基于徑向基函數(shù)的高效網(wǎng)格變形算法研究可編輯

基于徑向基函數(shù)的高效網(wǎng)格變形算法研究（可編輯）基于徑向基函數(shù)的高效網(wǎng)格變形算法研究振動(dòng)與沖擊第卷第期基于徑向基函數(shù)的高效網(wǎng)格變形算法研究謝亮,徐敏,張斌,安效民西安西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院,摘要:在流固耦合時(shí)域仿真與氣動(dòng)外形優(yōu)化中,網(wǎng)格變形技術(shù)得到了普遍應(yīng)用?；趶较蚧瘮?shù)的網(wǎng)格變形技術(shù)以其諸多優(yōu)良的特性,在近年來得到了廣泛的關(guān)注。其基本原理是采用物面網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的位移構(gòu)造一個(gè)徑向基函數(shù)序列,再利用此序列將物面的位移光滑的插值到空間網(wǎng)格上。其計(jì)算耗時(shí)與物面插值節(jié)點(diǎn)數(shù)與空間待插值節(jié)點(diǎn)數(shù)的乘積成正比,為了減少其計(jì)算量,目前多數(shù)文獻(xiàn)集中于使用數(shù)據(jù)精簡算法減少物面插值節(jié)點(diǎn)數(shù)。通過引入子空間逐級逼近思想,構(gòu)造了一種精簡空間待插值節(jié)點(diǎn)數(shù)的方案,該方案主要思想是采用多次插值,每一次插值的對象為上一次插值在物面產(chǎn)生的誤差,并且通過限制每一次插值的插值區(qū)域來實(shí)現(xiàn)減縮空間節(jié)點(diǎn)的目的。計(jì)算結(jié)果表明此方案可以支持大變形運(yùn)動(dòng),同時(shí)顯著的減少了計(jì)算時(shí)間。關(guān)鍵詞:徑向基函數(shù);網(wǎng)格變形;數(shù)據(jù)精簡算法中圖分類號:.文獻(xiàn)標(biāo)識碼:,胞,,?,,,:,.,,..,?.,.酣.:;;通用性較好,效果優(yōu)良,在非定常流動(dòng)模擬、流固耦合時(shí)域仿真、氣動(dòng)外形變形后的網(wǎng)格質(zhì)量極好,尤其優(yōu)化中,為了使得計(jì)算網(wǎng)格適應(yīng)物面邊界的變化,可以適用于大變形情況,然而計(jì)算量非常龐大。彈簧比擬采用網(wǎng)格重構(gòu)的方法,然而更廣泛的是應(yīng)用網(wǎng)格變形法將網(wǎng)格線比擬為彈簧,通過求解彈簧變形后的平衡技術(shù),這樣可以保留原始網(wǎng)格的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與密度、正交位置實(shí)現(xiàn)網(wǎng)格變形,其通用性較好,適用于任意網(wǎng)格,性等特性,不會(huì)在求解器中引入額外的誤差,同時(shí)計(jì)算網(wǎng)格變形后的質(zhì)量也較好,然而其計(jì)算量仍然較大,且量較小。目前存在多種網(wǎng)格變形方法,無限代數(shù)插值難于處理大變形問題。圖映射方法魯棒性與方法?計(jì)算量較小,然而卻僅適用于結(jié)構(gòu)網(wǎng)格,且難于效率較好,但是對于大變形問題仍然難以處理。處理復(fù)雜的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),通用性不好。對于非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格、近些年來,由于具備諸多優(yōu)良的特性,基于徑向基混合網(wǎng)格,可以應(yīng)用彈性體方法怛、彈簧比擬法【。以函數(shù)的網(wǎng)格變形技術(shù)得到了極大的發(fā)展【。與廣泛的及圖映射歸方法。彈性體方法將網(wǎng)格所占據(jù)應(yīng)用??。