態(tài)和力學(xué)量的表象課件

1表象:量子力學(xué)中的態(tài)和力學(xué)量的具體表示方式稱為表象4.1態(tài)的表象

一個(gè)粒子的態(tài)完全可由歸一化的波函數(shù)ψ(r,t)來(lái)描述，將ψ(r,t)稱為坐標(biāo)表象。下面將討論用動(dòng)量為變量描述波函數(shù)。c(p,t)為展開(kāi)系數(shù)，ψp(x)是動(dòng)量的本征函數(shù)2c(p,t)和

(r,t)描述的是粒子態(tài)同一個(gè)狀態(tài)，

(r,t)是這個(gè)狀態(tài)在坐標(biāo)表象中的波函數(shù)，而c(p,t)為同一狀態(tài)在動(dòng)量表象中的波函數(shù)。表示在所描寫(xiě)的態(tài)中測(cè)量粒子動(dòng)量所結(jié)果在范圍內(nèi)的幾率如果

(x,t)描述的狀態(tài)是具有動(dòng)量p

的自由粒子的狀態(tài)3在動(dòng)量表象中，具有確定動(dòng)量p

的粒子波函數(shù)是

函數(shù)。同樣，在坐標(biāo)表象中，具有確定坐標(biāo)x

的粒子波函數(shù)也是

函數(shù)。4解：首先對(duì)波函數(shù)進(jìn)行歸一化例題：一維粒子運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)是求：（1）粒子動(dòng)量的幾率分布；（2）粒子的平均動(dòng)量5動(dòng)量的幾率分布為6動(dòng)量的平均值為另一種解法7

考慮任意力學(xué)量Q本征值為

1,

2,…,

n…,對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)

u1(x),u

2(x),…u

n(x)

…,則任意波函數(shù)（x）按Q的本征函數(shù)展開(kāi)為如果（x）和un(x)

都是歸一化的，則8所以在

（x）所描寫(xiě)的量子態(tài)中測(cè)量力學(xué)量Q所得的結(jié)果為Qn的幾率數(shù)列就是

（x）所描寫(xiě)的量子態(tài)中在Q表象中的表示9共軛轉(zhuǎn)置矩陣波函數(shù)的歸一化表示成10如果力學(xué)量Q除了有分立的本征值，還有連續(xù)的本征值，則其中歸一化可表示為11

直角坐標(biāo)系中，矢量A的方向由i,j,k三個(gè)單位矢量基矢決定，大小由Ax,Ay,Az三個(gè)分量（基矢的系數(shù)）決定。在量子力學(xué)中，選定一個(gè)F表象，將Q的本征函數(shù)u1(x),u2(x),…un(x),…看作一組基矢，有無(wú)限多個(gè)，大小由a1(t),a2(t),…an(t),…系數(shù)決定。常用的表象有坐標(biāo)表象、動(dòng)量表象、能量表象和角動(dòng)量表象所以，量子力學(xué)中態(tài)矢量所決定的空間是無(wú)限維的空間函數(shù)，基矢是正交歸一的波函數(shù)。數(shù)學(xué)上稱為希爾伯特（Hilbert）空間.12例質(zhì)量為m的粒子在均勻力場(chǎng)V(x)＝Fx

(F>0)中運(yùn)動(dòng)，試在動(dòng)量表象中粒子的波函數(shù)。解：在動(dòng)量表象中，坐標(biāo)x的算符表示為13定態(tài)的薛定諤方程動(dòng)量表象中粒子的函數(shù)變到坐標(biāo)表象中，則波函數(shù)為14其中（Ariy函數(shù)）154.2算符的矩陣表示在Q表象中，Q的本征值分別為Q1，Q2，Q3，…Qn…,對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)分別為u1(x),u2(x),…un(x),….將

(x,t)和(x,t)分別在Q表象中按Q的本征函數(shù)展開(kāi)16

兩邊同乘以,并在整個(gè)空間積分利用本征函數(shù)un(x)的正交性17引進(jìn)記號(hào)這就是在Q表項(xiàng)中的表述方式表示成矩陣的形式：得18矩陣Fnm的共軛矩陣表示為因?yàn)榱孔恿W(xué)中的算符都是厄米算符，即將滿足該式的矩陣稱為厄密矩陣19

若在轉(zhuǎn)置矩陣中，每個(gè)矩陣元素用它的共軛復(fù)數(shù)來(lái)代替，得到的新矩陣稱為F的共軛轉(zhuǎn)置矩陣，簡(jiǎn)稱為共扼矩陣Fnm的轉(zhuǎn)置矩陣為根據(jù)厄密矩陣的定義所以20例求一維無(wú)限深勢(shì)阱中（寬度為a）粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量在能量表象中的矩陣元解：在能量表象中能量的本征值及本征函數(shù)為2122Q在自身表象中的矩陣元Qm為Q在自身空間中的的本征值結(jié)論：算符在自身的表象中是一個(gè)對(duì)角矩陣23如x在坐標(biāo)空間中可表示為動(dòng)量p在動(dòng)量空間中表示為一維諧振子能量表象中能量的矩陣元24如果Q只具有連續(xù)分布的本征值q，那么算符F在Q表象中依然是一個(gè)矩陣：這個(gè)矩陣的行列不再可數(shù)，而是用連續(xù)變化的下標(biāo)來(lái)表示在動(dòng)量表象中，算符F的矩陣元為：其中ψp(x)是動(dòng)量的本征函數(shù)254.3量子力學(xué)公式的矩陣表述1.平均值公式26寫(xiě)成矩陣形式簡(jiǎn)寫(xiě)為272.本征值方程

在量子力學(xué)中最重要的問(wèn)題是找算符的本征值和本征函數(shù)。首先，算符F的本征函數(shù)滿足28有非零解的條件是其系數(shù)行列式為零這是一個(gè)線性齊次代數(shù)方程組這是一個(gè)久期（secular）方程。將有

1，2….n

n個(gè)解，就是F的本征值。293.矩陣形式的薛定諤方程薛定諤方程不顯含時(shí)間的波函數(shù)的能量表象波函數(shù)根據(jù)哈密頓本征函數(shù)展開(kāi)代入薛定諤方程30兩邊同乘以并積分簡(jiǎn)寫(xiě)為H,

均為矩陣元。31例題：求在動(dòng)量表象中線性諧振子的能量本征函數(shù)線性諧振子的總能量為解法一：在動(dòng)量表象中，x的算符表示為：則H算符表示為定態(tài)的薛定諤方程寫(xiě)為32c(p)是動(dòng)量表象中的本征函數(shù)仿照一維諧振子坐標(biāo)空間的求解方法可解出c(p)。33例：設(shè)已知在和的共同表象中，算符的矩陣為：求的本征值和歸一化的本征函數(shù)，最后將矩陣對(duì)角化

解：設(shè)的本征態(tài)為其本征方程為：34即分別有35欲求的非零解，其系數(shù)行列式為零：