2020年青島二模題目例談解析幾何中斜率

2020年青島二模題目例談解析幾何中斜

率之積為定值問(wèn)題定值問(wèn)題的本質(zhì)是動(dòng)中生靜，是在一個(gè)運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中，由某個(gè)變量的變化引起另一個(gè)量不變的問(wèn)題.本文從2020年青島二模的題目出發(fā)，總結(jié)在解析幾何中四種斜率乘積為定值、的情況，然后通過(guò)一個(gè)題目展示條件隱藏的斜率乘積為定值的題目，將數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)科素養(yǎng)能力進(jìn)一步提升。關(guān)鍵詞：斜率之積定值數(shù)學(xué)運(yùn)算一、斜率之積問(wèn)題的課本溯源：普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書(shū)《數(shù)學(xué)》（選修2-1）人教A版的探究題：點(diǎn)?廠的坐標(biāo)分別是直線卓'."，相交于點(diǎn)酎；，且它們的斜率之積是-,試求點(diǎn)，的軌跡方程，并由點(diǎn)，的軌跡方程判斷軌跡的形狀。思考1平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的斜率乘積為定值（），則該點(diǎn)的軌跡是什么？思考2平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的斜率乘積為定值（除之外的負(fù)值），則該點(diǎn)的軌跡是什么？思考3平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的斜率乘積為定值（正數(shù)），則該點(diǎn)的軌跡是什么？通過(guò)對(duì)課本溯源以及三個(gè)問(wèn)題的思考，我們可以得出一般性結(jié)論：斜率定值為，則軌跡為以：：11為直徑的圓；斜率定值為除了的負(fù)值，則軌跡為橢圓；斜率定值為正數(shù)，則軌跡為雙曲線。斜率之積為定值，可以得到唯一確定的圓錐曲線，因此該定值應(yīng)該是于圓錐曲線的離心率是有聯(lián)系的。下面我們從2020年青島二模中的題目出發(fā)，已知圓錐曲線方程去探究斜率乘積的定值問(wèn)題。二、模擬題中的問(wèn)題呈現(xiàn)及變式探究X2V2（2020年青島二模節(jié)選）已知“為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓'■'■*"的離,丈2_晅心率為'，雙曲線-的漸近線與橢圓「-的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離均為-.1.求橢圓，-的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.若點(diǎn)'為橢圓，-上的動(dòng)點(diǎn)，’八匚三點(diǎn)共線，直線的斜率分別為證明：.解析：（1）橢圓方程為'-’I，過(guò)程略。（2）設(shè)r，則.設(shè)門(mén)：|由點(diǎn)“-在橢圓上，得：一一"①，丁一「-1②FF二I兩式相減并整理，得JL赤'即Ln1模擬題的解題溯源：.—I■.橢圓??■,'（a>b>0）上任一動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到橢圓任意一條直徑（過(guò)橢圓中心的弦）的兩個(gè)端點(diǎn)的斜率乘積等于多少？X1尸1.I.J—1解：設(shè)橢圓三W-（a>b>0）的任意一條直徑為上.????，是直徑...點(diǎn)■■關(guān)于原點(diǎn)"稱.設(shè)E*，則.由點(diǎn)在橢圓上，得:蚌+&事+尸—1--①丁?、趦墒较鄿p并整理，得..一~即…點(diǎn)撥：對(duì)于本類(lèi)證明，采用兩式相減消參，借助直線的斜率公式得出結(jié)果。對(duì)于雙曲線，只需要把橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的"換成，結(jié)論一致，仍為、.：..如果將圓理解為、」（或者.?：）的橢圓，本結(jié)論對(duì)圓也是成立的.此定義可以理解為對(duì)兩定點(diǎn)張角為直角的軌跡為圓的推廣.對(duì)于今年的青島二模題目，如果求證是定值，記住結(jié)論'也可以驗(yàn)證答案。結(jié)論：圓錐曲線上上三點(diǎn)I*''??，若點(diǎn)過(guò)于原點(diǎn)"對(duì)稱，即三點(diǎn)共線，則二，變式一：若點(diǎn)■-為橢圓，一上的動(dòng)點(diǎn)，直線。"注?的斜率分別為且<-1-證明：￥"三點(diǎn)共線.變式一解題溯源:…工一土+二1/\q一，-—L、八…j工一一-.過(guò)橢圓.■■（a>b>0）上任意一點(diǎn)」作兩直線分別父橢圓于點(diǎn)；（不是長(zhǎng)軸的端點(diǎn)），，?，為原點(diǎn)，若.e與的斜率分別為：二，且滿足'-I，則■■-■-三點(diǎn)共線。證明：設(shè)/1