其主要思想是利用已知的物面網(wǎng)格變形,的區(qū)域比擬為一個(gè)彈性體,通過采用有限元或者邊界構(gòu)造一個(gè)徑向基函數(shù)序列,再使用此徑向基函數(shù)序列元方法求解彈性體的變形來實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)網(wǎng)格變形技術(shù),將物面變形光滑地插值到空間氣動(dòng)網(wǎng)格上去。此方法計(jì)算過程中不需要利用網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)之間的聯(lián)系,各個(gè)計(jì)基金項(xiàng)目:國家自然科學(xué)基金,重大研究計(jì)劃;西北工業(yè)大算結(jié)點(diǎn)的變形計(jì)算是完全不相干擾的,因此非常便于學(xué)基礎(chǔ)研究基金資助項(xiàng)目并行化;可支持復(fù)雜外形的大變形運(yùn)動(dòng),變形后的網(wǎng)格收稿日期:~?修改稿收到日期:??質(zhì)量較好,通用性與魯棒性極好;編程也較方便,易于第一作者謝亮男,博士,年月生實(shí)現(xiàn);物面與空間網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的處理采用一樣的方式,因萬方數(shù)據(jù)振動(dòng)與沖擊年第卷而不需要額外的數(shù)據(jù)插值方法;既可用于結(jié)構(gòu)網(wǎng)格,也的距離;是與第個(gè)插值節(jié)點(diǎn)相對應(yīng)的權(quán)重系數(shù)?？捎糜诜墙Y(jié)構(gòu)與混合網(wǎng)格;可支持任意形式的變形,剛徑向基函數(shù)有許多種,文獻(xiàn)列出了數(shù)種形式,經(jīng)比體運(yùn)動(dòng)、彈性變形甚至塑性變形都可支持。然而,采用較認(rèn)為’函數(shù)計(jì)算效率與網(wǎng)格變形的質(zhì)批。成正量都較好,故而本文采用它作為徑向基函數(shù)來實(shí)施網(wǎng)徑向基函數(shù)進(jìn)行網(wǎng)格變形時(shí)的計(jì)算量與比,其中心是待插值的氣動(dòng)空間網(wǎng)格點(diǎn)數(shù),其量級一格變形,其形式如下?’:般在~,以。是用于插值的表面節(jié)點(diǎn)數(shù),其量級一/一叼/般在~,相較于代數(shù)插值方法,其計(jì)算量是相當(dāng)式中:叼為”一的無量綱值,叼:掣,為徑為了減少計(jì)算量,不少研究大的。在過去的數(shù)年問,采向基函數(shù)的作用半徑,當(dāng)/時(shí),強(qiáng)制設(shè)定/,等?。員帕。做出了相當(dāng)多的努力。其中,即超過該作用距離時(shí),變形為。用貪心算法,在物面插值過程中將出現(xiàn)最大誤差值的給定物面插值節(jié)點(diǎn)及該點(diǎn)上的位移后,采用式點(diǎn)納入插值節(jié)點(diǎn)集合中,從而在保證精度的前提下選擇得到盡可能少的物面插值節(jié)點(diǎn),以此來減少總的計(jì)、求解空間任意一點(diǎn)的變形時(shí),,已知,且徑算時(shí)間。最近,王剛等舊。將提供的算法加以改向基函數(shù)妒叼已經(jīng)給定,故而唯一未知的是與各個(gè)物進(jìn),引入子空間逐級逼近的思想,每一次插值過程中選面插值節(jié)點(diǎn)相關(guān)的權(quán)重系數(shù),該值可以使用物面上擇一插值節(jié)點(diǎn)集合,下一次插值時(shí)以上一次插值過程的插值結(jié)果必須與給定位移相吻合這一條件來求得,中在物面產(chǎn)生的誤差作為插值對象,從而將選擇插值即求解下述方程即可:節(jié)點(diǎn)的時(shí)間大為減少。然而目前來看,為了達(dá)到減少咖取計(jì)算量,幾乎所有的文獻(xiàn)都集中在減少表面插值節(jié)點(diǎn)?咖的數(shù)目上,而少有人考慮在插值過程中減少空間待插,西形值節(jié)點(diǎn)的方法,僅見有舊。