-新教材高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)練35不同函數(shù)增長(zhǎng)的差異含解析新人教A版必修第一冊(cè)

PAGEPAGE7不同函數(shù)增長(zhǎng)的差異(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共30分)1.冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù)是生活中三類(lèi)常見(jiàn)基本的初等函數(shù),可以刻畫(huà)客觀世界不同的變化規(guī)律.已知函數(shù)y=xa,y=bx,y=logcx的圖象如圖所示,則()A.a<b<c B.b<a<cC.a<c<b D.b<c<a【解析】選A.由圖象可得曲線(xiàn)①為對(duì)數(shù)函數(shù)y=logcx,在定義域內(nèi)為增函數(shù),則c>1,曲線(xiàn)②為指數(shù)函數(shù)y=bx,為減函數(shù),則0<b<1,曲線(xiàn)③為冪函數(shù)y=xa,在(0,+∞)上為減函數(shù),則a<0,所以a<0<b<1<c.2.某新品牌電視投放市場(chǎng)后第一個(gè)月銷(xiāo)售100臺(tái),第二個(gè)月銷(xiāo)售200臺(tái),第三個(gè)月銷(xiāo)售400臺(tái),第四個(gè)月銷(xiāo)售790臺(tái),則下列函數(shù)模型中能較好反映銷(xiāo)量y與投放市場(chǎng)的月數(shù)x之間的關(guān)系的是()A.y=100x B.y=50x2-50x+100C.y=50×2x D.y=100log2x+100【解析】選C.把x=1,2,3,4分別代入計(jì)算,x=1時(shí),A為100,B為100,C為100,D為100;x=2時(shí),A為200,B為200,C為200,D為200;x=3時(shí),A為300,B為400,C為400,D約為258;x=4時(shí),A為400,B為700,C為800,D為300,比較知只有C中x=4時(shí)偏差很小,所以C較好.3.今有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下:t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)滿(mǎn)足的規(guī)律,其中最接近的一個(gè)是()A.v=log2t B.v=lotC.v= D.v=2t-2【解析】選C.特值檢驗(yàn),如:當(dāng)t=4時(shí),v==7.5.4.(多選題)甲、乙、丙、丁四個(gè)物體同時(shí)從某一點(diǎn)出發(fā)向同一個(gè)方向運(yùn)動(dòng),其路程fi(x)(i=1,2,3,4)關(guān)于時(shí)間x(x≥0)的函數(shù)解析式分別為f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),有以下結(jié)論:①當(dāng)x>1時(shí),甲走在最前面;②當(dāng)x>1時(shí),乙走在最前面;③當(dāng)0<x<1時(shí),丁走在最前面,當(dāng)x>1時(shí),丁走在最后面;④丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面;()A.①正確 B.②正確 C.③正確 D.④正確【解析】選C、D.路程fi(x)(i=1,2,3,4)關(guān)于時(shí)間x(x≥0)的函數(shù)解析式是f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),它們相應(yīng)的函數(shù)模型分別是指數(shù)型函數(shù)、二次函數(shù)、一次函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù).當(dāng)x=2時(shí),f1(2)=3,f2(2)=4,命題①不正確;x=5時(shí),f1(5)=31,f2(5)=25,命題②不正確.對(duì)數(shù)型函數(shù)的變化是先快后慢,當(dāng)x=1時(shí),甲、乙、丙、丁四個(gè)物體重合,從而可知當(dāng)0<x<1時(shí),丁走在最前面,當(dāng)x>1時(shí),丁走在最后面,命題③正確;結(jié)合對(duì)數(shù)型和指數(shù)型函數(shù)的圖象變化情況,可知丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面,命題④正確.故選CD.5.面對(duì)函數(shù)f(x)=lox,g(x)=與h(x)=在區(qū)間(0,+∞)上的衰減情況說(shuō)法正確的是()A.f(x)衰減速度越來(lái)越慢,g(x)衰減速度越來(lái)越快,h(x)衰減速度越來(lái)越慢B.f(x)衰減速度越來(lái)越快,g(x)衰減速度越來(lái)越慢,h(x)衰減速度越來(lái)越快C.f(x)衰減速度越來(lái)越慢,g(x)衰減速度越來(lái)越慢,h(x)衰減速度越來(lái)越慢D.f(x)衰減速度越來(lái)越快,g(x)衰減速度越來(lái)越快,h(x)衰減速度越來(lái)越快【解析】選C.函數(shù)f(x)=lox,g(x)=與h(x)=在區(qū)間(0,+∞)上的圖象如圖所示.觀察圖象可知,函數(shù)f(x)的圖象在區(qū)間(0,1)上遞減較快,但遞減速度逐漸變慢,在區(qū)間(1,+∞)上,遞減較慢,且越來(lái)越慢;同樣,函數(shù)g(x)的圖象在區(qū)間(0,+∞)上,遞減較慢,且遞減速度越來(lái)越慢;函數(shù)h(x)的圖象在區(qū)間(0,1)上遞減較快,但遞減速度逐漸變慢;在區(qū)間(1,+∞)上,遞減較慢,且越來(lái)越慢,故選C.6.西部某地區(qū)實(shí)施退耕還林,森林面積在20年內(nèi)增加了5%,若按此規(guī)律,設(shè)2019年的森林面積為m,從2019年起,經(jīng)過(guò)x年后森林面積y與x的函數(shù)解析式為()A.y= B.y=mC.y=m(1+5% D.y=[1+(5%)x]m【解析】選C.設(shè)平均每年增加a%,則(1+a%)20=1+5%,所以1+a%=(1+5%,可知經(jīng)過(guò)x年后森林面積y與x的函數(shù)解析式為y=m(1+5%.二、填空題(每小題5分,共10分)7.果蔬批發(fā)市場(chǎng)批發(fā)某種水果,不少于100千克時(shí),批發(fā)價(jià)為每千克2.5元,小王攜帶現(xiàn)金3000元到市場(chǎng)采購(gòu)這種水果,并以此批發(fā)價(jià)買(mǎi)進(jìn),如果購(gòu)買(mǎi)的水果為x千克,小王付款后剩余現(xiàn)金為y元,則x與y之間的函數(shù)關(guān)系為;x的取值范圍是.

