新教材高中數(shù)學(xué)第二章平面解析幾何章末總結(jié)學(xué)案新人教B版選擇性必修第一冊(cè)

PAGEPAGE11第二章平面解析幾何章末總結(jié)體系構(gòu)建題型整合題型1直線的方程例1已知直線l過(guò)點(diǎn)M(2,1),且分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點(diǎn)A、B（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.（1）當(dāng)△ABO的面積為4時(shí),求直線l的一般式方程;（2）當(dāng)|MA|?|MB|取最小值時(shí),求直線l的一般式方程.答案：（1）由題意,設(shè)直線l的方程為xa則S△ABO=因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)M（2,1）,所以2a+1所以直線l的方程為x4+y（2）設(shè)直線l的方程為y-1=k(x-2)(k≠0),則A（-1k所以|MA|=所以|MA|?|MB|=1當(dāng)且僅當(dāng)k2所以當(dāng)|MA|?|MB|取最小值時(shí),k=-1（正值舍去）,此時(shí)直線方程為y-1=-x+2,即x+y-3=0.方法歸納求直線方程時(shí)常用以下兩種方法：（1）直接法：直接選取適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式,寫出結(jié)果．（2）待定系數(shù)法：先以直線滿足的某個(gè)條件為基礎(chǔ)設(shè)出直線方程,再由直線滿足的另一個(gè)條件求出待定系數(shù),從而求得方程．遷移應(yīng)用1.（2021山東青島二中期末）已知定點(diǎn)A(3,1).（1）若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A且與直線2x+y-5=0垂直,求直線l的方程;（2）若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A且坐標(biāo)原點(diǎn)到直線l的距離等于3,求直線l的方程.答案：（1）設(shè)與直線2x+y-5=0垂直的直線的方程為x-2y+a=0,把A(3,1)代入,得3-2+a=0,解得a=-1,所以直線l的方程為x-2y-1=0.（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),直線l的方程為x=3,符合題意;當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y-1=k(x-3),即kx-y-3k+1=0,原點(diǎn)O(0,0)到直線l的距離d=|-3k+1|k2所以直線l的方程為y-1=-43(x-3)綜上,直線l的方程為x=3或4x+3y-15=0.題型2直線與圓例2（2020山東煙臺(tái)高二期中）已知圓C1（1）在以下兩個(gè)問(wèn)題中任選一個(gè)作答.①已知不過(guò)原點(diǎn)的直線l與圓C1相切,且直線在x軸、y軸上的截距相等,求直線l②從圓外一點(diǎn)P(2,1)向圓引切線,求切線方程;（2）若圓C2:x2+y2解析：（1）圓C1的方程可變形為(x+1)2答案：（1）選擇①：∵直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等且不為零,∴直線l的斜率為-1.∴設(shè)直線l的方程y=-x+b,又直線l與圓(x+1)∴|-1+2-b|2=3,整理得b=1±32,∴所求直線l的方程為選擇②：當(dāng)過(guò)P的直線的斜率不存在時(shí),直線方程為x=2,此時(shí)圓C1所以直線x=2是圓C的切線;當(dāng)過(guò)P的直線的斜率存在時(shí),設(shè)切線方程為y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0,由|-k-2+1-2k|k得k=43,∴切線方程為43綜上所述,切線方程為4x-3y-5=0或x=2.（2）聯(lián)立得得{得{∴|DE|==(方法歸納（1）判斷直線與圓的位置關(guān)系以幾何法為主,解題時(shí)應(yīng)充分利用圓的幾何性質(zhì)簡(jiǎn)化解題過(guò)程.直線和圓相切時(shí),可以利用圓與直線聯(lián)立的方程組有一組實(shí)數(shù)解,或者利用圓心到直線的距離等于圓的半徑求得參數(shù),有時(shí)利用后面方法計(jì)算,運(yùn)算量較小.（2）解決圓與圓的位置關(guān)系的關(guān)鍵是抓住它的幾何特征,利用兩圓圓心距與兩圓半徑的和、差的絕對(duì)值的大小來(lái)確定兩圓的位置關(guān)系,充分利用幾何圖形的直觀性來(lái)分析問(wèn)題.遷移應(yīng)用2.（2021北京昌平一中高二期中）已知圓C的圓心在x軸上,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,0),B(1,2).（1）求線段AB的垂直平分線的方程;（2）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;（3）已知直線l：y=kx+1與圓C相交于M、N兩點(diǎn),且|MN|=22,求直線l答案：（1）設(shè)AB的中點(diǎn)為D,則D(0,1)．由圓的性質(zhì),得CD⊥AB,所以KCD×K所以線段AB的垂直平分線的方程是y=-x+1.