管總數(shù)學(xué)考研知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)總結(jié)

管總數(shù)學(xué)考研知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)總結(jié)

*算術(shù)

?一.應(yīng)用題

?利澗問(wèn)題

?1.利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)

利潤(rùn)率=望700%=售攵/價(jià)xlOO%=(題-]xlOO%

進(jìn)價(jià)進(jìn)價(jià)I進(jìn)價(jià))

?2,售價(jià)=進(jìn)價(jià)*(1+利潤(rùn)率)

?3.進(jìn)價(jià)=售價(jià)/(I+利潤(rùn)率)

寓值-原御

X1OO%=歌小項(xiàng)%

.變化柞篇3皿%=原值

?【注意】變化率包括增長(zhǎng)率和下降率兩個(gè)，所以上式用絕對(duì)值表示.

?5.增減并存問(wèn)題：

?(1)先提價(jià)p%再降價(jià)p%

?⑵先降價(jià)p%再提價(jià)p%

?6.恢復(fù)原價(jià)問(wèn)題：

?(1)先提價(jià)p%再降___p%/(l+p%)___恢復(fù)原價(jià)

?⑵先降價(jià)p%再增—p%/(l-p%)一恢復(fù)原價(jià)

?7.連續(xù)增長(zhǎng)下降問(wèn)題：

?一月份的產(chǎn)量為a,以后每個(gè)月均比上個(gè)月增長(zhǎng)p%,則年總產(chǎn)值為().

?8.甲比乙大p%<=>(甲-乙)/乙=p%<=>甲=乙*(1+p%);甲是

乙的p%<=>甲=乙*p%

?【注意】甲比乙大p%=/乙比甲小p%(因?yàn)榛鶞?zhǔn)量不同)，甲比乙大p%

<=>乙比甲小p%/(l+p%)

?比、百分比、比例問(wèn)題

?1.比例性質(zhì)：如果a/b=c/d,則ad=bc

?2.等比定理：a/b=c/d=e/f=a+c+e/b+d+f

?3.總量=部分量/對(duì)應(yīng)占的比例

?十字交叉法

?當(dāng)一個(gè)整體按照某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分為兩類時(shí)，根據(jù)杠桿原理得到一種巧妙的方法,

即是交叉法.該方法出現(xiàn)上下分列出每部分的數(shù)值，然后與整體數(shù)值相減，

減得的兩個(gè)數(shù)值的最簡(jiǎn)整數(shù)比就代表每部分的數(shù)量比.

?工程問(wèn)題

?1.工作量5、工作效率V、工作時(shí)間t三者的關(guān)系

工作量(S

工作時(shí)間=、

工作效率1

工作量(S、

工作效率V=

工作時(shí)間、t)

?工作量=工作效率*工作時(shí)間(s=vt)

?2.重要說(shuō)明：

?工作量:對(duì)于一個(gè)題，工作量往往是一定的，可以將總的工作量看做“1”

工作效率，合作時(shí)，總的效率等于各效率的代數(shù)和.

?3.重要結(jié)論

?若甲單獨(dú)完成需要m天，乙單獨(dú)完成需要n天;則：

?(1)甲的效率為1/m,乙的效率為1/n

?(2)甲乙合作的效率為1/m+1/n

?(3)甲乙合作完成需要的時(shí)間為1/(1/m+1/n)=mn/m+n

?濃度問(wèn)題

?1.溶液=溶質(zhì)+溶劑，濃度=

^?X1OO%=-—X100%；

溶液溶質(zhì)+溶劑

?2.重要等量關(guān)系.

?(1)濃度不變準(zhǔn)則

?(2)物質(zhì)守恒準(zhǔn)則

?3.重要命題思路.

?(1)“稀釋”問(wèn)題:溶質(zhì)不變

?(2)“蒸發(fā)問(wèn)題:溶質(zhì)不變

?(3)“加濃”問(wèn)題:溶劑不變

?(4)“混合”問(wèn)題:可利用十字交叉法

?(5)“置換''問(wèn)題:一般是用溶劑等量置換溶液

?植樹問(wèn)題

?對(duì)于直線問(wèn)題，如果長(zhǎng)度為L(zhǎng)米，每隔n米植樹，則共有n,則共有L/(n+l)

棵樹；

?對(duì)于圓圈問(wèn)題，如果周長(zhǎng)為L(zhǎng)米，每隔n米植樹，則共有L/n棵樹

?年齡問(wèn)題

?年齡問(wèn)題的特點(diǎn)有兩個(gè):一個(gè)是年齡的差值恒定;另一個(gè)是年齡同步增長(zhǎng).

?【注意】年齡要選好參照年份，如果年齡計(jì)算得到矛盾，看看幾年前是否還

未出生，因?yàn)槌錾蟛艑?duì)年齡有影響.

