2023-2023年高考數學真題分類匯編 專題04 導數及其應用（解答題）（理）（學生版+教師版含解析）

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專題04導數及其應用（解答題）（理）

知識點目錄

知識點1：恒成立與有解問題

知識點2：極最值問題

知識點3：證明不等式

知識點4：雙變量問題（極值點偏移、拐點偏移）

知識點5：零點問題

近三年高考真題

知識點1：恒成立與有解問題

1．（2023甲卷（理））已知，．

（1）若，討論的單調性；

（2）若恒成立，求的取值范圍．

【解析】（1）已知，函數定義域為，

若，此時，

可得

，

因為，，

所以當，即時，，單調遞增；

當，即時，，單調遞減；

（2）不妨設，函數定義域為，

，

令，，

此時，

不妨令，

可得，

所以單調遞增，

此時（1），

①當時，，

所以在上單調遞減，

此時，

則當時，恒成立，符合題意；

②當時，

當時，，

所以，

又（1），

所以在區(qū)間上存在一點，使得，

即存在，使得，

當時，，

所以當時，，單調遞增，

可得當時，，不符合題意，

綜上，的取值范圍為，．

2．（2023天津）已知，函數．

（1）求曲線在點，處的切線方程；

（2）證明函數存在唯一的極值點；

（3）若，使得對任意的恒成立，求實數的取值范圍．

【解析】（1）因為，所以，而，

所以在，處的切線方程為；

（2）證明：令，則，

令，則，令，解得，

當時，，單調遞減，

當時，，單調遞增，

當時，，當時，，

作出圖象，如圖，

所以當時，與僅有一個交點，令，

則，且，

當時，，，為增函數；

當時，，，為減函數；

所以時是的極大值點，故僅有一個極值點；

（3）由（2）知，

此時，，

所以，

令，

若存在，使對任意的恒成立，

則等價于存在，使得，即，

而，，

當時，，為單調減函數，

當時，，為單調增函數，

所以（1），故，

所以實數的取值范圍，．

3．（2023上海）已知函數，（其中，，，若任意，均有，則稱函數是函數的“控制函數”，且對所有滿足條件的函數在處取得的最小值記為．

（1）若，，試判斷函數是否為函數的“控制函數”，并說明理由；

（2）若，曲線在處的切線為直線，證明：函數為函數的“控制函數”，并求的值；

（3）若曲線在，處的切線過點，且，，證明：當且僅當或時，（c）（c）．

【解析】（1），設，

，當，時，易知，即單調減，

，即，

是的“控制函數“；

（2），

，

，即為函數的“控制函數“，

又，且，；

證明：（3），，

在處的切線為，

，，（1）（1），

，

，

，

，

恒成立，

函數必是函數的“控制函數“，

是函數的“控制函數“，

此時“控制函數“必與相切于點，與在處相切，且過點，

在之間的點不可能使得在切線下方，所以或，

所以曲線在處的切線過點，且，，

當且僅當或時，．

知識點2：極最值問題

4．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）設函數，曲線在點處的切線方程為．

(1)求的值；

(2)設函數，求的單調區(qū)間；

(3)求的極值點個數．

【解析】（1）因為，所以，

因為在處的切線方程為，

所以，，

則，解得，

所以.

（2）由（1）得，

則，

令，解得，不妨設，，則，

易知恒成立，

所以令，解得或；令，解得或；

所以在，上單調遞減，在，上單調遞增，

即的單調遞減區(qū)間為和，單調遞增區(qū)間為和.

（3）由（1）得，，

由（2）知在，上單調遞減，在，上單調遞增，

當時，，，即

所以在上存在唯一零點，不妨設為，則，

此時，當時，，則單調遞減；當時，，則單調遞增；

所以在上有一個極小值點；

當時，在上單調遞減，

則，故，

所以在上存在唯一零點，不妨設為，則，

此時，當時，，則單調遞增；當時，，則單調遞減；

所以在上有一個極大值點；

當時，在上單調遞增，

則，故，

所以在上存在唯一零點，不妨設為，則，

此時，當時，，則單調遞減；當時，，則單調遞增；

所以在上有一個極小值點；

當時，，

所以，則單調遞增，

所以在上無極值點；

綜上：在和上各有一個極小值點，在上有一個極大值點，共有個極值點.

