2012-2021北京高三（上）期末數(shù)學(xué)匯編：等比數(shù)列章節(jié)綜合

8/82012-2021北京高三（上）期末數(shù)學(xué)匯編等比數(shù)列章節(jié)綜合一、單選題1．（2021·北京順義·高三期末）我國(guó)古代數(shù)學(xué)論著中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈二百五十四，請(qǐng)問(wèn)底層幾盞燈？意思是：一座7層塔共掛了254盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的底層共有燈（

）A．32盞 B．64盞 C．128盞 D．196盞2．（2020·北京豐臺(tái)·高三期末）已知公差不為0的等差數(shù)列an，前n項(xiàng)和為Sn，滿足S3?SA．2 B．6 C．5或6 D．123．（2018·北京通州·高三期末（理））已知數(shù)列an是公差不為0的等差數(shù)列，a1=1，且a1，a2，a5成等比數(shù)列，那么數(shù)列A．90 B．100 C．10或90 D．10或100二、雙空題4．（2020·北京順義·高三期末）設(shè)Sn為公比q≠1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且3a1，2a2，a3成等差數(shù)列，則q＝_____，S45．（2016·北京東城·高三期末（文））復(fù)印紙幅面規(guī)格只采用A系列和B系列，其中A系列的幅面規(guī)格為：①A0,A1,A2,...,A8所有規(guī)格的紙張的幅寬（以x表示）和長(zhǎng)度（以y表示）的比例關(guān)系都為x:y=1:2；②將A0紙張沿長(zhǎng)度方向?qū)﹂_(kāi)成兩等分，便成為A1規(guī)格；A1紙張沿長(zhǎng)度方向?qū)﹂_(kāi)成兩等分，便成為A2規(guī)格；…；如此對(duì)開(kāi)至A6．（2018·北京西城·高三期末（理））數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn．若a2=1三、填空題7．（2021·北京海淀·高三期末）設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若?S1、S28．（2020·北京昌平·高三期末）各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a9．（2016·北京海淀·高三期末（理））已知等比數(shù)列an的公比為2，若a2+四、解答題10．（2021·北京豐臺(tái)·高三期末）已知an是由正整數(shù)組成的無(wú)窮數(shù)列，該數(shù)列前n項(xiàng)的最大值記為An，最小值記為Bn（1）若an=2n(n=1,2,3,?)，寫出b1，b（2）證明：bn+1（3）若bn是等比數(shù)列，證明：存在正整數(shù)n0，當(dāng)n?n0時(shí)，an，a11．（2016·北京朝陽(yáng)·高三期末（文））已知數(shù)列an是等差數(shù)列，數(shù)列bn是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1=b（1）求數(shù)列an和b（2）設(shè)cn=an+12．（2018·北京朝陽(yáng)·高三期末（文））已知由實(shí)數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列{an}滿足a（Ⅰ）求數(shù)列{a（Ⅱ）求a213．（2018·北京西城·高三期末（文））已知數(shù)列{an}是公比為13的等比數(shù)列，且a2（1）求{a（2）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之積為T14．（2015·北京豐臺(tái)·高三期末（文））已知數(shù)列an的前項(xiàng)和Sn滿足Sn=λan（1）如果λ=0，求數(shù)列an（2）如果λ=2，求證：數(shù)列an+1（3）如果數(shù)列an為遞增數(shù)列，求λ15．（2012·北京東城·高三期末（文））在等差數(shù)列an中，a1=3，其前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列bn的各項(xiàng)均為正數(shù)，b1=1（1）求an與bn；（2）設(shè)數(shù)列cn滿足cn=1S

參考答案1．C【解析】根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，計(jì)算首項(xiàng).【詳解】設(shè)最底層的燈數(shù)為a1，公比q=∴S7=故選：C2．B【解析】將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為基本量的方程組，求出基本量后可求a3【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則3a解得a1=2d=2或a故選：B.【點(diǎn)睛】等差數(shù)列或等比數(shù)列的處理有兩類基本方法：（1）利用基本量即把數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于基本量的方程或方程組，再運(yùn)用基本量解決與數(shù)列相關(guān)的問(wèn)題；（2）利用數(shù)列的性質(zhì)求解即通過(guò)觀察下標(biāo)的特征和數(shù)列和式的特征選擇合適的數(shù)列性質(zhì)處理數(shù)學(xué)問(wèn)題．3．B【詳解】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，且d≠0，∵a1=1且a1，a2，a5成等比數(shù)列，∴（∴an的前10項(xiàng)和S故選B4．