b2土孔I=]xf=_—b2則一■'，兩式相減得■-①丈".'"②為‘項(xiàng)_料-凹為F.、十J二工:-上由①②得?"???■■-■■-即"匕<.「）二丑2；故■■■'■■,設(shè)'?’i?.即--?一三點(diǎn)共線，:"二"線。點(diǎn)撥：利用方程思想，建立起點(diǎn)E口的關(guān)系，其中點(diǎn).??，是點(diǎn)尸關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)。結(jié)論：圓錐曲線上上三點(diǎn)"，若?；a，則點(diǎn)過(guò)于原點(diǎn)對(duì)稱，即三點(diǎn)共線。變式二：若是橢圓「-的左右頂點(diǎn)，?外是橢圓，-上除了"??的任意一點(diǎn)，求證為定值。變式二解題溯源：已知橢圓的左右頂點(diǎn)為*，點(diǎn)投是橢圓上除了I，的任意一點(diǎn)，求證"L為定值。匕JT"口.臨解：設(shè).'，?.?匕JT"口.臨—十次_1又..?點(diǎn)廿在橢圓，一上，故，??'?,,==疽一頊匚耳―②代入①得：猜想：若把上題中I改為上下頂點(diǎn)，上述結(jié)論是否還成立呢?明：?.?f.設(shè),fr=1'?匚*fr=，咱所以，直線"的斜率"■，巖I的斜率為"'.??■-.:>又點(diǎn)廿在橢圓上，所以丁一了'，從而有一"k.#一弟書(shū)_妒-擴(kuò)一玳膏】］m?虹---g舟）fl：②代入①得：':點(diǎn)撥：本類(lèi)問(wèn)題采用了代入消參，借助直線的斜率公式得出結(jié)論。結(jié)論：我們可以總結(jié)為橢圓（或雙曲線）上的兩頂點(diǎn)（左右頂點(diǎn)或者上下頂點(diǎn)），與圓錐曲線上除此之外的任意一點(diǎn)所形成的兩條直線斜率之積為定值'?.變式三：若點(diǎn)為橢圓，-上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn).：.>是弦?的中點(diǎn)，直線'的斜率分別為""證明：為定值.

x2v2變式三解題溯源：已知橢圓'■■1："''："，點(diǎn)為橢圓「一上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，是弦的中點(diǎn)，直線"r"'的斜率分別為*'，求證■'為定值。L+LJt=.上f?'二..，'二，'解：設(shè)I?「，”一?一，-TOC\o"1-5"\h\z2222%L+LJt=.上f?'二..，'二，'..?點(diǎn)提在橢圓上，故??①:②(與一■)(馬+西)=(-fKy)知f甘=力*出.?.②一①得：?,-?，-1P11|1■■■■外+H1岸-ta2習(xí)52k.&■二"即’'(*)*??T—k=S?????」.?一'.、.."?，則設(shè)A、A'關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由中位線定理知OM〃A'B，從而得到點(diǎn)撥：“遇到弦中點(diǎn)，兩式減一減”。本類(lèi)題目的解題手段為相減消參，借助直線的斜率公式得出結(jié)論，通過(guò)兩式相減得到了圓錐曲線中弦的中點(diǎn)坐標(biāo)與弦的斜率之間的關(guān)系式（*）.結(jié)論：與圓錐曲線相交直線斜率“，相交弦中點(diǎn)與原點(diǎn)的直線斜率為「一，"-，1.三、隱藏條件的問(wèn)題有的時(shí)候，斜率乘積為定值是隱藏在題干之中，作為解決問(wèn)題的一個(gè)環(huán)節(jié)，比如下面的題目：如圖，若"為橢圓的右頂點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于ya兩點(diǎn)，直線AWQ交直線.站=3于，…'兩點(diǎn)，求l」*的最小值.分析：求*的最小值，將*構(gòu)建只含有一個(gè)參數(shù)的函數(shù)，點(diǎn)*???是變化運(yùn)動(dòng)的，而這兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)與直線3,有關(guān)。動(dòng)態(tài)的直線斜率也是變化的，而斜率之積是一個(gè)靜態(tài)的定值，從而找到解題的突破口。解：設(shè)則I???，：，kA-JJJ■所以里十也■=】又..r在橢圓上，..?點(diǎn)--尸g爭(zhēng)|即'，將②式代入①式得："’1-點(diǎn)撥：直線⑵-和直線斜率乘積是定值，因此二者斜率可以用一個(gè)字母■■:表示。設(shè)直線?的斜率為』，則直線的斜率為r.所以直線《?的方程為：?，?-.?".??-?直線的方程為:弓平==匚當(dāng)且僅當(dāng)；3時(shí)取J，，?.?*的最小值為L(zhǎng)四、結(jié)束語(yǔ):我們發(fā)現(xiàn)，涉及到斜率乘積為定值的問(wèn)題，證明過(guò)程中一般用到方