5．（2023新高考Ⅱ）（1）證明：當時，；參考答案

（2）已知函數，若為的極大值點，求的取值范圍．

【解析】（1）證明：設，，

則，，

在上單調遞減，

，

在上單調遞減，

，

即，，

，，

設，，

則，

在上單調遞增，

，，

即，，

，，

綜合可得：當時，；

（2），，

且，，

①若，即時，

易知存在，使得時，，

在上單調遞增，，

在上單調遞增，這顯然與為函數的極大值點相矛盾，故舍去；

②若，即或時，

存在，使得，時，，

在，上單調遞減，又，

當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減，滿足為的極大值點，符合題意；

③若，即時，為偶函數，

只考慮的情況，

此時，時，

，

在上單調遞增，與顯然與為函數的極大值點相矛盾，故舍去．

綜合可得：的取值范圍為，，．

6．（2023乙卷（理））已知函數．

（1）當時，求曲線在點，（1）處的切線方程；

（2）是否存在，，使得曲線關于直線對稱，若存在，求，的值，若不存在，說明理由；

（3）若在存在極值，求的取值范圍．

【解析】（1）時，（1），

，（1），

曲線在點，（1）處的切線方程為．

（2），定義域為，，，

要使函數的圖像關于對稱，則由，且，可知，

即的圖像關于對稱，

則（1），，

得，解得．

綜上，，；

（3），

要使在存在極值點，則方程有正根，

記，，，

①當時，，故在上單調遞增，，不符合題意；

②當時，，故在上單調遞減，，不符合題意；

③當時，令，，令，，

故在上單調遞增，，不符合題意；

易知時，，

故只需，

記，，，

故在上單調遞增，

（2），

故取，，有，即，符合題意；

綜上所述，時，在存在極值點．

知識點3：證明不等式

7．（2022新高考Ⅱ）已知函數．

（1）當時，討論的單調性；

（2）當時，，求的取值范圍；

（3）設，證明：．

【解析】（1）當時，，

，

，

當時，，單調遞增；當時，，單調遞減．

（2）令，

，，

在上恒成立，

又，

令，則，

，

①當，即，存在，使得當時，，即在上單調遞增．

因為，所以在內遞增，所以，這與矛盾，故舍去；

②當，即，

，

若，則，

所以在，上單調遞減，，符合題意．

若，則，

所以在上單調遞減，，符合題意．

綜上所述，實數的取值范圍是．

另的導數為，

①當時，，

所以在遞增，所以，與題意矛盾；

②當時，，

所以在遞減，所以，滿足題意；．

③當時，．

設，，則在遞減，所以，

，所以在遞減，所以，滿足題意；

④當時，，

令，則，，

可得遞減，，

所以存在，使得．當時，，

在遞增，此時，

所以當時，，在遞增，所以，與題意矛盾．

綜上可得，的取值范圍是，．

（3）由（2）可知，當時，，

令得，，

整理得，，

，

，，

即．

另運用數學歸納法證明．

當時，左邊成立．

假設當時，不等式成立，即．

當時，要證，

只要證，

即證．

可令，則，，則需證明，

再令，則需證明．

構造函數，，

，

可得在，上遞減，

則（1），所以原不等式成立，

即時，成立．

綜上可得，成立．

8．（2023新高考Ⅰ）已知函數．

（1）討論的單調性；

（2）證明：當時，．

【解析】（1），

則，

①當時，恒成立，在上單調遞減，

②當時，令得，，

當時，，單調遞減；當，時，，單調遞增，

綜上所述，當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞減，在，上單調遞增．

證明：（2）由（1）可知，當時，，

要證，只需證，

只需證，

設（a），，

則（a），

令（a）得，，

當時，（a），（a）單調遞減，當，時，（a），（a）單調遞增，

所以（a），

即（a），

所以得證，

即得證．

9．（2023乙卷（理））已知函數，已知是函數的極值點．

（1）求；

（2）設函數．證明：．

【解析】（1）由題意，的定義域為，

令，則，，

則，

因為是函數的極值點，則有，即，所以，

當時，，且，

因為，

則在上單調遞減，

所以當時，，

當時，，

所以時，是函數的一個極大值點．

綜上所述，；