【解析】由題意可知函數(shù)關(guān)系式是y=3000-2.5x,由題意可知最少買(mǎi)100千克,最多買(mǎi)=1200千克,所以函數(shù)的定義域是[100,1200].答案:y=3000-2.5x[100,1200]8.某商場(chǎng)2016年一月份到十二月份銷(xiāo)售額呈現(xiàn)先下降后上升的趨勢(shì),現(xiàn)有三種模型:①f(x)=p·qx(q>0,且q≠1);②f(x)=logpx+q(p>0,且p≠1);③f(x)=x2+px+q.能較準(zhǔn)確反映商場(chǎng)月銷(xiāo)售額f(x)與月份x關(guān)系的函數(shù)模型為(填序號(hào)).若所選函數(shù)滿(mǎn)足f(1)=10,f(3)=2,則f(x)=.

【解析】因?yàn)閒(x)=p·qx,f(x)=logpx+q都是單調(diào)函數(shù),函數(shù)f(x)=x2+px+q的圖象先下降后上升.所以選擇函數(shù)f(x)=x2+px+q.又f(1)=10,f(3)=2,所以所以p=-8,q=17,所以f(x)=x2-8x+17.答案:③x2-8x+17三、解答題9.(10分)某校甲、乙兩食堂2019年1月份的營(yíng)業(yè)額相等,甲食堂的營(yíng)業(yè)額逐月增加,并且每月增加值相同;乙食堂的營(yíng)業(yè)額也逐月增加,且每月增加的百分率相同.已知2019年9月份兩食堂的營(yíng)業(yè)額又相等,求2019年5月份營(yíng)業(yè)額較高的是哪個(gè)食堂?【解析】設(shè)甲以后每個(gè)月比前一個(gè)月增加相同的營(yíng)業(yè)額a,乙每個(gè)月比前一個(gè)月增加營(yíng)業(yè)額的百分比為x,1月份的營(yíng)業(yè)額設(shè)為1,由題意得1+8a=1×(1+x)8,5月份甲的營(yíng)業(yè)額為1+4a,5月份乙的營(yíng)業(yè)額為1×(1+x)4,即.因?yàn)?1+4a)2-(1+8a)=16a2>0,所以1+4a>,所以2019年5月份營(yíng)業(yè)額較高的是甲.(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共10分)1.某地區(qū)植被被破壞,土地沙漠化越來(lái)越嚴(yán)重,最近三年測(cè)得沙漠增加值分別為0.2萬(wàn)公頃、0.4萬(wàn)公頃和0.76萬(wàn)公頃,則沙漠增加數(shù)y公頃關(guān)于年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系較為接近的是()A.y=0.2x B.y=(x2+2x)C.y= D.y=0.2+log16x【解析】選C.用排除法,當(dāng)x=1時(shí),排除B項(xiàng);當(dāng)x=2時(shí),排除D項(xiàng);當(dāng)x=3時(shí),排除A項(xiàng).2.如圖所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面積y(m2)與時(shí)間t(月)的關(guān)系:y=at,有以下敘述:①這個(gè)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)是2;②第5個(gè)月時(shí),浮萍的面積就會(huì)超過(guò)30m2;③浮萍從4m2蔓延到12m2需要經(jīng)過(guò)1.5個(gè)月;④浮萍每個(gè)月增加的面積都相等.其中正確的是()A.①③ B.①② C.②③④ D.①②④【解析】選B.由題意知圖象單調(diào)遞增,底數(shù)大于1,又過(guò)點(diǎn)(2,4),故①對(duì);令t=5,得y=25=32>30,故②對(duì);若浮萍從4m2蔓延到12m2需要經(jīng)過(guò)的時(shí)間是1.5個(gè)月,則有12=23.5,因?yàn)?3.5=8≠12,故③錯(cuò);由指數(shù)函數(shù)模型的圖象上升特征,可知④錯(cuò).二、填空題(每小題5分,共20分)3.函數(shù)y=x2與函數(shù)y=xlnx在區(qū)間(1,+∞)上增長(zhǎng)較快的一個(gè)是.

