北京市海淀區(qū)2024屆高三下學期期中練習（一模）數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1北京市海淀區(qū)2024屆高三下學期期中練習（一模）數學試題第一部分（選擇題）一、選擇題1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗全集，集合，所以.故選：D.2.若復數滿足，則的共軛復數是A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗復數滿足，所以．所以的共軛復數是．故選：B．3.已知為等差數列，為其前n項和.若，公差，則m的值為（）A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗B〖解析〗由已知，得，又，又，所以，解得或（舍去）故選：B.4.已知向量滿足，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由已知，所以，得，又，所以.故選：C.5.若雙曲線上的一點到焦點的距離比到焦點的距離大，則該雙曲線的方程為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題知，根據題意，由雙曲線的定義知，又，所以，得到，所以雙曲線的方程為，故選：D.6.設是兩個不同的平面，是兩條直線，且.則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗，且，所以，又，所以，充分性滿足，如圖：滿足，，但不成立，故必要性不滿足，所以“”是“”的充分而不必要條件.故選：A.7.已知，函數的零點個數為，過點與曲線相切的直線的條數為，則的值分別為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，即時，，解得，時，，無解，故，設過點與曲線相切的直線的切點為，當時，，則有，有，整理可得，即，即當時，有一條切線，當時，，則有，有，整理可得，令，則，令，可得，故當時，，即在上單調遞增，當時，，即在上單調遞減，由，，故在上沒有零點，又，故在上必有唯一零點，即當時，亦可有一條切線符合要求，故.故選：B.8.在平面直角坐標系中，角以為始邊，終邊在第三象限.則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可得、，，對A：當時，，則，，此時，故A錯誤；對B：當時，，故B錯誤；對C、D：，由，故，則，即，故C正確，D錯誤.故選：C.9.函數是定義在上的偶函數，其圖象如圖所示，.設是的導函數，則關于x的不等式的解集是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，且為偶函數，故，由導數性質結合圖象可得當時，，當時，，當時，即，則由，有，解得，亦可得，或，或，或，由可得或，即，由可得，即，由，可得，即或（舍去，不在定義域內），由，可得，綜上所述，關于x的不等式的解集為.故選：D.10.某生物興趣小組在顯微鏡下拍攝到一種黏菌的繁殖軌跡，如圖1.通過觀察發(fā)現，該黏菌繁殖符合如下規(guī)律：①黏菌沿直線繁殖一段距離后，就會以該直線為對稱軸分叉（分叉的角度約為），再沿直線繁殖，…；②每次分叉后沿直線繁殖的距離約為前一段沿直線繁殖的距離的一半.于是,該組同學將整個繁殖過程抽象為如圖2所示的一個數學模型：黏菌從圓形培養(yǎng)皿的中心O開始,沿直線繁殖到,然后分叉向與方向繼續(xù)繁殖，其中,且與關于所在直線對稱,….若，為保證黏菌在繁殖過程中不會碰到培養(yǎng)皿壁，則培養(yǎng)皿的半徑r（，單位：）至少為（）A.6 B.7 C.8 D.9〖答案〗C〖解析〗由題意可知，，只要計算出黏菌沿直線一直繁殖下去，在方向上的距離的范圍，即可確定培養(yǎng)皿的半徑的范圍，依題意可知黏菌的繁殖規(guī)律，由此可得每次繁殖在方向上前進的距離依次為：，則，黏菌無限繁殖下去，每次繁殖在方向上前進的距離和即為兩個無窮等比遞縮數列的和，即，綜合可得培養(yǎng)皿的半徑r（，單位：）至少為8cm，故選：C第二部分（非選擇題）二、填空題11.已知，則_______.〖答案〗〖解析〗因為，所以.故〖答案〗為：.12.已知，線段是過點的弦，則的最小值為_______.〖答案〗〖解析〗由，故點在圓的內部，且該圓圓心為，半徑為，設圓心到直線的距離為，由垂徑定理可得，即，故當取最大值時，有最小值，又，故.