初二數(shù)學(xué)《分式》教案

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第16章分式

§16.1.1分式的概念

教學(xué)目標(biāo)：

1、經(jīng)歷實際問題的解決過程，從中認識分式，并能概括分式

2、使學(xué)生能正確地判斷一個代數(shù)式是否是分式

3、能通過回憶分數(shù)的意義，類比地探索分式的意義及分式的值如某一特定情況的條件，

滲透數(shù)學(xué)中的類比，分類等數(shù)學(xué)思想。

教學(xué)重點：

探索分式的意義及分式的值為某一特定情況的條件。

教學(xué)難點：

能通過回憶分數(shù)的意義，探索分式的意義。

教學(xué)過程：

一、做一做

（1）面積為2平方米的長方形一邊長3米，則它的另一邊長為_____米；

（2）面積為S平方米的長方形一邊長a米，則它的另一邊長為________米；

（3）一箱蘋果售價p元，總重m千克，箱重n千克，則每千克蘋果的售價是___元；

二、概括：

A

形如(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子，叫做分式.其中A叫做分式的

B

分子,B叫做分式的分母.

整式，

整式和分式統(tǒng)稱有理式,即有理式分式.

三、例題：

例1下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？

1x2xy3xy

（1）；（2）；（3）；（4）.

x2xy3

解：屬于整式的有：（2）、（4）；屬于分式的有：（1）、（3）.

注意：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，則分式?jīng)]有意義.例如，在分

S9

式中，a≠0；在分式中，m≠n.

amn

例2當(dāng)x取什么值時，下列分式有意義？

1x2

（1）；（2）.

x－12x3

分析要使分式有意義，必須且只須分母不等于零.

解（1）分母x－1≠0，即x≠1.

1

所以，當(dāng)x≠1時，分式有意義.

x－1

3

（2）分母2x3≠0，即x≠-.

2

3x2

所以，當(dāng)x≠-時，分式有意義.

22x3

四、練習(xí)：

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填空：（1）當(dāng)x時，分式有意義。

（2）當(dāng)x時，分式有意義。

（3）當(dāng)b____時，分式有意義。

（4）當(dāng)x、y滿足關(guān)系時，分式有意義。

解：（1）當(dāng)分母3x≠0時，x≠0時，分式有意義。

（2）當(dāng)分母x-1≠0時，x≠1時，分式有意義。

（3)當(dāng)分母5-3b≠0時，b≠時，分式有意義。

(4)當(dāng)分母x-y≠0時，x≠y時，分式有意義。

五、小結(jié)：

什么是分式？什么是有理式？

§16.1.2分式的基本性質(zhì)

教學(xué)目標(biāo)：

1、掌握分式的基本性質(zhì)，掌握分式約分方法，熟練進行約分，并了解最簡分式的意義。

2、使學(xué)生理解分式通分的意義，掌握分式通分的方法及步驟。

教學(xué)重點：

讓學(xué)生知道約分、通分的依據(jù)和作用，學(xué)會分式約分與通分的方法。

教學(xué)難點：

1、分子、分母是多項式的分式約分；

2、幾個分式最簡公分母的確定。

教學(xué)過程：

1、分式的基本性質(zhì)

引言：我們小學(xué)學(xué)習(xí)了分數(shù)的基本性質(zhì)，今天我們學(xué)習(xí)分式的基本性質(zhì)。

新課：根據(jù)分數(shù)的基本性質(zhì)，分式可仿照分數(shù)的性質(zhì)

＝；=（C≠0）。

請同學(xué)們根據(jù)上面的式子和以前學(xué)過的分數(shù)的基本性質(zhì)，總結(jié)出分式的基本性質(zhì)是什么？學(xué)

生回答出來，教師及學(xué)生補充完整。

分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變。

＝；=（C≠0）

注意：分式的基本性質(zhì)的條件是乘（除以）一個不等于0的整式。

指出分式的性質(zhì)與分數(shù)的性質(zhì)的不同，乘以（除以）一個不等于0的整式。分數(shù)是乘以（除

以）一個不等于0的數(shù)。

例1填空：

（1）=；=。

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(2)=；=。

分析：引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)分式的基本性質(zhì)，來對分式進行化簡。（1）是乘以一個整式ab,注意是

