防災(zāi) 地球物理場論課件4第四章 引力場論

第四章引力場論

1、萬有引力定律與引力場強(qiáng)度

2、引力場場強(qiáng)度的通量和散度

3、引力場場強(qiáng)度的環(huán)流和旋度

4、引力場的勢及梯度

5、引力場場強(qiáng)的連續(xù)性

6、泊松方程和拉普拉斯方程

7、重力場

§

4.1萬有引力定律與引力場強(qiáng)度1、萬有引力定律

萬有引力定律表述式

k是引力常數(shù)，其值為

Z

萬有引力定律表明，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的作用力大小與質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量之積成正比，與距離平方成反比，力的方向沿著它們的連線，是引力。

兩質(zhì)點(diǎn)之間的作用力符合牛頓第三定律。萬有引力定律只能直接用于質(zhì)點(diǎn)。所謂質(zhì)點(diǎn)，是指當(dāng)物體的線度遠(yuǎn)小于它們之間的距離時(shí)，將其質(zhì)量集中于一點(diǎn)的理想化模型。2、引力場強(qiáng)度

用引力場強(qiáng)度來描述引力場。

1）、定義：空間一點(diǎn)處的單位質(zhì)點(diǎn)所受到的力定義為該點(diǎn)的引力場強(qiáng)度。由萬有引力定律，在m的場中與m相距r處，試探質(zhì)點(diǎn)受到的引力為質(zhì)點(diǎn)的引力場強(qiáng)度2）場強(qiáng)疊加原理：對(duì)于離散的質(zhì)點(diǎn)系，由場強(qiáng)疊加原理有

對(duì)于體分布的質(zhì)量，可將其視為一系列質(zhì)點(diǎn)的疊加，從而得出R點(diǎn)的引力場強(qiáng)度為同理，面質(zhì)量產(chǎn)生的引力場強(qiáng)度為引力場分布的幾何描述——引力場線引力場線方程引力場線分布§

4.2引力場場強(qiáng)度的通量和散度1、質(zhì)點(diǎn)的場強(qiáng)通量場強(qiáng)度F的通量是這樣規(guī)定的，等于場強(qiáng)度的法線分量面積分將一點(diǎn)質(zhì)量的場強(qiáng)度公式代入上式，即得立體角這就是引力場強(qiáng)第一定律（高斯定理），其含義為場強(qiáng)矢量F

對(duì)于任意一閉合面S的通量S等于S所包圍質(zhì)量的倍。2、任意分布質(zhì)量場強(qiáng)通量其中一組質(zhì)點(diǎn)體分布質(zhì)量代入高斯定理得3、引力場的散度散度的定義所以引力場場強(qiáng)的散度§

4.3引力場場強(qiáng)度的環(huán)流和旋度1、場力所作的功

單位質(zhì)量，場力作的功為對(duì)一質(zhì)點(diǎn)m的場來說2、功與路徑無關(guān)

因?yàn)槭街蠷A、RB分別表示點(diǎn)質(zhì)量m到路徑L的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B的距離。該式表明點(diǎn)質(zhì)量在引力場中作的功與路徑的起點(diǎn)和終點(diǎn)位置有關(guān)，而與路徑的形狀無關(guān)。引力場的場強(qiáng)度的環(huán)流等于零，這就是引力場第二定律。引力場第二定律實(shí)質(zhì)上是能量守恒定律在引力場的特殊形式。3、場強(qiáng)度的環(huán)流

由斯托克斯定理得式中S是以回路L為周界的任意曲面。4、場強(qiáng)度的旋度

引力場的旋度等于零，即引力場是無旋的場。5、引力場的基本方程引力場是無旋的場引力場是有散的場，產(chǎn)生引力場的源是點(diǎn)質(zhì)量§

4.4引力場的勢及梯度1、勢的定義

或選取無窮遠(yuǎn)處為勢為零場中任意P點(diǎn)的勢等于將一單位質(zhì)量從無限遠(yuǎn)處移至P點(diǎn)時(shí)場力所作的功。勢的特點(diǎn)：A、勢的單值性B、勢的相對(duì)性將點(diǎn)質(zhì)量的場強(qiáng)代入勢的定義中，即得點(diǎn)質(zhì)量m的場中任一點(diǎn)P點(diǎn)的勢2、點(diǎn)質(zhì)量的勢或?qū)τ谝毁|(zhì)點(diǎn)組而言，場中任一P點(diǎn)的勢3、體質(zhì)量分布的勢當(dāng)B無限靠近A時(shí)，此增量可寫成一微分4、勢的梯度與場強(qiáng)度的關(guān)系在直角坐標(biāo)系中，場強(qiáng)度沿坐標(biāo)軸的三分量應(yīng)為

