高中物理問題的數(shù)學(xué)方法

高中物理問題與數(shù)學(xué)方法（國際中文核心期刊《中國現(xiàn)代教育論壇》發(fā)表洪奇標）內(nèi)容提要：物理問題的解決有賴于數(shù)學(xué)知識的掌握和熟練運用，而靈活的數(shù)學(xué)方法與獨到運算技巧往往為復(fù)雜的物理問題的解決提供了快捷、簡便的竅門。如何培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的物理學(xué)科思維能力，有賴于在長期的習(xí)題訓(xùn)練中，使學(xué)生學(xué)會整合物理科與數(shù)學(xué)科及其它相關(guān)學(xué)科的知識，尋找有用的信息和方法，并運用學(xué)過的知識去分析、解決實際問題的過程中，用心鉆研和總結(jié)解決各種物理問題的思路和方法，才能逐步提高。本文在此僅對高中物理問題解題方案中的常用的數(shù)學(xué)方法與解題技巧淺作介紹，望能為正在進行緊張復(fù)習(xí)并即將面臨高考的莘莘學(xué)子們起到啟迪的作用。關(guān)鍵詞.：物理問題解題方法一、代數(shù)法代數(shù)法解決物理問題又分為若干種技能技巧：1、聯(lián)立方程組解答物理問題典型例題：如圖所示,兩端封閉的內(nèi)徑均勻的直玻璃管內(nèi)，有一段水銀柱將兩種氣體a和b隔開將管豎立著，達到平衡時，若溫度為T，氣柱a和b的長度分別為La和Lb,若溫度為T/，長度分別為La/和Lb/。然后將管平放在水平桌面上，在平衡時，兩段氣柱長分別是La//和Lb//。已知T、T/、La、La/、Lb、Lb/,求La///Tb//。分析：這是一道高考題，其物理過程分列式并不難，但做數(shù)學(xué)聯(lián)立解答時，由于方程多，往往不易熟練解出正確答案。為此平時要多練，尤其要多練比例法，最終才使本題在Pa、Pb、Pa/、Pb/、H及Pa//、Pb//都不知情的情況下能得出答案。解答：對a段氣體有：①=2\*GB3②對b段氣體有：=3\*GB3③=4\*GB3④另有壓強關(guān)系：=5\*GB3⑤=6\*GB3⑥=7\*GB3⑦，由=5\*GB3⑤、=6\*GB3⑥消去h得：=8\*GB3⑧化=1\*GB3①、=2\*GB3②、=3\*GB3③、=4\*GB3④得：、、、的值，代入=8\*GB3⑧中，且由=7\*GB3⑦整理得：2、運用一元二次方程判別式解答物理問題在不少情況下，不一定能顯然地得出一元二次方程標準式，但只要有這樣的可能性，則就要做傾向性的代換、變形和組合，才有可能最終整理成功一元二次方程式，也許此時的系數(shù)a、b、c都分別是較為復(fù)雜的多項式，但用判別式也正當其時了。典型例題：凸透鏡焦距為f，物體與成像屏幕之間的距離為L，當L至少為多大時，才能在屏幕上呈現(xiàn)清晰的像？解答：由透鏡成像公式=1\*GB3①依題意得=2\*GB3②聯(lián)立=1\*GB3①、=2\*GB3②得=3\*GB3③；式=3\*GB3③是一個關(guān)于像距的一元二次方程，為使屏上出現(xiàn)清晰的像，須為實數(shù)，由得，即3、用二元二次方程組解答物理問題對于某些需要綜合運用動量守恒定律與動能定理聯(lián)合解決的物理問題，則可考慮通過運用動量守恒定律與動能定理分別列出二元一次方程和二元二次方程組成方程組求解。在聯(lián)立方程的時候，設(shè)法將二元二次方程通過特定的關(guān)系處理成二元一次方程后，再次聯(lián)立方程解答。典型例題：試求質(zhì)量為、速度為的物體和質(zhì)量為、速度為的物體相碰撞后的速度。假設(shè)碰撞后動能沒有損失。