基于多分形的中國股市權(quán)證定價研究

基于多分形的中國股市權(quán)證定價研究

1第三,隱私權(quán)改變了市場整體市場表現(xiàn)證書是保險公司和保險公司之間的合同。車主有權(quán)以約定的價格購買特定數(shù)量的資產(chǎn)（確認(rèn)證書）或出售（認(rèn)沽證）。作為一種初級的金融衍生產(chǎn)品,權(quán)證的出現(xiàn)對于活躍金融市場、完善金融市場的價格發(fā)現(xiàn)功能具有重要意義。目前,權(quán)證已成為世界上繼股票和債券以外的第三大單一金融交易產(chǎn)品。2005年下半年,為了配合股權(quán)分置改革,中國滬深兩市正式推出權(quán)證業(yè)務(wù)。對權(quán)證進行精確定價不僅可以為金融監(jiān)管當(dāng)局提供相關(guān)的決策信息支持,而且直接影響很多機構(gòu)投資者和個人投資者的權(quán)證投資策略。由于期權(quán)和權(quán)證這兩種金融工具具有非常類似的風(fēng)險-收益結(jié)構(gòu),所以權(quán)證的定價和風(fēng)險管理策略均可以借鑒期權(quán)的相關(guān)理論。2多分形波動率測度1973年,Black等在一系列嚴(yán)格的假設(shè)條件下,通過嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和論證,提出了著名的B-S期權(quán)定價模型(Black-Scholesoptionpricingmodel)。經(jīng)典B-S模型擁有邏輯嚴(yán)密、形式優(yōu)美、涉及變量較少和計算相對簡便等優(yōu)點,因此自提出以來已被理論界和實務(wù)界廣泛用于期權(quán)和權(quán)證定價。但是,經(jīng)典B-S模型的假設(shè)條件中存在若干與實際市場運行特征不符之處,其中最突出的就是該模型假定標(biāo)的資產(chǎn)價格的波動率為常數(shù),而金融價格波動的時變、聚類和杠桿效應(yīng)等典型特征現(xiàn)已被眾多基于GARCH類模型的實證研究所證實。正是出于對常數(shù)波動率假設(shè)不符合實際的反思,一些學(xué)者開始運用基于GARCH類模型的條件波動率,實現(xiàn)對經(jīng)典B-S模型常數(shù)波動率假設(shè)的修正。這一思路得到實證研究結(jié)論的充分支持,無論是對美國、日本這樣的成熟資本市場的研究,還是對中國股市這樣的新興資本市場的研究,目前比較一致的結(jié)論是,由修正B-S模型計算的權(quán)證(期權(quán))價格與市場價格之間的差異小于經(jīng)典B-S模型的對應(yīng)值,這充分說明全面考慮標(biāo)的股票的價格波動特征有助于實現(xiàn)對權(quán)證等金融衍生產(chǎn)品的精確定價。然而,金融復(fù)雜性領(lǐng)域的研究表明,除了上面提到的時變、聚類、杠桿效應(yīng)等典型特征外,金融資產(chǎn)的價格波動還普遍具有另外一種重要的非線性特征,即多分形特征。多分形又被稱為多標(biāo)度分形,是物理學(xué)中分形理論的進一步發(fā)展。最初的多分形是為了研究自然界中(特別是物理現(xiàn)象中)的非均勻和奇異性現(xiàn)象而提出的,Mandelbrot首次指出了其在定量刻畫金融市場復(fù)雜波動特征領(lǐng)域的廣闊前景。多分形將金融波動的復(fù)雜體系分成許多奇異度不同的區(qū)域來研究,分層次地了解波動復(fù)雜體系的內(nèi)部精細(xì)結(jié)構(gòu)和所富含的信息,從而為更加真實地描述金融市場價格變化的復(fù)雜統(tǒng)計特征提供依據(jù)。多分形波動特征的發(fā)現(xiàn),對于金融市場波動研究具有極其重要的理論意義。