2023-2023年高考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編 專題04 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（解答題）（理）（學(xué)生版+教師版含解析）

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專題04導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（解答題）（理）

知識(shí)點(diǎn)目錄

知識(shí)點(diǎn)1：恒成立與有解問(wèn)題

知識(shí)點(diǎn)2：極最值問(wèn)題

知識(shí)點(diǎn)3：證明不等式

知識(shí)點(diǎn)4：雙變量問(wèn)題（極值點(diǎn)偏移、拐點(diǎn)偏移）

知識(shí)點(diǎn)5：零點(diǎn)問(wèn)題

近三年高考真題

知識(shí)點(diǎn)1：恒成立與有解問(wèn)題

1．（2023甲卷（理））已知，．

（1）若，討論的單調(diào)性；

（2）若恒成立，求的取值范圍．

【解析】（1）已知，函數(shù)定義域?yàn)椋?/p>

若，此時(shí)，

可得

，

因?yàn)?，?/p>

所以當(dāng)，即時(shí)，，單調(diào)遞增；

當(dāng)，即時(shí)，，單調(diào)遞減；

（2）不妨設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)椋?/p>

，

令，，

此時(shí)，

不妨令，

可得，

所以單調(diào)遞增，

此時(shí)（1），

①當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞減，

此時(shí)，

則當(dāng)時(shí)，恒成立，符合題意；

②當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，

所以，

又（1），

所以在區(qū)間上存在一點(diǎn)，使得，

即存在，使得，

當(dāng)時(shí)，，

所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

可得當(dāng)時(shí)，，不符合題意，

綜上，的取值范圍為，．

2．（2023天津）已知，函數(shù)．

（1）求曲線在點(diǎn)，處的切線方程；

（2）證明函數(shù)存在唯一的極值點(diǎn)；

（3）若，使得對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

【解析】（1）因?yàn)椋?，而?/p>

所以在，處的切線方程為；

（2）證明：令，則，

令，則，令，解得，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

作出圖象，如圖，

所以當(dāng)時(shí)，與僅有一個(gè)交點(diǎn)，令，

則，且，

當(dāng)時(shí)，，，為增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，，為減函數(shù)；

所以時(shí)是的極大值點(diǎn)，故僅有一個(gè)極值點(diǎn)；

（3）由（2）知，

此時(shí)，，

所以，

令，

若存在，使對(duì)任意的恒成立，

則等價(jià)于存在，使得，即，

而，，

當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)增函數(shù)，

所以（1），故，

所以實(shí)數(shù)的取值范圍，．

3．（2023上海）已知函數(shù)，（其中，，，若任意，均有，則稱函數(shù)是函數(shù)的“控制函數(shù)”，且對(duì)所有滿足條件的函數(shù)在處取得的最小值記為．

（1）若，，試判斷函數(shù)是否為函數(shù)的“控制函數(shù)”，并說(shuō)明理由；

（2）若，曲線在處的切線為直線，證明：函數(shù)為函數(shù)的“控制函數(shù)”，并求的值；

（3）若曲線在，處的切線過(guò)點(diǎn)，且，，證明：當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，（c）（c）．

【解析】（1），設(shè)，

，當(dāng)，時(shí)，易知，即單調(diào)減，

，即，

是的“控制函數(shù)“；

（2），

，

，即為函數(shù)的“控制函數(shù)“，

又，且，；

證明：（3），，

在處的切線為，

，，（1）（1），

，

，

，

，

恒成立，

函數(shù)必是函數(shù)的“控制函數(shù)“，

是函數(shù)的“控制函數(shù)“，

此時(shí)“控制函數(shù)“必與相切于點(diǎn)，與在處相切，且過(guò)點(diǎn)，

在之間的點(diǎn)不可能使得在切線下方，所以或，

所以曲線在處的切線過(guò)點(diǎn)，且，，

當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，．

知識(shí)點(diǎn)2：極最值問(wèn)題

4．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．

(1)求的值；

(2)設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；

(3)求的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)．

【解析】（1）因?yàn)椋裕?/p>

因?yàn)樵谔幍那芯€方程為，

所以，，

則，解得，

所以.

（2）由（1）得，

則，

令，解得，不妨設(shè)，，則，

易知恒成立，

所以令，解得或；令，解得或；

所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，

即的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為和.

（3）由（1）得，，

由（2）知在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，，即

所以在上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為，則，

此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；

所以在上有一個(gè)極小值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，

則，故，

所以在上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為，則，

此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；

所以在上有一個(gè)極大值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，

則，故，

所以在上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為，則，

此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；

所以在上有一個(gè)極小值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，

所以，則單調(diào)遞增，

所以在上無(wú)極值點(diǎn)；

綜上：在和上各有一個(gè)極小值點(diǎn)，在上有一個(gè)極大值點(diǎn)，共有個(gè)極值點(diǎn).

