2023屆江西省南昌市蓮塘鎮(zhèn)第一中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知向量，且，則（）A．2 B． C． D．2．關(guān)于x的不等式的解集是，則關(guān)于x的不等式的解集是（）A． B．C． D．3．某公司在甲、乙、丙、丁四個(gè)地區(qū)分別有150，120，180，150個(gè)銷(xiāo)售點(diǎn)．公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷(xiāo)售情況，需從這600個(gè)銷(xiāo)售點(diǎn)中抽取一個(gè)容量為100的樣本．記這項(xiàng)調(diào)查為①；在丙地區(qū)有20個(gè)大型銷(xiāo)售點(diǎn)，要從中抽取7個(gè)調(diào)查其銷(xiāo)售收入和售后服務(wù)等情況，記這項(xiàng)調(diào)查為②，則完成①，②這兩項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是()A．分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法 B．分層抽樣法，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法C．系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法 D．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法，分層抽樣法4．已知向量，，若，則的值為（）A． B．1 C． D．5．設(shè)變量滿(mǎn)足約束條件：，則的最小值（）A． B． C． D．6．已知,,為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的外接圓方程是（）A． B．C． D．7．已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，在底面內(nèi)的射影為的中心，則與底面所成角的正弦值等于（）A． B． C． D．8．當(dāng)前，我省正分批修建經(jīng)濟(jì)適用房以解決低收入家庭住房緊張問(wèn)題．已知甲、乙、丙三個(gè)社區(qū)現(xiàn)分別有低收入家庭360戶(hù)、270戶(hù)、180戶(hù)，若第一批經(jīng)濟(jì)適用房中有90套住房用于解決這三個(gè)社區(qū)中90戶(hù)低收入家庭的住房問(wèn)題，先采用分層抽樣的方法決定各社區(qū)戶(hù)數(shù)，則應(yīng)從乙社區(qū)中抽取低收入家庭的戶(hù)數(shù)為（）A．30 B．40 C．20 D．369．在中，已知，則的面積為（）A． B． C． D．10．sin480°等于（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知等差數(shù)列的公差為，且，其前項(xiàng)和為，若滿(mǎn)足，，成等比數(shù)列，且，則______，______.12．齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機(jī)選一匹進(jìn)行一場(chǎng)比賽，則田忌的馬獲勝的概率為_(kāi)_________．13．半徑為的圓上，弧長(zhǎng)為的弧所對(duì)圓心角的弧度數(shù)為_(kāi)_______．14．已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)P在邊上,點(diǎn)Q在邊的延長(zhǎng)線(xiàn)上,若,則的最小值為_(kāi)_____.15．函數(shù)，的遞增區(qū)間為_(kāi)_____.16．如圖為函數(shù)（，，，）的部分圖像，則函數(shù)解析式為_(kāi)_______三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．如圖長(zhǎng)方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)（1）求證:平面平面；（2）請(qǐng)?jiān)诖痤}卡圖形中畫(huà)出直線(xiàn)與平面的交點(diǎn)（保留必要的輔助線(xiàn)），寫(xiě)出畫(huà)法并計(jì)算的值（不必寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程）．18．2019年4月23日“世界讀書(shū)日”來(lái)臨之際，某校為了了解中學(xué)生課外閱讀情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，并獲得了他們一周課外閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)）的數(shù)據(jù)，按閱讀時(shí)間分組：第一組[0,5),第二組[5,10)，第三組[10,15)，第四組[15,20)，第五組[20,25]，繪制了頻率分布直方圖如下圖所示．已知第三組的頻數(shù)是第五組頻數(shù)的3倍．（1）求的值，并根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該校學(xué)生一周課外閱讀時(shí)間的平均值；（2）現(xiàn)從第三、四、五這3組中用分層抽樣的方法抽取6人參加校“中華詩(shī)詞比賽”．經(jīng)過(guò)比賽后，從這6人中隨機(jī)挑選2人組成該校代表隊(duì)，求這2人來(lái)自不同組別的概率．19．如圖，是的直徑，所在的平面，是圓上一點(diǎn)，，.（1）求證：平面平面；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正切值.20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M點(diǎn)為圓心的圓及其上一點(diǎn).（1）設(shè)圓N與y軸相切，與圓M外切，且圓心在直線(xiàn)上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)平行于OA的直線(xiàn)l與圓M相交于B，C兩點(diǎn)且，求直線(xiàn)l的方程.21．已知向量，，函數(shù)．（1）若，求的取值集合；（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

根據(jù)向量平行得到，再利用和差公式計(jì)算得到答案.【詳解】向量，且，則..故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了向量平行求參數(shù)，和差公式，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.2、D【解析】

