能量的角度電磁感應(yīng)問題

能的轉(zhuǎn)化與守恒，是貫穿物理學(xué)的基本規(guī)律之一。從能量的觀點(diǎn)來分析、解決問題，既是學(xué)習(xí)物理的基本功，也是一種能力。自然界存在著各種不同形式的能，如；機(jī)械能（包括動(dòng)能和勢(shì)能）、熱能、電能、光能、化學(xué)能、原子能等．各種不同形式的能可以互相轉(zhuǎn)化，而且在轉(zhuǎn)化過程中能的總量是守恒的，這是能的最基本的性質(zhì)。在力學(xué)、熱學(xué)、電學(xué)中，我們已知道功是能量轉(zhuǎn)化的量度，做功總伴隨著能量的改變，如；摩擦力做功可使物體的一部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能；電流的功可以使電能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能、內(nèi)能、光能或化學(xué)能等。閉合電路的部分導(dǎo)體作切割磁力線運(yùn)動(dòng)時(shí)，將產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)并形成電流。這一簡(jiǎn)單的電磁感應(yīng)現(xiàn)象卻包含著能量轉(zhuǎn)化的幾個(gè)過程，涉及到力學(xué)、電磁學(xué)、熱學(xué)三方面的知識(shí)。所以有必要對(duì)這一現(xiàn)象進(jìn)行研究，從本質(zhì)上搞清各種能量的來龍去脈，學(xué)會(huì)從能量的角度求解電磁感應(yīng)問題。下面舉例說明。兩根相距d=0.20m的平行金屬長(zhǎng)導(dǎo)軌固定在同一水平面內(nèi),并處于豎直方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.2T,導(dǎo)軌上面橫放著兩條金屬細(xì)桿，構(gòu)成矩形回路，每條金屬細(xì)桿的電阻為r=0.25Q,回路中其余部分的電阻可不計(jì).已知兩金屬細(xì)桿在平行于導(dǎo)軌的拉力的作用下沿導(dǎo)軌朝相反方向勻速平移，速度大小都是v=5.0m/s，如圖所示不計(jì)導(dǎo)軌上的摩擦.（1）求作用于每條金屬細(xì)桿的拉力的大小.（2）求兩金屬細(xì)桿在間距增加0.40m的滑動(dòng)過程中共產(chǎn)生的熱量.解析：（1）當(dāng)兩金屬桿都以速度v勻速滑動(dòng)時(shí)，每條金屬桿中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)分別為E=E=Bdv12E+E由閉合電路的歐姆定律，回路中的電流強(qiáng)度大小為：I二1缶2r因拉力與安培力平衡，作用于每根金屬桿的拉力的大小為F]=F2=IBd。B2d2v由以上各式并代入數(shù)據(jù)得F=F= =3.2x10-2N12r（2）設(shè)兩金屬桿之間增加的距離為紅，則兩金屬桿共產(chǎn)生的熱量為Q二12-2r-學(xué),2v代入數(shù)據(jù)得Q=1.28xl0-2J.

例：如圖1所示，拉動(dòng)電阻為R的長(zhǎng)金屬框，當(dāng)線框的右邊緣與磁場(chǎng)邊緣平齊時(shí)速率為認(rèn)并以這一速率離開磁場(chǎng)區(qū)域。已知磁場(chǎng)是均勻的，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B線框?qū)挒閍,長(zhǎng)為b。試求線框右邊緣剛出磁場(chǎng)至左邊緣剛出磁場(chǎng)這一過程中，外力的功，安培力的功、電流的功、電路中產(chǎn)生的焦耳熱?分析與解：題設(shè)過程中包含著四種能量形式的轉(zhuǎn)化，涉及到三個(gè)做功過程。用簡(jiǎn)圖表示如下：其他形式能辿％機(jī)械能曲力作負(fù)％電能遜毎內(nèi)能據(jù)能的轉(zhuǎn)化與守恒定律，在題設(shè)全過程中，其它形式的能、機(jī)械能、電能、內(nèi)能四種能量在數(shù)值上應(yīng)是相等。我們只需求出這四個(gè)量中的任意一個(gè)，就可推知另外三個(gè)。在題設(shè)過程中，線框回路的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)￡=Bav0感應(yīng)電流I=￡/R二Bav/R。電路中電流作功W =I￡t=Bav/R?Bav?b/v二B2a2bv/R ?電據(jù)能的轉(zhuǎn)化與守恒定律，W=Q=W=B2a2bv/R外電W=-W=-B2a2bv/Ra安外a例：水平放置的平行金屬框架寬L=0.2m，質(zhì)量為m=0.1kg的金屬棒ab放在框架上，并且與框架的兩條邊垂直。