為了分離飛行器部件式中,下標(biāo)代表物面插值節(jié)點(diǎn),運(yùn)動(dòng)對其它部件的影響,提出過限制徑向基函數(shù)插值,,?戈。,,?,?。,?。?墨?戈。區(qū)域的算法。?,,,,;,,?,?,,,,以。:本文受王剛在選擇表面插值節(jié)點(diǎn)過程中引入子空,止叫,止。,,?,位。,%間逼近的思想的啟發(fā),同時(shí)將提出的限制徑向表示札。個(gè)物面插值節(jié)點(diǎn)上的位移,基函數(shù)插值區(qū)域的方法加以改進(jìn),兩者結(jié)合,提出了在職蚶,;,,?,;,?;。,計(jì)算過程中逐級減少空間待插值節(jié)點(diǎn)的方案,此方案耽,,,,?,,‰,不損失插值精度,且支持大變形。算法的關(guān)鍵在于在形引,:,,?,:,%選擇表面插值節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的時(shí)候,隨著插值節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的是與每一插值節(jié)點(diǎn)相關(guān)的權(quán)重系數(shù),未知。矩陣中每逐步增加,插值誤差會(huì)逐步減少,當(dāng)以前一步插值過程一元素是以表面插值節(jié)點(diǎn)中任意兩節(jié)點(diǎn)之間距離為參中產(chǎn)生的插值誤差為插值對象的時(shí)候,此時(shí)的插值限數(shù)的徑向基函數(shù)值,即:制區(qū)域可以取得較小,這樣就可以使得當(dāng)%比較大,『一,?,?%時(shí),,比較小,而?。比較大時(shí),,比較小,從而減少總求解方程~后可得到權(quán)重系數(shù),然后根據(jù)的計(jì)算量。算例結(jié)果表明本文提出的方案可以顯著地式可求得空間任意位置上的網(wǎng)格變形。提高采用徑向基函數(shù)進(jìn)行網(wǎng)格變形時(shí)的計(jì)算效率,同時(shí)保留對大變形問題的支持及插值精度。表面插值節(jié)點(diǎn)的選擇方法采用徑向基函數(shù)進(jìn)行網(wǎng)格變形采用徑向基函數(shù)進(jìn)行動(dòng)態(tài)網(wǎng)格變形時(shí),計(jì)算量與×旭。成正比,其中?。。是待插值的氣動(dòng)空間網(wǎng)格點(diǎn)徑向基函數(shù)的基本形式是哺:。數(shù),。是用于插值的表面節(jié)點(diǎn)數(shù),在流固耦合時(shí)域仿真?。忪一‘時(shí),它一般取自結(jié)構(gòu)模態(tài)。為了減少總的計(jì)算量,當(dāng)前主流做法是減少?;。的值,等舊。采用貪心法根式中:,是插值函數(shù),在網(wǎng)格變形問題中,它代表網(wǎng)據(jù)最大插值誤差位置逐步添加插值節(jié)點(diǎn)的方法來實(shí)現(xiàn)格變形量;札。代表插值問題所使用的徑向基函數(shù)的總徑向基函數(shù)序列的精簡。其基本過程是:數(shù)目,在網(wǎng)格變形問題中,它等于用于插值的物面節(jié)點(diǎn)首先,任意選擇一般可取個(gè)物面節(jié)點(diǎn)形數(shù);妒,一是徑向基函數(shù)的一般形式,是第個(gè)物面插值節(jié)點(diǎn)的位置,,是空間任意一點(diǎn)的位置矢成初始節(jié)點(diǎn)集合,,:,?,,,采用此集合進(jìn)行量,進(jìn)行網(wǎng)格變形時(shí),它就是網(wǎng)格空間節(jié)點(diǎn)的位置徑向基函數(shù)插值,通過求解方程得到相應(yīng)的權(quán)重系數(shù),矢量,忪一是空間任意一點(diǎn)到第個(gè)物面插值節(jié)點(diǎn)然后求得所有物面節(jié)點(diǎn)上的網(wǎng)格變形,顯然這樣建立萬方數(shù)據(jù)第期:基于徑向基函數(shù)的高效網(wǎng)格變形算法研究謝亮等的