù)據(jù)的隨機誤差或精密度進行檢驗。在試驗數(shù)據(jù)的總體方差已知的情況下，（2）檢驗步驟：若試驗數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，則①計算統(tǒng)計量第三十頁，共七十四頁。②查臨界值

服從自由度為的分布顯著性水平——一般取0.01或0.05，表示有顯著差異的概率雙側（尾）檢驗(two-sided/tailedtest)：③檢驗若則判斷兩方差無顯著差異，否則有顯著差異第三十一頁，共七十四頁。單側（尾）檢驗(one-sided/tailedtest)：左側（尾）檢驗

則判斷該方差與原總體方差無顯著減小，否則有顯著減小右側（尾）檢驗則判斷該方差與原總體方差無顯著增大，否則有顯著增大若若（3）Excel在檢驗中的應用

（當時）（當時）第三十二頁，共七十四頁。1.5.1.2F檢驗(F-test)

（1）目的：

對兩組具有正態(tài)分布的試驗數(shù)據(jù)之間的精密度進行比較

（2）檢驗步驟①計算統(tǒng)計量設有兩組試驗數(shù)據(jù)：都服從正態(tài)分布，樣本方差分別為和和，則第一自由度為第二自由度為服從F分布，

第三十三頁，共七十四頁。②查臨界值給定的顯著水平α查F分布表臨界值雙側（尾）檢驗(two-sided/tailedtest)：③檢驗若則判斷兩方差無顯著差異，否則有顯著差異第三十四頁，共七十四頁。單側（尾）檢驗(one-sided/tailedtest)：左側（尾）檢驗

（F＜1，即s12<s22）：則判斷該判斷方差1比方差2無顯著減小，否則有顯著減小

右側（尾）檢驗（F＞1，即s12>s22

）則判斷該方差1比方差2無顯著增大，否則有顯著增大

若若（3）Excel在F檢驗中的應用

第三十五頁，共七十四頁。1.5.2系統(tǒng)誤差的檢驗1.5.2.1t檢驗法（1）平均值與給定值比較①目的：檢驗服從正態(tài)分布數(shù)據(jù)的算術平均值是否與給定值有顯著差異②檢驗步驟：計算統(tǒng)計量：服從自由度的t分布(t-distribution)——給定值（可以是真值、期望值或標準值）第三十六頁，共七十四頁。雙側檢驗：若則可判斷該平均值與給定值無顯著差異，否則就有顯著差異單側檢驗左側檢驗若,且則判斷該平均值與給定值無顯著減小，否則有顯著減小右側檢驗若,且則判斷該平均值與給定值無顯著增大，否則有顯著增大③Excel在單樣本t檢驗中的應用

第三十七頁，共七十四頁。（2）兩個平均值的比較目的：判斷兩組服從正態(tài)分布數(shù)據(jù)的算術平均值有無顯著差異①計算統(tǒng)計量：兩組數(shù)據(jù)的方差無顯著差異時服從自由度的t分布s——合并標準差：第三十八頁，共七十四頁。兩組數(shù)據(jù)的精密度或方差有顯著差異時服從t分布，其自由度為：②t檢驗第三十九頁，共七十四頁。雙側檢驗：若則可判斷兩平均值無顯著差異，否則就有顯著差異單側檢驗左側檢驗：

若且則判斷該平均值1較平均值2無顯著減小，否則有顯著減小右側檢驗：

若且則判斷該平均值1較平均值2無顯著增大，否則有顯著增大③Excel在雙樣本t檢驗中的應用

第四十頁，共七十四頁。（3）成對數(shù)據(jù)的比較目的：試驗數(shù)據(jù)是成對出現(xiàn)，判斷兩種方法、兩種儀器或兩分析人員的測定結果之間是否存在系統(tǒng)誤差①計算統(tǒng)計量：

——成對測定值之差的算術平均值：——零或其他指定值——n對試驗值之差值的樣本標準差：服從自由度為的t分布第四十一頁，共七十四頁。雙側檢驗：若則可判斷兩平均值無顯著差異，否則就有顯著差異單側檢驗左側檢驗：

若且則判斷該平均值1較平均值2無顯著減小，否則有顯著減小右側檢驗：

若且則判斷該平均值1較平均值2無顯著增大，否則有顯著增大③Excel在成對雙樣本t檢驗中的應用

第四十二頁，共七十四頁。1.5.2.2秩和檢驗法（ranksumtest）（1）目的：兩組數(shù)據(jù)或兩種試驗方法之間是否存在系統(tǒng)誤差、兩種方法是否等效等，不要求數(shù)據(jù)具有正態(tài)分布（2）內容：設有兩組試驗數(shù)據(jù)，相互獨立，n1，n2分別是兩組數(shù)據(jù)的個數(shù)，總假定n1≤n2；將這個試驗數(shù)據(jù)混在一起，按從小到大的次序排列每個試驗值在序列中的次序叫作該值的秩（rank）將屬于第1組數(shù)據(jù)的秩相加，其和記為R1

