2023年全國(guó)碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)二試題及解析

20２3年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、選擇題：1－8小題,每小題4分,共32分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目規(guī)定的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.(1)曲線漸進(jìn)線的條數(shù)（A)0（Ｂ)1（C）２(D)3（2)設(shè)函數(shù),其中為正整數(shù)，則（A)（Ｂ)(C）（D）（3）設(shè)，,則數(shù)列有界是數(shù)列收斂的.（A）充足必要條件(B)充足非必要條件(C）必要非充足條件（Ｄ）非充足也非必要（4）設(shè),則有（A)（B)（Ｃ）（D）（5)設(shè)函數(shù)為可微函數(shù)，且對(duì)任意的都有，，則使不等式成立的一個(gè)充足條件是(A),（B),(Ｃ),（D），(6）設(shè)區(qū)域由曲線,,圍成，則(A）（B)2(C)（Ｄ）（7）設(shè)，，，,其中為任意常數(shù)，則線性相關(guān)的向量組為（A)(B)（C)(D)(8)設(shè)為３階矩陣，為３階可逆矩陣，且,，則（)（A）(B）（Ｃ）（D）二、填空題:9-14小題,每小題４分。請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上。（９)設(shè)是由方程所擬定的隱函數(shù),則_________＿_(dá)_（１0)______＿_(dá)__＿＿（11）設(shè),其中函數(shù)可微，則_＿_(dá)______＿＿_(dá)(1２）微分方程滿足條件的解為___＿_(dá)__＿＿_(dá)__（13）曲線上曲率為的點(diǎn)的坐標(biāo)是_____＿_(dá)____＿(1４)設(shè)為3階矩陣，，為的隨著矩陣，若互換的第一行與第二行得到矩陣,則___＿_(dá)_______三、解答題：15-23，共94分。請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或者演算環(huán)節(jié)。(１5）（本題滿分1０分)已知函數(shù),記(Ⅰ）求的值（Ⅱ）若當(dāng)時(shí),是的同階無窮小,求。(16）（本題滿分10分）求的極值(１7）（本題滿分１2分)過點(diǎn)作曲線的切線，切點(diǎn)為,又切線與軸交于點(diǎn),區(qū)域由與線段及軸圍成，求區(qū)域的面積及繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。（１８）（本題滿分1０分）計(jì)算二重積分,其中區(qū)域?yàn)榍€與極軸圍成（19）(本題滿分10分）已知函數(shù)滿足方程及，（Ⅰ）求的表達(dá)式;（Ⅱ)求曲線的拐點(diǎn)。(2０)（本題滿分10分)證明:。（21）(本題滿分10分)（Ⅰ）證明方程(的整數(shù)），在區(qū)間內(nèi)有且有唯一個(gè)實(shí)根;（Ⅱ)記（Ⅰ)中的實(shí)根為,證明存在，并求此極限。(２２）(本題滿分11分)設(shè),(Ⅰ)求；(Ⅱ)當(dāng)實(shí)數(shù)為什么值時(shí)，線性方程組有無窮多解，并求其通解。(２3)(本題滿分1１分)已知，二次型的秩為2.（Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值(Ⅱ)求運(yùn)用正交變換將化為標(biāo)準(zhǔn)型。2０２３年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題解析一、選擇題：（1)【答案】Ｃ【分析】本題考察漸近線的概念與求法.【詳解】水平漸近線：由于,所以該曲線只有一條水平漸近線;垂直漸近線:函數(shù)的定義域?yàn)?又由于，,所以該曲線只有一條垂直漸近線;斜漸近線:由于，所以該曲線沒有斜漸近線。故應(yīng)選(Ｃ)．（２)【答案】A【分析】考察導(dǎo)數(shù)定義或求導(dǎo)公式。本題既可以用導(dǎo)數(shù)定義求，也可求出導(dǎo)函數(shù)再代入點(diǎn)?！驹斀狻糠ㄒ?由題設(shè)知而法二：由于所以,故應(yīng)選（A）（３)【答案】B【分析】本題考察數(shù)列的性質(zhì)和級(jí)數(shù)的性質(zhì)?！