（2）證明：由（1）可知，，

要證，即需證明，

因為當時，，

當時，，

所以需證明，即，

令，

則，

所以，當時，，

當時，，

所以為的極小值點，

所以，即，

故，

所以．

10．（2023天津）已知函數．

（Ⅰ）求曲線在處的切線斜率；

（Ⅱ）當時，求證：；

（Ⅲ）證明：．

【解析】（Ⅰ）對函數求導，可得，

則曲線在處的切線斜率為（2）；

（Ⅱ）證明：當時，，即，即，

而在上單調遞增，

因此，原不等式得證；

（Ⅲ）證明：設數列的前項和，

則；

當時，，

由（2），，

故，不等式右邊得證；

要證，只需證：對任意的，，

令，則，

當時，，函數在上單調遞減，

則，即，

則，

因此當時，，

當時，累加得

，

又，，

故，即得證．

知識點4：雙變量問題（極值點偏移、拐點偏移）

11．（2023新高考Ⅰ）已知函數．

（1）討論的單調性；

（2）設，為兩個不相等的正數，且，證明：．

【解析】（1）由函數的解析式可得，

，，單調遞增，

，，單調遞減，

則在單調遞增，在單調遞減．

（2）證明：由，得，

即，

由（1）在單調遞增，在單調遞減，

所以（1），且（e），

令，，

則，為的兩根，其中．

不妨令，，則，

先證，即證，即證，

令，

則在單調遞減，

所以（1），

故函數在單調遞增，

（1）．，，得證．

同理，要證，

（法一）即證，

根據（1）中單調性，

即證，

令，，

則，令，

，，單調遞增，

，，，單調遞減，

又時，，且（e），

故，

（1）（1），

恒成立，

得證，

（法二），，

又，故，，

故，，

令，，，

在上，，單調遞增，

所以（e），

即，所以，得證，

則．

12．（2022天津）已知，，函數，．

（1）求函數在，處的切線方程；

（2）若和有公共點．

（?。┊敃r，求的取值范圍；

（ⅱ）求證：．

【解析】（1），，

，，

函數在處的切線方程為；

（2）（ⅰ），，又和有公共點，

方程有解，

即有解，顯然，

在上有解，

設，，

，

當時，；當，時，，

在上單調遞減，在，上單調遞增，

，且當時，；當時，，

，，

的范圍為，；

（ⅱ）證明：令交點的橫坐標為，則，

由柯西不等式可得

，

又易證時，，，，

，

故．

13．（2022浙江）設函數．

（Ⅰ）求的單調區(qū)間；

（Ⅱ）已知，，曲線上不同的三點，，，，，處的切線都經過點．證明：

（?。┤?，則（a）；

（ⅱ）若，，則．

（注是自然對數的底數）

【解析】（Ⅰ）函數，

，，

由，得，在，上單調遞增；

由，得，在上單調遞減．

（Ⅱ）證明：過有三條不同的切線，

設切點分別為，，，，，，

，，2，，方程有3個不同的根，

該方程整理為，

設，

則，

當或時，；當時，，

在，上為減函數，在上為增函數，

有3個不同的零點，（e）且（a），

，且，

整理得到且，

此時，，且，

此時，，

整理得，且，

此時，（a），

設（a）為上的減函數，（a），

．

當時，同討論，得：

在，上為減函數，在上為增函數，

不妨設，則，

有3個不同的零點，（a），且（e），

，且，

整理得，

，，

，

設，則方程即為：

，即為，

記，

則，，為有三個不同的根，

設，，

要證：，

即證，

即證：，

而，且，

，

，

即證，

即證，

即證，

記，則，

在為增函數，，

，

設，，

則，

在上是增函數，（1），

，

即，

若，，則．

14．（2022北京）已知函數．

（Ⅰ）求曲線在點，處的切線方程；

（Ⅱ）設，討論函數在，上的單調性；

（Ⅲ）證明：對任意的，，有．

【解析】（Ⅰ）對函數求導可得：，

將代入原函數可得，將代入導函數可得：，

故在處切線斜率為1，故，化簡得：；

（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）有：，

，

令，令，

設，恒成立，

故在，單調遞增，又因為，

故在，恒成立，故，

故在，單調遞增；

解法二：由（Ⅰ）有：，

，

設，，則，

由指數函數的性質得上上是增函數，且，

，當時，，單調遞增，

且當時，，

在，單調遞增．