Faruk等指出,多分形現(xiàn)象在金融波動中的普遍存在,表明現(xiàn)有主流波動率研究中的眾多統(tǒng)計推論也許并不具有廣泛的代表性。需要指出的是,盡管對于金融市場多分形特征的研究取得了很多有價值的成果,但目前絕大多數(shù)的相關(guān)研究還只停留在實證檢驗層面,并且由前文分析可以看出,目前從價格波動典型特征的角度出發(fā),對經(jīng)典B-S模型常數(shù)波動率假設(shè)的修正并未能將多分形現(xiàn)象這一重要波動特征考慮在內(nèi)。因此,如何進一步挖掘多分形分析中產(chǎn)生的對價格定量波動特征刻畫有益的統(tǒng)計信息,進而為更準(zhǔn)確的市場波動率測度、建模以及權(quán)證等金融衍生產(chǎn)品定價提供依據(jù),仍然是目前該領(lǐng)域研究中亟待解決的難點問題之一?；谝陨险J(rèn)識,本研究通過充分提煉多分形分析中所蘊含的有關(guān)金融價格波動的豐富統(tǒng)計信息,提出一種基于多分形奇異指數(shù)的市場波動率測度方法,即多分形波動率測度(multifractalvolatility,MFV),并相應(yīng)構(gòu)造了其ARMA動力學(xué)模型。同時,為了驗證這種從金融價格波動多分形特征出發(fā)的新的波動率測度方法及其模型的可靠性和實用性,本研究以中國權(quán)證市場中的4只認(rèn)購權(quán)證產(chǎn)品為例,實證對比了在B-S模型框架下,MFV測度與常用的GARCH波動率測度和EGARCH波動率測度的權(quán)證定價精度差異。3資本市場發(fā)育情況截至2008年9月23日,中國市場上共有20只權(quán)證產(chǎn)品未被行權(quán),本研究選取其中4只歐式認(rèn)購權(quán)證的日收盤價作為樣本。為方便比較,各只權(quán)證的樣本點都確定為N=125個,各權(quán)證的基本情況如表1所示。由表1可以看出,在樣本期末,除馬鋼權(quán)證處于淺度實值外,其余3種權(quán)證均處于不同程度的虛值狀態(tài),這是由于自2007年第4季度開始中國股市一直呈單邊下行走勢所致。另外,對于各只權(quán)證的標(biāo)的股票,采用其125天的每30分鐘高頻股價數(shù)據(jù)計算多分形指標(biāo)。滬深股票交易所每天共有4個小時(共240分鐘)的連續(xù)競價交易時間,因此采用每30分鐘記錄一個數(shù)據(jù)的方法,每天可以產(chǎn)生8個高頻股價記錄(不包括開盤價),故在125個交易日內(nèi),每只股票的高頻數(shù)據(jù)總量均為1000個,記為It,d,其中t=1,2,…,N,N=125,d=1,2,…,8。利用相鄰兩個交易日的收盤價計算標(biāo)的股票的連續(xù)復(fù)合日收益率rt,即rt=100(lnIt,8-lnIt-1,8)t=2,3,…,N(1)4模型4.1標(biāo)準(zhǔn)2:常數(shù)波動率經(jīng)典B-S模型基于純粹的無套利原則建立了一個完全的套期保值頭寸,并由此得出一組關(guān)于期權(quán)價格的偏微分方程,然后通過解偏微分方程得到看漲期權(quán)價格和看跌期權(quán)價格的解析公式。由于本研究考察的4種權(quán)證均為認(rèn)購權(quán)證,故適用經(jīng)典B-S看漲期權(quán)定價公式,即C=StΦ(k)-exp(-r?ΤX)Φ(k-σ√?Τ)(2)其中,C為認(rèn)購權(quán)證的B-S模型理論價格;St為第t日的標(biāo)的股票價格;Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累計概率密度函數(shù);設(shè)k=ln(StX)+?Τ(r+σ22)σ√?Τ;r為每日無風(fēng)險利率;?Τ為權(quán)證到期天數(shù);X為權(quán)證的執(zhí)行價格;σ為標(biāo)的股票的波動率。