由不等式與方程的關(guān)系可得且，則等價(jià)于，再結(jié)合二次不等式的解法求解即可.【詳解】解：由關(guān)于x的不等式的解集是，由不等式與方程的關(guān)系可得且，則等價(jià)于等價(jià)于，解得，即關(guān)于x的不等式的解集是，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式與方程的關(guān)系，重點(diǎn)考查了二次不等式的解法，屬基礎(chǔ)題.3、B【解析】

此題為抽樣方法的選取問(wèn)題．當(dāng)總體中個(gè)體較少時(shí)宜采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法；當(dāng)總體中的個(gè)體差異較大時(shí)，宜采用分層抽樣；當(dāng)總體中個(gè)體較多時(shí)，宜采用系統(tǒng)抽樣．【詳解】依據(jù)題意，第①項(xiàng)調(diào)查中，總體中的個(gè)體差異較大，應(yīng)采用分層抽樣法；第②項(xiàng)調(diào)查總體中個(gè)體較少，應(yīng)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法．

故選B．【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)抽樣知識(shí)，屬基本題型、基本概念的考查．4、B【解析】

直接利用向量的數(shù)量積列出方程求解即可．【詳解】向量，，若，可得2﹣2＝0，解得＝1，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5、D【解析】

如圖作出可行域，知可行域的頂點(diǎn)是A（－2，2）、B()及C(－2，－2)，平移，當(dāng)經(jīng)過(guò)A時(shí)，的最小值為-8，故選D.6、A【解析】

根據(jù)圓的幾何性質(zhì)判斷出是直徑，由此求得圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而求得三角形外接圓的方程.【詳解】由于直角對(duì)的弦是直徑，故是圓的直徑，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，化簡(jiǎn)得，故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角形外接圓的方程的求法，考查圓的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】由題意不妨令棱長(zhǎng)為，如圖在底面內(nèi)的射影為的中心，故由勾股定理得過(guò)作平面，則為與底面所成角，且如圖作于中點(diǎn)與底面所成角的正弦值故答案選點(diǎn)睛：本題考查直線(xiàn)與平面所成的角，要先過(guò)點(diǎn)作垂線(xiàn)構(gòu)造出線(xiàn)面角，然后計(jì)算出各邊長(zhǎng)度，在直角三角形中解三角形．8、A【解析】

先求出每個(gè)個(gè)體被抽到的概率,再由乙社區(qū)的低收入家庭數(shù)量乘以每個(gè)個(gè)體被抽到的概率,即可求解【詳解】每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為,乙社區(qū)由270戶(hù)低收入家庭,故應(yīng)從乙中抽取低收入家庭的戶(hù)數(shù)為,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題9、B【解析】

根據(jù)三角形的面積公式求解即可.【詳解】的面積.

故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的面積公式,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】試題分析：因?yàn)椋赃xD.考點(diǎn)：誘導(dǎo)公式，特殊角的三角函數(shù)值.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、2【解析】

由，可求出，再由，，成等比數(shù)列，可建立關(guān)系式，求出，進(jìn)而求出即可.【詳解】由，可知，即，又，，成等比數(shù)列，所以，則，即，解得或，因?yàn)椋?，，所?故答案為：2；.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列前項(xiàng)和的求法，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.12、.【解析】分析：由題意結(jié)合古典概型計(jì)算公式即可求得題中的概率值.詳解：由題意可知了，比賽可能的方法有種，其中田忌可獲勝的比賽方法有三種：田忌的中等馬對(duì)齊王的下等馬，田忌的上等馬對(duì)齊王的下等馬，田忌的上等馬對(duì)齊王的中等馬，結(jié)合古典概型公式可得，田忌的馬獲勝的概率為.點(diǎn)睛：有關(guān)古典概型的概率問(wèn)題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)．(1)基本事件總數(shù)較少時(shí)，用列舉法把所有基本事件一一列出時(shí)，要做到不重復(fù)、不遺漏，可借助“樹(shù)狀圖”列舉．(2)注意區(qū)分排列與組合，以及計(jì)數(shù)原理的正確使用.13、【解析】

根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】由弧長(zhǎng)公式可得故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

以為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，用t表示，求其最小值即可得到本題答案.【詳解】過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線(xiàn)，垂足為O，以為軸建立平面直角坐標(biāo)系.作PM垂直BC交于點(diǎn)M，QH垂直y軸交于點(diǎn)H，CN垂直HQ交于點(diǎn)N.設(shè)，則，故有所以，，當(dāng)時(shí)，取最小值.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查利用建立平面直角坐標(biāo)系解決向量的取值范圍問(wèn)題.15、[0，](開(kāi)區(qū)間也行)【解析】

