認(rèn)證考試王利軍布朗運動的理論研究

布朗運動的理論研究摘要：布朗運動的發(fā)現(xiàn)激發(fā)了人們對這種運動的研究興趣，隨著研究的深入，人們對這種運動的理論日趨清楚，提供給科學(xué)與工程為建立隨機模式的一個不可缺的基本工具，布朗運動在隨機過程的動力論中也扮演著一個重要的角色，也使隨機過程的理論添加了新的生命.關(guān)鍵詞：布朗運動愛因斯坦理論朗之萬理論擴散維納過程數(shù)學(xué)模式一引言1827年,英國植物學(xué)家布朗用顯微鏡觀察水中懸浮的花粉時發(fā)現(xiàn)這些花粉顆粒不停地做無規(guī)則的運動.接著他又把碎玻璃片碾成粉末和墨汁分別撒在水中,同樣能觀察到這些粉末和碳粒均做無規(guī)則運動,并且顆粒越小、溫度越高,這種無規(guī)則運動越顯著,布朗把他的實驗過程詳細(xì)地記載下來,寫在他于1828年出版的《植物花粉的顯微觀察》一書中.可是他當(dāng)時并不理解產(chǎn)生這種運動的原因，但他為后人提供了一個作深入研究的課題.后人為了紀(jì)念他,把他觀察的小顆粒運動命名為“布朗運動”.1877年,德索耳提出,微粒受到周圍媒質(zhì)分子不平衡的碰撞是產(chǎn)生布朗運動的原因.1905年物理學(xué)家愛因斯坦發(fā)表了對布朗運動的理論研究成果.但最引人注目的是愛因斯坦發(fā)表在德國的《物理學(xué)年鑒》第四篇第17卷上題為“熱的分子運動論所要求的靜液體中懸浮粒子的運動”的論文,該論文也是愛因斯坦在1905年富有創(chuàng)造性研究中的首篇.在這篇論文中,愛因斯坦把顯微鏡下可見粒子的運動看作是顯微鏡下看不到的液體分子運動的表征,證明了布朗粒子的運動是由于液體分子從四面八方對它撞擊引起的,這種撞擊的不規(guī)則性和偶然性,使來自不同方向的作用互不完全抵消.隨后斯莫陸綽斯基(1906年)、朗之萬(1908年)都發(fā)表了各自關(guān)于布朗運動的理論工作,證明布朗粒子位移平方的平均值正比于時間ｔ[1].1923年，維納首先把布朗運動當(dāng)作一種隨機過程來研究.因此，布朗運動也叫做維納過程.不久，PaulLevy及后來的研究者將布朗運動發(fā)展成目前的巨構(gòu)，如今布朗運動在理論上與應(yīng)用上已與帕松過程構(gòu)成了兩種最基本的隨機過程[2].經(jīng)由謹(jǐn)慎的實驗及討論，科學(xué)家發(fā)現(xiàn)布朗運動有下列主要特性：1粒子的運動由平移及轉(zhuǎn)移所構(gòu)成，顯得非常沒規(guī)則而且其軌跡幾乎是處處沒有切線.2粒子的移動互不相關(guān)，甚至于當(dāng)粒子互相接近至比其直徑小的距離時也是如此.3粒子越小或液體粘性越低或溫度越高時，粒子的運動越活潑.4粒子的成分及密度對其運動沒有影響.5粒子的運動永不停止.二愛因斯坦理論二十世紀(jì)初，愛因斯坦及斯莫陸綽斯基發(fā)現(xiàn)不管粒子的運動有多么不規(guī)則，布朗運動仍可以用機率律來分析，其研究說明了粒子在一段時間內(nèi)的位移是根據(jù)常態(tài)分配的.愛因斯坦的工作可說是布朗運動的動力論的先驅(qū).其理論概述如下：令是一個布朗運動粒子在時間t及位置x時之機率密度().然后在某些機率假設(shè)下，愛因斯坦導(dǎo)出(1)這里Dt=0的位置為x=0，則(2)三朗之萬理論懸浮在流體中的布朗粒子比流體分子大幾十萬倍,布朗粒子的運動速度比流體分子的速度為甚小.朗之萬將流體分子對布朗粒子的作用力分為兩種,一種是外力場的力,如重力;另一種是周圍分子作用力,可分成三部分:(1)浮力;(2)粘滯阻力.粒子以速度ｖ運動,ｖ不大時,粘滯阻力ｆ=-αｖα是阻力系數(shù);(3)漲落不定的無規(guī)力Ｆ(ｔ),無規(guī)力脈沖持續(xù)時間甚短,彼此全無關(guān)聯(lián),所以其時間平均值等于零,即(1)設(shè)布朗粒子質(zhì)量為ｍ,在水中運動.