整個(gè)裝置放在磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.5T，方向垂直框架平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，如圖所示。金屬棒ab在F=2N的水平向右的恒力作用下由靜止開始運(yùn)動(dòng)。電路中除R=0.05Q外，其余電阻、摩擦阻力均不考慮。試求當(dāng)金屬棒ab達(dá)到最大速度后，撤去外力F,此后感應(yīng)電流還能產(chǎn)生的熱量。（設(shè)框架足夠長(zhǎng)）5J如圖16-7-6所示，在豎直向上B=0.2T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)內(nèi)固定一水平無電阻的光滑U形金屬導(dǎo)軌，軌距50cm。金屬導(dǎo)線ab的質(zhì)量m=0.1kg，電阻r=0.02Q且ab垂直橫跨導(dǎo)軌。導(dǎo)軌中接入電阻R=0.08Q，今用水平恒力F=0.1N拉著ab向右勻速平移，則1)ab的運(yùn)動(dòng)速度為多大？電路中消耗的電功率是多大？撤去外力后R上還能產(chǎn)生多少熱量?解析：(1)勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)F=ILB，I=0.1/(0.5X0.2)=1A.E=LvB=I(R+r),v=1m/s.(2)P=I2(R+r)=0.1W(3)撤去外力后金屬導(dǎo)線ab的動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為電能，電路中能產(chǎn)生的總熱量為Q=mv2/2=0.05J，R上產(chǎn)生的熱量為Q的五分之四，Q-0.04J。R拓展：電路中消耗的電功率也可以用P=Fv=0.1W來求，因?yàn)閯蛩龠\(yùn)動(dòng)時(shí)外力作的功全部轉(zhuǎn)化為感應(yīng)電流的電能.線足夠長(zhǎng)，金屬塊沿拋物線下滑后產(chǎn)生的焦耳熱總量是1D.mg(b—a)+二mv2例：光滑曲面與豎直平面的交線是拋物線，如圖12—3—20所示，拋物線的方程是y=x2,下半部處在一個(gè)水平方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)的上邊界是y=a的直線(圖中的虛線所示).一個(gè)小金屬塊從拋物線上線足夠長(zhǎng)，金屬塊沿拋物線下滑后產(chǎn)生的焦耳熱總量是1D.mg(b—a)+二mv2()A．mgbC．mg(b－a)例：如圖所示，相距為d的兩水平虛線L和L分別是水平向里的勻12強(qiáng)磁場(chǎng)的邊界，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,正方形線框abed邊長(zhǎng)為L(zhǎng)（L〈d）、質(zhì)量為m。將線框在磁場(chǎng)上方高h(yuǎn)處由靜止開始釋放，當(dāng)ab邊進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度為v,ed邊剛穿出磁場(chǎng)時(shí)速度也為v。從ab邊oo剛進(jìn)入磁場(chǎng)到ed邊剛穿出磁場(chǎng)的整個(gè)過程中 （）線框一直都有感應(yīng)電流線框有一階段的加速度為g線框產(chǎn)生的熱量為mg（d+h+L）線框作過減速運(yùn)動(dòng)Bd例：如圖所示，質(zhì)量為m、邊長(zhǎng)為l的正方形線框，從有界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)上方由靜止自由F落，線框電阻為R。勻強(qiáng)磁場(chǎng)的寬度為H。（1VH，磁感強(qiáng)度為B,線框下落過程中ab邊與磁場(chǎng)邊界平行且沿水平方向。已知ab邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)和剛穿出磁場(chǎng)時(shí)線框都作減速運(yùn)動(dòng),1xxxxxxxxXBXXXKXXX HXXXXXXXXxxxxxxxxXBXXXKXXX HXXXXXXXXir（1） ab邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)與ab邊剛出磁場(chǎng)時(shí)的速度大小（2） ed邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，線框的速度大?。唬?） 線框進(jìn)入磁場(chǎng)的過程中，產(chǎn)生的熱量。