材料力學(xué)第七章彎曲剪應(yīng)力3,4,5課件

2.公式推導(dǎo)(1)

取微段dx§5.7

梁的切應(yīng)力ts1MFSts2M+dMFSFxFMbhzySy§7-3彎曲剪應(yīng)力和強(qiáng)度校核一.矩形截面截面梁的剪應(yīng)力ts1MFSts2M+dMFShbzyO在hb的情況下3.切應(yīng)力分布規(guī)律§5.7

梁的切應(yīng)力bhyzFSy2.

工字形截面梁(1)腹板上的切應(yīng)力其中可見腹板上的切應(yīng)力在與中性軸z垂直的方向按二次拋物線規(guī)律變化。

對于軋制的工字鋼，上式中的就是型鋼表中給出的比值，此值已把工字鋼截面的翼緣厚度變化和圓角等考慮在內(nèi)。(3)翼緣上的切應(yīng)力

翼緣橫截面上平行于剪力FS的切應(yīng)力在其上、下邊緣處為零(因?yàn)橐砭壍纳?、下表面無切應(yīng)力)，可見翼緣橫截面上其它各處平行于FS的切應(yīng)力不可能大，故不予考慮。分析表明，工字形截面梁的腹板承擔(dān)了整個(gè)橫截面上剪力FS的90%以上。

但是，如果從長為dx的梁段中用鉛垂的縱截面在翼緣上截取如圖所示包含翼緣自由邊在內(nèi)的分離體就會發(fā)現(xiàn)，由于橫力彎曲情況下梁的相鄰橫截面上的彎矩不相等，故所示分離體前后兩個(gè)同樣大小的部分橫截面上彎曲正應(yīng)力構(gòu)成的合力

和

不相等，因而鉛垂的縱截面上必有由切應(yīng)力t1′構(gòu)成的合力。udxA*自由邊思考題:試通過分析說明，圖a中所示上、下翼緣左半部分和右半部分橫截面上與腹板橫截面上的切應(yīng)力指向是正確的，即它們構(gòu)成了“切應(yīng)力流”。由56a號工字鋼制成的簡支梁如圖a所示，試求梁的橫截面上的最大切應(yīng)力tmax和同一橫截面上腹板上a點(diǎn)處(圖b)的切應(yīng)力ta

。不計(jì)梁的自重。例題4-13求tmax

梁的剪力圖如圖c所示，由圖可見FS,max=75kN。由型鋼表查得56a號工字鋼截面的尺寸如圖b所示，Iz=65586cm4和Iz/S*

z,max=47.73cm。d=12.5mm例題4-13解:其中：于是有：2.求ta例題4-13腹板上切應(yīng)力沿高度的變化規(guī)律如圖所示。tmax例題4-133.薄壁環(huán)形截面梁薄壁環(huán)形截面梁在豎直平面內(nèi)彎曲時(shí)，其橫截面上切應(yīng)力的特征如圖a所示：(1)由于d<<r0，故認(rèn)為切應(yīng)力t

的大小和方向沿壁厚d

無變化；(2)由于梁的內(nèi)、外壁上無切應(yīng)力，故根據(jù)切應(yīng)力互等定理知，橫截面上切應(yīng)力的方向與圓周相切；薄壁環(huán)形截面梁橫截面上的最大切應(yīng)力tmax在中性軸z上，半個(gè)環(huán)形截面的面積A*=pr0d，其形心離中性軸的距離(圖b)為，故求tmax時(shí)有及得出：整個(gè)環(huán)形截面對于中性軸z的慣性矩Iz可利用整個(gè)截面對于圓心O的極慣性矩得到，如下：從而有式中，A=2pr0d為整個(gè)環(huán)形截面的面積。圓截面梁橫截面上的最大切應(yīng)力tmax在中性軸z處，其計(jì)算公式為II.梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件圖a所示受滿布均布荷載的簡支梁，其最大彎矩所在跨中截面上、下邊緣上的C點(diǎn)和D點(diǎn)處于單軸應(yīng)力狀態(tài)(stateofuniaxialstress)(圖d及圖e)，故根據(jù)這些點(diǎn)對該梁進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算時(shí)其強(qiáng)度條件就是按單軸應(yīng)力狀態(tài)建立的正應(yīng)力強(qiáng)度條件