在后面的研究中,將無風(fēng)險利率r確定為中國人民銀行1年期定期存款利率,r在2008年9月15日前為4.14%,之后為3.87%。由于經(jīng)典B-S模型中無風(fēng)險利率r以歷法日為單位(按每年365天計算),故在實際計算時,還需將以上兩個數(shù)字均除以365,得到2008年9月15日前的每日無風(fēng)險利率r為0.0113%,之后為0.0106%,資料來源于中國人民銀行網(wǎng)站。(2)式涉及的所有變量中,只有波動率σ無法直接觀測,需進行估計。如前所述,考慮了若干波動典型特征的GARCH類波動率已被證明具有比常數(shù)波動率高出很多的權(quán)證定價精度,故這里考慮文獻中常用的兩種GARCH類波動率,即GARCH模型波動率和EGARCH模型波動率。另外,考慮到常數(shù)波動率是經(jīng)典B-S模型的基本假設(shè)之一,同時為了驗證條件波動率(如GARCH類波動率)是否確實較常數(shù)波動率更有助于對中國權(quán)證的精確定價,除考慮以上兩種GARCH類波動率外,本研究還將考察基于常數(shù)波動率的經(jīng)典B-S模型的權(quán)證定價精度。在計算常數(shù)波動率時,歷史區(qū)間長度的選擇是一個需要事先確定的問題。Hull曾明確指出,應(yīng)該將度量波動率的時期確定為應(yīng)用波動率所對應(yīng)的時期。由于本研究選定的樣本區(qū)間包含125天的日數(shù)據(jù),故在確定各標(biāo)的股票的常數(shù)波動率時,采用其樣本期之前同樣長度交易日的平均波動率來計算,即首先計算出各標(biāo)的股票樣本期之前125天中每天日內(nèi)收益率(基于每30分鐘數(shù)據(jù))變動的標(biāo)準(zhǔn)差,然后再求這125個標(biāo)準(zhǔn)差的算術(shù)平均值,并將其作為未來125天(即樣本區(qū)間)的波動率參數(shù),記為σCST。4.2金融投資的相關(guān)研究GARCH模型假定金融資產(chǎn)的(日)收益率滿足如下一般形式,即rt=μt+εt=μt+σtzt(3)其中,μt為收益率的條件均值;εt為誤差項;σt為條件波動率;zt為新生量,常被假定為滿足zt～NID(0,1)(篇幅所限,本研究只討論假定新生量zt服從正態(tài)分布的情況,當(dāng)然還可以推廣到假定其服從具有厚尾特征的t分布、廣義誤差分布以及具有有偏厚尾特征的有偏t分布等情況)。同時由于日收益率的條件均值一般很小,故本研究假定其為零。GARCH模型假定日收益的條件波動率σt是可以直接觀測到的,文獻中最常見的GARCH(1,1)模型假定σt滿足如下形式,即σ2t=β0+β1ε2t-1+β2σ2t-1(4)其中,β0為常數(shù),β1為ARCH項系數(shù),β2為GARCH項系數(shù)。EGARCH(1,1)模型將金融波動的杠桿效應(yīng)納入其分析框架,即lnσ2t=β0+β1zt-1+γ+β2lnσ2t-1(5)其中,γ為非對稱杠桿系數(shù)。由(4)式和(5)式可以看出,在GARCH模型和EGARCH模型中,第t日的條件波動率σt實際上是利用第(t-1)日的所有可得信息得出的前一步預(yù)測值,即σt是以(t-1)日的所有信息為條件的。5基于高頻交易數(shù)據(jù)的多段波動率測量和建模5.1深高速中間市場上市的單次常用價值量表奇異指數(shù)α和多分形譜f(α)是描述金融市場多分形特征的一套常用基本語言,因此本研究首先對高頻股價序列的α和f(α)做出估計。一般來講,常用數(shù)盒子的方法來計算α和f(α),具體計算過程如下。(1)假設(shè)一個交易日的時間長度為標(biāo)準(zhǔn)化的1,則無重復(fù)均勻覆蓋每天8個高頻股價記錄的盒子長度可以分別取1、12、14和18。(2)記一天當(dāng)中的高頻股價數(shù)據(jù)為I(d),d=1,2,…,8。