3

10【分析】利用等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出公比q，再利用等比數(shù)列的求和公式即可求解.【詳解】Sn為公比q≠1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且3a1，2a2，a3成等差數(shù)列，可得4a2＝3a1+a3，即有4a1q＝3a1+a1q2，即q2﹣4q+3＝0，解得q＝3，故S2=a則S4故答案為：3；10.5．

642

【解析】由題設(shè)條件逐一得出A0,A1,A2,A3,【詳解】根據(jù)題意，A4的長(zhǎng)、寬分別為22,2，A3的長(zhǎng)、寬分別為4,22，A2的長(zhǎng)、寬分別為42,4，A1的長(zhǎng)、寬分別為A0,A1,A2,故答案為：642；6．

2n?3

31【詳解】∵a2=a1×2=12,∴7．3或?1【解析】先設(shè)等比數(shù)列的公比為q，根據(jù)題中條件，列出方程求解，即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q因?yàn)榈缺葦?shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，?S1、所以2S2=?因此3a1+2a2=a故答案為：3或?1.8．9【解析】求出公比，根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列{an因?yàn)閍1=1,a2+aS6=則S故答案為：9【點(diǎn)睛】本題主要考查了求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.9．6【詳解】試題分析：由題知：所以考點(diǎn)：等比數(shù)列10．（1）b1=1，b2【解析】（1）由an是單調(diào)遞增數(shù)列可得b（2）設(shè)an+1=k，討論k≤Bn，（3）設(shè)bn的公比為q，且q≥1，顯然q=1時(shí)滿足；q>1時(shí)，由An是遞增數(shù)列，Bn【詳解】（1）∵an=2n∴A∴b1=a1（2）設(shè)an+1=k，若k≤Bn，則若Bn<k<A若k≥An，則綜上，bn+1（3）設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q，b1=由（2）可得bn+1≥b當(dāng)q=1時(shí)，AnBn=1，即An=Bn，此時(shí)an為常數(shù)列，則存在n0=1當(dāng)q>1時(shí)，An是遞增數(shù)列，B∵an是由正整數(shù)組成的無(wú)窮數(shù)列，則數(shù)列an必存在最小值，即存在正整數(shù)n0，an0是數(shù)列a此時(shí)bn=A故當(dāng)n≥n0時(shí)，an，an+1，綜上，存在正整數(shù)n0，當(dāng)n≥n0時(shí)，an，an+1【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列單調(diào)性的有關(guān)判斷，解題的關(guān)鍵是正確理解數(shù)列的變化情況，清楚bn11．（1）an=2n+1,n∈N?，bn【分析】（1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；（2）利用分組求和的方法結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q，且依題意有a1由a1=b解得q=3d=2∴an即anbn（2）∵cn∴前n項(xiàng)和S=3+5+7+?+2n+1=n∴前n項(xiàng)和Sn=nn+212．（Ⅰ）an=2【詳解】試題分析：（Ⅰ）由題可得2(1+q2+q4（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=2n試題解析：（Ⅰ）由a1=2由數(shù)列{an}各項(xiàng)為實(shí)數(shù)，解得q所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為a（Ⅱ）當(dāng)an=2當(dāng)an=(?1)13．（1）an=(1【詳解】

試題分析：（1）由數(shù)列{an}是公比為13的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及a2+6是a1和a3的等差中項(xiàng)列方程求出a1=27，從而可得{an}的通項(xiàng)公式；（2）令an≥1，即(13試題解析：（1）因?yàn)閍2+6是a1所以2(a2+6)=a1所以2(a13所以an（2）令an≥1，即(1故正項(xiàng)數(shù)列{an}的前3所以當(dāng)n=3，或n=4時(shí)，TnTn的最大值為T14．（1）an=?1；（3）證明見(jiàn)解析，Sn=2【分析】（1）λ=0時(shí)，Sn=?n，由Sn（2）利用定義法證明出數(shù)列an+1（3）利用定義法證明出數(shù)列an+1λ+1為等比數(shù)列．求出【詳解】（1）λ=0時(shí)，Sn當(dāng)n=1時(shí)，a1當(dāng)n≥2時(shí)，an所以an（2）證明：當(dāng)λ=2時(shí)，Sn所以Sn+1相減得：an+1所以an+1又有Sn=2an?所以數(shù)列an+1所以an+1（3）由（1）可知，顯然λ≠0當(dāng)n=1時(shí)，則S1=λa當(dāng)n≥2時(shí)，SnSn?1相減得an即an因?yàn)棣恕佟?，所以a1所以an所以an因?yàn)閿?shù)列an所以