（2）設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+y2由圓的性質(zhì),知圓心C(a,0)在直線CD上,所以圓心為C(1,0),r=|CA|=2,所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2（3）設(shè)F為MN的中點(diǎn),則線段CF⊥l,|FM|=|FN|=2則圓心C到直線l的距離d=|CF|=故d=|k×1+1|k2+1=2,解得題型3圓錐曲線的定義與方程例3（1）（2020廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二月考）已知橢圓x24+y2b2=1(0＜b＜2)的左、右焦點(diǎn)分別為F1A.1B.2C.3D.3（2）過(guò)雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0,b＞0)的左焦點(diǎn)F作斜率為3的直線,恰好與圓xA.x2-C.x2-答案：（1）C（2）B解析：（1）因?yàn)?<b<2,所以橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,可知a=2,因?yàn)檫^(guò)F1的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),所以由橢圓的定義知,|B所以|BF當(dāng)AB⊥x軸時(shí),|AB|最小,|BF此時(shí)|AB|=2b2a=（2）設(shè)F(-c,0),則直線的方程為y=3(x+c),即因?yàn)橹本€3x-y+3c=0所以圓心(0,0)到直線3x-y+3則|AF|=a+c=3解得c=2,所以a=3,則b=c2-a方法歸納（1）研究有關(guān)兩點(diǎn)的距離的最值問(wèn)題時(shí),常用定義把曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到另一焦點(diǎn)的距離或利用定義把曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離,再結(jié)合幾何圖形,利用幾何意義去解決最值的有關(guān)問(wèn)題.（2）確定雙曲線或橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要一個(gè)“定位”條件,兩個(gè)“定量”條件,“定位”是指確定焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上,“定量”是指確定a,b的值,常用待定系數(shù)法求得．遷移應(yīng)用3.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的焦距為2,右頂點(diǎn)為A,過(guò)原點(diǎn)與x軸不重合的直線交C于M,N兩點(diǎn),線段AM的中點(diǎn)為A.x24C.x29答案：C解析：由題意知c=1,設(shè)點(diǎn)M(x則N(-因?yàn)橹本€BN經(jīng)過(guò)點(diǎn)F,所以BF∥因?yàn)镕(1,0),所以BF=(1-x0解得a=3,所以b2=8,所以橢圓的方程為題型4圓錐曲線的性質(zhì)例4（1）（2020山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二月考）已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a＞0,b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-c,0),A.y=±47xB.y=±2xC.y=（2）（2020四川成都高二期中）已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F,短軸的上端點(diǎn)為M,直線l:3x-4y=0交橢圓E于A.（0,32]B.（0,34]C.[32答案：（1）A（2）A解析：（1）設(shè)直線PF2與圓E:(x-c因?yàn)椤鱌F1F2是以圓O的直徑又因?yàn)閳AE與直線PF2的切點(diǎn)為M,所以又|F2E||則|PF2|=2a+所以ba=4（2）取橢圓的左焦點(diǎn)F',連接AF'故四邊形AFBF'為平行四邊形,|AF|+|BF|=|AF|+|AF由點(diǎn)M(0,b)到l的距離d=|-4b|3所以e=ca方法歸納（1）圓錐曲線的性質(zhì)問(wèn)題的常見(jiàn)具體類型：①已知基本量求離心率e或求離心率e的取值范圍;②已知圓錐曲線的方程求參數(shù)的取值范圍;③已知曲線的某些性質(zhì)求曲線方程或求曲線的其他性質(zhì)．（2）解圓錐曲線的性質(zhì)問(wèn)題時(shí),一般要靈活地應(yīng)用圓錐曲線的定義、方程及其圖形.遷移應(yīng)用4.已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0,b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P是A.y=±3xB.y=±C.y=±2xD.y=±答案：C解析：設(shè)F1(-c,0),F2(c,0),易知△OM得|F1又因?yàn)閨PF1|-|P所以4c2=16a25.若橢圓x2a2+y2bA.1617B.C.45D.