分子和分母都乘以這個整式。（2）是分子和分母都乘以b,分式的值不變。（3）是分子

x2+xy=x(x+y),對照分子，可以看出分子和分母都除以x,分式的值不變，所以X。（4）把分

母分解因式x2-2x=x(x-2),對照分母，可以看出分子、分母都除以x，分式的值不變，所以

填1。

2、與分數(shù)類似，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，可以對分式進行約分和通分.

例3約分

16x2y3x24

（1）；（2）

20xy4x24x4

分析分式的約分，即要求把分子與分母的公因式約去.為此，首先要找出分子與分母

的公因式.

16x2y34xy34x4xx24(x2)(x2)x2

解（1）＝－＝－.（2）＝＝.

20xy44xy35y5yx24x4(x2)2x2

約分后，分子與分母不再有公因式.分子與分母沒有公因式稱為最簡分式．．．．.

練習(xí)：

（1）;(2)

分析：（1）-25a2bc3與15ab2c的公因式為5abc，與因式分解的公因式的確定一樣。

（2）分子x2-9=(x+3)(x-3);分母x2+6x+9=(x+3)2,這樣分子與分母的公因式就確定了，可

以進行約分了。由例題知約分最關(guān)鍵的是把公因式約去，所以公因式的確定是主要的，多項

式則先分解因式，然后約分。

解：略。

4、例4通分

111111

（1），；（2），；（3），

a2bab2xyxyx2y2x2xy

11

解（1）與的最簡公分母為a2b2，所以

a2bab2

11bb11aa

＝＝，＝＝.

a2ba2bba2b2ab2ab2aa2b2

11

（2）與的最簡公分母為（x-y）(x+y)，即x2－y2，所以

xyxy

11（xy）xy11(xy)xy

＝＝，＝＝.

xy(xy)(xy)x2y2xy(xy)(xy)x2y2

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請同學(xué)們根據(jù)這兩小題的解法，完成第（3）小題。

5、練習(xí)

（1）與；（2）與。

分析：

引導(dǎo)學(xué)生歸納出分式通分的過程和依據(jù)。

（1）先確定分母2a2b與ab2c的最簡公分母是2a2b2c。然后乘以一個適當(dāng)?shù)恼?。?）最

簡分母是（x+5)(x-5).(3)解題時分子與分母同乘以或除以同一個整式。約分的關(guān)鍵是最簡

公分母的確定，對單項式來說，系數(shù)是最小公倍數(shù)，相同字母取指數(shù)最高次冪；對多項式來

說，先分解因式，然后取相同項的最高次冪。

6、小結(jié)：（1）請你分別用數(shù)學(xué)語言和文字表述分式的基本性質(zhì)；

（2）分式的約分運算，用到了哪些知識？

讓學(xué)生發(fā)表，互相補充，歸結(jié)為：①因式分解；②分式基本性質(zhì)；③分式中符號變

換規(guī)律；約分的結(jié)果是，一般要求分、分母不含“－”。

（3）把幾個異分母的分式，分別化成與原來分式相等的同分母的分式，叫做分式

的通分。分式通分，是讓原來分式的分子、分母同乘以一個適當(dāng)?shù)恼?，根?jù)分式基本

性質(zhì)，通分前后分式的值沒有改變。通分的關(guān)鍵是確定幾個分式的公分母，從而確定各

分式的分子、分母要乘以什么樣的“適當(dāng)整式”，才能化成同一分母。確定公分母的方

法，通常是取各分母所有因式的最高次冪的積做公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母。

§16.2分式的運算

§16.2.1分式的乘除法

教學(xué)目標(biāo)：

1、讓學(xué)生通過實踐總結(jié)分式的乘除法，并能較熟練地進行式的乘除法運算。

2、使學(xué)生理解分式乘方的原理，掌握乘方的規(guī)律，并能運用乘方規(guī)律進行分式的乘方

運算

3、引導(dǎo)學(xué)生通過分析、歸納，培養(yǎng)學(xué)生用類比的方法探索新知識的能力

教學(xué)重點：

分式的乘除法、乘方運算

教學(xué)難點：

分式的乘除法、混合運算，以及分式乘法，除法、乘方運算中符號的確定。

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)與情境導(dǎo)入

1、(1)：什么叫做分式的約分？約分的根據(jù)是什么？

(2)：下列各式是否正確？為什么？

2、嘗試探究：計算：

5953

回憶：如何計算、？

61064

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a22b2a2a

（1）；（2）.