初始插值函數(shù)對于中的所有節(jié)點(diǎn)是精確的,但是確定偶中除去物面的邊界,可按下列方法確定此邊對于不屬于中的物面節(jié)點(diǎn)將產(chǎn)生誤差,確定出現(xiàn)最界,掃描億內(nèi)各點(diǎn),如果某點(diǎn)周邊單元上的節(jié)點(diǎn)中有大誤差的物面節(jié)點(diǎn),根據(jù)貪心法的原則,將此節(jié)點(diǎn)納入不屬于線的節(jié)點(diǎn),則此點(diǎn)為邊界,否則是內(nèi)點(diǎn),將邊界中形成下一個(gè)節(jié)點(diǎn)集合,再次采用此節(jié)點(diǎn)集合上的位移值給定為。給定一個(gè)初始誤差限,此誤進(jìn)行徑向基函數(shù)插值。反復(fù)執(zhí)行此過程直到物面節(jié)點(diǎn)差可取得較大,比如.一,選擇?‘’個(gè)插值節(jié)點(diǎn)使上的插值誤差滿足事先給定的誤差限。在選擇物面節(jié)得表面插值誤差的最大值小于此給定誤差限,并記錄點(diǎn)過程中亦可以每插值一次,將誤差大于平均誤差或表面插值誤差?.。。在區(qū)域騙內(nèi)進(jìn)行插值,此時(shí),。者給定的一個(gè)限值的所有物面節(jié)點(diǎn)都選擇到插值節(jié)點(diǎn)較大,以?！?由于誤差限取得較大,求得的?叫會(huì)集合中;或者混合上述兩種方法,每步交替使用此兩比較少,即總計(jì)算量會(huì)比較少。種方法,步內(nèi)選擇誤差最大的節(jié)點(diǎn),第步選擇誤再以上一步的表面插值誤差。為插值對差較大的一些節(jié)點(diǎn),以加快選擇節(jié)點(diǎn)的速度。象,確定插值限定區(qū)域蜴。由于此時(shí)表面插值量最大,為了加快數(shù)據(jù)精簡的效率,王剛等舊提出了最近位移才不到。,同樣按到物面距離小于,?。.。。;其基本思想是按照貪心法的一套新的數(shù)據(jù)精簡方法,為標(biāo)準(zhǔn),由于此時(shí)。.。;冬。,故而此時(shí)的蜴可以取原則,引入函數(shù)空間子集逐級逼近的基本思想,具體做得較小,從而使得?。較小,這時(shí)可以給定一較小的誤法是先選擇?個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行徑向基函數(shù)插值,得到所有差限,來選擇?’個(gè)插值點(diǎn),由于誤差較小,故選擇物面節(jié)點(diǎn)上的誤差‘’,然后將徑向基函數(shù)的插值對得到的??’較大。然而總的計(jì)算量仍然會(huì)比較小。象由最初的網(wǎng)格變形更改為當(dāng)前物面節(jié)點(diǎn)的誤差重復(fù)上述步驟直到誤差限滿足要求。?’,再次運(yùn)用貪心法選取?,個(gè)物面節(jié)點(diǎn)進(jìn)行插值。需要注意的是,當(dāng)尺較小的時(shí)候,插值區(qū)域限定過重復(fù)此步驟直到殘差滿足要求,最后將此步選擇得小,區(qū)域外邊界與物面距離過近,使得選擇的插值節(jié)點(diǎn)到的插值節(jié)點(diǎn)和權(quán)重系數(shù)迭加,得到最終的徑向基函中有些節(jié)點(diǎn)之間距離過近,會(huì)造成求解插值系數(shù)時(shí)系數(shù)插值系數(shù)。采用此種方法的目的在于加快數(shù)據(jù)精簡數(shù)矩陣十分病態(tài),因此,實(shí)際上對于足有一限制,本文的效率,因?yàn)樵谟?jì)算插值系數(shù)的過程中,每一次都要求限定為。。?,一,其中。為一保險(xiǎn)系解一個(gè)魁×的線性代數(shù)方程組,通過此種算法,可以數(shù),一般取為,為上一步的誤差限,而。。,為與物將每一次計(jì)算插值系數(shù)過程中的值控制在一個(gè)較面相連的最長網(wǎng)格線的長度。加上此限制之后,一般小量上,由此加快數(shù)據(jù)精簡過程。