[解（1）由題意可知ab邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)與剛出磁場(chǎng)時(shí)的速度相等，設(shè)為V],則結(jié)線框有：￡=Blv I=￡/R F=BIl1且F—mg=mg/3解得速度V為：V]=4mgR/3B2l2（2）設(shè)ed邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度為v2，則ed邊進(jìn)入磁場(chǎng)到ab邊剛出磁場(chǎng)應(yīng)用動(dòng)能定理11得：mv2一mv2=mg（H一l）2122=.■（4m=.■（4mgR）2-2g（h-1）解得：篤「3B212（3）由能和轉(zhuǎn)化和守恒定律，可知在線框進(jìn)入磁場(chǎng)的過程中有11mv2+mgl=mv2+Q2 1 2 2解得產(chǎn)生的熱量Q為：Q=mgH]&如圖所示,兩根光滑的金屬導(dǎo)軌，平行放置在傾角為e斜角上，導(dǎo)軌的左端接有電阻R,導(dǎo)軌自身的電阻可忽路不計(jì)。斜面處在一勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向垂直于斜面向上。質(zhì)量為m，電阻可不計(jì)的金屬棒ab,在沿著斜面與棒垂直的恒力作用下沿導(dǎo)軌勻速上滑,并上升h高度,如圖所示。在這過程中（ ）作用于金屬捧上的各個(gè)力的合力所作的功等于零作用于金屬捧上的各個(gè)力的合力所作的功等于mgh與電阻R上發(fā)出的焦耳熱之和恒力F與安培力的合力所作的功等于零恒力F與重力的合力所作的功等于電阻R上發(fā)出的焦耳熱AD兩根金屬導(dǎo)軌平行放置在傾角為8=30°的斜面上，導(dǎo)軌左端接有電阻R=10Q，導(dǎo)軌自身電阻忽略不計(jì)。勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于斜面向上，磁感強(qiáng)度B=0.5T。質(zhì)量為m=0.1kg，電阻可不計(jì)的金屬棒ab靜止釋放，沿導(dǎo)軌下滑。如圖所示，設(shè)導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)，導(dǎo)軌寬度L=2m，金屬棒ab下滑過程中始終與導(dǎo)軌接觸良好,當(dāng)金屬棒下滑h=3m時(shí)，速度恰好達(dá)到最大速度2m/s,求此過程中電阻中產(chǎn)生的熱量？

．解：當(dāng)金屬棒速度恰好達(dá)到最大速度時(shí)，受力分析，則mgsin0=F宀+f 3分 據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律：E=BLv安TOC\o"1-5"\h\zE B2L2v據(jù)閉合電路歐姆定律：I芯2分 AF安=ILB=-^=0.2NR 安 Rf=mgsin0—F宀=0.3N 2分安h1下滑過程據(jù)動(dòng)能定理得：mgh—f 一W=^v2解得W=1J,.??此過程中電阻中產(chǎn)生的熱量Q=W=1J如圖所示，足夠長(zhǎng)的光滑金屬框豎直放置，框?qū)抣=0.5m,框的電阻不計(jì)，勻強(qiáng)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T,方向與框面垂直，金屬棒MN的質(zhì)量為100g電阻為1Q.現(xiàn)讓MN無初速地釋放并與框保持接觸良好的豎直下落，從釋放到達(dá)到最大速度的過程中通過棒某一橫截面的電量為2C，求此過程中回路產(chǎn)生的電能.（空氣阻力不計(jì),g=10m/s2）解：.金屬棒下落過程做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，加速度減小到零時(shí)速度達(dá)到最大，根據(jù)平衡條件得B2l2v mmg— R ①口在下落過程中，金屬棒減小的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為它的動(dòng)能和電能E,由能量守恒定律得口1②口2②口mgh— mv2＋Em通過導(dǎo)體某一橫截面的電量為口q—Bhlq—③口由①②③解得口

1mgRqm3g2R2 0.1x10x1x2 0.13xIO2xI2E=mgh—2mv2=B2B414= 1x0.5J—2x1x°?54J=3.2Jm如圖所示，在與水平面成0角的矩形框范圍內(nèi)有垂直于框架的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,框架的ad邊和be邊電阻不計(jì)，而ab邊和ed邊電阻均為R，長(zhǎng)度均為L(zhǎng)，有一質(zhì)量為m、電阻為2R的金棒MN,無摩擦地沖上框架，上升最大高度為h,在此過程中ab邊產(chǎn)生的熱量為Q,求在金屬棒運(yùn)動(dòng)過程中整個(gè)電路的最大熱功率Po解：4.