b33ab32b

概括：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積

作為積的分母.如果得到的不是最簡分式，應(yīng)該通過約分進行化

簡.

分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除

式相乘.（用式子表示如右圖所示）

二、例題：

例1計算：

a2xay2a2xya2yz

（1）；（2）.

by2b2xb2z2b2x2

a2xay2a2xay2a3a2xya2yza2xyb2x2x3

解（1）==.（2）==.

by2b2xby2b2xb3b2z2b2x2b2z2a2yzz3

x2x29

例2計算：.

x3x24

x2(x3)(x3)x3

解原式＝＝.

x3(x2)(x2)x2

三、練習(xí)：

1計算：

（1）(2)÷

分析：這兩題就是分式乘除法的運用。由學(xué)生根據(jù)法則來進行計算，教師與學(xué)生把解題過程

補充完整。

解：略

2計算：

（1）(2)÷

分析：這兩題是分子與分母是多項式的情況，首先要因式分解，然后運用法則。

解：（1）原式==

（2）原式=÷

==-

3計算：

2x3x

（1）÷·

5x-325x2-95x+3

解：

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2x(5x+3)(5x-3)x

原式＝··

5x-335x+3

2x2

=

3

分式的乘除法混合運算就是分子、分母先分解因式，然后把公因式約去。注意運算順序。

四、思考

怎樣進行分式的乘方呢？試計算：

nn

（1）（）3（2）（）k（k是正整數(shù)）

mm

nnnnn?n?n

（1）（）3=＝＝________；

mmmmm?m?m

nnnnn?n??n

（2）（）k=＝＝___________.

mmmmm?m??m

k個

仔細觀察所得的結(jié)果，試總結(jié)出分式乘方的法則.

計算：

-2a2ba2b2ac

（1）()2;(2)()3÷·()2

3c-cd3d32a

分析：(1)題是分式乘方的運用，可直接運用公式。（2）運算順序是先乘方，然后是乘除。

要注意運算時的符號。

解：

4a4b2

（1）原式=

9c2

a6b3d3c2

（2）原式=-··

c3d92a4a2

a3b3

=-

8cd6

注意在解題時正確地利用冪的乘方及符號。

五、小結(jié)：

1、怎樣進行分式的乘除法？

2、怎樣進行分式的乘方？

§16.2.2分式的加減法

教學(xué)目標(biāo)：

1、使學(xué)生掌握同分母、異分母分式的加減，能熟練地進行同分母，異分母分式的加減

運算。

2、通過同分母、異分母分式的加減運算，復(fù)習(xí)整式的加減運算、多項式去括號法則以

及分式通分，培養(yǎng)學(xué)生分式運算的能力。

3、滲透類比、化歸數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的能力。

教學(xué)重點：

讓學(xué)生熟練地掌握同分母、異分母分式的加減法。

教學(xué)難點：

分式的分子是多項式的分式減法的符號法則，去括號法則應(yīng)用。

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教學(xué)過程：

一、實踐與探索

1、回憶：同分母的分數(shù)的加減法法則：

同分母的分數(shù)相加減，分母不變，把分子相加減。

2、試一試：1211

b223回憶：如何計算、，

計算：（1）；（2）5546

aaa2ab從中可以得到什么啟示？

3、總結(jié)一下怎樣進行分式的加減法？

概括

同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減；

異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，然后再加減.

二、例題

(xy)2(xy)2

1、例3計算：

xyxy

324

2、例4計算：.

x4x216

分析．．這里兩個加項的分母不同，要先通分.為此，先找出它們的最簡公分母.