5．（2023新高考Ⅱ）（1）證明：當(dāng)時(shí)，；參考答案

（2）已知函數(shù)，若為的極大值點(diǎn)，求的取值范圍．

【解析】（1）證明：設(shè)，，

則，，

在上單調(diào)遞減，

，

在上單調(diào)遞減，

，

即，，

，，

設(shè)，，

則，

在上單調(diào)遞增，

，，

即，，

，，

綜合可得：當(dāng)時(shí)，；

（2），，

且，，

①若，即時(shí)，

易知存在，使得時(shí)，，

在上單調(diào)遞增，，

在上單調(diào)遞增，這顯然與為函數(shù)的極大值點(diǎn)相矛盾，故舍去；

②若，即或時(shí)，

存在，使得，時(shí)，，

在，上單調(diào)遞減，又，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，滿足為的極大值點(diǎn)，符合題意；

③若，即時(shí)，為偶函數(shù)，

只考慮的情況，

此時(shí)，時(shí)，

，

在上單調(diào)遞增，與顯然與為函數(shù)的極大值點(diǎn)相矛盾，故舍去．

綜合可得：的取值范圍為，，．

6．（2023乙卷（理））已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程；

（2）是否存在，，使得曲線關(guān)于直線對(duì)稱，若存在，求，的值，若不存在，說(shuō)明理由；

（3）若在存在極值，求的取值范圍．

【解析】（1）時(shí)，（1），

，（1），

曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為．

（2），定義域?yàn)?，，?/p>

要使函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱，則由，且，可知，

即的圖像關(guān)于對(duì)稱，

則（1），，

得，解得．

綜上，，；

（3），

要使在存在極值點(diǎn)，則方程有正根，

記，，，

①當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，，不符合題意；

②當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，，不符合題意；

③當(dāng)時(shí)，令，，令，，

故在上單調(diào)遞增，，不符合題意；

易知時(shí)，，

故只需，

記，，，

故在上單調(diào)遞增，

（2），

故取，，有，即，符合題意；

綜上所述，時(shí)，在存在極值點(diǎn)．

知識(shí)點(diǎn)3：證明不等式

7．（2022新高考Ⅱ）已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍；

（3）設(shè)，證明：．

【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，

，

，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．

（2）令，

，，

在上恒成立，

又，

令，則，

，

①當(dāng)，即，存在，使得當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增．

因?yàn)椋栽趦?nèi)遞增，所以，這與矛盾，故舍去；

②當(dāng)，即，

，

若，則，

所以在，上單調(diào)遞減，，符合題意．

若，則，

所以在上單調(diào)遞減，，符合題意．

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．

另的導(dǎo)數(shù)為，

①當(dāng)時(shí)，，

所以在遞增，所以，與題意矛盾；

②當(dāng)時(shí)，，

所以在遞減，所以，滿足題意；．

③當(dāng)時(shí)，．

設(shè)，，則在遞減，所以，

，所以在遞減，所以，滿足題意；

④當(dāng)時(shí)，，

令，則，，

可得遞減，，

所以存在，使得．當(dāng)時(shí)，，

在遞增，此時(shí)，

所以當(dāng)時(shí)，，在遞增，所以，與題意矛盾．

綜上可得，的取值范圍是，．

（3）由（2）可知，當(dāng)時(shí)，，

令得，，

整理得，，

，

，，

即．

另運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明．

當(dāng)時(shí)，左邊成立．

假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即．

當(dāng)時(shí)，要證，

只要證，

即證．

可令，則，，則需證明，

再令，則需證明．

構(gòu)造函數(shù)，，

，

可得在，上遞減，

則（1），所以原不等式成立，

即時(shí)，成立．

綜上可得，成立．

8．（2023新高考Ⅰ）已知函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）證明：當(dāng)時(shí)，．

【解析】（1），

則，

①當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞減，

②當(dāng)時(shí)，令得，，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增，

綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．

證明：（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，

要證，只需證，

只需證，

設(shè)（a），，

則（a），

令（a）得，，

當(dāng)時(shí)，（a），（a）單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，（a），（a）單調(diào)遞增，