?分段計(jì)費(fèi)問(wèn)題

?對(duì)于分段計(jì)費(fèi)問(wèn)題，關(guān)鍵掌握兩點(diǎn):一是確定每段的邊界值，來(lái)判斷所給數(shù)

值落入的區(qū)間;二是選取對(duì)應(yīng)的計(jì)費(fèi)表達(dá)式進(jìn)行運(yùn)算.

?集合問(wèn)題

1.兩個(gè)集合

公式：AUB=A+B-ACIB=全集-ADB

2.三個(gè)集合

(I)/UBuc=4+8+c-(4n8+3nc+/nc)+/n8nc

（2）4U8UC=只有I個(gè)+只有2個(gè)+只有3個(gè)

（3）A+B+C=只有1個(gè)+2只有2個(gè)+3只有3個(gè)

?不定方程問(wèn)題

?列方程解應(yīng)用題，一般都是未知數(shù)個(gè)數(shù)與方程的個(gè)數(shù)一樣多.但如果方程（組）

中未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程的個(gè)數(shù)，此方程（組）稱為不定方程組.不定方程一般

有無(wú)數(shù)解，但是結(jié)合題意，實(shí)際只要我們求出無(wú)數(shù)解中的特殊解，往往是求

整數(shù)解.有時(shí)還要加上其他限制，這時(shí)的解就是有限和確定的了.考試中主要

是涉及整數(shù)系數(shù)不定方程的整數(shù)解，一般要借助整除、奇數(shù)偶數(shù)、范圍等特

征來(lái)確定數(shù)值.

?線性規(guī)劃問(wèn)題

?該種方法應(yīng)用非常廣泛，解決此類問(wèn)題關(guān)鍵是:在資源的限制下，如何使用

最少的資源來(lái)完成最多的生產(chǎn)任務(wù)，或是給定一項(xiàng)任務(wù)，如何合理安排和規(guī)

劃，能以最少的資源來(lái)完成，如常見的任務(wù)安排問(wèn)題、配料問(wèn)題、運(yùn)費(fèi)問(wèn)題、

庫(kù)存問(wèn)題等.

?至多至少問(wèn)題

?在分析某對(duì)象至少（至多）時(shí)，可轉(zhuǎn)化為其余部分最多（最少）來(lái)分析

?最值問(wèn)題

?解答這類問(wèn)題一般要利用數(shù)量關(guān)系，列出目標(biāo)函數(shù)式，然后用函數(shù)有關(guān)知識(shí)

和方法加以解決.求最值的主要方法為二次函數(shù)的拋物線法、平均值定理法

?二.實(shí)數(shù)、絕對(duì)值、比和比例及平均值定理

?數(shù)的概念與性質(zhì)

?（一）按有理數(shù)和無(wú)理數(shù)分類

正整數(shù)

正有理數(shù)

正分?jǐn)?shù)

有理數(shù)0，有限小數(shù),無(wú)限循環(huán)小數(shù)

實(shí)數(shù)?負(fù)整數(shù)

負(fù)有理數(shù)

負(fù)分?jǐn)?shù)J

無(wú)理數(shù)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)

負(fù)無(wú)理數(shù)j

?（二）整數(shù)與自然數(shù)

1.整數(shù)Z：…，-2,-1,0,1,2,...

2.自然數(shù)N：0,1,2,...

正整數(shù)Z”

自然數(shù)N（最小的自然數(shù)為0）

整如0

.負(fù)整數(shù)才

?（三）質(zhì)數(shù)與合數(shù)

?1.質(zhì)數(shù)

?如果一個(gè)大于1的正整數(shù)，只能被1和它本身整除（只有1和其本身

兩個(gè)約數(shù)），那么這個(gè)正整數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（質(zhì)數(shù)也稱素?cái)?shù)）.

?2.合數(shù)

?一個(gè)正整數(shù)除了能被1和它本身整除外，還能被其它的正整數(shù)整

除（除了1和其本身之外，還有其他約數(shù)這樣的正整數(shù)叫做合數(shù)

?3.質(zhì)數(shù)與合數(shù)有如下重要性質(zhì)

?（1）質(zhì)數(shù)和合數(shù)都在正整數(shù)范圍，且有無(wú)數(shù)多個(gè)

?（2）2是唯一的既是質(zhì)數(shù)又是偶數(shù)的整數(shù)，即是唯一的偶質(zhì)數(shù)，大

于2的質(zhì)數(shù)必為奇數(shù)，質(zhì)數(shù)中只有一個(gè)偶數(shù)2,最小的質(zhì)數(shù)為2.

?（四）奇數(shù)與偶數(shù)

1.奇數(shù)：不能被2整除的數(shù).