【解析】當(dāng)x變大時(shí),x比lnx增長(zhǎng)要快,所以x2要比xlnx增長(zhǎng)得要快.答案:y=x24.計(jì)算機(jī)的價(jià)格大約每3年下降,那么今年花8100元買(mǎi)的一臺(tái)計(jì)算機(jī),9年后的價(jià)格大約是元.

【解析】設(shè)計(jì)算機(jī)價(jià)格平均每年下降p%,由題意可得=,所以p%=1-,所以9年后的價(jià)格約為y=8100×=8100×=300(元).答案:3005.某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份x之間滿(mǎn)足關(guān)系y=a·1.5x+b.現(xiàn)已知該廠今年1月份、2月份生產(chǎn)該產(chǎn)品分別為3萬(wàn)件、5萬(wàn)件.則此工廠3月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為萬(wàn)件.

【解析】由已知得解得所以y=×1.5x-1.當(dāng)x=3時(shí),y=8.答案:86.麋鹿是國(guó)家一級(jí)保護(hù)動(dòng)物,位于江蘇省中部黃海之濱的江蘇大豐麋鹿國(guó)家級(jí)自然保護(hù)區(qū),成立于1985年,最初一年年底只有麋鹿100頭,由于科學(xué)的人工培育,這種當(dāng)初快要滅絕的動(dòng)物的數(shù)量y(頭)與時(shí)間x(年)的關(guān)系可以近似地由關(guān)系式y(tǒng)=alog2(x+1)給出,則2000年年底它們的數(shù)量約為頭.

【解析】由題意,x=1時(shí)y=100,代入求得a=100.2000年年底時(shí),x=15,代入得y=400.答案:400三、解答題(每小題10分,共20分)7.樹(shù)林中有一種樹(shù)木栽植五年后可成材.在栽植后的五年內(nèi),年增長(zhǎng)率為20%,如果不砍伐,從第六年到第十年,年增長(zhǎng)率為10%,現(xiàn)有兩種砍伐方案:甲方案:栽植五年后不砍伐,等到十年后砍伐.乙方案:栽植五年后砍伐重栽,再過(guò)五年再砍伐一次.請(qǐng)計(jì)算后回答:十年內(nèi)哪一種方案可以得到較多的木材?(不考慮最初的樹(shù)苗成本,只按成材的樹(shù)木計(jì)算)【解析】設(shè)樹(shù)林中這種樹(shù)木的最初栽植量為a(a>0),甲方案在10年后樹(shù)木產(chǎn)量為y1=a(1+20%)5(1+10%)5=a(1.2×1.1)5≈4a.乙方案在10年后樹(shù)木產(chǎn)量為y2=2a(1+20%)5=2a×1.25≈4.98a.y1-y2=4a-4.98a<0,因此,乙方案能獲得更多的木材.8.某工廠今年1月、2月、3月生產(chǎn)某種產(chǎn)品分別為1萬(wàn)件、1.2萬(wàn)件、1.3萬(wàn)件.為了估計(jì)以后每個(gè)月的產(chǎn)量,以這3個(gè)月的產(chǎn)品數(shù)量為依據(jù),用一個(gè)函數(shù)來(lái)模擬該產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份x的關(guān)系.模擬函數(shù)可以選用二次函數(shù)或函數(shù)y=a·bx+c(a,b,c為常數(shù)).已知4月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為1.37萬(wàn)件,試問(wèn):用以上哪個(gè)函數(shù)作為模擬函數(shù)較好?請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】設(shè)兩個(gè)函數(shù):y1