答案：D解析：由題意知F1拋物線y2=2bx(b＞0)的焦點(diǎn)為F(b2,0),由題意可得c+b2c-b題型5直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題例5（2021山東聊城一中期中）已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為32,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(4,1),直線l:y=x+m交橢圓于不同的兩點(diǎn)A,B（1）求橢圓的方程;（2）求m的取值范圍;（3）若直線l不過(guò)點(diǎn)M,試問(wèn)直線MA,MB的斜率之和是不是定值,若是定值,求出定值;若不是定值,說(shuō)明理由．答案：（1）設(shè)橢圓的方程為x2a2+y2b2=1(a＞b＞0),因?yàn)閑（2）將y=x+m代入x220+y25=1,消去y（3）是定值.設(shè)直線MA,MB的斜率分別為k1,k2,設(shè)A(x1則k=分子=(x1+m-1)(方法歸納直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題,主要包括直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷問(wèn)題、弦長(zhǎng)問(wèn)題、面積問(wèn)題、定點(diǎn)與定值問(wèn)題等,求解這類問(wèn)題時(shí),通常采用代數(shù)方法,將直線方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立,消去其中一個(gè)未知量,通過(guò)討論所得方程的根的情況來(lái)確定位置關(guān)系,同時(shí),還經(jīng)常利用根與系數(shù)的關(guān)系,采取“設(shè)而不求”的辦法求解弦長(zhǎng)問(wèn)題、面積問(wèn)題．遷移應(yīng)用6.設(shè)拋物線C：y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F,過(guò)F且斜率為1的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),（1）求拋物線C和直線l的方程;（2）設(shè)點(diǎn)P是x軸上的一點(diǎn),且△ABP的面積為82,求點(diǎn)P答案：（1）由題意得F(p2,0)設(shè)A(x1,y1),B(故x1所以|AB|=|AF|+|BF|=(x解得p=2,因此拋物線的方程是y2=4x,直線l的方程為（2）設(shè)P(a,0),點(diǎn)P到直線l的距離為d,則d=|a-0-1|又S△ABP=1所以|a-1|=4,解得a=5或a=-3,故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5,0)或(-3,0).高考鏈接1.（2020課標(biāo)Ⅲ文,8,5分）點(diǎn)(0,-1)到直線y=k(x+1)距離的最大值為()A.1B.2C.3D.2答案：B解析：由y=k(x+1)可知直線過(guò)定點(diǎn)P(-1,0),設(shè)A(0,-1),當(dāng)直線y=k(x+1)與AP垂直時(shí),點(diǎn)A到直線y=k(x+1)距離最大,此時(shí)|AP|=22.（2020課標(biāo)Ⅲ理,5,5分）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線x=2與拋物線C：y2=2px(p＞0)交于D,E兩點(diǎn),若OD⊥OE,則A.(14C.(1,0)D.(2,0)答案：B解析：因?yàn)橹本€x=2與拋物線y2=2px(p＞0)交于D,E兩點(diǎn),且根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可以確定$\angleDOx=\angleEOx=\frac\mathrm{π}4$,所以D(2,2)（不妨設(shè)D在第一象限）,代入拋物線方程得4=4p,得p=1,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為(13.（2020課標(biāo)Ⅱ理,5,5分）若過(guò)點(diǎn)(2,1)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切,則圓心到直線2x-y-3=0的距離為()A.55B.C.355答案：B解析：因?yàn)閳A上的點(diǎn)(2,1)在第一象限,若圓心不在第一象限,則圓至少與一條坐標(biāo)軸相交,不符合題意,所以圓心必在第一象限,設(shè)圓心的坐標(biāo)為(a,a),則圓的半徑為a,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-a)2=a2.由題意可得(2-a)4.（2020課標(biāo)Ⅲ理,11,5分）設(shè)雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0,b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,A.1B.2C.4D.8答案：A解析：∵ca=5,∴c=5a,又S△PF5.（多選）（2020新高考Ⅰ,9,5分）已知曲線C：mxA.若m>n>0,則C是橢圓,其焦點(diǎn)在y軸上B.若m=n>0,則C是圓,其半徑為nC.若mn<0,則C是雙曲線,其漸近線方程為y=±D.若m=0,n>0,則C是