雙曲線的定義及標準方程(精)

雙曲線的定義及標準方程榆樹市弓棚高級中學彭普威一、教學內容分析節(jié)教材選自人教A版數學選修1-1第二章第二節(jié)課，本節(jié)內容在整個圓錐曲線教學中起著承上啟下的作用，具有重要的意義與地位，在高考中也是歷年熱點問題。本節(jié)課是在前面已學過橢圓的基本定義做為學習的出發(fā)點，結合有關的實物模型，多媒體演示，通過直觀感知、操作確認（合情推理，不要求證明）歸納出雙曲線的定義，并結合定義用類比方法推導出雙曲線標準方程。本節(jié)課的學習對培養(yǎng)學生動手實踐能力與邏輯推理能力起到重要作用，特別是學生對數學在生活中美的體現有重要認識。二、學生學習情況分析任教的學生在年段屬中下程度，學生學習興趣較高，但學習圓錐曲線所具備的想象能力、計算能力相對不足，學習方面有一定困難。三、設計思想本節(jié)課的設計遵循從具體到抽象的原則，適當運用多媒體輔助教學手段，借助實物模型，通過直觀感知，操作確認，合情推理，歸納出雙曲線的定義及推導出標準方程，將合情推理與演繹推理有機結合，讓學生在觀察分析、自主探索、合作交流的過程中，揭示橢圓的定義與雙曲線定義的區(qū)別與聯系，領會數學的對比思想方法，養(yǎng)成積極主動、勇于探索、自主學習的學習方式，發(fā)展學生的空間想象力及對數學美感的感知，提高學生的數學邏輯思維能力，及培養(yǎng)學習數學的興趣。通過直觀感知--觀察--操作確認的認識方法理解并掌握雙曲線的定義，掌握雙曲線的形狀特點的畫法并能準確使用數學符號語言、文字語言表述雙曲線，并通過類比方法推導出雙曲線的標準方程。培養(yǎng)學生觀察、探究、發(fā)現的能力和空間想象能力、邏輯思維能力。讓學生在觀察、探究、發(fā)現中學習，在自主合作、交流中學習，體驗學習的樂趣，增強自信心，樹立積極的學習態(tài)度，提高學習的自我效能感。五、教學重點與難點重點是雙曲線的引入與理解，難點是雙曲線標準方程的推導與邏輯思維能力的培養(yǎng)。六、教學過程設計（一）知識準備、新課引入提問1橢圓的定義及其標準方程？（多媒體幻燈片演示）p」M/MF|+|MF|=2a}提問2:若把橢圓定義中和變?yōu)椴顣r，曲線將如何變化？談談你的看法？［設計意圖:通過提問，學生復習橢圓定義，并由此引出疑問，深入思考引入本節(jié)課題，并為探尋橢圓和雙曲線的聯系與區(qū)別作好準備。］（二）雙曲線定義的探求過程1、直觀感知提問:根據同學們日常生活的觀察，你們能感知到并舉出雙曲線的具體事例嗎？師1:出示火電站的煙囪圖形。師2:廣東亞運會開幕式會場一側的廣州電視塔“小蠻腰”，然后教師用多媒體動畫演示。［學情預設:此處的預設與生成應當是很自然的，這樣能

使學生更加直觀的感知雙曲線的形狀，并能體會到數學在生活中的應用，且能感受數學的美。］2、動手實踐教師取出預先準備好的雙曲線演示板：演示雙曲線的形成過程。并要求同學們分組把課前要求準備好的拉鎖按要求做演示。老師在講臺前演示并用多媒體做動畫演示。［設計意圖：設置這樣動手實踐的情境，是為了讓學生更加清楚地看到雙曲線是怎樣形成的，使學生學在情境中，思在情理中，感悟在內心中，學自己身邊的數學，領悟雙曲線形狀特性，并探究其內涵。］3、探究思考上述演示的雙曲線形成過程關鍵是什么因素起了作用呢？通過觀察感知雙曲線的形成的核心，關鍵是二個要素：①差的絕對值②常數小于\FF|4、歸納確認：（多媒體幻燈片演示）雙曲線定義：平面內與兩個定點F、F的距離的差的絕對值等于常數（小于|F1FJ）的點和軌跡叫做雙曲線。集合表示形式：p={M/\MF\-\mf2\|=2R溫馨提示：兩個定點叫做雙曲線的焦點。兩個焦點間的距離叫做雙曲線的焦距。常數記為2a，FF|=2c常數記為2a，FF|=2c。（三）定義運用，問題探究（多媒體幻燈片演示）1、想一想：當雙曲線條件相應變化時，曲線將如何變化：（1）、,-|PF|=2a雙曲線的一支（2）pF-\PF\=-2a雙曲線的一支（3）fF=2a2表示以FF為端點的兩條射線（4）FF、/12［學情預設：設計這組問題的目的是強調定理中兩個條件的重要性，相應條件變化時能夠使同學們通過演示、思考得出結果，如能按老師的要求生成正確的結果，則就由個別學生進行演示。］2、作一作：PF<2a動點的軌跡不存在。已知F(-5,0)F(5,0)動點P滿足\PF\—\PF\=2a,當a為3和5時，P點的軌跡為雙曲線的一支和一條射線。先由學生討論交流，教師提冋，然后教帥總結，并用準備好的教具進行演示。［設計意圖：這是一道簡單應用問題，是一道動手操作的問題，不僅是為了拓展加深對定義的認識，更重要的是培養(yǎng)學生想象能力與思維的嚴謹性。］(四)雙曲線的標準方程(1)推導：回顧橢圓標準方程的推導過程，類比為雙曲線(建系—設點—列式—化簡)F2，y已知雙曲線的焦點在x軸上，F(-c,0)、F(c,0)F2，y建立直角坐標系xoy,使x軸經過兩個焦點F、軸為線段f?的垂直平分線1設點M(X,y)p={M/|MFJ—||MF]|=J(x+c)2+y2|MF2|MF]|=J(x+c)2+y2|MF2\/(x+c)2+y2化簡得：-.J(x-c)2+y2=±a2—a2)x2—a2y2=a2(c2—a2兩邊同除以a2(c2—a2)得x2y2—=1a2c2—a2令c2—a2=b2(b>0)代入上式得：匸—21=1(a>0,b>0)a2b2類比上述方法，可引導學生自主推導焦點在y軸上的雙曲線方程。［設計意圖：設計此推導過程，目的是通過問題探究、討論、思辨、類比，體會公式是怎樣來的？提高學生的推導

