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文檔簡(jiǎn)介
差商及其性質(zhì)第一頁(yè),共二十一頁(yè),2022年,8月28日定義4為函數(shù)在的一階差商(一階均差);稱為y=在點(diǎn)的二階差商(二階均差);(3)一般由函數(shù)y=的n-1階差商表可定義函數(shù)的n階差商。稱為函數(shù)y=在點(diǎn)的n階差商(n階均差)。,稱(1)對(duì)于的一階差商表,再作一次差商,即(2)由函數(shù)y=即n-1階差商第二頁(yè),共二十一頁(yè),2022年,8月28日2
基本性質(zhì)定理5(2)k階差商關(guān)于節(jié)點(diǎn)是對(duì)稱的,或說均差與節(jié)點(diǎn)順序無關(guān),即例如:共6個(gè)的線性組合,即的k階差商是函數(shù)值(1)第三頁(yè),共二十一頁(yè),2022年,8月28日分析:當(dāng)k=1時(shí),(1)可用歸納法證明。(2)利用(1)很容易得到。只證(1)證明:(1)當(dāng)k
=1時(shí),第四頁(yè),共二十一頁(yè),2022年,8月28日第五頁(yè),共二十一頁(yè),2022年,8月28日
(0階差商)一階差商二階差商三階差商k階差商
表2.43
差商表
計(jì)算順序:同列維爾法,即每次用前一列同行的差商與前一列上一行的差商再作差商。第六頁(yè),共二十一頁(yè),2022年,8月28日4.2
牛頓插值多項(xiàng)式已知函數(shù)表(4.1),
由差商定義及對(duì)稱性,得
1
牛頓插值多項(xiàng)式的推導(dǎo)第七頁(yè),共二十一頁(yè),2022年,8月28日將(b)式兩邊同乘以,抵消抵消抵消(d)式兩邊同乘以,把所有式子相加,得,(c)式兩邊同乘以第八頁(yè),共二十一頁(yè),2022年,8月28日記
---牛頓插值多項(xiàng)式---牛頓插值余項(xiàng)可以驗(yàn)證
,即滿足插值條件,因此可得以下結(jié)論。
第九頁(yè),共二十一頁(yè),2022年,8月28日定理6
則滿足插值條件的插值多項(xiàng)式為:(牛頓插值多項(xiàng)式)其中,---牛頓插值多項(xiàng)式---牛頓插值余項(xiàng)2
n+1階差商函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系由n次插值多項(xiàng)式的唯一性,則有,牛頓插值多項(xiàng)式與拉格朗日插值多項(xiàng)式都是次數(shù)小于或等于n的多項(xiàng)式,只是表達(dá)方式不同.?因?yàn)槎幕瘮?shù)可為:已知
函數(shù)表牛頓插值多項(xiàng)式系數(shù)牛頓插值多項(xiàng)式系數(shù)牛頓插值多項(xiàng)式系數(shù)第十頁(yè),共二十一頁(yè),2022年,8月28日階導(dǎo)數(shù)存在時(shí),由插值多項(xiàng)式的唯一性有余項(xiàng)公式n+1階差商函數(shù)導(dǎo)數(shù)其中且為包含區(qū)間.依賴于則n
階差商與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系為其中n+1階差商函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系定理7第十一頁(yè),共二十一頁(yè),2022年,8月28日計(jì)算步驟:(2)用秦九韶算法或著說用嵌套乘法計(jì)算.3
牛頓插值多項(xiàng)式計(jì)算次數(shù)(當(dāng)k=n時(shí))(1)計(jì)算差商表(計(jì)算的系數(shù))
(0階差商)一階差商二階差商三階差商k階差商
除法次數(shù)(k=n):第十二頁(yè),共二十一頁(yè),2022年,8月28日(2)用秦九韶算法或著說用嵌套乘法計(jì)算.乘法次數(shù):n優(yōu)點(diǎn):(1)計(jì)算量小,較L-插值法減少了3-4倍.(2)當(dāng)需要增加一個(gè)插值節(jié)點(diǎn)時(shí),只需再計(jì)算一項(xiàng),即
---遞推公式(適合計(jì)算機(jī)計(jì)算).乘除法次數(shù)大約為:第十三頁(yè),共二十一頁(yè),2022年,8月28日4
兩函數(shù)相乘的差商定理8(兩函數(shù)相乘的差商)
顯然公式成立。
事實(shí)上,
一般情況,可用歸納法證明。#設(shè)證明:階差商為第十四頁(yè),共二十一頁(yè),2022年,8月28日5
重節(jié)點(diǎn)差商(通過差商極限定義)定義5
(重節(jié)點(diǎn)差商)
若,的節(jié)點(diǎn)xi(i=0,1,…,n)定理7中互異,有了重節(jié)點(diǎn)差商的定義,該式中的節(jié)點(diǎn)可以相同。
說明:?則定義
類似的有第十五頁(yè),共二十一頁(yè),2022年,8月28日其中
---牛頓插值多項(xiàng)式---牛頓插值余項(xiàng)§4
差商與牛頓插值多項(xiàng)式牛頓插值公式5
重節(jié)點(diǎn)差商定義5
(重節(jié)點(diǎn)差商)若,?則定義
類似的有第十六頁(yè),共二十一頁(yè),2022年,8月28日證明:(2)首先,由定義泰勒展開式第十七頁(yè),共二十一頁(yè),2022年,8月28日第十八頁(yè),共二十一頁(yè),2022年,8月28日本課重點(diǎn):
1、理解差商定義P.857作業(yè):
3、會(huì)用牛頓插值多項(xiàng)式解簡(jiǎn)單題目。
2、掌握牛頓插值公式其中,---牛頓插值多項(xiàng)式---牛頓插值余項(xiàng)課本P.37例3編程:第十九頁(yè),共二十一頁(yè),2022年,8月28日一、
Lagrange插值多項(xiàng)式,
k=0,1,?,n
.
復(fù)習(xí):過n+1個(gè)節(jié)點(diǎn),滿足插值條件:Lj(
xj)=yj(j=0,1,?,n
)的n次插值或插值基函數(shù)含義直觀形式對(duì)稱優(yōu)點(diǎn):計(jì)算量大缺點(diǎn):乘除法次數(shù):多項(xiàng)式L
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