在翼緣上，有平行于FS的剪應(yīng)力分量，分布情況較復(fù)雜，但數(shù)量很小，并無實(shí)際意義，可忽略不計(jì)。

在翼緣上，還有垂直于FS方向的剪應(yīng)力分量，它與腹板上的剪應(yīng)力比較，一般來說也是次要的。

腹板負(fù)擔(dān)了截面上的絕大部分剪力，翼緣負(fù)擔(dān)了截面上的大部分彎矩。對于標(biāo)準(zhǔn)工字鋼梁：在翼板上：NlNlldxdxzy三.圓及圓環(huán)截面梁的剪應(yīng)力最大剪應(yīng)力：1.圓截面2.圓環(huán)截面最大剪應(yīng)力：四.彎曲剪應(yīng)力強(qiáng)度條件[例7-6]圓形截面梁受力如圖所示。已知材料的許用應(yīng)力［σ］=160MPa，［τ］=100MPa，試求最小直徑dminCL8TU19（第二個(gè)強(qiáng)度條件）解：由正應(yīng)力強(qiáng)度條件：由剪應(yīng)力強(qiáng)度條件：-40kN40kN求tmax

梁的剪力圖如圖c所示，由圖可見FS,max=75kN。由型鋼表查得56a號工字鋼截面的尺寸如圖b所示，Iz=65586cm4和Iz/S*

z,max=47.73cm。d=12.5mm例題4-13解:例題4-13其中：于是有：2.求ta例題4-13腹板上切應(yīng)力沿高度的變化規(guī)律如圖所示。tmax例題4-13一簡易吊車的示意圖如圖a所示，其中F=30kN，跨長

l=5m。吊車大梁由20a號工字鋼制成，許用彎曲正應(yīng)力[s]=170MPa，許用切應(yīng)力[t]=100MPa。試校核梁的強(qiáng)度。例題4-141.校核正應(yīng)力強(qiáng)度。吊車梁可簡化為簡支梁(圖b)。荷載移至跨中C截面處(圖b)時(shí)梁的橫截面上的最大彎矩比荷載在任何其它位置都要大。荷載在此最不利荷載位置時(shí)的彎矩圖如圖c所示，例題4-14解:

由型鋼規(guī)格表查得20a號工字鋼的Wz=237cm3。梁的最大彎曲正應(yīng)力為例題4-142.校核切應(yīng)力強(qiáng)度。荷載移至緊靠支座A處(圖d)時(shí)梁的剪力為最大。此時(shí)的約束力FA≈F，相應(yīng)的剪力圖如圖e所示。FS,max=FA=30kN對于20a號鋼，由型鋼規(guī)格表查得：例題4-14于是有由于梁的正應(yīng)力和切應(yīng)力強(qiáng)度條件均能滿足，所以該梁是安全的。(e)例題4-14簡支梁在移動荷載F作用下，全梁彎矩為最大時(shí)，F(xiàn)力的最不利位置，可用如上所述的由經(jīng)驗(yàn)來判斷。也可用公式推導(dǎo)，即FAABFFBxl例題4-14[例7-7]兩個(gè)尺寸完全相同的矩形截面梁疊在一起承受荷載如圖所示。若材料許用應(yīng)力為[]，其許可載荷[F]為多少？如將兩個(gè)梁用一根螺栓聯(lián)成一體，則其許可荷載為多少？若螺栓許用剪應(yīng)力為[τ]，求螺栓的最小直徑？F解：疊梁承載時(shí)，每梁都有自己的中性層1.梁的最大正應(yīng)力：其中：FSF-FLMbL2.當(dāng)兩梁用螺栓聯(lián)為一體時(shí)，中性軸只有一個(gè)：bF由正應(yīng)力強(qiáng)度條件：可見，兩梁結(jié)為一體后，承載能力提高一倍。3.求螺栓最小直徑：螺栓主要是受剪zzττ設(shè)梁達(dá)到了許用應(yīng)力[F]中性軸處：全梁中性層上的剪力：由螺栓剪切強(qiáng)度條件：可得：討論：Fs與何力平衡？FS§7-4提高梁強(qiáng)度的主要措施控制梁彎曲強(qiáng)度的主要因素是正應(yīng)力設(shè)計(jì)梁的原則應(yīng)使Mmax盡可能地小，使WZ盡可能地大。一.合理的布置支座位置載荷和合理加載1.合理布置支座位置ACBACB2.合理布置載荷CL8TU23[例7-8]兩人體重均800N，需借助跳板跨過溝。已知跳板的許可彎矩[M]=600N.m，若跳板不計(jì)重量，給出兩人安全過溝辦法？解:人單獨(dú)通過，行至離溝邊1米時(shí)，板最大彎矩達(dá)600N.m。兩人過河，一個(gè)在右外伸端距支座為x1處，一個(gè)在橋上，行至x2處彎矩如圖所示。彎矩最值欲通過，要求一人立于右外伸端離右支座為o.537-0.746間另一人可安全通過。通過的人立于左外伸端離左支座為0.536-0.75之間后者再通過。o.536≤x1≤0.746解得FFx2x1LM1=Fx1，