注意到x216=(x4)(x4),所以最簡公分母是(x4)(x4)

324

解

x4x216

3243(x4)243(x4)24

＝＝＝

x4(x4)(x4)(x4)(x4)(x4)(x4)(x4)(x4)

3x123(x4)3

＝＝＝

(x4)(x4)(x4)(x4)x4

三、練習(xí)：

1計算：

5x+3y2x11

（1）－(2)+

x2-y2x2-y22p+3q2p-3q

分析：這兩題就是分式加減法的運用。（1）是同分母分式的加減法，直接用法則就可以

了。（2）是異分母分式的加減法，過程是先通分，通分的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)，化為同分

母分式，然后再加減。師生共同來解兩個題。教師寫出解題過程。

5x+3y-2x3x+3y3(x+y)3

解：（1）原式＝===

x2-y2x2-y2(x+y)(x-y)x+y

1(2p-3q)1(2p+3q)

(2)原式＝+

(2p+3q)(2p-3q)(2p+3q)(2p-3q)

2p-3q+2p+3q

=

(2p+3q)(2p-3q)

4p

=

(2p+3q)(2p-3q)

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4p

=。

4p2-9q2

教師在解題時強調(diào)分式計算的結(jié)果必須化為最簡分式?？梢韵?qū)W生簡單介紹最簡分式的有關(guān)

知識，可與最簡分數(shù)相類比。

四、小結(jié)：

1、同分母分式的加減法：類似于同分母的分數(shù)的加減法；

2、異分母分式的加減法步驟：

①.正確地找出各分式的最簡公分母。

求最簡公分母概括為：（1）取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；（2）凡出現(xiàn)的字母為

底的冪的因式都要取；（3）相同字母的冪的因式取指數(shù)最大的。取這些因式的

積就是最簡公分母。

②.準(zhǔn)確地得出各分式的分子、分母應(yīng)乘的因式。

③.用公分母通分后，進行同分母分式的加減運算。

④.公分母保持積的形式，將各分子展開。

⑤.將得到的結(jié)果化成最簡分式（整式）。

§16.3整數(shù)指數(shù)冪（1）

一、教學(xué)目標(biāo)

1、經(jīng)歷探索負整數(shù)指數(shù)冪和零指數(shù)冪的運算性質(zhì)的過程，進一步體會冪的意義，發(fā)展代數(shù)