棒MN沿框架向上運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，相當(dāng)于電源；ab和ed相當(dāng)于兩個(gè)外電阻并聯(lián)。根據(jù)題意可知，ab和ed中的電流相同，MN中的電流是ab中電流的2倍。由焦耳定律知，當(dāng)ab邊產(chǎn)生的熱量為Q時(shí)，ed邊產(chǎn)生的熱量也為Q，MN產(chǎn)生的熱量則為8Q。金屬棒MN沿框架向上運(yùn)動(dòng)過程中，能量轉(zhuǎn)化情況是：MN的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為MN的勢(shì)能和電流通過MN、ab、ed時(shí)產(chǎn)生的熱量。imvg=mgh+10Q 咗=2gh+竺2設(shè)MN的初速度為，由能量守恒得 ，即而MN在以速度v上滑時(shí)，產(chǎn)生的瞬時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)忙=P= -所以，整個(gè)電路的瞬時(shí)熱功率為2B2L2v2P= -所以，整個(gè)電路的瞬時(shí)熱功率為5R可見，當(dāng)MN的運(yùn)動(dòng)速度v為最大速度弘時(shí)，整個(gè)電路的瞬時(shí)熱功率P為最大值吒朕，即2B2L2B2L2v§2B2L2(2gh+^5) m5E.4B2L2(mgh+10Q)例：如圖所示，在傾角為e的光滑斜面上存在著兩個(gè)磁感強(qiáng)度相等的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向一個(gè)垂直斜面向上,另一個(gè)垂直斜面向下，寬度均為L(zhǎng).一個(gè)質(zhì)量為m、邊長(zhǎng)也為L(zhǎng)的正方形線框（設(shè)電阻為R）以速度v進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，恰好作勻速直線運(yùn)動(dòng)。若當(dāng)ab邊到達(dá)ggi與ff]中間位置時(shí)，線框又恰好作勻速直線運(yùn)動(dòng)，則：（1）當(dāng)ab邊剛越過ff1時(shí)，線框加速度的值為多少？（2）求線框從開始進(jìn)入磁場(chǎng)到ab邊到達(dá)gg]和ff]中點(diǎn)的過程中產(chǎn)生的熱量是多少?[解析：（l）ab邊剛越過eel即作勻速直線運(yùn)動(dòng)，表明線框此時(shí)受到的合外力為零，即：BLvmgsm9二B- -L在ab邊剛越過ffl時(shí)，ab、cd邊都切割磁感線產(chǎn)生電勢(shì)，但線框R的運(yùn)動(dòng)速度不能突變，則此時(shí)回路中的總感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為￡]=2BLv.故此時(shí)線框加速度為：a=2BE】L/mR-gsin9=3gsin9方向沿斜面向上.（2）設(shè)線框再作勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為VI，則：mgsin9=B-2BLv-L/Rx2即v=v/4從線框越過eel到線框再作勻速11直線運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)產(chǎn)生的熱量為Q,則由能量守恒定律得：3 1 1 3 15Q=mg?—Lsin9+—mv2一mv2=mgLsin9+mv22 2 21 2 32圖16—7—2]3.如圖]6-7-2所示，正方形線圈abcd邊長(zhǎng)L=0.20m，質(zhì)量m=0.10kg,電阻R=0.1Q,砝碼質(zhì)量M=0.14kg,勻強(qiáng)磁場(chǎng)B=0.50T.當(dāng)M從某一位置下降，線圈上升到ab邊進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)開始勻速運(yùn)動(dòng),直到線圈全部進(jìn)入磁場(chǎng).問線圈運(yùn)動(dòng)過程中產(chǎn)生的熱量多大？（g=10m/s2）

