中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)之圓一

中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)之圓一一、知識(shí)點(diǎn)1、與圓有關(guān)的角——圓心角、圓周角（1）圖中的圓心角；圓周角；（2）如圖，已知∠AOB=50度，則∠ACB=度；（3）在上圖中，若AB是圓O的直徑，則∠AOB=度；2、圓的對(duì)稱(chēng)性：（1）圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，其對(duì)稱(chēng)軸是任意一條的直線(xiàn)；圓是中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)中心為．（2）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的?。鐖D，∵CD是圓O的直徑，CD⊥AB于E∴=，=3、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有三種：點(diǎn)在圓，點(diǎn)在圓，點(diǎn)在圓；例1：已知圓的半徑r等于5厘米，點(diǎn)到圓心的距離為d，（1）當(dāng)d=2厘米時(shí)，有dr，點(diǎn)在圓（2）當(dāng)d=7厘米時(shí)，有dr，點(diǎn)在圓（3）當(dāng)d=5厘米時(shí)，有dr，點(diǎn)在圓4、直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系有三種：相、相、相．例2：已知圓的半徑r等于12厘米，圓心到直線(xiàn)l的距離為d，（1）當(dāng)d=10厘米時(shí)，有dr，直線(xiàn)l與圓（2）當(dāng)d=12厘米時(shí)，有dr，直線(xiàn)l與圓（3）當(dāng)d=15厘米時(shí)，有dr，直線(xiàn)l與圓5、圓與圓的位置關(guān)系：例3：已知⊙O1的半徑為6厘米，⊙O2的半徑為8厘米，圓心距為d，則：R+r=，R－r=；（1）當(dāng)d=14厘米時(shí)，因?yàn)閐R+r，則⊙O1和⊙O2位置關(guān)系是：（2）當(dāng)d=2厘米時(shí)，因?yàn)閐R－r，則⊙O1和⊙O2位置關(guān)系是：（3）當(dāng)d=15厘米時(shí)，因?yàn)?，則⊙O1和⊙O2位置關(guān)系是：（4）當(dāng)d=7厘米時(shí)，因?yàn)?，則⊙O1和⊙O2位置關(guān)系是：（5）當(dāng)d=1厘米時(shí)，因?yàn)?，則⊙O1和⊙O2位置關(guān)系是：6、切線(xiàn)性質(zhì)：例4：（1）如圖，PA是⊙O的切線(xiàn)，點(diǎn)A是切點(diǎn)，則∠PAO=度 （2）如圖，PA、PB是⊙O的切線(xiàn)，點(diǎn)A、B是切點(diǎn)，則=，∠=∠；7、圓中的有關(guān)計(jì)算（1）弧長(zhǎng)的計(jì)算公式：例5：若扇形的圓心角為60°，半徑為3，則這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)是多少？解：因?yàn)樯刃蔚幕￠L(zhǎng)=所以==(答案保留π)（2）扇形的面積：例6：①若扇形的圓心角為60°，半徑為3，則這個(gè)扇形的面積為多少？解：因?yàn)樯刃蔚拿娣eS=所以S==(答案保留π)②若扇形的弧長(zhǎng)為12πcm，半徑為6㎝，則這個(gè)扇形的面積是多少？解：因?yàn)樯刃蔚拿娣eS=所以S==（3）圓錐：例7：圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為5cm，半徑為4cm，則圓錐的側(cè)面積是多少？解：∵圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是形，展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)等于∴圓錐的側(cè)面積=8、三角形的外接圓的圓心——三角形的外心——三角形的交點(diǎn)；三角形的內(nèi)切圓的圓心——三角形的內(nèi)心——三角形的交點(diǎn)；例8：畫(huà)出下列三角形的外心或內(nèi)心（1）畫(huà)三角形ABC的內(nèi)切圓，（2）畫(huà)出三角形DEF的外接圓，并標(biāo)出它的內(nèi)心；并標(biāo)出它的外心切割線(xiàn)定理：設(shè)ABP是⊙O的一條割線(xiàn)，PT是⊙O的一條切線(xiàn)，切點(diǎn)為T(mén)，則PT2=PA·PB割線(xiàn)定理：直線(xiàn)ABP和CDP是自點(diǎn)P引的⊙O的兩條割線(xiàn)，則PA·PB=PC·PD相交弦定理：若弦AB、CD交于點(diǎn)P，則PA·PB=PC·PD；若AB是直徑，CD垂直AB于點(diǎn)P，則PC2=PA·PB（相交弦定理推論）弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半.(弦切角就是切線(xiàn)與弦所夾的角）頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角\o"查看圖片"