推理能力和有條理的表達能力。

2、了解負整數(shù)指數(shù)的概念，了解冪運算的法則可以推廣到整指數(shù)冪。

3、會進行簡單的整數(shù)范圍內(nèi)的冪運算。

二、教學(xué)重點

負整數(shù)指數(shù)冪的概念

三、教學(xué)難點

認識負整數(shù)指數(shù)冪的產(chǎn)生過程及冪運算法則的擴展過程。

四、教學(xué)過程

溫故知新

你還記得下面這些算式的算式的算法嗎？比一比，看一看誰做得又快又好：

（1）3335（2）a4?a0（3）(x3)3（4）(mn)4（5）a5a3（6）x7x7（7）3738

2、你還記得a01(a0)是怎么得到的嗎？

探究新知

根據(jù)除法的意義填空，看看計算結(jié)果有什么規(guī)律？

111

3738105107a3a5

（1）3（2）10（3）a

如果我們要使運算性質(zhì)amanamn在這里（即mn時）也可以適用，你認為該作怎樣的

規(guī)定呢？

教師可以鼓勵學(xué)生先運用自己的語言進行描述，然后自學(xué)課本第P23頁。要指出有了這一新

規(guī)定后，amanamn的適用范圍就擴大到所有整數(shù)指數(shù)。

應(yīng)用新知

再探新知

現(xiàn)在我們考慮：在引入負整數(shù)指數(shù)和零指數(shù)后，amanamn（m、n是正整數(shù)）這條性質(zhì)能

否擴大到m、n是整數(shù)的情形？請完成下列填空：

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11

a3a5a3?aa

即a3a5a

111

a3a5?aa

aaa

即a3a5a

1

a0a5?aa

a

即a0a5a

從中你想到了什么？

舉例：再換其他整數(shù)指數(shù)驗證這個規(guī)律。

歸納：amanamn這條性質(zhì)對m、n是任意整數(shù)的情形都適用。

aan

(am)namn,(ab)nanbn,()n

繼續(xù)舉例探究：bbn在整數(shù)指數(shù)冪范圍內(nèi)是否適用。

例題

計算：

（1）20080(2)2（2）3.6103（3）(4)3(4)3

22

()2()1

（4）33（5）a3a3a6（6）(2b2)3

六、小結(jié)：你這節(jié)學(xué)會了什么？

§16.3整數(shù)指數(shù)冪（2）

教學(xué)目標(biāo)：

1、使學(xué)生掌握不等于零的零次冪的意義。

1

2、使學(xué)生掌握an（a≠0，n是正整數(shù)）并會運用它進行計算。

an

3、通過探索，讓學(xué)生體會到從特殊到一般的方法是研究數(shù)學(xué)的一個重要方法。

教學(xué)重點、難點：

不等于零的數(shù)的零次冪的意義以及理解和應(yīng)用負整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)是本節(jié)課的重

點也是難點。

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)并問題導(dǎo)入

問題1在§13.1中介紹同底數(shù)冪的除法公式amanamn時，有一個附加條件：m＞n，即

被除數(shù)的指數(shù)大于除數(shù)的指數(shù).當(dāng)被除數(shù)的指數(shù)不大于除數(shù)的指數(shù)，即m=n或m

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＜n時，情況怎樣呢？

二、探索1：不等于零的零次冪的意義

先考察被除數(shù)的指數(shù)等于除數(shù)的指數(shù)的情況.例如考察下列算式：

52÷52，103÷103，a5÷a5(a≠0).

一方面，如果仿照同底數(shù)冪的除法公式來計算，得

52÷52＝52-2＝50，103÷103＝103-3＝100，a5÷a5＝a5-5＝a0(a≠0).

另一方面，由于這幾個式子的被除式等于除式，由除法的意義可知，所得的商都等于

1.

[概括]:零的零次冪

由此啟發(fā)，我們規(guī)定：50=1，100=1，a0=1（a≠0）.沒有意義！

這就是說：任何不等于零的數(shù)的零次冪都等于1.

三、探索2：負指數(shù)冪

我們再來考察被除數(shù)的指數(shù)小于除數(shù)的指數(shù)的情況，例如考察下列算式：

52÷55，103÷107，

一方面，如果仿照同底數(shù)冪的除法公式來計算，得

52÷55＝52-5＝5-3，103÷107＝103-7＝10-4.

另一方面，我們可利用約分，直接算出這兩個式子的結(jié)果為

525211031031

52÷55＝＝＝103÷107＝＝＝

55525353107103104104

[概括]：

11

由此啟發(fā)，我們規(guī)定：5-3＝，10-4＝.

53104

1

一般地，我們規(guī)定：an(a≠0，n是正整數(shù))

an

這就是說，任何不等于零的數(shù)的－n（n為正整數(shù)）次冪，等于這個數(shù)的n次冪的倒

數(shù).

四、例題：

10

1、例1計算：（1）3-2；（2）101

3

2、例2用小數(shù)表示下列各數(shù)：

（1）10-4；（2）2.1×10-5.

1

解（1）10-4＝＝0.0001.

104

1

（2）2.1×10-5＝2.1×＝2.1×0.00001＝0.000021.

105

五、練習(xí)：

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計算：

（1）20080(2)2（2）3.6103（3）(4)3(4)3

22

()2()1

（4）33（5）a3a3a6（6）(2b2)3

六、探索

現(xiàn)在，我們已經(jīng)引進了零指數(shù)冪和負整指數(shù)冪，指數(shù)的范圍已經(jīng)擴大到了全體整數(shù).那

么，在§13.1“冪的運算”中所學(xué)的冪的性質(zhì)是否還成立呢？與同學(xué)們討論并交流一下，判

斷下列式子是否成立.