解答：由于碰撞后沒有動能損失，那么碰撞前后動量守恒，能量也守恒。那么有：=1\*GB3①；=2\*GB3②由=1\*GB3①得：=3\*GB3③；由=2\*GB3②得：=4\*GB3④式=4\*GB3④除以式=3\*GB3③得；=5\*GB3⑤；聯(lián)立=1\*GB3①、=5\*GB3⑤組成二元一次方程組再求解就方便多了，可以的到：4、運用合、分比定理解答物理問題物理學(xué)中經(jīng)常遇到分量之間，某一分量之間的比例計算和換算問題，因此常用到數(shù)學(xué)中的合比及分比定理。在形如的比例關(guān)系中，如果a和b，c和d是同一物理量，則可根據(jù)分比定理和合比定理解答。定理：如果a、b、c、d均不為零，當時，則有：（合比定理）；（分比定理）；典型例題：例1：如圖所示裝置，水銀柱將氣體、分隔成兩部分。開始時的溫度為10C，的溫度為20C，水銀柱靜止，求下列情況下，水銀柱移動的方向。=1\*GB2⑴、的溫度都升高10C。水銀=2\*GB2⑵、的溫度都降低10C。=3\*GB2⑶的溫度升高10C，的溫度升高20C。解：=1\*GB2⑴、變化前的壓強為p、絕對溫度為T，升高10C后的壓強為，絕對溫度為，假設(shè)、均發(fā)生等容變化，對氣體、分別用查理定律，由得：對于有：=1\*GB3①對于有：=2\*GB3②比較=1\*GB3①、=2\*GB3②：因為，所以水銀柱向方向移動。=2\*GB2⑵對于同理可得：=3\*GB3③對于同理可得：=4\*GB3④比較=3\*GB3③、=4\*GB3④：因為，所以水銀柱向方向移動。=3\*GB2⑶對于同理可得：=5\*GB3⑤對于同理可得：=6\*GB3⑥比較=5\*GB3⑤、=6\*GB3⑥，因為：，所以水銀向著方向移動。例2：將電阻接到恒壓電源上，功率為；將電阻接到同一恒定電源上，功率為。那么將、串聯(lián)后接到同一恒定電源上，總功率為多少？A、+B、C、D、解：根據(jù)可知，電壓一定時功率和電阻成反比，則有：=1\*GB3①設(shè)兩電阻串聯(lián)后接到恒壓電源上，功率為P，則有：=2\*GB3②由合比定理整理=1\*GB3①得：=3\*GB3③聯(lián)立=2\*GB3②、=3\*GB3③解得：，故正確選項為D5運用指數(shù)和對數(shù)知識解答物理問題典型例題：在一原子反應(yīng)堆中，用石墨（碳）做減速劑使快中子減速。已知碳核質(zhì)量是中子質(zhì)量的12倍，假設(shè)把中子與碳核的每次碰撞都看作是彈性正碰撞，而且認為碰撞前碳核都是靜止的。（、）=1\*GB2⑴沒碰撞前中子的動能是，問經(jīng)過一次碰撞中子損失的能量是多少？=2\*GB2⑵至少經(jīng)過多少次碰撞，中子動能損失小于？解答：=1\*GB2⑴設(shè)中子和碳核的質(zhì)量分別為m和M，碰撞前中子的速度為，碰撞后中子和碳核的速度分別是和V，根據(jù)動量守恒定律得：=1\*GB3①，又由于動能守恒，則有：=2\*GB3②聯(lián)立=1\*GB3①、=2\*GB3②解得：=3\*GB3③把=3\*GB3③代入=1\*GB3①德：=4\*GB3④已知M=12m，代入=4\*GB3④得=5\*GB3⑤算得一次碰撞時中子損失能量為：=2\*GB2⑵E1、E2······En分別表示中子第1次、第2次······第n次碰撞后的動能，由=5\*GB2⑸得：=6\*GB3⑥……=7\*GB3⑦已知：。