2.偶數(shù)：能被2整除的數(shù).注意.0是偶數(shù).

奇數(shù):±I

Sftz2n

偶數(shù);2〃

【注意】?jī)蓚€(gè)相鄰整數(shù)必為一奇一偶,除/最小質(zhì)數(shù)2是偶數(shù)外，其余殖數(shù)均為奇數(shù).

?（五）整除、倍數(shù)、約數(shù)

?1.數(shù)的整除:當(dāng)整數(shù)a除以非零整數(shù)b,商正好是整數(shù)而無(wú)余數(shù)時(shí)，則稱a

能被b整除或b能整除a.

?2.倍數(shù)與約數(shù):當(dāng)a能被b整除時(shí)，稱a是b的倍數(shù)，b是a的約數(shù).

?3.最小公倍數(shù):幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一

個(gè)叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù).

?4.最小公倍數(shù)的表示:數(shù)學(xué)上常用方括號(hào)表示，如[12,18,20]即為12,

18和20的最小公倍數(shù).

?5.最小公倍數(shù)的求法：

?(1)分解質(zhì)因數(shù)法：

?先把這幾個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，再把它們一切公有的質(zhì)因數(shù)和其中幾

個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)以及每個(gè)數(shù)的獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)全部連乘起來(lái)，所

得的積就是它們的最小公倍數(shù).

?(2)公式法

?由于兩個(gè)數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的積,

即(a,b)*[a,b]=a*b所以，求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，就可以先求

出它們的最大公約數(shù)，然后用上述公式求它們的最小公倍數(shù)

?6.常見整除的特點(diǎn)

?能被2整除的數(shù):個(gè)位0,2,4,6,8

?能被3整除的數(shù)各數(shù)位數(shù)字之和必能被3整除

?能被5整除的數(shù):個(gè)位為0或5

?能被6整除的數(shù):同時(shí)滿足能被2和3整除的條件

?能被9整除的數(shù)各數(shù)位數(shù)字之和必能被9整除

?能被10整除的數(shù):個(gè)位必為0

?能被11整除的數(shù):從右向左，奇數(shù)位數(shù)字之和減去偶數(shù)位數(shù)字之和能

被11整除(包括0)

?絕對(duì)值

?定義

1、實(shí)數(shù)。的絕對(duì)值定義為：同=|%"2"

11[-0,0<0

?正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它相反數(shù);零的絕對(duì)值還是零.

?2、幾何意義:數(shù)軸上的一個(gè)數(shù)a到原點(diǎn)的距離.

?3、絕對(duì)值的性質(zhì)

(1)對(duì)稱性：|一。|=同

(2)等價(jià)性：yja'=同,同~=,-=a'(aeR)

(3)自比性：—|a|<a<|a|.推而廣之，—=A

1111x國(guó)［-1廣<0

碓°

(4)非負(fù)性：，a2,a4....^2">0

石筋.……%>0

?比和比例

?1.比

?兩個(gè)數(shù)相除，又稱為這兩個(gè)數(shù)的比，即a:b=a/b

?2.比例

?相等的比稱為比例，記作a:b=c:d或a/b=c/d

?3.正比

?若y=kx(k不為0),則稱y與x成正比，k稱為比例系數(shù).

?【注意】并不是x和y同時(shí)增大或減小才稱為正比，比如緣=0時(shí),

x增大時(shí)，y反而減小.

?4.反比

?若y=kx(k不為0),則稱y與x成反比，k稱為比例系數(shù).

?5.比例的基本性質(zhì)

?(l)a:b=c:d=>ad=be.

”..-aca+bc+d

(2)合比定理：-=

baba

-aca-hc-d

(3)分比定理；—=--O——=——.

baba

(4)等比定理：一=—=—=--------.(bed+f=0)

bdfb+d+f

?平均值定理

<一)算術(shù)平均值：設(shè)。個(gè)實(shí)效./，兒,你[三為達(dá)“個(gè)數(shù)的第木平均

n

m.博巳為x=q-?

n

《.)幾何平均值；設(shè)”個(gè)正數(shù)演,馬,…，即，為這”個(gè)正數(shù)的幾何干場(chǎng)

色.曾記為,=?[1號(hào).

【注意】?jī)汉纹骄底銓?duì)尸正數(shù)而言.

《三〉基本比拜

I?功為正數(shù)

2.X|+x,+x,>nyxy^.jc^(x.>0,/=1,....?)