（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）有在，單調遞增，又，

故在，恒成立，故在，單調遞增，

設，，

由（Ⅱ）有在，單調遞增，又因為，所以，

故單調遞增，又因為，故，

即：，又因為函數，

故，得證．

知識點5：零點問題

15．（2022甲卷（理））已知函數．

（1）若，求的取值范圍；

（2）證明：若有兩個零點，，則．

【解析】（1）的定義域為，，

令，解得，故函數在單調遞減，單調遞增，

故（1），要使得恒成立，僅需，

故，故的取值范圍是，；

（2）證明：由已知有函數要有兩個零點，故（1），即，

不妨設，要證明，即證明，

，，

即證明：，又因為在單調遞增，

即證明：，

構造函數，，

，

構造函數，

，因為，所以，

故在恒成立，故在單調遞增，

故（1）

又因為，故在恒成立，故在單調遞增，

又因為（1），故（1），

故，即．得證．

16．（2022新高考Ⅰ）已知函數和有相同的最小值．

（1）求；

（2）證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列．

【解析】（1）定義域為，

，

，

若，

則，無最小值，

故，

當時，，

當時，，函數在上單調遞減，

當時，，函數在上單調遞增，

故，

的定義域為，

，

，

令，解得，

當時，，函數在上單調遞減，

當時，，函數在，上單調遞增，

故，

函數和有相同的最小值

，

，

化為，

令，，

則，

，

恒成立，

在上單調遞增，

又（1），

（a）（1），僅有此一解，

．

（2）證明：由（1）知，函數在上單調遞減，在上單調遞增，

函數在上單調遞減，在上單調遞增，

設，

則，當時，，

所以函數在上單調遞增，因為（1），

所以當時，（1）恒成立，即在時恒成立，

所以時，，

因為，函數在上單調遞增，（1），函數在上單調遞減，

所以函數與函數的圖象在上存在唯一交點，設該交點為，，

此時可作出函數和的大致圖象，

由圖象知當直線與兩條曲線和共有三個不同的交點時，

直線必經過點，，即，

因為，所以，即，

令得，解得或，由，得，

令得，解得或，由，得，

所以當直線與兩條曲線和共有三個不同的交點時，

從左到右的三個交點的橫坐標依次為，，，，

因為，所以，

所以，，成等差數列．

存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列．

17．（2023新高考Ⅱ）已知函數．

（Ⅰ）討論的單調性；

（Ⅱ）從下面兩個條件中選一個，證明：恰有一個零點．

①，；

②，．

【解析】（Ⅰ），，

①當時，當時，，當時，，

在上單調遞減，在上單調遞增，

②當時，令，可得或，

當時，

當或時，，當時，，

在，，上單調遞增，在，上單調遞減，

時，

且等號不恒成立，在上單調遞增，

當時，

當或時，，當時，，

在，，上單調遞增，在，上單調遞減．

綜上所述：

當時，在上單調遞減；在上單調遞增；

當時，在，和上單調遞增；在，上單調遞減；

當時，在上單調遞增；

當時，在和，上單調遞增；在，上單調遞減．

（Ⅱ）證明：若選①，由（Ⅰ）知，在上單調遞增，，單調遞減，，上單調遞增．

注意到．

在上有一個零點；

，

由得，，

，當時，，此時無零點．

綜上：在上僅有一個零點．

另當，時，有，，

而，于是

，

所以在沒有零點，當時，，

于是，所以在，上存在一個零點，命題得證．

若選②，則由（Ⅰ）知：在，上單調遞增，

在，上單調遞減，在上單調遞增．

，

，，，，

當時，，此時無零點．

當時，單調遞增，注意到，

取，，，又易證，

，

在上有唯一零點，即在上有唯一零點．

綜上：在上有唯一零點．

18．（2023浙江）設，為實數，且，函數．

（Ⅰ）求函數的單調區(qū)間；

（Ⅱ）若對任意，函數有兩個不同的零點，求的取值范圍；

（Ⅲ）當時，證明：對任意，函數有兩個不同的零點，，滿足．

（注是自然對數的底數）

【解析】（Ⅰ），

①當時，由于，則，故，此時在上單調遞增；

②當時，令，解得，令，解得，

此時在單調遞減，在單調遞增；