代入上式得：，即：兩邊取對數(shù)得：，將和的值代入上式得：故需要至少經(jīng)過42次碰撞，中子動能才能小于二、幾何法我國的高考經(jīng)過多年的理論研究和實踐，命題思想、題型題量都有了很大的變化，近幾年的高考，考查的重點主要放在系統(tǒng)地掌握課程內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系上，放在掌握分析問題的方法和解決問題的能力上。而許多擔(dān)負考查能力的高考題，都要用到幾何方法，對于這類問題，如果我們僅僅是列出物理的關(guān)系式，而看不出問題的幾何關(guān)系式，最終就無法解出這道物理題。在這里通過一典型例題，探討運用幾何原理解決物理問題的方法。典型例題：如圖所示，跨過定滑輪的繩子一端連結(jié)在質(zhì)量為m的物體上，另一端連接在質(zhì)量為M的物體上，M套在光滑的直桿中，可以自由滑動。開始時，連接M、m的繩子成水平狀態(tài)，其水平段的長度為S，放手后M下落并通過連接繩子向上提起m，當M下落高度為h時，物體m的速度為多大？解答：作出求解長度關(guān)系式和速度分解關(guān)系式的幾何圖如下：=1\*GB3①由于，所以：=2\*GB3②由機械能守恒定律再得：=3\*GB3③聯(lián)立=1\*GB3①、=2\*GB3②、=3\*GB3③得：三、三角函數(shù)法典型例題：光線從空氣斜射到玻璃磚的一個平面上，再從另一平面射出，試證出射光線跟入射光線平行，并求出射光線對入射光線的平移。解答：如圖，n為玻璃對空氣的折射率，玻璃磚厚為h，入射角I，EF、FG和GH分別代表入射光線、折射光線和出射光線。應(yīng)有：=1\*GB3①=1\*GB3①×=2\*GB3②=1=2\*GB3②即：又因為所以或，那么側(cè)移FI=a即：四、極值法=1\*GB2⑴用配方法求物理問題的極值典型例題：把某一電何Q分成q與(Q-q)兩個部分，且此兩部分相隔一定距離，如果使這兩部分有最大的斥，則Q與q的數(shù)量關(guān)系如何確定？斥力大小如何？解：由得：=1\*GB3①得：討論：當時，=2\*GB2⑵應(yīng)用二次三項性質(zhì)求物理問題的極值（以上題為例）把某一電何Q分成q與(Q-q)兩個部分，且此兩部分相隔一定距離，如果使這兩部分有最大的斥，則Q與q的數(shù)量關(guān)系如何確定？斥力大小如何？解：由得：=1\*GB3①將二次三項式：=2\*GB3②與之對照得：、、c=0因為,故當涵數(shù)有極大值：；也即當時，有極大值：=3\*GB2⑶用不等式性質(zhì)求物理問題的極值（以上題為例）把某一電何Q分成q與(Q-q)兩個部分，且此兩部分相隔一定距離，如果使這兩部分有最大的斥，則Q與q的數(shù)量關(guān)系如何確定？斥力大小如何？解：將中的q和視作x，(Q-q)視作y，而、。由、得：，現(xiàn)屬于（定值）故當x=y時有：，亦即當q=(Q-q)，時有：，此式算得：=4\*GB2⑷利用一元二次方程的判別式求物理問題的極值（以上題為例）把某一電何Q分成q與(Q-q)兩個部分，且此兩部分相隔一定距離，如果使這兩部分有最大的斥力，則Q與q的數(shù)量關(guān)系如何確定？斥力大小如何？解：如果有實數(shù)根，則：由得：=1\*GB3①整理=1\*GB3①得：=2\*GB3②；由=2\*GB3②有：、、。那么：，即：，解得：結(jié)合題意：解得：。=5\*GB2⑸應(yīng)用有關(guān)三角涵數(shù)知識求物理問題的極值典型例題：如圖所示，斜面傾角為，摩擦系數(shù)為，物體在力F的作用沿斜面向上運動，加速度為a，問至少需要多大的外力？解：由得：整理得：，求出最大值，便可算得F的極小值。為此得：當時，有極大值，故得：=6\*GB2⑹應(yīng)用數(shù)列性質(zhì)求物理問題的極值典型例題：線段AB長為S