∴∠PCA=∠PBC(∠PCA為弦切角）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧。垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦對(duì)的弧。射影定理直角三角形射影定理（又叫歐幾里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。公式Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜邊BC上的高,則有射影定理如下:(1)(AD)2=BD·DC,(2)(AB)2=BD·BC,(3)(AC)2;=CD·BC。等積式(4)AB·AC=BC·AD1、如圖所示,有一直徑是1米的圓形鐵皮,要從中剪出一個(gè)最大的圓心角是90°的扇形ABC.求:(1)被剪掉的陰影部分的面積;(2)用所留的扇形鐵皮圍成一個(gè)圓錐,該圓錐的底面圓的半徑是多少?(結(jié)果可用根號(hào)表示)2、如圖是某學(xué)校田徑體育場(chǎng)一部分的示意圖,第一條跑道每圈為400米,跑道分直道和彎道,直道為長(zhǎng)相等的平行線(xiàn)段,彎道為同心的半圓型,彎道與同心的半圓型,彎道與直道相連接.已知直道BC的長(zhǎng)為86.96米,跑道的寬為1米(=3.14,結(jié)果精確到0.01)(1)求第一條跑道的彎道部分的半徑;(2)求一圈中第二條跑道比第一條跑道長(zhǎng)多少米?(3)若進(jìn)行200米比賽,求第六道的起點(diǎn)F與圓心O的連線(xiàn)FO與OA的夾角∠FOA的度數(shù).3、“6”字形圖中，是大⊙O的直徑，與大⊙O相切于，與小⊙O相交于，∥，∥∥，于，設(shè)，，（1）求證：為小⊙O的切線(xiàn)；（2）求的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）.4、（大連2004）如圖，AB、CD是⊙O的直徑，DF、BE是弦，且DF=BE．求證：∠D=∠B.

5、如圖，已知⊙O的半徑為２，弦AB的長(zhǎng)為２，點(diǎn)C與點(diǎn)D分別是劣弧與優(yōu)弧上的任一點(diǎn)（點(diǎn)Ｃ、Ｄ均不與Ａ、Ｂ重合）．（１）求∠ＡＣＢ；（２）求△ＡＢＤ的最大面積．6、如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，D是⊙O上一點(diǎn)，連結(jié)BD、CD、AC、BD交于點(diǎn)E．（1）請(qǐng)找出圖中的相似三角形，并加以證明；（2）若∠D＝45°，BC＝2，求⊙O的面積．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，D是弧AC的中點(diǎn)，求證：CD2=DE·DB。7、如圖1和圖2，MN是⊙O的直徑，弦AB、CD相交于MN上的一點(diǎn)P，∠APM=∠CPM．（1）由以上條件，你認(rèn)為AB和CD大小關(guān)系是什么，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）若交點(diǎn)P在⊙O的外部，上述結(jié)論是否成立？若成立，加以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．8、如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長(zhǎng)BD到C，使AC=AB，BD與CD的大小有什么關(guān)系？為什么？9、如圖，AB為⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，D在A(yíng)B的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且∠DCB=∠A．（1）CD與⊙O相切嗎？如果相切，請(qǐng)你加以證明，如果不相切，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）若CD與⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半徑．10、在直徑為AB的半圓內(nèi)，劃出一塊三角形區(qū)域，如圖所示，使三角形的一邊為AB，頂點(diǎn)C在半圓圓周上，其它兩邊分別為6和8，現(xiàn)要建造一個(gè)內(nèi)接于△ABC的矩形水池DEFN，其中D、E在A(yíng)B上，如圖24-94的設(shè)計(jì)方案是使AC=8，BC=6．（1）求△ABC的邊AB上的高h(yuǎn)．（2）設(shè)DN=x，且，當(dāng)x取何值時(shí)，水池DEFN的面積最大？（3）實(shí)際施工時(shí)，發(fā)現(xiàn)在A(yíng)B上距B點(diǎn)1．85的M處有一棵大樹(shù)，問(wèn)：這棵大樹(shù)是否位于最大矩形水池的邊上？