平行于水面的ｘ方向上,重力、浮力都不出現(xiàn),根據(jù)牛頓第二定律,寫出ｘ方向投影式.(2)式中Ｘ是Ｆ(ｔ)在ｘ方向上的分力.(1)式就叫做朗之萬方程.以ｘ遍乘(2)式,得(3)注意到(4)(5)由（3）可得(6)(7)而對上式第二項,將能均分定理用到布朗粒子上有(8)經(jīng)整理得(9)(9)式是一個二階常系數(shù)線性非齊次微分方程,其通解為(10)Ｃ1、Ｃ2是積分常數(shù).設(shè)ｔ=0時布朗粒子在ｘ=0處,且初速率為零,于是(11)若時間很短,即,（12）則(13)表明在很短的時間內(nèi),平均粒子以恒速運動.若時間較長,,即,則,于是(14)(14)式表明時間間隔較長時,,這正是理論結(jié)論.為簡化問題,設(shè)布朗粒子呈圓球形,由流體力學(xué)的斯托克斯定律,粘滯阻力,與前比較知,代入(14)式得(15)(15)式被稱為愛因斯坦關(guān)系式[3].四布朗粒子的擴散設(shè)流體中有Ｎ個布朗粒子,初始時刻都集中在原點,由于有布朗運動,布朗粒子向四周擴張.以ｎ(ｒ,ｔ)表示布朗粒子的數(shù)密度,Ｊ(ｒ,ｔ)表示單位時間內(nèi)通過單位截面的粒子數(shù),Ｊ稱為流密度.用擴散的觀點,仍能推得(5)式結(jié)果,推導(dǎo)如下:按Ｆｉｃｋ定律(1)負(fù)號表示粒子由濃度高處向低處擴散.由于粒子在流體中的運動滿足連續(xù)性方程,故(2)(6)代入(7),得到擴散方程(3)其解為球?qū)ΨQ解(4)于是,粒子的平移位移及位移散差為:(5)(6)因粒子在各方向運動,而各方向機會均等,即(7)故(8)五維納過程[4].維納從數(shù)學(xué)上證明了布朗運動的存在,并與馬爾科夫過程(一個未來由現(xiàn)在決定,且不依賴于過去的隨機過程)、正態(tài)分布相聯(lián)系.從一維布朗運動的樣本到二維、ｎ維布朗軌道的模擬,使我們對布朗運動、無軌行走等隨機過程有了越來越深入的理解與認(rèn)識.六布朗運動的數(shù)學(xué)模式首先我們建立R1上的布朗運動，我們的作法簡單地說是利用對稱隨機漫步，縮小其每一步長度而在單位時間內(nèi)加速其移動頻率來仿真布朗運動.假想一個粒子在坐標(biāo)軸上原點為起始點作對稱隨機漫步，每一步位移為δ而每單位時間內(nèi)移動次數(shù)為r次，則此粒子在時間t時之位置為，其中{Wn}是對稱隨機漫步而且W0=0.由{Wn}的性質(zhì)知(1)(2)令,，使得逼近一定數(shù)D（譬如，?。?，由中央極限定理，我們得到

(3)為求簡化起見，我們設(shè)D=1.令Bt為Zt之極限隨機變量，則便叫做布朗運動或維納過程.由以上之討論，我們可用數(shù)學(xué)語言定義布朗運動如下：定義一：令為一隨機過程且滿足以下三個條件：(1)B(0)=0(2)設(shè)，則{B(sj+1)-B(sj):為獨立隨機變量族.(3)對每一,,B(t+s)-B(s)有常態(tài)分配N(0,t)，換句話說.（4）其中(1)與(2)皆是繼承{Zt}的性質(zhì)而來，(3)(2)(3)的性質(zhì)，我們稱B(t)有平穩(wěn)獨立增量.對任意，{B(t)+a}一般叫做以a為起點的布朗運動.以下我們只考慮連續(xù)的布朗運動.定理一：(1)(2)E(3){B(t)}停留在任一有界集合之機率為零(4)幾乎所有B(t)的軌跡皆是處處連續(xù)而處處不可微分定理一的(1)表示布朗運動為馬可夫過程；(2)說明{B(t)}為平賭過程。以上二者皆可由定義一之(2)(3)(4)點說明布朗運動與實際現(xiàn)象相符合[5].定理二：(Levy)隨機過程為布朗運動之充要條件為(1){B(t)}為平賭過程.