所以（a），

即（a），

所以得證，

即得證．

9．（2023乙卷（理））已知函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．

（1）求；

（2）設(shè)函數(shù)．證明：．

【解析】（1）由題意，的定義域?yàn)椋?/p>

令，則，，

則，

因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，則有，即，所以，

當(dāng)時(shí)，，且，

因?yàn)椋?/p>

則在上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

所以時(shí)，是函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)．

綜上所述，；

（2）證明：由（1）可知，，

要證，即需證明，

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

所以需證明，即，

令，

則，

所以，當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

所以為的極小值點(diǎn)，

所以，即，

故，

所以．

10．（2023天津）已知函數(shù)．

（Ⅰ）求曲線在處的切線斜率；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證：；

（Ⅲ）證明：．

【解析】（Ⅰ）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，可得，

則曲線在處的切線斜率為（2）；

（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，，即，即，

而在上單調(diào)遞增，

因此，原不等式得證；

（Ⅲ）證明：設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，

則；

當(dāng)時(shí)，，

由（2），，

故，不等式右邊得證；

要證，只需證：對(duì)任意的，，

令，則，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

則，即，

則，

因此當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，累加得

，

又，，

故，即得證．

知識(shí)點(diǎn)4：雙變量問(wèn)題（極值點(diǎn)偏移、拐點(diǎn)偏移）

11．（2023新高考Ⅰ）已知函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：．

【解析】（1）由函數(shù)的解析式可得，

，，單調(diào)遞增，

，，單調(diào)遞減，

則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．

（2）證明：由，得，

即，

由（1）在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

所以（1），且（e），

令，，

則，為的兩根，其中．

不妨令，，則，

先證，即證，即證，

令，

則在單調(diào)遞減，

所以（1），

故函數(shù)在單調(diào)遞增，

（1）．，，得證．

同理，要證，

（法一）即證，

根據(jù)（1）中單調(diào)性，

即證，

令，，

則，令，

，，單調(diào)遞增，

，，，單調(diào)遞減，

又時(shí)，，且（e），

故，

（1）（1），

恒成立，

得證，

（法二），，

又，故，，

故，，

令，，，

在上，，單調(diào)遞增，

所以（e），

即，所以，得證，

則．

12．（2022天津）已知，，函數(shù)，．

（1）求函數(shù)在，處的切線方程；

（2）若和有公共點(diǎn)．

（?。┊?dāng)時(shí)，求的取值范圍；

（ⅱ）求證：．

【解析】（1），，

，，

函數(shù)在處的切線方程為；

（2）（?。?，，又和有公共點(diǎn)，

方程有解，

即有解，顯然，

在上有解，

設(shè)，，

，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，，

在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，

，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

，，

的范圍為，；

（ⅱ）證明：令交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，

由柯西不等式可得

，

又易證時(shí)，，，，

，

故．

13．（2022浙江）設(shè)函數(shù)．

（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）已知，，曲線上不同的三點(diǎn)，，，，，處的切線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)．證明：