根據(jù)梯度定義即我們有引力場中任一點(diǎn)的場強(qiáng)F等于該點(diǎn)的勢的梯度

5、等勢面

凡勢之值相等的各點(diǎn)所構(gòu)成的曲面稱為等勢面。

即等勢面上任意兩點(diǎn)間的勢差為零。

而

所以在任意點(diǎn)的F衡與通過該點(diǎn)的等勢面垂直，即力線與等勢面正交。

所以

例題求一點(diǎn)質(zhì)量場的等勢面設(shè)點(diǎn)質(zhì)量位于直角坐標(biāo)系原點(diǎn)（0，0，0），則它在任意點(diǎn)P(x,y,z)的勢：

等勢面時(shí)其方程為

因而等勢面的方程式為表示球心位于原點(diǎn)的球面方程式簇，因此點(diǎn)質(zhì)量周圍場中的等勢面為以該質(zhì)點(diǎn)為中心的球面簇?！?/p>

4.5引力場場強(qiáng)的連續(xù)性1、引力場場強(qiáng)法向分量的連續(xù)條件或F1F2

在面質(zhì)量兩邊相鄰兩點(diǎn)上的場強(qiáng)矢量F的法線分量發(fā)生一突變，其值等于面質(zhì)量密度的引力場法向分量的邊界條件用引力勢可表示為或2、引力場場強(qiáng)度切向分量的連續(xù)條件即此式表明：在任意曲面質(zhì)量兩側(cè)，引力場場強(qiáng)度的切向分量是連續(xù)的。

§

4.6泊松方程和拉普拉斯方程1、泊松方程和拉普拉斯方程因?yàn)槎匀粲懻摰膮^(qū)域ρ=0（沒有質(zhì)量分布），

則泊松方程變?yōu)槔绽狗匠?/p>

在直角坐標(biāo)系中，

泊松方程2、引力場的邊值問題A、正演問題：已知體密度和面密度時(shí)，可根據(jù)邊界條件對(duì)泊松方程和拉普拉斯方程求解，確定出場的勢，進(jìn)而求出場強(qiáng)。B、反演問題：已知場的勢或場強(qiáng)時(shí)，可根據(jù)泊松方程來確定場中某點(diǎn)的體質(zhì)量密度及面質(zhì)量密度。例1、

無限平面薄板的場

解：在區(qū)域1和區(qū)域3內(nèi)（ρ=0

），勢滿足拉普拉斯方程：

2axyzabdc設(shè)abcd為一無限大平面薄板，其密度為ρ。設(shè)取坐標(biāo)如上圖所示。從對(duì)稱性質(zhì)知道，在垂直Z軸的平面內(nèi)，任一點(diǎn)的勢都相同。場的勢只與坐標(biāo)Z有關(guān)。所以132它們的解為式中C,D,C’,D’為積分常數(shù)。在區(qū)域2勢滿足泊松方程：

在1、2邊界上z=a，有對(duì)于區(qū)域1和3，由對(duì)稱條件給出

式中A、B為積分常數(shù)因?yàn)棣褳槌?shù)，所以

在2、3邊界上z=-a，有在xOy平面兩側(cè)的勢應(yīng)當(dāng)是對(duì)稱的：所以

所以把這些條件代入即得：對(duì)于區(qū)域2，由對(duì)稱條件給出

設(shè)z=0之點(diǎn)的U2=0,則我們有B=0。

因此在區(qū)域1和區(qū)域2的邊界上，應(yīng)滿足下列條件：因?yàn)閳鰪?qiáng)度現(xiàn)在，所有的常數(shù)都確定了。代入即得

所以在相應(yīng)各區(qū)間的場強(qiáng)度為：因?yàn)閳鰪?qiáng)度所以在相應(yīng)各區(qū)間的場強(qiáng)度為：例2、均勻質(zhì)量球體的場

解：因此對(duì)球內(nèi)和球外兩個(gè)區(qū)域的方程式為：

由于質(zhì)量分布是球?qū)ΨQ，勢只與離開O點(diǎn)的距離r有關(guān)，即U=U(r)。引入球坐標(biāo)系，則O12在球內(nèi)：解上述兩個(gè)方程可得：在球外：根據(jù)下列極限條件有：當(dāng)r=0時(shí)，U1為有限值，

所以

A=0當(dāng)r=∞時(shí)，U2=0，

所以

D=0又根據(jù)下列邊界條件，我們有：當(dāng)r=a時(shí)代入即得：解之，得：

因?yàn)閳鰪?qiáng)度所以因?yàn)閳鰪?qiáng)度所以將代入F2得將代入F1得重力單位為伽，1伽=1cm/s2

§

4.7重力場1、重力及重力場的概念1伽=103毫伽地球重力值大致為980伽或980,000毫伽

地球的重力主要是由地球內(nèi)部質(zhì)量的萬有引力和因地球自轉(zhuǎn)所引起的離心力二者所決定：即

即：因此函數(shù)W(x,y,z)就是重力的勢函數(shù)，簡稱重力勢。2