學(xué)期-初等數(shù)學(xué)?？啤冻醯却鷶?shù)》課程論文-程學(xué)漢(1)new

PAGE第=page1*2-11頁(yè)共=numpages3*26頁(yè)第=page1*22頁(yè)共=numpages3*26頁(yè)學(xué)院________________專業(yè)_________________班級(jí)_____________本專學(xué)號(hào)_________________姓名__________________密封線學(xué)生須將文字寫(xiě)在此線以下魯東大學(xué)教育科學(xué)學(xué)院初等數(shù)學(xué)教育專業(yè)2011－2012學(xué)年第一學(xué)期《學(xué)院________________專業(yè)_________________班級(jí)_____________本專學(xué)號(hào)_________________姓名__________________密封線學(xué)生須將文字寫(xiě)在此線以下班級(jí)初數(shù)1002學(xué)號(hào)20102726029姓名張正濤題目名勾股數(shù)程學(xué)漢成績(jī)論文題目：（可指定題目，也可說(shuō)明題目范圍。）題目自擬論文要求：（對(duì)論文題目、內(nèi)容、行文、字?jǐn)?shù)等作出判分規(guī)定。）題目及內(nèi)容的范圍——介紹總結(jié)初等數(shù)論在某些學(xué)科中的應(yīng)用。有關(guān)初等數(shù)論理論比較系統(tǒng)的總結(jié)。初等數(shù)論相關(guān)性質(zhì)定理的創(chuàng)新性的論證總結(jié)。行文符合論文要求字?jǐn)?shù)不少于3000字教師評(píng)語(yǔ)：良好論文結(jié)構(gòu)比較嚴(yán)謹(jǐn),邏輯縝密,論述比較層次清晰,文字流暢.對(duì)于問(wèn)題的研究富有新意,對(duì)問(wèn)題有比較深刻的分析,反映了作者對(duì)基礎(chǔ)理論知識(shí)掌握得很好.有一定的學(xué)術(shù)價(jià)值或較強(qiáng)的應(yīng)用價(jià)值.能熟練地掌握和運(yùn)用基本理論,論文有關(guān)成果比較好,教師簽字：2011年1勾股數(shù)摘要：如果一個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng)正好都是正整數(shù)，那么這三個(gè)正整數(shù)叫做勾股數(shù)（也叫勾股數(shù)組）．一般地，如果正整數(shù)a、b、c能滿足a^2＋b^2=c^2,則它們叫做勾股數(shù)．關(guān)鍵詞：勾股數(shù)雜談直角三角形正整數(shù)正文①觀察3，4，5；5，12，13；6，8,10；7，24，25；…發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)都是奇數(shù)，且從3起就沒(méi)有間斷過(guò)。計(jì)算0.5（9-1），0.5（9+1）與0.5（25-1），0.5（25+1），并根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫(xiě)出分別能表示7，24，25的股和弦的算式。②根據(jù)①的規(guī)律，用n的代數(shù)式來(lái)表示所有這些勾股數(shù)的勾、股、弦，合情猜想他們之間的兩種相等關(guān)系，并對(duì)其中一種猜想加以說(shuō)明。③繼續(xù)觀察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…可以發(fā)現(xiàn)各組的第一個(gè)數(shù)都是偶數(shù)，且從4起也沒(méi)有間斷過(guò)，運(yùn)用上述類似的探索方法，之間用m的代數(shù)式來(lái)表示它們的股和弦。直角三角形與勾股定理例一設(shè)直角三角形三邊長(zhǎng)為a、b、c，由勾股定理知a^2+b^2=c^2，這是構(gòu)成直角三角形三邊的充分且必要的條件。因此，要求一組勾股數(shù)就是要解不定方程x^2+y^2=z^2，求出正整數(shù)的解。例：已知在△ABC中，三邊長(zhǎng)分別是a、b、c，a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n>1)，求證：∠C=90°。此例說(shuō)明了對(duì)于大于2的任意偶數(shù)2n(n>1)，都可構(gòu)成一組勾股數(shù)，三邊分別是：2n、n2-1、n2+1。如：6、8、10，8、15、17，10、24、26…等。例二再來(lái)看下面這些勾股數(shù)：3、4、5，5、12、13，7、24、25，9、40、41，11、60、61…這些勾股數(shù)都是以奇數(shù)為一邊構(gòu)成的直角三角形。由上例已知任意一個(gè)大于2的偶數(shù)可以構(gòu)成一組勾股數(shù)，實(shí)際上以任意一個(gè)大于1的奇數(shù)2n+1(n>1)為邊也可以構(gòu)成勾股數(shù)，其三邊分別是2n+1、2n²+2n、2n²+2n+1，這可以通過(guò)勾股定理的逆定理獲證。觀察分析上述的勾股數(shù)，可看出它們具有下列二個(gè)特點(diǎn)：1、直角三角形短直角邊為奇數(shù)，另一條直角邊與斜邊是兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)，且兩個(gè)自然數(shù)的和恰是短直角邊的平方。2、一個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)等于短直角邊的平方與短邊自身的和。勾股數(shù)的常用套路所謂勾股數(shù)，一般是指能夠構(gòu)成直角三角形三條邊的三個(gè)正整數(shù)(a,b,c)。