（?。┤?，則（a）；

（ⅱ）若，，則．

（注是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

【解析】（Ⅰ）函數(shù)，

，，

由，得，在，上單調(diào)遞增；

由，得，在上單調(diào)遞減．

（Ⅱ）證明：過(guò)有三條不同的切線，

設(shè)切點(diǎn)分別為，，，，，，

，，2，，方程有3個(gè)不同的根，

該方程整理為，

設(shè)，

則，

當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

在，上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，

有3個(gè)不同的零點(diǎn)，（e）且（a），

，且，

整理得到且，

此時(shí)，，且，

此時(shí)，，

整理得，且，

此時(shí)，（a），

設(shè)（a）為上的減函數(shù)，（a），

．

當(dāng)時(shí)，同討論，得：

在，上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，

不妨設(shè)，則，

有3個(gè)不同的零點(diǎn)，（a），且（e），

，且，

整理得，

，，

，

設(shè)，則方程即為：

，即為，

記，

則，，為有三個(gè)不同的根，

設(shè)，，

要證：，

即證，

即證：，

而，且，

，

，

即證，

即證，

即證，

記，則，

在為增函數(shù)，，

，

設(shè)，，

則，

在上是增函數(shù)，（1），

，

即，

若，，則．

14．（2022北京）已知函數(shù)．

（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)，處的切線方程；

（Ⅱ）設(shè)，討論函數(shù)在，上的單調(diào)性；

（Ⅲ）證明：對(duì)任意的，，有．

【解析】（Ⅰ）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得：，

將代入原函數(shù)可得，將代入導(dǎo)函數(shù)可得：，

故在處切線斜率為1，故，化簡(jiǎn)得：；

（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）有：，

，

令，令，

設(shè)，恒成立，

故在，單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?/p>

故在，恒成立，故，

故在，單調(diào)遞增；

解法二：由（Ⅰ）有：，

，

設(shè)，，則，

由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得上上是增函數(shù)，且，

，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

且當(dāng)時(shí)，，

在，單調(diào)遞增．

（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）有在，單調(diào)遞增，又，

故在，恒成立，故在，單調(diào)遞增，

設(shè)，，

由（Ⅱ）有在，單調(diào)遞增，又因?yàn)椋裕?/p>

故單調(diào)遞增，又因?yàn)?，故?/p>

即：，又因?yàn)楹瘮?shù)，

故，得證．

知識(shí)點(diǎn)5：零點(diǎn)問(wèn)題

15．（2022甲卷（理））已知函數(shù)．

（1）若，求的取值范圍；

（2）證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，，則．

【解析】（1）的定義域?yàn)椋?/p>

令，解得，故函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，

故（1），要使得恒成立，僅需，

故，故的取值范圍是，；

（2）證明：由已知有函數(shù)要有兩個(gè)零點(diǎn)，故（1），即，

不妨設(shè)，要證明，即證明，

，，

即證明：，又因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，

即證明：，

構(gòu)造函數(shù)，，

，

構(gòu)造函數(shù)，

，因?yàn)?，所以?/p>

故在恒成立，故在單調(diào)遞增，

故（1）

又因?yàn)?，故在恒成立，故在單調(diào)遞增，

又因?yàn)椋?），故（1），

故，即．得證．

16．（2022新高考Ⅰ）已知函數(shù)和有相同的最小值．

（1）求；

（2）證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．

【解析】（1）定義域?yàn)椋?/p>

，

，

若，

則，無(wú)最小值，

故，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

故，

的定義域?yàn)椋?/p>

，

，

令，解得，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，

故，

函數(shù)和有相同的最小值

，

，

化為，

令，，

則，

，

恒成立，

在上單調(diào)遞增，

又（1），

（a）（1），僅有此一解，

．

（2）證明：由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

設(shè)，

則，當(dāng)時(shí)，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?），

所以當(dāng)時(shí)，（1）恒成立，即在時(shí)恒成立，

所以時(shí)，，

因?yàn)?，函?shù)在上單調(diào)遞增，（1），函數(shù)在上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)與函數(shù)的圖象在上存在唯一交點(diǎn)，設(shè)該交點(diǎn)為，，

此時(shí)可作出函數(shù)和的大致圖象，

由圖象知當(dāng)直線與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，

直線必經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，即，

因?yàn)椋?，即?/p>

令得，解得或，由，得，

令得，解得或，由，得，

所以當(dāng)直線與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，

從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為，，，，

因?yàn)?，所以?/p>

所以，，成等差數(shù)列．

存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．

17．（2023新高考Ⅱ）已知函數(shù)．

（Ⅰ）討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：恰有一個(gè)零點(diǎn)．

①，；

②，．

【解析】（Ⅰ），，

①當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

②當(dāng)時(shí)，令，可得或，

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

在，，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，

時(shí)，

且等號(hào)不恒成立，在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

在，，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．

綜上所述：

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在，和上單調(diào)遞增；在，上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在和，上單調(diào)遞增；在，上單調(diào)遞減．

（Ⅱ）證明：若選①，由（Ⅰ）知，在上單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減，，上單調(diào)遞增．

注意到．

在上有一個(gè)零點(diǎn)；

，

由得，，

，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無(wú)零點(diǎn)．

綜上：在上僅有一個(gè)零點(diǎn)．

另當(dāng)，時(shí)，有，，

而，于是

，

所以在沒(méi)有零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，

于是，所以在，上存在一個(gè)零點(diǎn)，命題得證．

若選②，則由（Ⅰ）知：在，上單調(diào)遞增，

在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

，

，，，，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無(wú)零點(diǎn)．

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，注意到，

取，，，又易證，

，

在上有唯一零點(diǎn)，即在上有唯一零點(diǎn)．

綜上：在上有唯一零點(diǎn)．

18．（2023浙江）設(shè)，為實(shí)數(shù)，且，函數(shù)．

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若對(duì)任意，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求的取值范圍；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)任意，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，滿足．

（注是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

【解析】（Ⅰ），

①當(dāng)時(shí)，由于，則，故，此時(shí)在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，