如果在，為了保護(hù)大樹(shù)，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出另外的方案，使內(nèi)接于滿(mǎn)足條件的三角形中欲建的最大矩形水池能避開(kāi)大樹(shù)．11、.已知：如圖等邊內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)是劣弧PC上的一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），延長(zhǎng)至，使，連結(jié)．（1）若過(guò)圓心，如圖①，請(qǐng)你判斷是什么三角形？并說(shuō)明理由．AOCDPB圖①AOAOCDPB圖①AOCDPB圖②12、(1)如圖OA、OB是⊙O的兩條半徑，且OA⊥OB，點(diǎn)C是OB延長(zhǎng)線(xiàn)上任意一點(diǎn)：過(guò)點(diǎn)C作CD切⊙O于點(diǎn)D，連結(jié)AD交DC于點(diǎn)E．求證：CD=CE(2)若將圖中的半徑OB所在直線(xiàn)向上平行移動(dòng)交OA于F，交⊙O于B’，其他條件不變，那么上述結(jié)論CD=CE還成立嗎?為什么?(3)若將圖中的半徑OB所在直線(xiàn)向上平行移動(dòng)到⊙O外的CF，點(diǎn)E是DA的延長(zhǎng)線(xiàn)與CF的交點(diǎn)，其他條件不變，那么上述結(jié)論CD=CE還成立嗎?為什么13、如圖，已知在⊙O中，AB=，AC是⊙O的直徑，AC⊥BD于F，∠A=30°.(1)求圖中陰影部分的面積；(2)若用陰影扇形OBD圍成一個(gè)圓錐側(cè)面，請(qǐng)求出這個(gè)圓錐的底面圓的半徑.14、如圖，四邊形內(nèi)接于⊙O，是⊙O的直徑，，垂足為，平分．（1）求證：是⊙O的切線(xiàn)；（2）若，求的長(zhǎng)．DDECBOA15、如圖，在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD。（1）P是優(yōu)弧CAD上一點(diǎn)（不與C、D重合），求證：∠CPD=∠COB；（2）點(diǎn)P′在劣弧CD上（不與C、D重合）時(shí)，∠CP′D與∠COB有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論。16、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙C與y軸相切，且C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A（—1，0），與⊙C相切于17．（2010湖北恩施自治州）(1)計(jì)算:如圖①,直徑為的三等圓⊙O、⊙O、⊙O兩兩外切，切點(diǎn)分別為A、B、C，求OA的長(zhǎng)（用含的代數(shù)式表示）.全品中考網(wǎng)（2）探索:若干個(gè)直徑為的圓圈分別按如圖10②所示的方案一和如圖10③所示的方案二的方式排放，探索并求出這兩種方案中層圓圈的高度和（用含、的代數(shù)式表示）.（3）應(yīng)用:現(xiàn)有長(zhǎng)方體集裝箱，其內(nèi)空長(zhǎng)為5米，寬為3.1米，高為3.1米.用這樣的集裝箱裝運(yùn)長(zhǎng)為5米，底面直徑（橫截面的外圓直徑）為0.1米的圓柱形鋼管，你認(rèn)為采用（218．（2010湖北十堰）（本小題滿(mǎn)分9分）如圖，已知⊙O1與⊙O2都過(guò)點(diǎn)A，AO1是⊙O2的切線(xiàn)，⊙O1交O1O2于點(diǎn)B，連結(jié)AB并延長(zhǎng)交⊙O2于點(diǎn)C，連結(jié)O2C（1）求證：O2C⊥O1O2（2）證明：AB·BC=2O2B·BO1；（3）如果AB·BC=12，O2C=4，求AO1OO1O2ABC19．（2010湖北黃石）在△ABC中，分別以AB、BC為直徑⊙O、⊙O，交于另一點(diǎn)D.=1\*GB2⑴證明：交點(diǎn)D必在A(yíng)C上；=2\*GB2⑵如圖甲，當(dāng)⊙O與⊙O半徑之比為4︰3，且DO與⊙O相切時(shí)，判斷△ABC的形狀，并求tan∠ODB的值；=3\*GB2⑶如圖乙，當(dāng)⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，AB、DO的延長(zhǎng)線(xiàn)交于E，且BE＝BD時(shí)，求∠A的度數(shù).部分答案7、解：（1）AB=CD理由：過(guò)O作OE、OF分別垂直于A(yíng)B、CD，垂足分別為E、F∵∠APM=∠CPM∴∠1=∠2OE=OF連結(jié)OD、OB且OB=OD∴Rt△OFD≌Rt△OEB∴DF=BE根據(jù)垂徑定理可得：AB=CD（2）作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足為E、F∵∠APM=∠CPN且OP=OP，∠PEO=∠PFO=90°∴Rt△OPE≌Rt△OPF∴OE=OF連接OA、OB、OC、OD易證Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OAE≌Rt△OCF∴∠1+∠2=∠3+∠4∴AB=CD8、連接AD∵AB是⊙O的直徑∴∠ADB=90°即AD⊥BC又∵AC=AB∴BD=CD9、解：（1）CD與⊙O相切理由：①C點(diǎn)在⊙O上（已知）②∵AB是直徑∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°∵∠A=∠OCA且∠DCB=∠A∴∠OCA=∠DCB∴∠OCD=90°綜上：CD是⊙O的切線(xiàn)．