3.a+b?24ah(%b>0)

4T>%>。),即員小他2

S.定值

6.相等

4?代數(shù)

?三.整式分式和函數(shù)

?3.1單項(xiàng)式

?概念

?1.數(shù)與字母的積這樣的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式，如3x2;

?2.單獨(dú)一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式.其中單項(xiàng)式中的字母因數(shù)叫做單

項(xiàng)式的系數(shù)；

?3.所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)；若單項(xiàng)式表示axAn

yAmz，),那么a稱為單項(xiàng)式axAnyAmzAp的系數(shù)，n+m+p叫做這個(gè)單

項(xiàng)式axAnyAmzAp的次數(shù)

?注意

?數(shù)與字母之間是乘積關(guān)系

?3.2多項(xiàng)式

?幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。

?在多項(xiàng)式中，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，其中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。

?一個(gè)多項(xiàng)式有幾項(xiàng)就叫做幾項(xiàng)式。

?多項(xiàng)式中的符號(hào)，看作各項(xiàng)的性質(zhì)符號(hào)；

?多項(xiàng)式中，次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)，就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù).

?(1)把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的指數(shù)從大到小的順序排列起來(lái)，叫做

把多項(xiàng)式按這個(gè)字母降賽排列.

?(2)把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的指數(shù)從小到大的順序排列起來(lái)，叫做

把多項(xiàng)式按這個(gè)字母開賽排列.

?有兩個(gè)或兩個(gè)以上字母的多項(xiàng)式，排列時(shí)，要注意：要先確認(rèn)按照哪個(gè)字母

的指數(shù)來(lái)排列；然后再根據(jù)次字母的升幕還是降寐進(jìn)行排列.

?3.3整式

?單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式.

?3.4分式

?定義

?用A、B表示兩個(gè)整式，A+B就可以表示成A/B的形式，如果除式B

中含有字母，式子A/B就叫做分式.

?基本性質(zhì)

分性質(zhì)分式的分子與字母都桑以（或除以）同一個(gè)不為竽的整式,分式的值不變

式表示△=&￡：△=生曳（M為不等ry的整式）

於BBMBB>M

符號(hào)分子、分母與分式本身的籽號(hào),改變共中任何兩個(gè).分式的值不變

-bbb-bb

約分把一個(gè)分式的分子與分母的所有公國(guó)式妁去叫做約分

通分把幾個(gè)好分母的分式分別化成與原本的分式相等的同分母的分式叫做通

分

?3.5最簡(jiǎn)分式

?分式的分子與分母沒(méi)有公因式時(shí)，叫做最簡(jiǎn)分式.

?3.6基本公式

1.（a±￡>）2=a2±2ab+h2

應(yīng)用：x2+x+—

2.a2--b2=(a+b)(a-b)

應(yīng)用：(1+6)(/…

3.(a+b+c)2=a?+b2+c2+2(ab+be+ac)

應(yīng)用：2(ab+be+℃)=(a+b+c)?-(a2+b2+c2)

4.a3+bJ=(a+/>)(d2-ab+Z>2)

a3+8，=(a+b>-3a〃(a+b)

5.ai—hi=(a—A)(a2+ab+b，)

6.(a+療=Q3+3a2b+3b2。+產(chǎn)

7.(。-力=/-3。1+3V0-尸

?3.7因式定理

?f(x)含有(ax-b)因式<=>f(x)能被(ax-b)整除<=>f(a/b)=0;

?尤其，f(x)含有(x-a)因式<=>f(x)能被(x-a)整除<=>f(a)=0;

?3.8分解因式

?1.概念

?把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做分解因式(又叫

因式分解).

?2.特點(diǎn)

?(1)因式分解的實(shí)質(zhì)是一種恒等變形，是一種化和為積的變形.

?(2)因式分解與整式乘法是互逆的.

?(3)在因式分解的結(jié)果中，每個(gè)因式都必須是整式.

?(4)因式分解要分解到不能再分解為止.

?3.因式分解的基本方法：

?(1)運(yùn)用公式法；

?(2)分組分解法；

?(3)十字相乘法；

?(4)雙十字相乘法.

?4.因式分解的一般步驟：

?一?提、二套、三分組

?5.特征分析

?形如ax2+bx+c=0,方法十字相乘法

ax~+6x+c=0

若/X+。2XG=b

?3.9對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)

?1.指數(shù)和對(duì)數(shù)運(yùn)算公式

指數(shù)對(duì)數(shù)

定義J=Nlog2二b（人叫做以。為底N的對(duì)數(shù)）

關(guān)系式『=JVok>g.N=6,(a>0,a<1,">0)

(C1D>ilogAf/4**-log?ATf=log//aAWfjNV)

⑴aa=ar**qa

u

<2)loguM-log."=log.—

is<2)(a')"=。"N

n(3)logg"=nlog”M

(3)(ab)'

性

(M>0,/V>0,a>0,d*1)

質(zhì)(4)a'—14,=--

ar

("0)(4)(換底公式)log,N=

?四.方程及不等式

?4.1方程

?4.1.1方程的定義

?含有未知數(shù)的等式為方程，方程左右兩端相等的未知數(shù)的值為方程的解.