圖16—7—2解析：解法一線圈產(chǎn)生的熱量圖16—7—3Q=I2Rt圖16—7—3I=ERE=BLV分別取線圈、砝碼為研究對(duì)象，它們的受力圖分別為的甲、乙所示，勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)受力平衡，則有T-mg-BIL=0T-Mg=0Lt二聯(lián)立以上方程且代入數(shù)值得Q=0.08J解法二只有在線圈進(jìn)入磁場(chǎng)的過程中，線圈有感應(yīng)電流，所以產(chǎn)生熱量，當(dāng)線圈全部進(jìn)入磁場(chǎng)后無磁通量的變化，沒有感應(yīng)電流。根據(jù)能量轉(zhuǎn)化與守恒，系統(tǒng)損失的重力勢(shì)能等于感應(yīng)電流產(chǎn)生的熱量。所以Q=MgL—mgL=(0.14—0.10)X10X0.2J=0.08J拓展在電磁感應(yīng)現(xiàn)象的綜合題目中，既可以以力學(xué)為主線，找出力與電兩部分之間的聯(lián)系，從而列出方程組，逐一解決，如解法一，也可以從能量角度來分析，什么力做功？什么能轉(zhuǎn)化為什么能？什么能從什么物體轉(zhuǎn)移到什么物體？從而根據(jù)能量轉(zhuǎn)化和守恒定律立出方程求解，如解法二。如圖2所示，abed為靜置于水平面上的寬度為L(zhǎng)而長(zhǎng)度足夠長(zhǎng)的U型金屬滑軌，be邊接有電阻R,其它部分電阻不計(jì).ef為一可在滑軌平面上滑動(dòng)、質(zhì)量為m的均勻金屬棒.一均勻磁場(chǎng)B垂直滑軌面。金屬棒以一水平細(xì)繩跨過定滑輪，連接一質(zhì)量為M的重物.今重物M自靜止開始下落，假定滑輪無質(zhì)量，且金屬棒在運(yùn)動(dòng)中均保持與be邊平行.忽略所有摩擦力，求金屬棒作勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速率v(忽略be邊對(duì)金屬棒的作用力)。若重物從靜止開始至勻速運(yùn)動(dòng)之后的某一時(shí)刻下落的總高度為h,求這一過程中電阻R上產(chǎn)生的熱量Q.分析與解視重物M與金屬棒m為一系統(tǒng),使系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)改變的力只有重物受到重力與金屬棒受到的安培力．系統(tǒng)在開始一段時(shí)間里處于加速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，后一段時(shí)間里處于勻速運(yùn)動(dòng)狀態(tài),其安培力做功的過程相應(yīng)地也從變力做功變?yōu)楹懔ψ龉Γ还苓\(yùn)動(dòng)情況如何復(fù)雜做功的過程如何繁瑣，題設(shè)情況涉及到的能量轉(zhuǎn)化過程可用簡(jiǎn)圖表示如下；M的重力勢(shì)能動(dòng)柞%「?系統(tǒng)勻速運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能*5減少的機(jī)械能丈培力作負(fù)功.電能電麗S體的由能的轉(zhuǎn)化和守恒定律，有：Mgh=(m+M)v2/2+Q只需求得系統(tǒng)勻速運(yùn)動(dòng)速度即可．據(jù)平衡條件；Mg=F&，得v=MgR/B2L2。將v代入上式得安Q=Mg[h-(m+M)MgR2/2B4L4]例：兩金屬桿ab和cd長(zhǎng)均為1,電阻均為R,質(zhì)量分別為M和m,M>m,用兩根質(zhì)量和電阻均可忽略的不可伸長(zhǎng)的柔軟導(dǎo)線將它們連成閉合回路，并懸掛在水平、光滑、不導(dǎo)電的圓棒兩側(cè)。兩金屬桿都處在水平位置如圖,整個(gè)裝置處在一與回路平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,若金屬桿ab正好勻速向下運(yùn)動(dòng)，求運(yùn)動(dòng)的速度。i:aMbCmd分析與解：兩棒運(yùn)動(dòng)時(shí)，因電磁感應(yīng)，回路中出現(xiàn)感應(yīng)電流使兩棒發(fā)熱，而ab向下、cd向上勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)動(dòng)能不變而總重力勢(shì)能減少。所以此過程中機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能(有能量轉(zhuǎn)化)，且參與轉(zhuǎn)化的能量數(shù)值可用未知量。及已知量表示(見下面解答過程)，所以可用能量守恒求解。在運(yùn)動(dòng)過程中取一段時(shí)間由能量守恒：(M-m)gvt=l2Rt ⑴又由電磁感應(yīng)規(guī)律：I=2Blv/(2R) (2)解(1)、(2)得v=(M-m)gR/2B2L2綜上所述，從能量的角度求解電磁感應(yīng)問題具有一定的優(yōu)越性。在解題方法上，根據(jù)能的轉(zhuǎn)化與守恒定律及功能關(guān)系，間接地求出待求量，不必去過問具體細(xì)節(jié)，特別是變力做功的細(xì)節(jié)，這樣就可以避繁就簡(jiǎn)，收到事半功倍的效果。11。如圖，光滑斜面的傾角a=30°，在斜面上放置一矩形線框abed,ab邊的邊長(zhǎng)l=1m，be邊的邊打=0.6m,線框的