此時(shí)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；

綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；

（Ⅱ）注意到時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

由（Ⅰ）知，要使函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，只需即可，

對(duì)任意均成立，

令，則，即，即，即，

對(duì)任意均成立，

記，則，

令（b），得，

①當(dāng)，即時(shí)，易知（b）在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

此時(shí)（b），不合題意；

②當(dāng)，即時(shí)，易知（b）在，單調(diào)遞減，

此時(shí)，

故只需，即，則，即；

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為，；

（Ⅲ）證明：當(dāng)時(shí)，，，令，解得，

易知，

有兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)為，，且，

由，可得，

要證，只需證，只需證，

而，則，

要證，只需證，只需證，

而，

，即得證．

19．（2023甲卷（理））已知且，函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．

【解析】（1）時(shí)，，

，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，

故在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．

（2）由題知在有兩個(gè)不等實(shí)根，

，

令，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

又當(dāng)時(shí)，，（1），（e），當(dāng)時(shí)，，

作出的圖象，如圖所示：

由圖象可得，解得且，

即的取值范圍是，，．

20．（2022年全國(guó)乙卷）已知函數(shù)

(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

(2)若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．

【答案】(1)(2)

【解析】

【分析】

（1）先算出切點(diǎn),再求導(dǎo)算出斜率即可

（2）求導(dǎo),對(duì)分類(lèi)討論,對(duì)分兩部分研究

(1)

的定義域?yàn)?/p>

當(dāng)時(shí),,所以切點(diǎn)為,所以切線斜率為2

所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為

(2)

設(shè)

若,當(dāng),即

所以在上單調(diào)遞增,

故在上沒(méi)有零點(diǎn),不合題意

若,當(dāng),則

所以在上單調(diào)遞增所以,即

所以在上單調(diào)遞增,

故在上沒(méi)有零點(diǎn),不合題意

若

(1)當(dāng),則,所以在上單調(diào)遞增

所以存在,使得,即

當(dāng)單調(diào)遞減

當(dāng)單調(diào)遞增

所以

當(dāng)

當(dāng)

所以在上有唯一零點(diǎn)

又沒(méi)有零點(diǎn),即在上有唯一零點(diǎn)

(2)當(dāng)

設(shè)

所以在單調(diào)遞增

所以存在,使得

當(dāng)單調(diào)遞減

當(dāng)單調(diào)遞增,

又

所以存在,使得,即

當(dāng)單調(diào)遞增,當(dāng)單調(diào)遞減

有

而,所以當(dāng)

所以在上有唯一零點(diǎn),上無(wú)零點(diǎn)

即在上有唯一零點(diǎn)

所以,符合題意

所以若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍為

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是對(duì)的范圍進(jìn)行合理分類(lèi)，否定和肯定并用，否定只需要說(shuō)明一邊不滿足即可，肯定要兩方面都說(shuō)明.中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)

專題04導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（解答題）（理）

知識(shí)點(diǎn)目錄

知識(shí)點(diǎn)1：恒成立與有解問(wèn)題

知識(shí)點(diǎn)2：極最值問(wèn)題

知識(shí)點(diǎn)3：證明不等式

知識(shí)點(diǎn)4：雙變量問(wèn)題（極值點(diǎn)偏移、拐點(diǎn)偏移）

知識(shí)點(diǎn)5：零點(diǎn)問(wèn)題

近三年高考真題

知識(shí)點(diǎn)1：恒成立與有解問(wèn)題

1．（2023甲卷（理））已知，．

（1）若，討論的單調(diào)性；

（2）若恒成立，求的取值范圍．

2．（2023天津）已知，函數(shù)．

（1）求曲線在點(diǎn)，處的切線方程；

（2）證明函數(shù)存在唯一的極值點(diǎn)；

（3）若，使得對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

3．（2023上海）已知函數(shù)，（其中，，，若任意，均有，則稱函數(shù)是函數(shù)的“控制函數(shù)”，且對(duì)所有滿足條件的函數(shù)在處取得的最小值記為．

（1）若，，試判斷函數(shù)是否為函數(shù)的“控制函數(shù)”，并說(shuō)明理由；

（2）若，曲線在處的切線為直線，證明：函數(shù)為函數(shù)的“控制函數(shù)”，并求的值；

（3）若曲線在，處的切線過(guò)點(diǎn)，且，，證明：當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，（c）（c）．

知識(shí)點(diǎn)2：極最值問(wèn)題

4．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．

(1)求的值；

(2)設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；

(3)求的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)．

5．（2023新高考Ⅱ）（1）證明：當(dāng)時(shí)，；參考答案

（2）已知函數(shù)，若為的極大值點(diǎn)，求的取值范圍．

6．（2023乙卷（理））已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程；

（2）是否存在，，使得曲線關(guān)于直線對(duì)稱，若存在，求，的值，若不存在，說(shuō)明理由；

（3）若在存在極值，求的取值范圍．

知識(shí)點(diǎn)3：證明不等式

7．（2022新高考Ⅱ）已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，