?4.1.2元和次的定義

?元是指方程中所含未知數(shù)的個(gè)數(shù)，次是指方程中未知數(shù)最高的指數(shù).

?4.1.3一元一次方程形式

?ax=b(a翔)，方程的解為x=b/a.

?4.1.4一元二次方程形如：axA2+bx+c=0(a/0)

?解法：

?(1)十字相乘法

?(2)求根公式法

一b土1—4ac

x=------------------

1a

?①△M2-4ac>0,方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根

-b±ylb2-4ac

?V--------------------------

2a

?②-4ac=0,方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根xl=x2

=-b/2a

?③-4ac<0,方程無(wú)實(shí)數(shù)根.

?4.2二次函數(shù)

?y=axA2+bx+c

?(1)圖像：圖像是拋物線

?(2)開口方向：當(dāng)a>0時(shí)方向向上，當(dāng)avO時(shí)方向向下

?(3)對(duì)稱軸方程:是x=-b/2a

?(4)頂點(diǎn)坐標(biāo):頂點(diǎn)(-b/2a,4ac-bA2/4a)

?⑸截距

?①丫軸截距：令x=0,y=c

?②x軸截距：

?b八2-4ac>0,有兩個(gè)不同交點(diǎn)

?bA2-4ac=0,有一個(gè)交點(diǎn)，與x軸相切

?bA2-4ac<0,無(wú)交點(diǎn)

?(6)最值

?當(dāng)a>0時(shí)在頂點(diǎn)處有最小值4ac-bA2/4a

?當(dāng)a<0時(shí)在頂點(diǎn)處取得最大值4ac-bA2/4a

?⑺恒正恒負(fù)

a>0

①恒正

b~-4ac<0

②恒負(fù)

L［方一-74a0e<0n

?4.3韋達(dá)定理

根與系數(shù)關(guān)系（韋達(dá)定理），X!,X?是方程“+6x+c=0（畔0）的兩個(gè)根，則

bc

（1）一一,X|X=-

a2a

（2）1t2

?4.4不等式

?4.4.1不等式的定義

?用不等號(hào)連接的兩個(gè)（或者兩個(gè)以上）解析式

?4.4.2一元一次不等式

?含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為一次不等式.一般形式為:

八b

。>0=五>一

ax>b（a^。洪解a

八b,

a<0=>x<—

a

?4.4.3一元二次不等式的定義

?4.4.3不等式的基本性質(zhì)

?(1)傳遞性:

?a>b,b>c=>a>c

?(2)同向相加性：

a>b

>=a+b+d

c>d

?(3)同向皆正相乘性:

a>/>>0

>=ac>bd

c>d>0

?(4)皆正倒數(shù)性:

a>b>On—>—>0

ba

?(5)皆正乘方性：

a>b>0=>(f>bn>0(n€z4)

?五.數(shù)列

?5.1數(shù)列的基本定義和概念

?5.1.1數(shù)列的定義

?按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列.

?一般形式

…，簡(jiǎn)記為{%}

?5.1.2通項(xiàng)公式

an=/(〃)(第〃項(xiàng)a“與項(xiàng)數(shù)”之間的函數(shù)關(guān)系)?

?5.1.3數(shù)列的分類

?5.1.3.1按項(xiàng)分類

?有窮數(shù)列

?項(xiàng)數(shù)有限

?無(wú)窮數(shù)列

?項(xiàng)數(shù)無(wú)限

?5.132按an的增減性分類.

?遞增數(shù)列

(a”>，

nn-1

?遞減數(shù)列

(見<心

?擺動(dòng)數(shù)列

(例-1,1,J,1,…)

?常數(shù)數(shù)列

(例：6,6?6,...)

?有界數(shù)列

?無(wú)界數(shù)列

?5.1.3.3遞推公式(an與其前后項(xiàng)之間的關(guān)系式稱為遞推公式.)

?若已知數(shù)列的遞推關(guān)系式及首項(xiàng)，可以寫出其他項(xiàng)，因此遞推公式是

確定數(shù)列的一種重要方式.

?5.3.4數(shù)列前n項(xiàng)和

記為=q+/+/+…+%=Eq?

憶1

?5.1.3.5an與Sn的關(guān)系

?5.2等差數(shù)列

?1.定義

如果在數(shù)列｛明｝中，a,?-a,=d(常數(shù)y.neN'),則稱敷并包｝為等差效列,d為公差.

?2.通項(xiàng)公式

J

an=%+(〃T)d=ak+(n-k)d=dnt-(ax-d)

?3.等差中項(xiàng)：a,A,b成等差數(shù)列=>2A=a+b

?4.前n項(xiàng)和公式.