然而我們將看到,將因此,第三步就用不第二次插值時(shí)足即達(dá)到限制值了,函數(shù)空間子集逐級逼近的思想加以擴(kuò)展,可以得到一著了。同時(shí)應(yīng)當(dāng)注意的是,在插值區(qū)域的外邊界上選種減縮空間待插值節(jié)點(diǎn)的方法。擇插值節(jié)點(diǎn)時(shí),并不要求在此邊界上的誤差與物面上保持同樣小的誤差,僅需此邊界上的誤差不造成該邊空間待插值節(jié)點(diǎn)的減縮方法界附近網(wǎng)格質(zhì)量出現(xiàn)較大下降,因此,該邊界上插值節(jié)目前,為了減少采用徑向基函數(shù)進(jìn)行網(wǎng)格變形的點(diǎn)的選擇以保證該邊界上最大誤差小于附近單元尺寸計(jì)算量,研究人員的著眼點(diǎn)都集中在減少以。即表面插最小值的倍,可取.。這樣可以避免插值過程中值節(jié)點(diǎn)上,但是對于在實(shí)施徑向基函數(shù)過程中如何減心較大。少以。,卻少有人提及。目前僅見有舊。為了分如果最后一次插值中誤差限已經(jīng)衰減到遠(yuǎn)小離單個(gè)部件運(yùn)動(dòng)對其它部件的影響提出了限制徑向基于空間網(wǎng)格點(diǎn)到物面的最小距離了,此時(shí)可選擇更多函數(shù)插值區(qū)域的算法。其算法的基本思想是將部件的的插值點(diǎn),但是僅在物面進(jìn)行插值,進(jìn)一步減小物面插運(yùn)動(dòng)限制區(qū)域以長方體描述,該長方體包括了運(yùn)動(dòng)部值的誤差,因?yàn)榇藭r(shí)物面的變形不會(huì)造成空間網(wǎng)格的件區(qū)域,運(yùn)動(dòng)部件上的變形以給定為要求值,長方體表這一扭曲。這時(shí)心就等于氣動(dòng)網(wǎng)格的物面網(wǎng)格數(shù)了,面上的變形給定為零,在長方體表面與運(yùn)動(dòng)部件上選然而可以較大程度地減小整個(gè)物步計(jì)算量會(huì)比較小,擇插值節(jié)點(diǎn)后進(jìn)行徑向基插值,長方體外的空間網(wǎng)格面的插值誤差。不作插值。在上述過程中,確定插值限定區(qū)域的計(jì)算量較大,將函數(shù)空間子集逐級逼近加以擴(kuò)展,并將但是此過程僅實(shí)施一次,之后每一次網(wǎng)格變形時(shí)的限提出的限制插值區(qū)域的方法加以改進(jìn),兩者相結(jié)合,得定區(qū)域都與初始確定的區(qū)域一致,因此這一步的計(jì)算到了一種新的效果優(yōu)良的減縮眠。的方法,可支持大變時(shí)間并不增加多次執(zhí)行的網(wǎng)格變形所需要的時(shí)間。形運(yùn)動(dòng)。方案主要步驟為:算例確定插值限定區(qū)域億,不同于文獻(xiàn)中的做法,本文選擇到物面距離小于一限制值。.翼型變形的點(diǎn)的集合作為騙,其中為一系數(shù),一般取?。并取二維結(jié)構(gòu)網(wǎng)格作為初始網(wǎng)格,變形萬方數(shù)據(jù)振動(dòng)與沖擊年第卷位移方程為.舊。網(wǎng)格大小為×其中:為機(jī)翼展長,三為彳方向坐標(biāo),?為方向變,取誤差限為一,分別采用單次插值與本文所提形。取最終誤差限為.一,分別采用單次插值與本出的多次插值方法進(jìn)行計(jì)算,在計(jì)算過程中,多次插值文所提出的多次插值方法進(jìn)行計(jì)算,計(jì)算過程與上例中第一次插值由于本來變形比較大,且遠(yuǎn)場網(wǎng)格本身相同。計(jì)算過程所花費(fèi)的時(shí)間與單次插值效率的比較比較稀疏,簡單起見,直接將全場網(wǎng)格當(dāng)做琺,在第二見表,由表可知本文所提出的多次插值方法可以較大次插值中減縮空間網(wǎng)格點(diǎn)數(shù),選擇.中包含個(gè)程度上減少空間待插值網(wǎng)格數(shù),從而顯著地提高了網(wǎng)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn),第二次插值計(jì)算完畢后,物