2023屆貴州省貴陽市高考12月模擬性聯(lián)考 數(shù)學(xué)（理）試題【含答案】

2023屆貴州省貴陽市第一中學(xué)高考12月備考模擬性聯(lián)考理科數(shù)學(xué)一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，則表示的集合為（）A. B. C. D.2.復(fù)數(shù)，則（）A. B. C.2 D.53.某醫(yī)療公司引進新技術(shù)設(shè)備后，銷售收入（包含醫(yī)療產(chǎn)品收人和其他收入）逐年翻一番，據(jù)統(tǒng)計該公司銷售收入情況如圖所示，則下列說法錯誤的是（）A.該地區(qū)2021年銷售收入是2019年的4倍B.該地區(qū)2021年的醫(yī)療產(chǎn)品收入比2019年和2020年的醫(yī)療產(chǎn)品收入總和還要多C.該地區(qū)2021年其他收人是2020年的其他收入的3倍D.該地區(qū)2021年的其他收入是2019年的其他收人的6倍4.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》對立體幾何有深入的研究，從其中一些數(shù)學(xué)用語可見，譬如“陽馬”意指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐．某“陽馬”的三視圖如圖所示，則它的最長側(cè)棱與底面所成角的正切值為（）A. B.1 C. D.5.已知焦點在坐標軸上且中心在原點的雙曲線的一條漸近線方程為，若該雙曲線過點，則它的方程為（）A. B. C. D.6.已知直線與圓，則下列說法錯誤的是（）A.對，直線恒過一定點B.，使直線與圓相切C.對，直線與圓一定相交D.直線與圓相交且直線被圓所截得的最短弦長為7.以下關(guān)于的命題，正確的是（）A.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增B.直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸C.點是函數(shù)圖象的一個對稱中心D.將函數(shù)圖象向左平移個單位，可得到的圖象8.在中，分別為角的對邊，且滿足，則的形狀為（）A.直角三角形 B.等邊三角形C.直角三角形或等腰三角形 D.等腰直角三角形9.小明家訂了一份牛奶，送奶人可能在早上6：30~7：00之間把牛奶送到小明家，小明出門去上學(xué)的時間在早上6：50~7：10之間，則小明在離開家之前能得到牛奶的概率是（）A. B. C. D.10.已知符號函數(shù)，函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則（）A. B.C. D.11.已知直線l與曲線相切，切點為P，直線l與x軸、y軸分別交于點A，B，O為坐標原點．若的面積為，則點P的個數(shù)是（）A1 B.2 C.3 D.412.如圖,已知四面體ABCD中,,,E,F分別是AD,BC的中點．若用一個與直線EF垂直,且與四面體的每一個面都相交的平面去截該四面體,由此得到一個多邊形截面,則該多邊形截面面積的最大值為（）A.1 B. C.2 D.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知向量，若，則___________．14.展開式中含項的系數(shù)為______．15.若，則a的值為___________．16.拋物線的焦點為F，直線l過點F且與拋物線交于點M，N（點N在x軸上方），點E為坐標軸上F右側(cè)的一點，已知，，若點N在雙曲線的一條漸近線上，則雙曲線的離心率為________．三、解答題（共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.隨著人民生活水平的不斷提高，“衣食住行”愈發(fā)被人們所重視，其中對飲食的要求也愈來愈高．某地區(qū)為了解當(dāng)?shù)夭惋嬊闆r，隨機抽取了100人對該地區(qū)的餐飲情況進行了問卷調(diào)查．請根據(jù)下面尚未完成并有局部污損的頻率分布表和頻率分布直方圖（如圖）解決下列問題．組別分組頻數(shù)頻率第1組140.14第2組m第3組360.36第4組0.16第5組4n合計（1）求的值；（2）求中位數(shù)；（3）若將滿意度在80分以上的人群稱為“美食客”，將頻率視為概率，用樣本估計總體，從該地區(qū)中隨機抽取3人，記其中“美食客”的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．18.已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列．設(shè)其公比為，前項和為，并且滿足，是與的等比中項．（1）求數(shù)列通項公式；（2）若，是的前項和，求使成立的最大正整數(shù)的值．19.