驹斀狻糠ㄒ?充足性：由于,所以數(shù)列單調(diào)遞增，又由于數(shù)列有界，所以數(shù)列收斂，從而。非必要性：令,則數(shù)列收斂,而數(shù)列無界;故應(yīng)選（B）。法二：充足性:由于,所以數(shù)列單調(diào)遞增，又由于數(shù)列有界，所以數(shù)列收斂,從而級(jí)數(shù)收斂，有級(jí)數(shù)收斂的必要條件可得非必要性：令，則數(shù)列收斂，而數(shù)列無界;故應(yīng)選(Ｂ）。（4）【答案】D【分析】考察定積分性質(zhì)、定積分換元積分法。【詳解】法一:先比較與大小由于(由于時(shí)，）,所以；再比較與的大小由于（由于時(shí),），所以；最后比較與的大小由于，所以；故應(yīng)選(D)。法二:;,由于時(shí)，，所以，并且連續(xù)，所以，因此；令，則從而當(dāng)時(shí)，顯然有，所以,,從而，又由于連續(xù)，所以有,故。綜上，故應(yīng)選（Ｄ)。(５）【答案】A【分析】本題考察偏導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)關(guān)系、單調(diào)的鑒定定理?！驹斀狻坑捎?，若,則；又由于,若，則，所以當(dāng),時(shí),，故應(yīng)選（A）（6)【答案】Ｄ【分析】二重積分的計(jì)算,一方面應(yīng)畫出區(qū)域，觀測(cè)其是否具有某種對(duì)稱性，如具有對(duì)稱性，則應(yīng)先考慮運(yùn)用對(duì)稱性化簡(jiǎn)二重積分,然后選擇適當(dāng)坐標(biāo)系化為二次積分計(jì)算。【詳解】法一：畫出積分區(qū)域的草圖如右圖所示。用曲線將劃分為如圖所示顯然關(guān)于軸對(duì)稱,關(guān)于軸對(duì)稱,從而由對(duì)稱性可得:故應(yīng)選(D)（７）【答案】C【分析】考察向量組線性相關(guān)的鑒定.三個(gè)三維向量構(gòu)成的向量組既可以用行列式是否為零來判是否線性相關(guān),又可以運(yùn)用矩陣的秩來討論。本題運(yùn)用行列式鑒定快速、直接?！驹斀狻坑捎?;;。由于為任意常數(shù),所以線性相關(guān)。故應(yīng)選（C）。（８）【答案】B【分析】考察矩陣的運(yùn)算。將用表達(dá),即,然后代入計(jì)算即可?！驹斀狻坑捎?所以，則,故故應(yīng)選(B)。二、填空題（9)【答案】1【分析】考察隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù),常用方法是用微商或隱函數(shù)求導(dǎo)法則完畢?！驹斀狻糠ㄒ?將代入方程，可得。方程兩端對(duì)導(dǎo)數(shù)，得，所以,故；方程兩端再對(duì)求導(dǎo)數(shù),得,從而可以得到。法二:將代入方程,可得。方程兩端微分得:,從而,且又，從而。(10）【分析】考察定積分的概念及項(xiàng)和數(shù)列求極限?！驹斀狻浚?1)【答案】０【分析】考察多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù),運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t或微分完畢?！驹斀狻糠ㄒ?由于，,于是。法二:,從而,,故。(１2）【答案】【分析】將變量當(dāng)做函數(shù),變量做自變量，則方程為一階線性微分方程,用公式求出通解，代入初始條件即可?！驹斀狻糠匠炭烧頌?，將看做因變量，為一階線性非齊次微分方程，通解，即。由，解得,所以所求特解為。（１3)【答案】【分析】考察曲率的概念與計(jì)算。代入公式計(jì)算便可?！驹斀狻坑捎?，,所以可得,解得,此時(shí),故所求曲線上的點(diǎn)為。(14)【答案】【分析】考察隨著矩陣的性質(zhì)與矩陣行列式的性質(zhì)與運(yùn)算?！驹斀狻坑捎?,所以。三、解答題(１5)【分析】（Ⅰ)求未定式的極限,重要考察等價(jià)無窮小代換、洛必達(dá)法則或泰勒公式；（Ⅱ）考察無窮小比較，可用無窮小比較的定義寫出一個(gè)極限式，由極限的逆問題算出?！驹斀狻浚á?法一:法二：（Ⅱ)法一:由于由題設(shè)(非零常數(shù)）,即(非零常數(shù)）所以要使上極限存在且非零，必有。法二：由于而，所以,綜上可知:,故(16)【分析】二元顯函數(shù)求極值，先求出所有駐點(diǎn)，然后運(yùn)用無條件極值的充足條件鑒定每一個(gè)駐點(diǎn)是否是極值點(diǎn)，是極大還是極小，并求出極值點(diǎn)的函數(shù)值?！