(q+a)n

2=na

212;卜如

?當(dāng)公差d不為0時(shí)，可將其抽象成關(guān)于n的二次函數(shù)

/(九)=

?特點(diǎn)

?(1)常數(shù)項(xiàng)為零，過(guò)零點(diǎn).

?(2)開口方向由d的符號(hào)決定.

?(3)二次項(xiàng)系數(shù)為半公差(d/2)

?(4)對(duì)稱軸x=1/2-al/d(求最值)。

?(5)若d不為零，則等差數(shù)列的前n項(xiàng)和只能為二次函數(shù)；

?(6)若d等于零，則退化成一次函數(shù)，二次函數(shù)各項(xiàng)系數(shù)之和

是首項(xiàng).

?5.等差數(shù)列的性質(zhì)

(1)角標(biāo)性質(zhì)：若in.”，/?上乏2',川+>1=//*貝必~+。(,=4+%

(2)為等差數(shù)列，力為前"項(xiàng)的和.則，，4n一$北，…仍為等龍數(shù)

列.其公差為“％.

(3)｛4｝為等差散列其前“項(xiàng)和為S”.則.色怎」

｛b.｝為等差數(shù)列其前?項(xiàng)和為7；4

?5.3等比數(shù)列

?1.定義

如果在數(shù)列｛4｝中，￡立=<7(常量).則稱數(shù)列也｝為等比數(shù)列，q為公比

?2.通項(xiàng)

?3.等比中項(xiàng)

a,GR成等比數(shù)列,^lG2=ab

?4.前n項(xiàng)和公式

X9=1)

4。-q")_/+*一(qW0且g#1)

?5.無(wú)窮遞減等比數(shù)列前n項(xiàng)和

對(duì)于無(wú)力通縮等比數(shù)列(IgKLgwO)，當(dāng)時(shí)，q'-?0.從而存在所有項(xiàng)和為

s=a.

?6.等比數(shù)列性質(zhì)

（I）角標(biāo)性質(zhì),若e，n,/tAsZ'm+n=/+A則a.Q.

(2〉芳，為等比數(shù)列前n項(xiàng)和,則兄,$“-艮,5“-$?小?仍為驊比敬列,其公比為/

⑶S"」--

sm\-qm

*幾何

?五平面幾何

?5.1三角形

?5.1.1三角形的角

?a.內(nèi)角之和為180。,外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和.

?b.n邊形內(nèi)角和為(n-2)*180

?5.1.2三邊關(guān)系

?任意兩邊之和大于第三邊，即a+b>c;任意兩邊之差小于第三邊，即a-b

<c

?5.1.3面積公式

S—；ah=yjp(p-a)(p-b)(p-c)=—absinC?p=；(a+b+c)

?其中h是a邊上的高，C是a,b邊所夾的角，p為三角形的半周長(zhǎng).

?5.1.4三角形的全等.

?概念

?相似三角形的全等，數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)就是兩個(gè)三角形等價(jià)，這樣的兩個(gè)

三角形具有相同的邊長(zhǎng)、角、面積等.

?(1)全等條件

?①SSS

?②SAS

?③ASA

?(2)只要看到折疊翻轉(zhuǎn)馬上找全等.

?5.1.5三角形的相似

?相似條件

?(1)AAS

?(2)夾角相等，夾角兩邊成比例

?(3)只要看到平行馬上找相似

?(4)相似比

?①相似三角形(相似圖形)對(duì)應(yīng)邊的比相等(即為相似比)

二k

?②相似三角形（相似圖形）的高、中線、角平分線的比也等于相

似比

?③相似三角形（相似圖形）的周長(zhǎng)比等于相似比，即

￡1

=k

。2

?④相似三角形（相似圖形）的面積比等于相似比的平方，即

鼠=k2

S2

?5.1.6特殊三角形(直角、等腰、等邊)

?(1)直角三角形

?①勾股定理

?cA2=aA2+bA2:

?常用的勾股數(shù)

?(3,4,5)

?(6,8,10)

?(5,12,13)

?(7,24,25)

?(8,15,17)

?②面積

?s=l/2ab

?③特殊直角三角形

1)30°,60°,90°a:b:c=\：yl3:2

2)45°,45°,90°a:/?:c=l:l:V2,s=-a2

2

?(2)等邊三角形高與邊的比

?也：2=(也)/2:1

?(3)等邊三角形面積與邊長(zhǎng)的關(guān)系：

?s=(Y3)/4a八2

&胸小喈形

?四邊形

?平行四邊形

?設(shè)兩邊邊長(zhǎng)為a,b,底邊的高為h,則S=bh,周長(zhǎng)C=2(a+b)

?菱形、矩形、梯形

?1.菱形：設(shè)四邊邊長(zhǎng)為a,以a為底邊的高為h,則面積S=ah=

1/211*12,(11>wl2分別為對(duì)角線的長(zhǎng)度)。

?2.矩形(正方形)；設(shè)兩邊邊長(zhǎng)為a,t^US=ab,周長(zhǎng)C=2(a+b),對(duì)

角線1=d(a八2+bA2).