即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N又由于，任何一個(gè)勾股數(shù)組(a,b,c)內(nèi)的三個(gè)數(shù)同時(shí)乘以一個(gè)整數(shù)n得到的新數(shù)組(na,nb,nc)仍然是勾股數(shù)，所以一般我們想找的是a,b,c互質(zhì)的勾股數(shù)組。關(guān)于這樣的數(shù)組，比較常用也比較實(shí)用的套路有以下兩種：第一套路當(dāng)a為大于1的奇數(shù)2n+1時(shí)，b=2*n^2+2*n,c=2*n^2+2*n+1。實(shí)際上就是把a(bǔ)的平方數(shù)拆成兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)，例如：n=1時(shí)(a,b,c)=(3,4,5)n=2時(shí)(a,b,c)=(5,12,13)n=3時(shí)(a,b,c)=(7,24,25)......這是最經(jīng)典的一個(gè)套路，而且由于兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)必然互質(zhì)，所以用這個(gè)套路得到的勾股數(shù)組全部都是互質(zhì)的。第二套路2、當(dāng)a為大于4的偶數(shù)2n時(shí)，b=n^2-1,c=n^2+1也就是把a(bǔ)的一半的平方分別減1和加1，例如：n=3時(shí)(a,b,c)=(6,8,10)n=4時(shí)(a,b,c)=(8,15,17)n=5時(shí)(a,b,c)=(10,24,26)n=6時(shí)(a,b,c)=(12,35,37)......這是次經(jīng)典的套路，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)由于(a,b,c)是三個(gè)偶數(shù)，所以該勾股數(shù)組必然不是互質(zhì)的；而n為偶數(shù)時(shí)由于b、c是兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)必然互質(zhì)，所以該勾股數(shù)組互質(zhì)。所以如果你只想得到互質(zhì)的數(shù)組，這條可以改成，對(duì)于a=4n(n>=2),b=4*n^2-1,c=4*n^2+1，例如：n=2時(shí)(a,b,c)=(8,15,17)n=3時(shí)(a,b,c)=(12,35,37)n=4時(shí)(a,b,c)=(16,63,65)......勾股數(shù)的探索基礎(chǔ)1．定義：凡符合X^2+Y^2=Z^2公式的正整數(shù)值我們稱之為勾股數(shù)。X和Y是直角邊，Z是斜邊。2．凡最大公約數(shù)大于1的勾股數(shù)我們稱之為派生勾股數(shù)，例[30，40，50]等；3．最大公約數(shù)為1的勾股數(shù)，例[3，4，5]；[8，15，17]等，我們稱之為勾股數(shù)。全是偶數(shù)的勾股數(shù)必是派生勾股數(shù)，三個(gè)奇數(shù)不可能符合定義公式。因此，勾股數(shù)唯一的可能性是：X和Y分別是奇數(shù)和偶數(shù)（偶數(shù)和奇數(shù)），斜邊Z只能是奇數(shù)。特性4．勾股數(shù)具有以下特性：斜邊與偶數(shù)邊之差是奇數(shù),這個(gè)奇數(shù)只能是某奇數(shù)的平方數(shù),例1,9,25,49,……，至無(wú)窮大；斜邊與奇數(shù)邊之差是偶數(shù),這個(gè)偶數(shù)只能是某偶數(shù)平方數(shù)的一半,例2，8，18，32，……，至無(wú)窮大；勾股數(shù)的三邊a，b，c滿足以下等式①(ab)^4+(bc)^4+(ca)^4=L^2②a^8+b^8+c^8=2L^2其中，L=c^4－(a×b)^2例如，12^4+15^4+20^4=481^23^8+4^8+5^8=2×481^2推導(dǎo)出公式5．由以上定義我們推導(dǎo)出勾股公式：X=P^2+PQ（X等于P平方加PQ）Y=Q^2/2+PQ（Y等于二分之Q方加PQ）Z=P^2+Q^2/2+PQ（Z等于P平方加二分之Q方加PQ）取P=m-n，Q=2n，以上公式可簡(jiǎn)單變形為X=m^2-n^2，Y=2mn，Z=m^2+n^26．此公式涵蓋了自然界的全部勾股數(shù)，包括部分派生勾股數(shù)。但不能涵蓋全部派生勾股數(shù)，如[9，12，15]；[15，36，39]等。7．用此公式很容易導(dǎo)出全部勾股數(shù)，例如2000以內(nèi)的勾股數(shù)計(jì)有320組,（不含派生勾股數(shù)）。最大的一組是[315,1972,1997]8．斜邊是1105和1885的勾股數(shù)各有4組：[47，1104，1105][264，1073，1105][576，943，1105][744，817，1105]；[427，1836，1885][1003，1596，1885][1643，924，1885][1813，516，1885]；9．以任意奇數(shù)代入P，任意偶數(shù)代入Q，即可得到唯一一組勾股數(shù)。例如P=5，Q=8，得到X=25+5×8=65Y=32+5×8=72Z=25+32+5×8=9710．它極清楚地顯示出了斜邊與偶數(shù)直角邊之差是奇數(shù)的平方，斜邊與奇數(shù)直角邊之差是偶數(shù)平方值的一半，而斜邊則是由奇數(shù)的平方與偶數(shù)平方的一半和此奇數(shù)與偶數(shù)之積三項(xiàng)之和所構(gòu)成。11．當(dāng)P與Q有公約數(shù)時(shí)，例如9與12，再例如21與28等，推導(dǎo)出來(lái)的是派生勾股數(shù)；當(dāng)P與Q無(wú)公約數(shù)時(shí)，例如9與8，再例如21與16等，推導(dǎo)出來(lái)的是勾股數(shù)；12．不存在不符合本公式的勾股數(shù)。例如有人奉獻(xiàn)趣味勾股數(shù)[88209，90288，126225]，它實(shí)際是個(gè)派生勾股數(shù)，它是[297，304，425]乘297倍而成，它是由P=11和