如圖,在四棱雉P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,平面ABCD,,（1）求證:平面平面PBC;（2）試問在線段PC上是否存在一點M,使得二面角的大小為,若存在求出的值;若不存在,請說明理由．20.已知橢圓過點，且離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）已知直線與橢圓交于不同的兩點P，Q，那么在x軸上是否存在點M，使且，若存在，求出該直線的方程；若不存在，請說明理由．21.已知．（1）討論的單調(diào)性；（2）若對恒成立，求整數(shù)a的最小值．請考生在第22、23兩題中任選一題作答，并用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑．注意所做題目的題號必須與所涂題目的題號一致，在答題卡選答區(qū)域指定位淔答題．如果多做，則按所做的第一題計分．22.在平面直角坐標系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為．（1）求直線和曲線的直角坐標方程；（2）從原點引一條射線分別交曲線和直線于兩點，求的最大值．23已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求不等式解集；（2）設(shè)且的最小值為m，若，求的最小值．2023屆貴州省貴陽市第一中學(xué)高考12月備考模擬性聯(lián)考理科數(shù)學(xué)一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，則表示的集合為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)值域得，再根據(jù)交集的含義即可得到答案.【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)值域可知，表示的集合為，故選：C.2.復(fù)數(shù)，則（）A. B. C.2 D.5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運算規(guī)則計算即可.【詳解】，；故選：C.3.某醫(yī)療公司引進新技術(shù)設(shè)備后，銷售收入（包含醫(yī)療產(chǎn)品收人和其他收入）逐年翻一番，據(jù)統(tǒng)計該公司銷售收入情況如圖所示，則下列說法錯誤的是（）A.該地區(qū)2021年的銷售收入是2019年的4倍B.該地區(qū)2021年的醫(yī)療產(chǎn)品收入比2019年和2020年的醫(yī)療產(chǎn)品收入總和還要多C.該地區(qū)2021年其他收人是2020年的其他收入的3倍D.該地區(qū)2021年的其他收入是2019年的其他收人的6倍【答案】D【解析】【分析】設(shè)該地區(qū)2019年銷售收入為，則由銷售收入（包含醫(yī)療產(chǎn)品收人和其他收入）逐年翻一番，所以該地區(qū)2020年銷售收入，該地區(qū)2021年銷售收入為，然后逐項分析即可.【詳解】設(shè)該地區(qū)2019年銷售收入為，則由銷售收入（包含醫(yī)療產(chǎn)品收人和其他收入）逐年翻一番，所以該地區(qū)2020年銷售收入為，該地區(qū)2021年銷售收入為，選項A：該地區(qū)2021年的銷售收入是2019年的4倍，故選項A正確；選項B：由圖可得該地區(qū)2021年的醫(yī)療產(chǎn)品收入為，該地區(qū)2019年的醫(yī)療產(chǎn)品收入為，該地區(qū)2020年醫(yī)療產(chǎn)品收入為，由，故選項B正確；選項C：該地區(qū)2021年的其他收入為，2020年的其他收入為，所以該地區(qū)2021年其他收人是2020年的其他收入的3倍，故選項C正確；選項D：該地區(qū)2021年的其他收入為，2019年的其他收入為，所以該地區(qū)2021年的其他收入是2019年的其他收人的12倍，故選項D不正確.故選：D.4.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》對立體幾何有深入的研究，從其中一些數(shù)學(xué)用語可見，譬如“陽馬”意指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐．某“陽馬”的三視圖如圖所示，則它的最長側(cè)棱與底面所成角的正切值為（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】首先還原幾何體，并得到最長側(cè)棱，根據(jù)線面角的定義，求線面角的正切值.【詳解】如下圖，還原幾何體，其中平面，底面為矩形，，，，側(cè)棱，，,，所以最長的側(cè)棱是,與底面所成的角是，故選：C5.已知焦點在坐標軸上且中心在原點的雙曲線的一條漸近線方程為，若該雙曲線過點，則它的方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)漸近線設(shè)雙曲線方程為，代入點坐標，計算得到答案.