（1）a2a3a2(3)；（2）(a·b)-3=a-3b-3；

（3）(a-3)2=a(-3)×2(4)a2a3a2(3)

七、小結(jié)：

1、引進了零指數(shù)冪和負整數(shù)冪，指數(shù)的范圍擴大到了全體整數(shù)，冪的性質(zhì)仍然成立。

同底數(shù)冪的除法公式am÷an=am-n(a≠0,m>n)

當(dāng)m=n時，am÷an=當(dāng)m<n時，am÷an=

2、任何數(shù)的零次冪都等于1嗎？(注意：零的零次冪無意義。)

1

3、規(guī)定an其中a、n有沒有限制，如何限制。

an

§16.4可化為一元一次方程的分式方程(1)

教學(xué)目標(biāo)：

1、使學(xué)生理解分式方程的意義，會按一般步驟解可化為一元一次方程的分式方程.

2、使學(xué)生理解增根的概念，了解增根產(chǎn)生的原因，知道解分式方程須驗根并掌握驗根

的方法.

3、使學(xué)生領(lǐng)會“轉(zhuǎn)化”的思想方法，認識到解分式方程的關(guān)鍵在于將它轉(zhuǎn)化為整式方

程來解.

4、培養(yǎng)學(xué)生自主探究的意識，提高學(xué)生觀察能力和分析能力。

教學(xué)重點：

使學(xué)生理解分式方程的意義，會按一般步驟解可化為一元一次方程的分式方程.

教學(xué)難點：

使學(xué)生理解增根的概念，了解增根產(chǎn)生的原因，知道解分式方程須驗根并掌握驗根

的方法.

教學(xué)過程：

一、問題情境導(dǎo)入

輪船在順?biāo)泻叫?0千米所需的時間和逆水航行60千米所需的時間相同.已知水流的

速度是3千米/時，求輪船在靜水中的速度.

分析

設(shè)輪船在靜水中的速度為x千米/時，根據(jù)題意，得

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8060

.（1）

x3x3

概括

方程(1)中含有分式，并且分母中含有未知數(shù)，像這樣的方程叫做分式方程.

思考

怎樣解分式方程呢？有沒有辦法可以去掉分式方程中的分母把它轉(zhuǎn)化為整式方程呢？

試動手解一解方程（1）.

方程（1）可以解答如下：

方程兩邊同乘以（x+3）(x-3)，約去分母，得

80（x-3）=60(x+3).

解這個整式方程，得

x=21.

所以輪船在靜水中的速度為21千米/時.

概括

上述解分式方程的過程，實質(zhì)上是將方程的兩邊乘以同一個整式，約去分母，把分式方

程轉(zhuǎn)化為整式方程來解.所乘的整式通常取方程中出現(xiàn)的各分式的最簡公分母.

二、例題：

12

1、例1解方程：.

x1x21

解方程兩邊同乘以（x2-1）,約去分母，得

x+1=2.

解這個整式方程，得

x=1.

解到這兒，我們能不能說x=1就是原分式方程的解（或根）呢？細心的同學(xué)可能會發(fā)現(xiàn)，

當(dāng)x=1時，原分式方程左邊和右邊的分母（x－1）與（x2－1）都是0，方程中出現(xiàn)的兩個分

式都沒有意義，因此，x=1不是原分式方程的解，應(yīng)當(dāng)舍去.所以原分式方程無解.

我們看到，在將分式方程變形為整式方程時，方程兩邊同乘以一個含未知數(shù)的整式，并約去

了分母，有時可能產(chǎn)生不適合原分式方程的解（或根），這種根通常稱為增根.因此，在解分

式方程時必須進行檢驗.

10030

2、例2解方程：.

xx7

解方程兩邊同乘以x(x-7)，約去分母，得

100（x-7）=30x.

解這個整式方程，得

x=10.

檢驗：把x=10代入x(x-7)，得

10×（10-7）≠0

所以，x=10是原方程的解.

三、練習(xí)：

23

x3x

1解方程

解