?3.梯形：上底為a,下底為b,高為h,則中位線1=l/2(a+b)面積s

=(a+b)h

?圓和扇形

常見角度與孤度的對(duì)應(yīng)關(guān)系

角度30。45。60°90°vxr1ST360。

<斤廳?7n2r

7TT

?一.圓

?圓的圓心為O,半徑為r,則周長(zhǎng)為C=2兀r,面積是$=兀1八2.

?二.扇形弧長(zhǎng)

x2?r,其中。為扇形角的瓠度數(shù)，0為扇形角的角度，r為扇形半徑.

360

?三.扇形面積

S=—x^r2=l/r，a為扇形角的角度，r為扇形半徑.

360。2

?四.圓周角

?五.圓心能

?六.弦

?七.切線

?八.弦切角

?九.弓形

?十.扇形

?六解析幾何

?點(diǎn)

?點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中的表示：P(x,y)

I-兩點(diǎn)與BIX?,、？)之何的距離：d=J(z-工爐+(%-%了.

(記憶a訣：橫坐標(biāo)型的平方,加I一縱坐標(biāo)卷的平方,再開根號(hào).)

2./(X1,yJ和B(x-yj中點(diǎn)公式

?線

?直線的傾斜角和斜率

?1.傾斜角：直線與X軸正方向所成的夾角，稱為傾斜角，記為a。其中

要求a￡[0,無(wú))

?2.斜率：傾斜角的正切值為斜率，記為k=tana,(ait/2)

?3.兩點(diǎn)斜率公式：設(shè)直線1上有兩個(gè)點(diǎn)Pl(xl,yl),P2(x2,y2)則：k=y2-

yl/x2-xl(x2/xl)

?直線方程的幾種形式

斜藏式一般式

位置關(guān)系4：4：qx+4/=0,

k"&x+a/2:%x+M+q=O

w4=收4地

034c2

相交*!**：

a2b2

垂自414

柚=T—?—=-1o"修+她=0

(相交的特殊情況)aa

?斜截式

斜率為大，在1y軸匕的截距為/>(即過(guò)點(diǎn)?(0,6))的內(nèi)線方程為y=+

?點(diǎn)斜式

過(guò)點(diǎn)P(%,%)，斜率為％的直線方程為y-為=%(%-%))

?截距式

在x軸上的腳11為a(即過(guò)點(diǎn)耳(a,O)),在y軸上的截即為6(即過(guò)點(diǎn)8(06))的在校方

程為日+*=1,(a*016#0).

ab

?兩點(diǎn)式

過(guò)兩個(gè)點(diǎn)4（%,必），￡（士,必）的直線方程為（苦工馬，必工外）?

以占"*%

?一般式

ax+by+c=0（%方不全為零）.

注：

（1）a=0

（2）b=0

（3）c=0

?距離

（1）點(diǎn)p（Xo，）b倒直線a+by+c=卿J矩離d=.

y/a2+fr2

（2）平行直線.以+如+C[=0與℃+協(xié)，+。，=0nd=，L

d『+b2

g

■圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:■0出）八2+（丫0?m八2二1八2,其中圓心為（a,b）,半徑為r

?1.a=0,圓心為（0,b）,在y軸上，展開式無(wú)一次項(xiàng)x

?2.b=0,圓心為（a,0）,在x軸上，展開式無(wú)一次項(xiàng)y

?3.a=0,b=0圓心在原點(diǎn)，展開式無(wú)x,無(wú)y

?4.1x01=r,與y軸相切

?5.lyOI=r,與x軸相切

?6.1x01=r,lyOI=i?，與x軸，y軸均相切

?一^殳方程：.

?配方后得到：

?圓心坐標(biāo)Ga/2,-b/2）,半徑r=4（aA2+bA2-4c）/2>0

?圓存在的充要條件aA2+bA2-4c>0

?c=0,一定過(guò)圓心

?點(diǎn)和圓的關(guān)系

點(diǎn)八%>?，阿a-.y+&-%y=>

點(diǎn)在圜內(nèi)；

點(diǎn)在憾內(nèi)

（1與八酬?"）'"二點(diǎn)在Bl上

夕,點(diǎn)在1?外

直線/,y^kx-^bt3d為圓心到電線/的距離.