【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為，設(shè)雙曲線方程為，該雙曲線過點，則，故雙曲線方程為，故選：A6.已知直線與圓，則下列說法錯誤的是（）A.對，直線恒過一定點B，使直線與圓相切C.對，直線與圓一定相交D.直線與圓相交且直線被圓所截得的最短弦長為【答案】B【解析】【分析】首先求出直線過定點，則可判斷A，求出圓心，，則，根據(jù)點在圓內(nèi)，則直線與圓一定相交，故可判斷B,C，對D選項，分析出時弦長最短，則，代入數(shù)據(jù)計算即可.【詳解】直線，即，令，解得，即直線恒過定點，故A正確；圓，即圓，圓心，半徑，則，即點在圓內(nèi)，所以直線與圓一定相交，故B錯誤，故C正確，當(dāng)時直線與圓相交且直線被圓所截得的弦長最短，最短弦長，故D正確，故選：B.7.以下關(guān)于的命題，正確的是（）A.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增B.直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸C.點是函數(shù)圖象的一個對稱中心D.將函數(shù)圖象向左平移個單位，可得到的圖象【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)恒等變換化簡為，計算出，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，可判斷A;采用代入驗證的方法可判斷;根據(jù)三角函數(shù)的平移變換可得平移后的函數(shù)解析式，判斷D.【詳解】由題意得，當(dāng)時，，由于函數(shù)在不單調(diào)，故函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)遞增函數(shù)，A錯誤；當(dāng)時，，故直線不是函數(shù)圖象的對稱軸，B錯誤；當(dāng)時，，故點不是函數(shù)圖象的對稱中心，C錯誤；將函數(shù)圖象向左平移個單位，可得到的圖象，D正確，故選：D8.在中，分別為角的對邊，且滿足，則的形狀為（）A.直角三角形 B.等邊三角形C.直角三角形或等腰三角形 D.等腰直角三角形【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角恒等變換得，再由余弦定理解決即可.詳解】由題知，，所以，所以，得，所以，得，所以的形狀為直角三角形，故選：A9.小明家訂了一份牛奶，送奶人可能在早上6：30~7：00之間把牛奶送到小明家，小明出門去上學(xué)的時間在早上6：50~7：10之間，則小明在離開家之前能得到牛奶的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)送奶人到達時間為，小明出門去上學(xué)的時間為，則可以看成平面中的點，分析可得由試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域并求出其面積，同理可得事件所構(gòu)成的區(qū)域及其面積，由幾何概型公式，計算可得結(jié)果.【詳解】設(shè)送奶人到達時間為，小明出門去上學(xué)的時間為，記小明在離開家之前能得到牛奶為事件，以橫坐標表示送奶人到達時間，以縱坐標表示小明出門去上學(xué)的時間，建立平面直角坐標系，小明在離開家之前能得到牛奶的事件構(gòu)成的區(qū)域如圖所示：由于隨機試驗落在長方形區(qū)域內(nèi)任何一點是等可能的，所以符合幾何概型的條件.根據(jù)題意，只要點落到陰影部分，就表示小明在離開家之前能得到牛奶，即事件發(fā)生，所以，故選：.10.已知符號函數(shù)，函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】計算得到A錯誤，根據(jù)周期計算得到B錯誤，根據(jù)定義計算C正確，取，得到D不正確，得到答案.【詳解】對選項A：，錯誤；對選項B：，函數(shù)周期為，，錯誤；對選項C：，正確；對選項D：取，，，不正確.故選：C11.已知直線l與曲線相切，切點為P，直線l與x軸、y軸分別交于點A，B，O為坐標原點．若的面積為，則點P的個數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】設(shè)出切點坐標，利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率，寫出切線方程，求出點A，B的坐標，表示的面積函數(shù)，求面積函數(shù)與直線有幾個交點.【詳解】設(shè)直線l與曲線相切于，又，所以直線l的斜率為，方程為，令，；令，,即，.所以.設(shè)，則.由，解得或；由，解得.所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.