當(dāng)盒子長度為δ時,假設(shè)覆蓋每天8個高頻股價記錄需要m個盒子,每個盒子內(nèi)有n個記錄,則對于第t個交易日,定義在第i個盒子上的股價概率測度為Pi(δ),即Ρi(δ)=n∑j=1Ι(ij)8∑d=1Ι(d)(6)其中,I(ij)為第i個盒子中的第j個指數(shù)。根據(jù)文獻的相關(guān)定義,有如下冪律關(guān)系存在,即Pi(δ)～δα(7)Nα(δ)～δ-f(α)(8)其中,Nα(δ)為具有相同奇異指數(shù)α的長度為δ的盒子個數(shù),而多分形譜f(α)其實就是測度對象(即本研究中4種標(biāo)的股票的每日高頻價格序列)的豪斯道夫維數(shù)。需要說明的是,豪斯道夫維數(shù)是刻畫測度對象局部復(fù)雜程度的指標(biāo),其精確定義可見魏宇和汪富泉等的深入討論。(7)式說明不同盒子上的股價概率測度Pi(δ)與盒子長度δ呈指數(shù)為α的冪律關(guān)系,而(8)式進一步說明了具有相同α的盒子個數(shù)與其長度δ呈指數(shù)為-f(α)的冪律關(guān)系。(3)實際運算中,奇異指數(shù)α和多分形譜f(α)可以通過以下的分割函數(shù)Sq(δ)計算,即Sq(δ)=m∑i=1Ρqi(δ)(9)其中,Pqi(δ)為對股價概率測度Pi(δ)求q次冪。與Pi(δ)和Nα(δ)類似,Sq(δ)同樣滿足如下形式的冪律關(guān)系,即Sq(δ)～δτ(q)(10)(10)式說明,在特定q次冪下,分割函數(shù)Sq(δ)與盒子長度δ呈指數(shù)為τ(q)的冪律關(guān)系。由上述計算步驟可以看出,當(dāng)q取正數(shù)時,q越大,Sq(δ)將主要反映那些具有大概率測度的盒子的信息;反之,當(dāng)q取負(fù)數(shù)時,q越小,Sq(δ)將主要反映那些具有小概率測度的盒子的信息。在實際計算時,q的取值范圍以α和f(α)達(dá)到飽和值為準(zhǔn)。τ(q)的值可以通過求取在雙對數(shù)坐標(biāo)軸lnSq(δ)～lnδ上的直線斜率得出,并通過勒讓德變換可以得到α=dτ(q)dq(11)f(α)=αq-τ(q)(12)令q=-100,-99,…,0,…,99,100,以深高速2008年4月2日和2008年4月3日連續(xù)兩個交易日的30分鐘高頻股價數(shù)據(jù)為例,運用上述方法計算兩天內(nèi)的價格波動奇異指數(shù)α和多分形譜f(α),如圖1所示。圖1(a)為深高速兩天當(dāng)中的30分鐘高頻價格走勢,圖1(b)為兩天中奇異指數(shù)α和多分形譜f(α)分布。圖1中,深高速兩天內(nèi)的f(α)～α分布呈現(xiàn)顯著弓形。研究發(fā)現(xiàn),其余3種標(biāo)的股票各天內(nèi)的f(α)～α分布形狀均與此類似,這一結(jié)果是標(biāo)的股票價格波動具有明顯多分形特征的有力佐證。5.2多分形波動率的測算繼續(xù)觀察圖1可以發(fā)現(xiàn),不同的價格波動形式和波動幅度對應(yīng)著不同的奇異指數(shù)α分布的離散程度。具體來講,2008年4月2日,深高速的日內(nèi)價格波動幅度相對較大,對應(yīng)的α分布就較為離散;而在2008年4月3日,深高速的日內(nèi)價格走勢比較平穩(wěn),價格波動幅度相對較小,這天的奇異指數(shù)α的分布也就較為集中。研究表明,其余3種標(biāo)的股票的每日價格波動也存在類似現(xiàn)象。因此本研究認(rèn)為,多分形描述中確實蘊含了有關(guān)價格波動情況的豐富統(tǒng)計信息,且奇異指數(shù)α分布的離散程度就是一種能測度股價日波動率大小的定量指標(biāo)。用α的標(biāo)準(zhǔn)差Sα表示一天中α分布的離散程度,從而描述出該天價格波動程度的大小。