I.00.(x-j^y+(y-^0)-r\(x.,y°)

目找與圓位置關(guān)索圖形成立條件（幾何我示）

X*--

相離I??1d>r

11t

相切(?.)d^r

相交d<r

?圓與圓的位置關(guān)系

兩OK位置

圖彩成立條件（幾何表示》內(nèi)公切發(fā)條K外公切找條數(shù)

關(guān)系

外H或d22

(

外切g(shù)4=。+々12

(

相文84-q<dv/;+q02

內(nèi)切(ed=ri-rz01

內(nèi)含?dy-400

■q.（x-x,y+Or-.r,）I?<；9Q>（1-/）2+。-塌：=4'<不妨孫

d為Hi心&,jJ與（.，力）的圜心距，

?對(duì)稱

點(diǎn)夕(x(),yo)

直線ox+加+c=0?=>關(guān)于Pi(xQi)對(duì)稱

(x-a)2+(y-b)2=r1

?點(diǎn)和直線與圓的位置關(guān)系求切線

nu：moumtMta關(guān)以批0修；4.

的？廣劃三匕二”生沙飽晟礴能解

廿必*j四）匡萬(wàn)喇y二廣康）殊佟立上4a/

胃e蝎』蟲甲吆LP應(yīng)H）即加回加*?《管：彼敏布布吸制滴募跳:一

據(jù)購(gòu)華麗味出上必徵加用崛能，，

夕汕g）城心洶口2

掰恢3M怵0小城影*味依）樽?。螲

?點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱公式

。陽(yáng)必）￥摳住例堤K二次的夠功每

4Mc①《旎?/二皈堀十

-?/七簫色#q

?五大特殊對(duì)稱

?最值問(wèn)題

1.動(dòng)點(diǎn)p在圓(x-xO)八2+(y-yO)=rA2上運(yùn)動(dòng)，則y-b/x-a的最值

a”;川⑹與目力也拈

。加次設(shè)二Y

0公

@

V*1\1Vj<^T

。而％

?2.動(dòng)點(diǎn)p在圓(x?xO)A2+(y-yO)A2=rA2上運(yùn)動(dòng)，則ax+by的最值

?3.動(dòng)點(diǎn)p在4ABC上運(yùn)動(dòng)，則ax+by的最值

?七立體幾何

?長(zhǎng)方體

?設(shè)3條相鄰的棱邊長(zhǎng)是a,b,c.

?1.全面積：F=2(ab+be+ac).

?2.體積：V=abc

?3.體對(duì)角線：d=A2+bA2+cA2

?4.所有棱長(zhǎng)和：1=4(a+b+c).

?當(dāng)a=b=c時(shí)的長(zhǎng)方體稱為正方體，且有§全=6aA2,V=aA3,d=43a

?柱體

?一.柱體的分類

?圓柱

?底面為圓的柱體稱為圓柱.

?棱柱

?底面對(duì)多邊形的柱體稱為棱柱，底面為n邊形的就稱為n棱柱

?二.對(duì)于圓柱的公式：設(shè)高為h,底面半徑為r.

?體積：V=兀r八2h.

?側(cè)面積：S=2兀rh（其側(cè)面展開圖為一個(gè)長(zhǎng)為2兀r,寬h的長(zhǎng)方形）

?全面積：F=S側(cè)+2S底=2兀rh+2TO?八2.

設(shè)球的半徑為，.

L球衣面積.S=4nr2：

4

2.球的體現(xiàn),

長(zhǎng)方體、正方體、圓柱與球的關(guān)系

設(shè)B1柱底面咨徑為，，球半徑為及，目柱的鳥為人.

內(nèi)切球（半徑為R）外接球（豐在為R）

長(zhǎng)方體無(wú).只有正方體才有體對(duì)角畿7?2衣

正方體檢氏a=2*體對(duì)角找/=火（2尺=癡）

只有軸檢而是正方形的園柱才有，此時(shí)有

囪柱4#+(川=2R

2r=h^2R

?排列組合

?基礎(chǔ)理論知識(shí)

?兩個(gè)基本原理

內(nèi)容加法厚通X庚原哥

I.科類獨(dú)立完鳥生?___________缺少任何一??部無(wú)出克成

幃征分城兒類就有幾可處_________________一或幾――幾■相察

衿號(hào)________上號(hào)_________________麋號(hào)

初I班?不??</互幅干就?要分英I出現(xiàn)需要若干過(guò)桎成環(huán)節(jié)才mm.胃公，

「并存學(xué)分費(fèi)與分步同乃出現(xiàn).一定?較現(xiàn)分類，再隸現(xiàn)分步I

?一.加法原理

?定義

?如果完成一件事可以有N類辦法，若第一類辦法中有m