M2=F(L-x1-x2)x2/LM1≤[M]，M2≤[M]由此得使上式恒成立，則由M1≤[M]得x1≤0.75B支座反力：二.梁的合理截面合理的截面形狀應(yīng)使截面積較小而抗彎截面模量較大。CL8TU20W要大同時(shí)A要小，W/A最大為好。CL8TU211）對于[t]=[c]的材料，可用與中性軸對稱的截面，使截面上、下邊緣σtmax=σcmax2）對于[t]≠[c]的材料，如鑄鐵[t]＜[c]，宜用中性軸偏于受拉邊的截面。三、采用變截面梁、等強(qiáng)度梁的概念梁的各橫截面上的最大正應(yīng)力都等于材料的許用應(yīng)力例如：矩形截面梁，跨中C處受集中力P,截面高h(yuǎn)為常數(shù)，寬度b可變化，b=b（x）,求b（x）［σ］時(shí)，稱為等強(qiáng)度梁。PLABCxb(x)b(x)min研究半梁AC由等強(qiáng)度條件：對于矩形截面：同理：若b為常量，高度h=h(x)拋物線由剪切強(qiáng)度條件：魚腹梁PLABCx§7-5非對稱截面梁平面彎曲的條件

開口薄壁截面梁的彎曲中心一、非對稱截面梁平面彎曲的條件前面討論的平面彎曲，僅限于梁至少有一個(gè)縱向?qū)ΨQ面，外力均作用在該對稱面內(nèi)且垂直于軸線。對于非對稱截面梁。橫截面上有一對形心主慣性軸y、z，形心主慣性軸y、z與軸線x組成兩個(gè)形心主慣性平面xOy、xOz形心主慣性平面y、z軸為形心主慣性軸對于非對稱截面梁，由實(shí)驗(yàn)和理論分析得到它發(fā)生平面彎曲的條件是:(1)當(dāng)外力偶作用在平行于形心主慣性平面的任一平面內(nèi)時(shí),梁產(chǎn)生平面彎曲。(2)當(dāng)橫向外力作用在平行于形心主慣性平面的平面內(nèi)，并且通過特定點(diǎn)時(shí)，梁發(fā)生平面彎曲。否則將會伴隨著扭轉(zhuǎn)變形。但由于實(shí)體構(gòu)件抗扭剛度很大，扭轉(zhuǎn)變形很小，其帶來的影響可以忽略不計(jì)。對于開口薄壁截面梁，即使橫向力作用于形心主慣性平面內(nèi)(非對稱平面)，則梁除發(fā)生彎曲變形外，還將發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形。只有當(dāng)橫向力的作用線平行于形心主慣性平面并通過某個(gè)特定點(diǎn)時(shí)，梁才只發(fā)生平面彎曲，而無扭轉(zhuǎn)變形。這個(gè)特定點(diǎn)稱為橫截面的彎曲中心，用A表示。二.開口薄壁截面的彎曲中心平衡對象及其受力

開口薄壁截面彎曲切應(yīng)力平衡對象及其受力

彎曲切應(yīng)力Fx=0+

(dx)=0FNx*+dFNx*-FNx*

彎曲切應(yīng)力+

(dx)=0FNx*+dFNx*-FNx*其中FNx*＝xdAA

*FNx*+dFNx*=(x+dx)dAA

*x=MzyIz,Sz=ydAA

*平衡方程與切應(yīng)力表達(dá)式

彎曲切應(yīng)力平衡方程與切應(yīng)力表達(dá)式==FQSz*Iz切應(yīng)力公式應(yīng)用-彎曲中心

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彎曲切應(yīng)力A以槽鋼為例說明截面彎曲中心的確定方法。剪應(yīng)力合