，，，，且恒有成立，如圖，函數(shù)與直線有3個交點所以點P的個數(shù)為3.故選：C.12.如圖,已知四面體ABCD中,,,E,F分別是AD,BC的中點．若用一個與直線EF垂直,且與四面體的每一個面都相交的平面去截該四面體,由此得到一個多邊形截面,則該多邊形截面面積的最大值為（）A.1 B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】由四面體中互為異面直線的兩條棱長分別相等,則可將四面體放入長方體中,求出長方體的長寬高可發(fā)現(xiàn)此長方體有一個面為正方形,故四面體中有一對異面直線垂直,由平面,及在長方體的位置,根據(jù)面面平行的判定定理及性質(zhì)定理可證明截面為矩形,根據(jù)相似可得出截面相鄰兩邊的和為定值,根據(jù)矩形面積,利用基本不等式即可求得截面面積最大值.【詳解】解:由題知四面體中互為異面直線的兩條棱長分別相等,故可將此四面體放入長方體中,如圖所示:不妨設(shè)該長方體長、寬、高分別為,則有①,②,③,聯(lián)立①②③可得:,設(shè)平面與四面體的各面分別交于KL,LM,MN,KN,如圖所示:平面,由長方體性質(zhì)可知平面,故平面平面平面,平面平面,平面平面,即平面平面,平面平面,,,即,同理可得,故,四邊形為正方形,,即,即,,,綜上:四邊形KLMN為矩形,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時成立.故截面面積的最大值為1.故選:A【點睛】方法點睛:此題考查立體幾何中的截面問題,屬于難題,關(guān)于特殊幾何體的方法有:(1)正四面體可放在正方體中考慮;(2)四面體中互為異面直線的棱長相等,可放在長方體中考慮;(3)有一條棱垂直底面,可補成直三棱柱.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知向量，若，則___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)平面向量的坐標運算以及向量平行的坐標表示可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，，因為，所以，解得.故答案為：.14.展開式中含項的系數(shù)為______．【答案】30【解析】【分析】先利用二項式定理求出的展開式通項，再利用多項式相乘進行求解.【詳解】的展開式通項為，因為，在中，令，在中，令，得，所以展開式中的系數(shù)為.故答案為：30.15.若，則a的值為___________．【答案】1【解析】【分析】利用對數(shù)的運算性質(zhì)分別對分子分母化簡即可得到結(jié)果.【詳解】原式.故答案為：116.拋物線的焦點為F，直線l過點F且與拋物線交于點M，N（點N在x軸上方），點E為坐標軸上F右側(cè)的一點，已知，，若點N在雙曲線的一條漸近線上，則雙曲線的離心率為________．【答案】##【解析】【分析】由題意做出圖形，利用圖形以及拋物線定義，再結(jié)合題中所給條件得出關(guān)于的方程，解之即可.【詳解】過M，N分別作拋物線的準線的垂線，垂足分別為P，Q，過M作于G，如圖所示：設(shè)，由拋物線定義知，，所以，因此在中，，又平行于x軸，所以，故為正三角形，，解得，又在拋物線上，所以（舍）或，所以在上，則，又，所以，即，又，故．故答案為：.三、解答題（共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.隨著人民生活水平的不斷提高，“衣食住行”愈發(fā)被人們所重視，其中對飲食的要求也愈來愈高．某地區(qū)為了解當(dāng)?shù)夭惋嬊闆r，隨機抽取了100人對該地區(qū)的餐飲情況進行了問卷調(diào)查．請根據(jù)下面尚未完成并有局部污損的頻率分布表和頻率分布直方圖（如圖）解決下列問題．組別分組頻數(shù)頻率第1組140.14第2組m第3組360.36第4組0.16第5組4n合計（1）求的值；（2）求中位數(shù)；（3）若將滿意度在80分以上的人群稱為“美食客”，將頻率視為概率，用樣本估計總體，從該地區(qū)中隨機抽取3人，記其中“美食客”的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）；（2）（3）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為.【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率和頻數(shù)的定義結(jié)合頻率分步表可求得，根據(jù)頻率分步直方圖中的含義即可求得；（2）根據(jù)頻率分布直方圖結(jié)合中位數(shù)的估計方法即可得到答案；（3）由題意可得，利用二項分布概率公式求分布列和數(shù)學(xué)期望即可.【小問1詳解】由題意可得第四組的人數(shù)為，所以，，又內(nèi)的頻率為，所以，內(nèi)的頻率為，所以.