綜上，當時，的單調遞增區(qū)間為；當時，的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為；

（Ⅱ）注意到時，，當時，，

由（Ⅰ）知，要使函數有兩個不同的零點，只需即可，

對任意均成立，

令，則，即，即，即，

對任意均成立，

記，則，

令（b），得，

①當，即時，易知（b）在，單調遞增，在單調遞減，

此時（b），不合題意；

②當，即時，易知（b）在，單調遞減，

此時，

故只需，即，則，即；

綜上，實數的取值范圍為，；

（Ⅲ）證明：當時，，，令，解得，

易知，

有兩個零點，不妨設為，，且，

由，可得，

要證，只需證，只需證，

而，則，

要證，只需證，只需證，

而，

，即得證．

19．（2023甲卷（理））已知且，函數．

（1）當時，求的單調區(qū)間；

（2）若曲線與直線有且僅有兩個交點，求的取值范圍．

【解析】（1）時，，

，

當時，，當，時，，

故在上單調遞增，在，上單調遞減．

（2）由題知在有兩個不等實根，

，

令，，在上單調遞增，在上單調遞減，

又當時，，（1），（e），當時，，

作出的圖象，如圖所示：

由圖象可得，解得且，

即的取值范圍是，，．

20．（2022年全國乙卷）已知函數

(1)當時，求曲線在點處的切線方程；

(2)若在區(qū)間各恰有一個零點，求a的取值范圍．

【答案】(1)(2)

【解析】

【分析】

（1）先算出切點,再求導算出斜率即可

（2）求導,對分類討論,對分兩部分研究

(1)

的定義域為

當時,,所以切點為,所以切線斜率為2

所以曲線在點處的切線方程為

(2)

設

若,當,即

所以在上單調遞增,

故在上沒有零點,不合題意

若,當,則

所以在上單調遞增所以,即

所以在上單調遞增,

故在上沒有零點,不合題意

若

(1)當,則,所以在上單調遞增

所以存在,使得,即

當單調遞減

當單調遞增

所以

當

當

所以在上有唯一零點

又沒有零點,即在上有唯一零點

(2)當

設

所以在單調遞增

所以存在,使得

當單調遞減

當單調遞增,

又

所以存在,使得,即

當單調遞增,當單調遞減

有

而,所以當

所以在上有唯一零點,上無零點

即在上有唯一零點

所以,符合題意

所以若在區(qū)間各恰有一個零點,求的取值范圍為

【點睛】

方法點睛：本題的關鍵是對的范圍進行合理分類，否定和肯定并用，否定只需要說明一邊不滿足即可，肯定要兩方面都說明.中小學教育資源及組卷應用平臺

專題04導數及其應用（解答題）（理）

知識點目錄

知識點1：恒成立與有解問題

知識點2：極最值問題

知識點3：證明不等式

知識點4：雙變量問題（極值點偏移、拐點偏移）

知識點5：零點問題

近三年高考真題

知識點1：恒成立與有解問題

1．（2023甲卷（理））已知，．

（1）若，討論的單調性；

（2）若恒成立，求的取值范圍．

2．（2023天津）已知，函數．

（1）求曲線在點，處的切線方程；

（2）證明函數存在唯一的極值點；

（3）若，使得對任意的恒成立，求實數的取值范圍．

3．（2023上海）已知函數，（其中，，，若任意，均有，則稱函數是函數的“控制函數”，且對所有滿足條件的函數在處取得的最小值記為．

（1）若，，試判斷函數是否為函數的“控制函數”，并說明理由；

（2）若，曲線在處的切線為直線，證明：函數為函數的“控制函數”，并求的值；

（3）若曲線在，處的切線過點，且，，證明：當且僅當或時，（c）（c）．

知識點2：極最值問題

4．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）設函數，曲線在點處的切線方程為．

(1)求的值；

(2)設函數，求的單調區(qū)間；

(3)求的極值點個數．

5．（2023新高考Ⅱ）（1）證明：當時，；參考答案

（2）已知函數，若為的極大值點，求的取值范圍．

6．（2023乙卷（理））已知函數．

（1）當時，求曲線在點，（1）處的切線方程；

（2）是否存在，，使得曲線關于直線對稱，若存在，求，的值，若不存在，說明理由；

（3）若在存在極值，求的取值范圍．

知識點3：證明不等式

7．（2022新高考Ⅱ）已知函數．

（1）當時，