能力、計算能力與邏輯推理能力。］（2）標準方程1＞焦點在x軸上x21＞焦點在x軸上x2y2=1（a〉0,b〉0）a2b22＞焦點在y軸上y2x2=1（a〉0,b〉0）a2b2注：1＞a,b,c關系c2=a2+b22＞焦點跟著正項走［知識鏈接：要注意a,b,c的關系雙曲線與橢圓的區(qū)別，并進一步討論焦點的判斷的方法。注重方法的總結，培養(yǎng)邏輯思維能力］練一練：例：已知雙曲線兩個焦點F（-5,0）F（5,0）,雙曲線上一點P到F，距離差的絕對值等于6,求雙曲線的標準方程。12變式1:已知雙曲線的中心在原點，c=6，經過點（5，2），焦點在x軸上，求雙曲線的標準方程。變式2:已知雙曲線中心在原點，經過點A（7,_6巨），BI訂,3），求雙曲線的標準方程。股計意圖：設計這組練習，目的是為了鞏固與深化雙曲線標準方程的運用，特別是通過變式2的訓練，讓學生思考簡便方法，讓學生能在不同的條件下，去尋找解決問題的途徑與方法，以達到逐步培養(yǎng)學生分析問題能力與邏輯思維能力。］（四）總結先由學生口頭總結，然后教師歸納總結（由多媒體幻燈片展示）：1、雙曲線的定義：平面內與兩個定點F、F的距離的差的絕對值等于常數（小于|F1FJ）的點和軌跡叫做雙曲線。2、雙曲線標準方程：121＞焦點在x1＞焦點在x軸上x2y2=1（a〉0,b〉0）a2b22＞焦點在y軸上Z2-匸=1（a〉0,b〉0）a2b2（五）布置作業(yè)：教科書習題2、2A組1,2七、教學反思一、成功之處：1、教學方法上：“突出教學內容中主要的、本質的東西；將每堂課具體任務與整個教學任務合理地結合起來；選擇最合理的教學方法和手段?！苯Y合本節(jié)課的具體內容，確立啟發(fā)探究式教學、互動式教學法及多媒體進行教學方法，體現了認知心理學的基本理論。2、學習的主體上：課堂不再成為“一言堂”，學生也不再是教師注入知識的“容器瓶”，課堂上為學生的主動參與提供充分的時間和空間，凡是學生能夠自己學習的、觀察的、講的（口頭表達）、思考探究的、合作交流的、動手操作的，盡量都放手讓給學生去做、去活動、去完成，這樣可以調動學生學習積極性，拉近師生距離，提高知識的可接受度，讓學生體會到他們是學習的主體。進而完成知識的轉化，變書本的知識、老師的知識成為自己的知識。3、學法指導上：采用激發(fā)興趣、主動參與、積極體驗自主探究的講解討論相結合，交流練習互穿插的活動課形式，學生始終處于問題探索研究狀態(tài)之中，激情引趣。教師創(chuàng)設和諧、愉悅的環(huán)境及輔以適當的引導。促進學生說、想、做，注重“引、思、探、練”的結合，鼓勵學生發(fā)現問題，大膽分析問題和解決問題.進行主動探究學習，形成師生互動的教學氛圍。4、教學實效上：讓學生在基礎上鞏固、深化、應用雙曲線的定義并掌握待定系數法求標準方程，又可加強對代數運算能力的培養(yǎng)，在此體驗方程、化歸、數形結合、分類整合等數學思想，為下一節(jié)《雙曲線的幾何性質》的學習即“由數到形”作了堅實鋪墊和準備。二、不足之處：1、從課