R1——第1組數(shù)據(jù)的秩和（ranksum）如果兩組數(shù)據(jù)之間無顯著差異，則R1就不應該太大或太小第四十三頁，共七十四頁。查秩和臨界值表：根據(jù)顯著性水平和n1，n2，可查得R1的上下限T2和T1

檢驗：如果R1＞T2

或R1

＜T1，則認為兩組數(shù)據(jù)有顯著差異，若一組數(shù)據(jù)無系統(tǒng)誤差，則另一組數(shù)據(jù)有系統(tǒng)誤差如果T1＜R1＜T2，則兩組數(shù)據(jù)無顯著差異，若一組數(shù)據(jù)無系統(tǒng)誤差，則另一組數(shù)據(jù)也無系統(tǒng)誤差第四十四頁，共七十四頁。（3）例：

設甲、乙兩組測定值為：

甲：8.6，10.0，9.9，8.8，9.1，9.1

乙：8.7，8.4，9.2，8.9，7.4，8.0，7.3，8.1，6.8

已知甲組數(shù)據(jù)無系統(tǒng)誤差，試用秩和檢驗法檢驗乙組測定值是否有系統(tǒng)誤差。（＝0.05）解:（1）排序：秩1234567891011.511.5131415甲8.68.89.19.19.910.0乙6.87.37.48.08.18.48.78.99.2第四十五頁，共七十四頁。（2）求秩和R1

R1=7＋9＋11.5＋11.5＋14＋15＝68（3）查秩和臨界值表對于＝0.05，n1=6，n2=9得T1=33，T2＝63，∴R1＞T2

故：兩組數(shù)據(jù)有顯著差異，乙組測定值有系統(tǒng)誤差

（4）Excel在秩和檢驗中的應用

第四十六頁，共七十四頁。1.5.3異常值的檢驗

可疑數(shù)據(jù)、離群值、異常值

一般處理原則為：在試驗過程中，若發(fā)現(xiàn)異常數(shù)據(jù)，應停止試驗，分析原因，及時糾正錯誤試驗結束后，在分析試驗結果時，如發(fā)現(xiàn)異常數(shù)據(jù)，則應先找出產(chǎn)生差異的原因，再對其進行取舍在分析試驗結果時，如不清楚產(chǎn)生異常值的確切原因，則應對數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計處理；若數(shù)據(jù)較少，則可重做一組數(shù)據(jù)對于舍去的數(shù)據(jù)，在試驗報告中應注明舍去的原因或所選用的統(tǒng)計方法第四十七頁，共七十四頁。1.5.3.1拉依達（）檢驗法①內容：可疑數(shù)據(jù)xp

，若則應將該試驗值剔除。②說明：計算平均值及標準偏差s時，應包括可疑值在內3s相當于顯著水平＝0.01，2s相當于顯著水平＝0.05第四十八頁，共七十四頁?？梢蓴?shù)據(jù)應逐一檢驗，不能同時檢驗多個數(shù)據(jù)

首先檢驗偏差最大的數(shù)

剔除一個數(shù)后，如果還要檢驗下一個數(shù)，應重新計算平均值及標準偏差方法簡單，無須查表該檢驗法適用于試驗次數(shù)較多或要求不高時3s為界時，要求n＞102s為界時，要求n＞5第四十九頁，共七十四頁。

有一組分析測試數(shù)據(jù)：0.128，0.129，0.131，0.133，0.135，0.138，0.141，0.142，0.145，0.148，0.167，問其中偏差較大的0.167這一數(shù)據(jù)是否應被舍去?（＝0.01）解：（1）計算③例：（2）計算偏差（3）比較3s＝3×0.01116＝0.0335＞0.027故按拉依達準則，當＝0.01時，0.167這一可疑值不應舍去第五十頁，共七十四頁。（2）格拉布斯（Grubbs）檢驗法

①內容：可疑數(shù)據(jù)xp

，若

則應將該值剔除?！狦rubbs檢驗臨界值第五十一頁，共七十四頁。格拉布斯（Grubbs）檢驗臨界值G(,n)表第五十二頁，共七十四頁。②說明：計算平均值及標準偏差s時，應包括可疑值在內可疑數(shù)據(jù)應逐一檢驗，不能同時檢驗多個數(shù)據(jù)首先檢驗偏差最大的數(shù)