當(dāng)然,這一分析建立在直觀觀察的基礎(chǔ)上,為什么α分布的離散程度會對價格波動有如此敏感且真實的反映,由(7)式可知α=lnΡi(δ)lnδ(13)因此,在對股價序列的多分形分析中,盒子的概率測度不同,其奇異指數(shù)α就不同,而α的標(biāo)準(zhǔn)差Sα也就定量地反映了具有不同概率盒子的測度值的離散程度。Sα越大,不同盒子的概率測度值之間的離散程度就越大,則當(dāng)天股價走勢分布越分散,股價波動的幅度越大,反之亦然。當(dāng)某天的股價沒有任何變化時(如全天一直封在漲停板價格上),不同盒子的概率測度值之間就沒有任何差別,因此α的標(biāo)準(zhǔn)差Sα就等于零,說明該天的價格沒有波動。由于股票市場不像外匯市場那樣24小時連續(xù)進行交易,因此能觀察和記錄到的股價高頻數(shù)據(jù)只能反映有交易時段的市場波動狀況,而無法包含無交易時段(即股票市場從前一天收盤到后一天開盤的波動率)的市場波動信息。因此,本研究借鑒Hansen等的方法,在定義波動率測度時考慮某種尺度參數(shù)(η),使本研究提出的多分形波動率能夠準(zhǔn)確刻畫全天的市場波動信息。將第t天的Sα表示為Sα,t,本研究正式定義第t天的多分形波動率為MFVt,即MFVt=ηSα,t(14)其中,η=Ν-1Ν∑t=1r2tΝ-1Ν∑t=1Sα,t(15)按照上述定義,分別計算4種標(biāo)的股票樣本區(qū)間內(nèi)的多分形波動率序列。為節(jié)省篇幅,圖2只報告了深高速的收益率序列rt和多分形波動率序列MFVt。同時為方便比較,圖2還包括每日價格波動的方差序列。由圖2可以看出,多分形波動率測度不但很好地描述了深高速的股價波動特征,并且在很多時候?qū)τ趦r格大幅波動的反映要比方差更敏感。本研究表明,這一結(jié)論同樣存在于其余3種標(biāo)的股票的MFV測度中?？梢钥闯?與GARCH類模型不同的是,基于高頻股價數(shù)據(jù)的多分形波動率測度是不依賴于任何特定模型的,因此一個自然的思路就是可以將標(biāo)的股票每日的MFV測度值代入經(jīng)典B-S模型,從而實現(xiàn)對其常數(shù)波動率假設(shè)的修正,并與基于GARCH波動率測度和EGARCH波動率測度的模型價格進行對比。但是需要指出的是,這種處理方式忽略了一個重要的模型結(jié)構(gòu)問題,即第t日的GARCH波動率和EGARCH波動率都是基于第(t-1)日所有可得信息的預(yù)測值,或者稱為事前波動;而第t日的MFV測度值是在該股票交易收盤后,運用該日所有已實現(xiàn)的高頻股價數(shù)據(jù)計算得到的,屬于事后波動。因此,MFV波動率具有與GARCH波動率和EGARCH波動率完全不同的信息含量,并不能直接比較它們在權(quán)證定價準(zhǔn)確性方面的實際表現(xiàn)。為了解決上述問題,考慮到GARCH(1,1)模型和EGARCH(1,1)模型在本質(zhì)上都可以歸屬于一階自回歸移動平均模型,即ARMA(1,1)模型,故本研究同樣運用ARMA(1,1)模型來為MFVt序列建模?？紤]到ARMA(1,1)模型對于所建模型序列的平穩(wěn)性存在嚴(yán)格要求,首先對MFVt序列進行基于ADF、PP等方法的單位根檢驗,檢驗結(jié)果表明包括深高速在內(nèi)的4種標(biāo)的股票的MFVt序列均為平穩(wěn)序列。MFV-ARMA(1,1)模型表示為(1-φ1L)MFVt=ω+(1+θ1L)εt(16)其中,φ1為一階自回歸項系數(shù),L為滯后算子,ω為常數(shù)項,θ1為一階移動平均系數(shù);同時假定εt～NID(0,σ2ε)。