工程力學04綜述

工程力學第四章空間力系學習目標了解力在空間坐標系的投影熟悉空間匯交力系的平衡條件和平衡方程熟悉力對點之矩矢、力對軸之矩矢了解空間力偶系的平衡條件和平衡方程了解空間任意力系力的合成熟悉空間任意力系的平衡條件和平衡方程了解重心2023/3/63工程中常常存在著很多各力的作用線不在同一平面內(nèi)的力系，即空間力系，空間力系是最一般的力系。

(a)圖為空間匯交力系；(b)圖為空間任意力系；

(b)圖中去了風力為空間平行力系。迎面風力側(cè)面風力b2023/3/641、直接投影法一、力在直角坐標軸上的投影§4-1空間匯交力系2023/3/652、二次投影法（間接投影法）

當力與各軸正向夾角不易確定時，可先將F投影到xy面上，然后再投影到x、y軸上，即2023/3/66例：求圖示手柄上的力F在三個坐標軸上的投影73、力沿坐標軸分解：若以 表示力沿直角坐標軸的正交分量，則：而：所以：FxFyFz2023/3/68空間匯交力系的合力

4、空間匯交力系的合力解析式合力的大小方向余弦

(由于力多邊形是空間力多邊形，合成并不方便，一般不采用幾何法合成）空間匯交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用線通過匯交點.2023/3/69空間匯交力系平衡的充分必要條件是：稱為空間匯交力系的平衡方程.該力系的合力等于零，即

空間匯交力系平衡的充要條件：該力系中所有各力在三個坐標軸上的投影的代數(shù)和分別為零.2023/3/610求：三根桿所受力.[例6]已知：P=1000N,各桿重不計.解：各桿均為二力桿，取球鉸O，畫受力圖。（拉）[例7]空間構架由3根無重直桿組成，在D端用球鉸鏈連接，如圖所示。A，B和C端則用球鉸鏈固定在水平地板上。如果掛在D端的物重P=10kN，求鉸鏈A，B和C的約束力。2023/3/6132023/3/6131、力對點的矩以矢量表示——力矩矢3）轉(zhuǎn)向：即使剛體繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的方向2）轉(zhuǎn)動軸方位：力的作用線與矩心所決定的平面的法線方位1）大?。毫與力臂的乘積三要素：一、力對點之矩矢§4–2力對點的矩矢和力對軸的矩FOMO（F）dyzx|MO(

F)|=F.d=2S?OABAB定義矢量rOAMO(

F)=rOA×F空間力系中，力對點的矩矢量等于力始點相對于矩心的矢量與力矢量的矢量積rOA投影（A點坐標）：x、y、zF投影：Fx、Fy、Fz

rOA

=

x

i+y

j+z

k

F=Fxi+Fyj+FzkMO(

F)=rOA×FrOAMO(

F)=rOA×F——力對點矩矢量的解析表達式力對點的矩矢量在x、y、z軸上的投影[MO(

F)]x=yFz

-zFy[MO(

F)]y=zFx

-xFz[MO(

F)]z=xFy

-yFx2023/3/6162023/3/616二、力對軸之矩2023/3/617

力對軸的矩矢力使剛體繞該軸轉(zhuǎn)動效果的度量，是一個代數(shù)量，其絕對值等于該力在垂直于該軸的平面上的投影對于這個平面與該軸的交點的矩。正負號規(guī)定：從z軸正端來看，若力的這個投影使物體繞該軸逆時針轉(zhuǎn)動，則為正，反之為負?？捎糜沂致菪▌t確定。力與軸相交或與軸平行（力與軸在同一平面內(nèi)），力對該軸的矩為零.定義： 它是代數(shù)量，方向規(guī)定+–2023/3/6182023/3/618力對軸的矩的解析式由合力矩定理：即同理可得其余兩式，即有：力對軸的矩的解析式FxFyFzFxyFOyzxAByxzO′A點坐標：x、y、zF投影：Fx、Fy、FzMz(

F)=

MO′(

Fxy

)=

MO′(

Fx

)+MO′(

Fy

)=

-Fx.y+Fy

.x

力F對oz軸的矩為同理力F對ox軸的矩為=

-Fy.z+Fz

.y

力F對oy軸的矩為=

-Fz.x+Fx

.z

三、力對點的矩與力對通過該點的軸之矩的關系FxFyFzFxyFOyzxAByxzO′A點坐標：x、y、zF投影：Fx、Fy、FzMx(F)=

yFz

–zFyMy(F)=

zFx

-xFzMz(F)=

xFy

-yFx.MO(F)=(yFz

–zFy)i+(zFx

–xFz)j+(yFz

–zFy)k力F對O點之矩矢量的解析表達式力對某點矩矢量在通過該點的任一軸上的投影等于力對該軸的矩2023/3/6212023/3/621[例4]：求圖示手柄上的力F對三個坐標軸之矩F作用點:F在坐標軸上的投影：2023/3/6222023/3/622§4–3空間力偶一、力偶矩以矢量表示－－力偶矩矢

空間力偶對剛體的作用效應，可用力偶矩矢來度量，即用力偶中的兩個力對空間某點之矩的矢量和來度量。 2023/3/6232023/3/623+–由此可得出，空間力偶矩是自由矢量，它有三個要素：

①力偶矩的大小=

②力偶矩作用面的方位——與力偶作用面法線方向相同

③在作用面內(nèi)的轉(zhuǎn)向——遵循右手螺旋規(guī)則。 24[證]

①作II//Ⅰ，cd//ab

②作一對平衡力R,R'(在E點,且使-R=R')