(2){B(t)2-t}為平賭過程.Levy定理提供我們一個檢查給定的隨機過程B(t)是否為布朗運動的方法：對任何時間，若T以后{B(t)2}及{B(t)2-t}之平均值分別為B(T)及B(T)2-T時，則{B(t)}必是布朗運動.布朗所觀察到的布朗運動當(dāng)然是三度空間的運動，但由觀察顯示粒子在各方向之移動是獨立的，因此我們采用以下定義：定義二：設(shè)B(t)=(B1(t),B2(t),B3(t))為R3上的隨機過程。若{Bi(t)},i=1,2,3三過程相互獨立而且分別為R1上的布朗運動時，我們稱{B(t)}為R3上之布朗運動.七隨機漫步假想一個粒子在水平直線上一步步的左右移動而且每步的距離皆為一個單位長；其向右及向左的機率各為p與q=1-p(0<p<q).外，我們假設(shè)每一單位時間只移動一步而且第n步在第n個瞬間獨立做動作。若視直線為R1而視一個單位長為1（向右一步以+1表示，向左一步以-1表示），則此粒子在R1上之可能位置為整數(shù)，其數(shù)學(xué)模式描述如下：設(shè)Xn為粒子第n步的位移，則{Xn:}為一組取值{+1,-1}的獨立隨機數(shù)，而且對任一整數(shù)若以W0表粒子之原始位置，則在時間n時粒子的位置為（3）此一序列的隨機變量{Wn:}便叫做隨機漫步.八小結(jié)對單個布朗粒子使用牛頓第二定律、在平衡態(tài)下運用能均分定理的朗之萬理論,不難導(dǎo)出布朗運動的愛因斯坦關(guān)系式,對Ｎ個粒子使用擴散方程,也能得到相同的結(jié)果.這說明上述理論推演及解釋的可靠性.維納過程使人們的認(rèn)識提升了一個層次.近年的分形幾何揭示出無規(guī)行走、正態(tài)過程、非線性…間的深刻聯(lián)系,但分形理論目前尚無較大的實際用途.布朗運動的理論有待向更深層次發(fā)展,應(yīng)用領(lǐng)域也應(yīng)進一步開拓.定義二是布朗所見的布朗運動嗎？答案可能是否定的.至少，我們沒有理由相信，因為在定義過程中我們可能已過分簡化了真正布朗運動.依本人之見定義二是否為真正的布朗運動并不重要；重要的是定義二提供給科學(xué)與工程為建立隨機模式的一個不可缺的基本工具.另一方面，定義二之布朗運動在隨機過程的動力論中也扮演著一個重要的角色，也使隨機過程之理論添加了新的生命.參考文獻(xiàn)1王竹溪統(tǒng)計物理學(xué)導(dǎo)論北京:人民教育出版社,19692《幼獅數(shù)學(xué)大辭典》,幼獅文化事業(yè)公司,19833王誠泰統(tǒng)計物理學(xué)北京:清華大學(xué)出版社,1991476～4824[英]肯尼思法爾科內(nèi)著,曾文曲等譯分形幾何———數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及其應(yīng)用沈陽:東北大學(xué)出版社,1991318～3385A.Friedman:《StochasticDifferentialEqationsandApplications》Vol.1,AcademicPress,NewYorkTheoreticalresearchofBrownianmovementAbstract:ThediscoveryofBrownianmovementhasexcitedtheinterestofpeople’sstudyonthiskindofmovement,withthedeepeningstudying,thetheoriesofthiskindofmovementofpeopleareknowndaybyday,offerscienceandprojectinordertosetupanindispensablebasictoolof