【小問2詳解】由頻率分布直方圖可得第一、二組頻率之和為，第一、二、三組頻率之和為，故中位數(shù)在之間，設(shè)中位數(shù)為，則：，解得，故中位數(shù)為.【小問3詳解】由頻率分布表可得該地區(qū)抽取“美食客”的概率為，由題意可取，且，所以，，，，所以的分布列為012318.已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列．設(shè)其公比為，前項和為，并且滿足，是與的等比中項．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，是的前項和，求使成立的最大正整數(shù)的值．【答案】（1）（）（2）5【解析】【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合條件是與的等比中項得到，聯(lián)立條件得到和，根據(jù)題目條件和等比數(shù)列的通項公式即可求解.（2）根據(jù)（1）求得，利用錯位相減求和得到，從而得到，通過函數(shù)法判斷出是單調(diào)遞減數(shù)列，即可求解.【小問1詳解】因為是與的等比中項，所以，則由題意得：，即，解得：或，因為數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，所以，即，，所以，故數(shù)列的通項公式為（）.【小問2詳解】由（1）得：（），則，①即，②則得：即（），所以（），設(shè)，則（），因為在上單調(diào)遞減，所以是單調(diào)遞減數(shù)列，又有，，所以當(dāng)且時，成立，故使成立的最大正整數(shù)的值為.19.如圖,在四棱雉P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,平面ABCD,,（1）求證:平面平面PBC;（2）試問在線段PC上是否存在一點M,使得二面角的大小為,若存在求出的值;若不存在,請說明理由．【答案】（1）證明見解析;（2）存在,.【解析】【分析】(1)先由長度之間關(guān)系證明,再證明平面,根據(jù)面面垂直判定定理即可證明結(jié)論;(2)先建立空間直角坐標,設(shè),寫出M點坐標,分別求出平面及平面的法向量,進而求出二面角大小的余弦值,使其為,解出的值,進而求出的值即可.【小問1詳解】證明:,,,四邊行為平行四邊形,,又平面,,而,且BD,PD含于面PBD平面,又平面,平面平面;【小問2詳解】由(1)知,,且平面ABCD,故以D為原點,分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示空間直角坐標系,則,假設(shè)在存在一點滿足條件,設(shè),,,即,設(shè)為平面的法向量,則,即,即,令,可得,平面ABCD,不妨令平面的法向量為,由二面角的大小為,,或（舍去）,存在實數(shù),即,解得,使得二面角的大小為．20.已知橢圓過點，且離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）已知直線與橢圓交于不同的兩點P，Q，那么在x軸上是否存在點M，使且，若存在，求出該直線的方程；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）詳見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)條件得到關(guān)于的方程組，即可求得橢圓方程；（2）首先直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理表示線段中點坐標，再根據(jù),以及，轉(zhuǎn)化為坐標表示，代入韋達定理后，即可求【小問1詳解】由條件可知，，解得：，，所以橢圓C的方程是；【小問2詳解】假設(shè)在軸上存在點，使且，聯(lián)立，設(shè)，，方程整理為，，解得：或，，，則線段的中點的橫坐標是，中點縱坐標，即中點坐標，，則，即，化簡為，①又,則，，整理為，，化簡為②由①得，即，代入②得，整理得③，又由①得，代入③得，即，整理得，即.當(dāng)時，，當(dāng)時，，滿足，所以存在定點,此時直線方程是，當(dāng)定點,此時直線方程是.21.已知．（1）討論的單調(diào)性；（2）若對恒成立，求整數(shù)a的最小值．【答案】（1）分類討論，答案見解析；（2）2【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)和兩種情況討論.（2）把不等式分離參量得，求函數(shù)的最大值，但是求導(dǎo)后求不出具體的根，所以設(shè)隱零點，整體代入求解.【小問1詳解】的定義域為，（?。┊?dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增；（ⅱ）當(dāng)時，令，令，∴當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．【小問2詳解