驹斀狻坑捎?解方程組:可得:或。所以函數(shù)所有駐點(diǎn)為、。又對(duì)駐點(diǎn),由于，，所以,且,從而為極大值;對(duì)駐點(diǎn),由于，,,所以，且,從而為極小值。(17）【分析】本題重要考察導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用與定積分的幾何應(yīng)用。先根據(jù)題設(shè)求出切點(diǎn)，進(jìn)而寫出切線方程求出點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用面積和旋轉(zhuǎn)體體積公式求出面積和體積。【詳解】設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為,由于,由題意知曲線在點(diǎn)的切線過點(diǎn)，從而，解得，故切點(diǎn)的坐標(biāo)是,所以切線方程為，即，易求得切線與軸交點(diǎn)，從而區(qū)域的面積或繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積或(１8)【分析】考察初等函數(shù)的二重積分，化為極坐標(biāo)系下的二次積分計(jì)算?！驹斀狻?19)【分析】（Ⅰ)求出方程的通解代入方程擬定任意常數(shù)即可,或方程兩端求導(dǎo)數(shù)與解出(Ⅱ)將(Ⅰ)中得到的函數(shù)表達(dá)式代入,然后運(yùn)用常規(guī)方法求得拐點(diǎn)?！驹斀狻?Ⅰ)法一：的特性方程為,解得，所以；將代入，得,所以，,故。法二：方程兩端求導(dǎo)數(shù)得將上式代入,可得。(Ⅱ）由于，從而從而定義域內(nèi)為零或不存在點(diǎn)只有,而當(dāng)時(shí)，，由于,所以，,所以當(dāng)時(shí)，,由于，所以，,所以又，所以是曲線的拐點(diǎn)。(20）【分析】證明函數(shù)不等式，由于不等式的形狀為，故用最大最小值法完畢?！驹斀狻苛?，則從而單調(diào)遞增，又由于,所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，,從而是在區(qū)間內(nèi)的最小值,從而當(dāng)時(shí)，恒有，即，亦即（21）【分析】（Ⅰ）用零點(diǎn)定理證明至少有一個(gè)實(shí)根,用單調(diào)性證明最多有一個(gè)實(shí)根;（Ⅱ)用單調(diào)有界準(zhǔn)則證明?！驹斀狻?Ⅰ）令，所以函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，又由于,,由零點(diǎn)定理知在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得,即方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根；又由于,所以在單調(diào)增長(zhǎng)，所以方程在內(nèi)最多有一個(gè)實(shí)根;綜上可得方程（的整數(shù)），在區(qū)間內(nèi)有且有唯一個(gè)實(shí)根。(Ⅱ)由Ⅰ）可知,從而數(shù)列有下界,又由于，,所以從而而所以,即數(shù)列單減。由單調(diào)有界準(zhǔn)則可知極限存在。由可知由于，所以，從而,記,則，從而。(22)【分析】考察行列式的計(jì)算、線性方程組解的存在性定理。（Ⅰ）按第一列展開;（Ⅱ)對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等航變換化為階梯型求出,進(jìn)一步化為行最簡(jiǎn)形求通解?！驹斀狻浚á?（Ⅱ）對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，有由于線性方程組有無窮多解，所以,解得。將增廣矩陣進(jìn)一步化為行最簡(jiǎn)形,有從而可知導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為，非齊次方程的特解為,所以通解為,其中為任意常數(shù)。(23）【分析】考察矩陣秩的概念與求法及其性質(zhì)、特性值與特性向量的求法。(Ⅰ)運(yùn)用秩的性質(zhì)得到矩陣的秩為2，再運(yùn)用初等行變換將化為階梯型即可求出;（Ⅱ）求出矩陣的特性值與所有線性無關(guān)的特性向量，將他們正交化、單位化可得到正交矩陣?！驹斀狻?Ⅰ）由于,而二次型的秩為,即,故。對(duì)矩陣作初等行變換化為階梯型,有從而。此時(shí)