6最優(yōu)波動率的定價精度為了檢驗本研究提出的多分形波動率測度及其ARMA模型是否確實有助于描述股票價格的波動特征,首先利用前文中的3種波動模型(即GARCH模型、EGARCH模型以及本研究提出的MFV-ARMA模型)估計出標(biāo)的股票的條件波動率σt序列(t=1,2,…,N,N=125),分別記為σGCt、σEGCt和σΜF(xiàn)Vt;其次,將這些波動率估計值連同常數(shù)波動率估計值σCST作為波動參數(shù)代入經(jīng)典B-S模型((2)式),從而計算出基于不同波動率測度的權(quán)證模型價格,分別記為CCSΤt、CGCt、CEGCt和CΜF(xiàn)Vt;最后,以權(quán)證的市場價格Cmktt作為基準(zhǔn),運用損失函數(shù)實證對比這4種波動率測度的權(quán)證定價精度差異。具體來講,由哪種波動率測度計算出的權(quán)證模型價格與市場價格間的損失函數(shù)值最小,則該測度就具有最高的權(quán)證定價精度。然而用哪一種損失函數(shù)作為衡量定價誤差的標(biāo)準(zhǔn)最合理,學(xué)術(shù)界至今仍未達(dá)成共識。Hansen等建議,應(yīng)該盡可能多地采用不同形式的損失函數(shù)來全面判定估計值與真實值之間差異的大小。基于這樣的認(rèn)識,本研究采用文獻中常用的6種損失函數(shù)作為不同波動率測度定價精度高低的評判標(biāo)準(zhǔn)。以CGCt為例,各損失函數(shù)的具體定義如下,即L1:ΜAE=Ν-1Ν∑t=1|Cmktt-CGCt|L2:ΜSE=Ν-1Ν∑t=1(Cmktt-CGCt)2L3:ΗΜAE=Ν-1Ν∑t=1|1-CGCtCmktt|L4:ΗΜSE=Ν-1Ν∑t=1(1-CGCtCmktt)2L5:R2LΟG=Ν-1Ν∑t=1[ln(CmkttCGCt)]2L6:QLΙΚE=Ν-1Ν∑t=1(lnCGCt+CmkttCGCt)這6種損失函數(shù)分別標(biāo)記為Li(i=1,2,3,4,5,6)。L1為平均絕對誤差,L2為平均誤差平方,它們是此類判斷中最常用的兩種損失函數(shù)形式;L3為經(jīng)異方差調(diào)整的平均誤差平方,L4為經(jīng)異方差調(diào)整的平均絕對誤差;限于篇幅,L5和L6的具體含義可參見Hansen等的深入討論。實證結(jié)果如表2所示。由表2的損失函數(shù)計算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)。(1)深高CWB1和上港CWB1定價的最優(yōu)波動率均為MFV測度,即在任一損失函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)下,基于MFV測度的B-S模型價格與市場價格之間的差異都是最小的。另外,除了深高CWB1的QLIKE標(biāo)準(zhǔn)和上港CWB1的R2LOG標(biāo)準(zhǔn)以外,EGARCH測度在其余各損失函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)下的定價精度都優(yōu)于GARCH測度。(2)對于馬鋼CWB1權(quán)證,最優(yōu)定價波動率參數(shù)為EGARCH測度,即在各種損失函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)下,EGARCH測度都取得了最小的損失函數(shù)值。另外,繼續(xù)觀察其余兩種波動率的定價精度可以發(fā)現(xiàn),除R2LOG外,MFV測度在其余5種損失函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)下都取得了優(yōu)于GARCH測度的定價精度。(3)武鋼CWB1權(quán)證的最優(yōu)定價波動率參數(shù)為GARCH測度,然后依次為MFV測度和EGARCH測度,這一順序與馬鋼CWB1中的情況剛好相反。這也提醒我們,由于標(biāo)的股票的波動模式不同,需要用不同波動模型對其進行準(zhǔn)確刻畫,故不同權(quán)證所適用的波動率測度