（2）在Rt△OCD中，∠D=30°∴∠COD=60°∴∠A=30°∴∠BCD=30°∴BC=BD=10∴AB=20，∴r=1010、解：（1）由AB·CG=AC·BC得h==4.8（2）∵h(yuǎn)=且DN=x∴NF=則S四邊形DEFN=x·（4.8-x）=-x2+10x=-（x2-x）=-[（x-）2-]=-（x-2.4）2+12∵-（x-2.4）2≤0∴-（x-2.4）2+12≤12且當(dāng)x=2.4時(shí)，取等號(hào)∴當(dāng)x=2.4時(shí)，SDEFN最大．（3）當(dāng)SDEFN最大時(shí)，x=2.4，此時(shí)，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，在Rt△FEB中，EF=2.4，BF=3．∴BE==1.8∵BM=1.85，∴BM>EB，即大樹(shù)必位于欲修建的水池邊上，應(yīng)重新設(shè)計(jì)方案．∵當(dāng)x=2.4時(shí)，DE=5∴AD=3.2，由圓的對(duì)稱(chēng)性知滿(mǎn)足條件的另一設(shè)計(jì)方案，如圖所示:此時(shí)，AC=6，BC=8，AD=1.8，BE=3.2，這樣設(shè)計(jì)既滿(mǎn)足條件，又避開(kāi)大樹(shù)．11、為等邊三角形，又在⊙O中又．又過(guò)圓心，，，為等邊三角形．（2）仍為等邊三角形理由：先證（過(guò)程同上）又，又為等邊三角形12、解答：(1)證明：連結(jié)OD則OD⊥CD，∴∠CDE+∠ODA=90°在Rt△AOE中，∠AEO+∠A=90°在⊙O中，OA=OD∴∠A=∠ODA，∴∠CDE=∠AEO又∵∠AEO=∠CED，∠CDE=∠CED∴CD=CE(2)CE=CD仍然成立．∵原來(lái)的半徑OB所在直線(xiàn)向上平行移動(dòng)∴CF⊥AO于F，在Rt△AFE中，∠A+∠AEF=90°．連結(jié)OD，有∠ODA+∠CDE=90°，且OA=OD．∠A=∠ODA∴∠AEF=∠CDE又∠AEF=∠CED∴∠CED=∠CDE∴CD=CE(3)CE=CD仍然成立．∵原來(lái)的半徑OB所在直線(xiàn)向上平行移動(dòng)．AO⊥CF延長(zhǎng)OA交CF于G，在Rt△AEG中，∠AEG+∠GAE=90°連結(jié)OD，有∠CDA+∠ODA=90°，且OA=OD∴∠ADO=∠OAD=∠GAE∴∠CDE=∠CED∴CD=CE13、（1）法一：過(guò)O作OE⊥AB于E，則AE=AB=2。FE在RtAEO中，∠BAC=30°，cos30°=．FE∴OA===4．又∵OA=OB，∴∠ABO=30°．∴∠BOC=60°．∵AC⊥BD，∴．∴∠COD=∠BOC=60°．∴∠BOD=120°．∴S陰影==．法二：連結(jié)AD．∵AC⊥BD，AC是直徑，F(xiàn)∴AC垂直平分BD。F∴AB=AD，BF=FD，?！唷螧AD=2∠BAC=60°，∴∠BOD=120°．∵BF=AB=2，sin60°=，AF=AB·sin60°=4×=6?！郞B2=BF2+OF2．即．∴OB=4．∴S陰影=S圓=。法三：連結(jié)BC．∵AC為⊙O的直徑，∴∠ABC=90°。F∵AB=4，F(xiàn)∴∵∠A=30°，AC⊥BD，∴∠BOC=60°，∴∠BOD=120°．O①②③∴S陰影=π·OA2=×42·π=。O①②③以下同法一。（2）設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，則周長(zhǎng)為2πr，∴∴。14、（1）證明：連接，平分，．．．．DECBODECBOA．是⊙O的切線(xiàn)．（2）是直徑，．，．平分，．．在中，．在中，．的長(zhǎng)是1cm，的長(zhǎng)是4cm．15、（1）證明：連接OD，∵AB是直徑，AB⊥CD，∴∠COB=∠DOB=。又∵∠CPD=，∴∠CPD=∠COB。（2）∠CP′D與∠COB的數(shù)量關(guān)系是：∠CP′D+∠COB=180°。證明：∵∠CPD+∠CP′D=180°，∠CPD=∠COB，∴∠CP′D+∠COB=180°。16、解：如圖所示，連接CD，∵直線(xiàn)為⊙C的切線(xiàn)，∴CD⊥AD?！逤點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），∴OC=1，即⊙C的半徑為1，∴CD=OC=1。又∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（—1，0），∴AC=2，∴∠CAD=30°。作DE⊥AC于E點(diǎn)，則∠CDE=∠CAD=30°，∴CE=，0=—k+b，=k+b.，∴OE=OC-CE=，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為