根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，以及題中條件，即可求出結(jié)果.【詳解】由得：，又，所以函數(shù)，的遞增區(qū)間為.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，熟記正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可，屬于常考題型.16、【解析】

由函數(shù)的部分圖像，先求得，得到，再由，得到，結(jié)合，求得，即可得到函數(shù)的解析式.【詳解】由題意，根據(jù)函數(shù)的部分圖像，可得，所以，又由，即，又由，即，解得，即，又因?yàn)?，所以，所?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用三角函數(shù)的圖象求解函數(shù)的解析式，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見(jiàn)證明；(2)；畫(huà)圖見(jiàn)解析【解析】

（1）推導(dǎo)出平面，得出，得出，從而得到，進(jìn)而證出平面，由此證得平面平面．（2）根據(jù)通過(guò)輔助線(xiàn)推出線(xiàn)面平行再推出線(xiàn)線(xiàn)平行，再根據(jù)“一條和平面不平行的直線(xiàn)與平面的公共點(diǎn)即為直線(xiàn)與平面的交點(diǎn)”得到點(diǎn)位置，然后計(jì)算的值．【詳解】（1）證明：在長(zhǎng)方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，所以平面，則，在中，，在中，，所以，因?yàn)樵谥校?，所以，所以，又因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面?）如圖所示：設(shè)，連接，取中點(diǎn)記為，過(guò)作，且，則.證明：因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以且；又因?yàn)椋?，所以且，所以四邊形為平行四邊形，則；又因?yàn)?，所以，且平面，所以平面；又因?yàn)?，則，平面，即點(diǎn)為直線(xiàn)與平面的交點(diǎn)；因?yàn)?，所以，則；且有上述證明可知：四邊形為平行四邊形，所以，所以，因?yàn)椋?【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)面位置關(guān)系的判定與證明，熟練掌握空間中線(xiàn)面位置關(guān)系的定義、判定、幾何特征是解答的關(guān)鍵，其中垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見(jiàn)類(lèi)型：(1)證明線(xiàn)面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)線(xiàn)平行；(2)證明線(xiàn)面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)線(xiàn)垂直；(3)證明線(xiàn)線(xiàn)垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)面垂直．18、（1）a=0.06，平均值為12.25小時(shí)（2）【解析】

（1）由頻率分布直方圖可得第三組和第五組的頻率之和，第三組的頻率，由此能求出a和該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，從而可估計(jì)該校學(xué)生一周課外閱讀時(shí)間的平均值；（2）從第3、4、5組抽取的人數(shù)分別為3、2、1，設(shè)為A，B，C，D，E，F(xiàn)，利用列舉法能求出從該6人中選拔2人，從而得到這2人來(lái)自不同組別的概率．【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得第三組和第五組的頻率之和為，第三組的頻率為∴該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)所以可估計(jì)該校學(xué)生一周課外閱讀時(shí)間的平均值為小時(shí)．（2）易得從第3、4、5組抽取的人數(shù)分別為3、2、1，設(shè)為，則從該6人中選拔2人的基本事件有：共15種，其中來(lái)自不同的組別的基本事件有：，共11種，∴這2人來(lái)自不同組別的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)、概率的求法，考查古典概型、頻率分布直方圖等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）2.【解析】

（1）首先證明平面，利用線(xiàn)面垂直推出平面平面；（2）找到直線(xiàn)與平面所成角所在三角形，利用三角形邊角關(guān)系求解即可.【詳解】（1）∵是直徑，∴，即，又∵所在的平面，在所在的平面內(nèi)，∴，∴平面，又平面，∴平面平面；（2）∵平面，∴直線(xiàn)與平面所成角即，設(shè)，∵，∴，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查了面面垂直的證明，直線(xiàn)與平面所成角的求解，屬于一般題.20、（1）（2）或.【解析】

（1）根據(jù)由圓心在直線(xiàn)y=6上，可設(shè)，再由圓N與y軸相切，與圓M外切得到圓N的半徑為和得解.（2）由直線(xiàn)l平行于OA，求得直線(xiàn)l的斜率，設(shè)出直線(xiàn)l的方程，求得圓心M到直線(xiàn)l的距離，再根據(jù)垂徑定理確定等量關(guān)系，求直線(xiàn)方程.【詳解】（1）圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心M（7，6），半徑為5,.由圓N圓心在直線(xiàn)y=6上，可設(shè)因?yàn)閳AN與y軸相切，與圓M外切所以，圓N的半徑為從而解得.所以圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）因?yàn)橹本€(xiàn)l平行于OA，所以直線(xiàn)l的斜率為.設(shè)直線(xiàn)l的方程為，即則圓心M到直線(xiàn)l的距離因?yàn)槎越獾没?故直線(xiàn)l的方程為或.【點(diǎn)睛】本題主要考查