③由反向平行力合成得：

F1與R合成得F2，作用在d點

F1'與R'合成得F2'，作用在c點 且R-F1=F2

，R'-

F1'=F2'

④在I內(nèi)的力偶（F1，F(xiàn)1'）等效變成II內(nèi)的（F2，

F2'

）二、空間力偶的等效定理

作用在同一剛體的兩個空間力偶，如果其力偶矩矢相等，則兩個力偶等效。

2023/3/625三、空間力偶系的合成與平衡條件==為合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和.2023/3/626合力偶矩矢的大小和方向余弦稱為空間力偶系的平衡方程.空間力偶系平衡的充分必要條件是:合力偶矩矢等于零，即27求：工件所受合力偶矩在軸上的投影.[例]已知：在工件四個面上同時鉆5個孔，每個孔所受切削力偶矩均為80N·m.解：把力偶用力偶矩矢表示，平行移到點A.2023/3/628求:軸承A,B處的約束力.[例]已知：兩圓盤半徑均為200mm，AB=800mm，圓盤面O1垂直于z軸，圓盤面O2垂直于x軸，兩盤面上作用有力偶，F(xiàn)1=3N，F(xiàn)2=5N，構件自重不計.解：取整體，受力圖如圖所示.2023/3/629把研究平面一般力系的簡化方法拿來研究空間一般力系的簡化問題，但須把平面坐標系擴充為空間坐標系。設作用在剛體上有空間一般力系向O點簡化（O點任選）§4–4空間任意力系的簡化一、空間任意力系向一點的簡化2023/3/630①根據(jù)力線平移定理，將各力平行搬到O點得到一空間匯交力系：和附加力偶系

[注意] 分別是各力對O點的矩。②由于空間力偶是自由矢量，總可匯交于O點。2023/3/631③合成 得主矢即 （主矢過簡化中心O， 且與O點的選擇無關）合成 得主矩即： （主矩與簡化中心O有關）2023/3/632結(jié)論：

空間力系向任一點簡化，可得到一力和一力偶。該力通過簡化中心，其力矢稱為力系的主矢，它等于力系諸力的矢量和，并于簡化中心無關；這個力偶的力偶矩矢稱為力系對簡化中心的主矩，它等于力系諸力對簡化中心之矩矢的矢量和，并與簡化中心的選擇有關。33

空間一般力系向一點簡化得一主矢和主矩，下面針對主矢、主矩的不同情況分別加以討論?？臻g一般力系簡化結(jié)果的討論1、若 ,則該力系平衡（下節(jié)專門討論）。2、若 則力系可合成一個合力偶，其矩等于原力系對于簡化中心的主矩MO。此時主矩與簡化中心的位置無關。3、若 則力系可合成為一個合力，主矢等于原力系合力矢，合力通過簡化中心O點。（此時與簡化中心有關，換個簡化中心，主矩不為零）

34

4、若 此時分兩種情況討論。即：①

②

由于做①若 時可進一步簡化，將MO變成(

R'',R)使R'與R''抵消只剩下R。35②若 時，——為力螺旋的情形（新概念，又移動又轉(zhuǎn)動）[例]①擰螺絲

②炮彈出膛時炮彈螺線③R′不平行也不垂直M0，最一般的成任意角在此種情況下，<1>首先把MO

分解為M//和M

<2>將M//和M

分別按①、②處理。''主矢R在直角坐標系oxyz的投影：主矢的大小和方向余弦：三、主矢、主矩的計算1、主矢的計算：2、主矩的計算：主矩LO在直角坐標系oxyz的投影：主矩的大小和方向余弦：第六章空間任意力系2023/3/639四、空間任意力系的平衡條件

如果該物體平衡，則必須要使該物體不能沿x、y、z三軸移動，也不能繞x、y、z三軸轉(zhuǎn)動。即滿足：空間任意力系的平衡方程空間任意力系平衡的充要條件是：各力在三個坐標軸上的投影的代數(shù)和及各力對此三個軸力矩的代數(shù)和都必須分別等于零。共六個獨立方程，只能求解獨立的六個未知數(shù)。2023/3/640還有四矩式，五矩式和六矩式，同時各有一定限制條件。

對于空間匯交力系：（設各力匯交于原點）則成為恒等式2023/3/641

對于空間平行于z軸的平行力系：則成為恒等式故空間平行于z軸的平行力系的平衡方程為：OxyzF1F2F3Fn2023/3/642[例]已知:RC=100mm,RD=50mm,Px=466N,Py=352N,Pz=1400N

求：平衡時(勻速轉(zhuǎn)動)力Q=？和軸承A,B的約束反力？最好使每一個方程有一個未知數(shù)，方便求解。(Q力作用在C輪的最低點）解：①選研究對象②作受力圖③選坐標列方程2023/3/643方法(二):將空間力系投影到三個坐標平面內(nèi)，轉(zhuǎn)化為平面力系平衡問題來求解，請同學們課后自己練習求解。2023/3/645[例]已知：AB桿,AD,CB為繩,A、C在同一垂線上，AB重80N，A、B光滑接觸，∠ABC=∠BCE=600,且AD水平，AC鉛直。求平衡時，TA，TB及支座A、B的反力。解：思路：要巧選投影軸和取矩軸，使一個方程解出一個未知數(shù)。2023/3/6462023/3/64748【例】已知：F、P及各尺寸求：桿內(nèi)力解：研究對象，長方板受力圖如圖列平衡方程2023/3/649已知：P=8kN,各尺寸如圖求：A、B、C

處約束力解：研究對象：小車受力：列平衡方程結(jié)果：