剔除一個數(shù)后，如果還要檢驗下一個數(shù)，應重新計算平均值及標準偏差能適用于試驗數(shù)據(jù)較少時格拉布斯準則也可以用于檢驗兩個數(shù)據(jù)偏小，或兩個數(shù)據(jù)偏大的情況③例：例1-14第五十三頁，共七十四頁。用容量法測定某樣品中的錳，8次平行測定數(shù)據(jù)為：10.29，10.33，10.38，10.40，10.43，10.46，10.52，10.82（%），試問是否有數(shù)據(jù)應被剔除？（α=0.05）解：（1）檢驗10.82

由于10.82的偏差最大，故首先檢驗該數(shù)。

查得臨界值故10.82這個測定值應該被剔除。第五十四頁，共七十四頁。（2）檢驗10.52

剔除10.82之后，重新計算平均值及標準偏差s，此時10.52偏差最大，故檢驗之。查得臨界值故10.52不應該被剔除。由于剩余數(shù)據(jù)的偏差都比10.52小，所以都應保留。第五十五頁，共七十四頁。（3）狄克遜（Dixon）檢驗法

①單側情形將n個試驗數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列：

x1≤x2≤…≤xn-1≤xn

如果有異常值存在，必然出現(xiàn)在兩端，即x1

或xn計算出統(tǒng)計量D或D′查單側臨界值檢驗xn時，當

時，可剔除xn檢驗檢驗x1時，當

時，可剔除x1第五十六頁，共七十四頁。②雙側情形計算D和D′查雙側臨界值檢驗當，，則應被剔除當，，則應被剔除第五十七頁，共七十四頁。③說明適用于試驗數(shù)據(jù)較少時的檢驗，計算量較小單側檢驗時，可疑數(shù)據(jù)應逐一檢驗，不能同時檢驗多個數(shù)據(jù)剔除一個數(shù)后，如果還要檢驗下一個數(shù)，應重新排序④例：例1-15，1-16第五十八頁，共七十四頁。例：設有15個誤差測定數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：－1.40，－0.44，－0.30，－0.24，－0.22，－0.13，－0.05，0.06，0.10，0.18，0.20，0.39，0.48，0.63，1.01。試分析其中有無數(shù)據(jù)應該被剔除？（α=0.05）解：本例可應用狄克遜雙側情形檢驗對于1.01和－1.40，，計算臨界值，且故判斷最小值-1.40應該被剔除第五十九頁，共七十四頁。剔除-1.04之后，對剩余的14個值（－0.44，－0.30，－0.24，－0.22，－0.13，－0.05，0.06，0.10，0.18，0.20，0.39，0.48，0.63，1.01）（n=14）進行雙側檢驗：臨界值由于所以不能繼續(xù)檢出異常值，只檢出－1.40為異常值。，第六十頁，共七十四頁。1.6.1有效數(shù)字（significancefigure）

能夠代表一定物理量的數(shù)字有效數(shù)字的位數(shù)可反映試驗或試驗儀表的精度數(shù)據(jù)中小數(shù)點的位置不影響有效數(shù)字的位數(shù)例如：50㎜，0.050m，5.0×104μm第一個非0數(shù)前的數(shù)字都不是有效數(shù)字，而第一個非0數(shù)后的數(shù)字都是有效數(shù)字例如：29㎜和29.00㎜第一位數(shù)字等于或大于8，則可以多計一位例如：9.99

1.6有效數(shù)字和試驗結果的表示第六十一頁，共七十四頁。1.6.2有效數(shù)字的運算（1）加、減運算：與其中小數(shù)點后位數(shù)最少的相同（2）乘、除運算以各乘、除數(shù)中有效數(shù)字位數(shù)最少的為準（3）乘方、開方運算：與其底數(shù)的相同：例如：2.42=5.8（4）對數(shù)運算：與其真數(shù)的相同

例如ln6.84＝1.92；lg0.00004＝－4第六十二頁，共七十四頁。（5）在4個以上數(shù)的平均值計算中，平均值的有效數(shù)字可增加一位（6）所有取自手冊上的數(shù)據(jù)，其有效數(shù)字位數(shù)按實際需要取，但原始數(shù)據(jù)如有限制，則應服從原始數(shù)據(jù)。（7）一些常數(shù)的有效數(shù)字的位數(shù)可以認為是無限制的

例如，圓周率π、重力加速度g、、1/3等（8）一般在工程計算中，取2～3位有效數(shù)字第六十三頁，共七十四頁。1.6.3有效數(shù)字的修約規(guī)則≤4：舍去≥5，且其后跟有非零數(shù)字

，進1位例如：3.14159→3.142＝5，其右無數(shù)