故〖答案〗為：.13.若，則_______；_______.〖答案〗〖解析〗令，可得，即，令，可得，即，令，可得，即，則，即，則，故.故〖答案〗為：；.14.已知函數，則_________；函數的圖象的一個對稱中心的坐標為_______.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗因為，所以，因定義域為，當時，，下證是的一個對稱中心，在上任取點，其關于對稱點為，又，所以函數的圖象的一個對稱中心的坐標為，故〖答案〗為：；（〖答案〗不唯一）15.已知函數，給出下列四個結論：①函數是奇函數；②，且，關于x的方程恰有兩個不相等的實數根；③已知是曲線上任意一點，，則；④設為曲線上一點，為曲線上一點.若，則.其中所有正確結論的序號是_________.〖答案〗②③④〖解析〗對①：令，即有，即，故函數不是奇函數，故①錯誤；對②：，即，當時，有，故是該方程的一個根；當，時，由，故，結合定義域可得，有，即，令，，有或（負值舍去），則，故必有一個大于的正根，即必有一個大于的正根；當，時，由，故，結合定義域有，有，即，令，，有或（正值舍去），令，即，則，即，故在定義域內亦必有一根，綜上所述，，且，關于x的方程恰有兩個不相等的實數根，故②正確；對③：令，則有，，令，，，當時，，當時，，故在、上單調遞增，在上單調遞減，又，，故恒成立，即，故，故③正確；對④：當時，由，，故，此時，，則，當時，由與關于軸對稱，不妨設，則有或，、當時，由，有，故成立；當時，即有，即有、關于點對稱，由③知，點到的距離，同理點，故；綜上所述，恒成立，故④正確.故〖答案〗為：②③④.三、解答題16.在中，.（1）求；（2）若，求的面積.解：（1）因為，由正弦定理可得，又，所以，得到，即，所以，又因為，所以，得到.（2）由（1）知，所以，又，得到①，又，得到代入①式，得到，所以面積為.17.如圖，在四棱錐中，為的中點，平面.（1）求證：；（2）若，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使四棱錐存在且唯一確定.（i）求證：平面；（ⅱ）設平面平面，求二面角的余弦值.條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇的條件不符合要求，第（1）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.（1）證明：取的中點，連接，因為為的中點，所以，因為，所以，所以四點共面，因為平面，平面平面，平面，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以；（2）（i）證明：取的中點，連接，由（1）知，所以，因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為，所以，所以，即，選條件①：，因為，所以與全等，所以，因為，所以，所以，即，又因為，、平面，所以平面；（ⅱ）解：由（i）知平面，而平面，所以，因為，建立如圖所示空間直角坐標系，則，所以，設平面的法向量為,則，即，令，則，于是，因為為平面的法向量,且,所以二面角的余弦值為.選條件③：，(i)因為，所以，因為，所以與全等，所以，即，因為，又因為，、平面，所以平面；(ii)同選條件①.不可選條件②，理由如下：由（i）可得，又，，、平面，所以平面，又因為平面，所以，即是由已知條件可推出的條件，故不可選條件②.18.某學校為提升學生的科學素養(yǎng)，要求所有學生在學年中完成規(guī)定的學習任務，并獲得相應過程性積分.現從該校隨機抽取100名學生，獲得其科普測試成績（百分制，且均為整數）及相應過程性積分數據，整理如下表：科普測試成績x科普過程性積分人數4103a2b12302（1）當時，（i）從該校隨機抽取一名學生，估計這名學生的科普過程性積分不少于3分的概率；（ⅱ）從該校科普測試成績不低于80分的學生中隨機抽取2名，記X為這2名學生的科普過程性積分之和，估計X的數學期望；（2）從該?？破者^程性積分不高于1分的學生中隨機抽取一名，其科普測試成績記為，上述100名學生科普測試成績的平均值記為.若根據表中信息能推斷恒成立，直接寫出a的最小值.解：（1）當時，（i）由表知，科普過程性積分不少于3分的學生人數為，則從該校隨機抽取一名學生，這名學生的科普過程性積分不少于3分的頻率為，所以從該校隨機抽取一名學生，這名學生科普過程性積分不少于3分的概率估計為.（ⅱ）依題意，從樣本中成績不低于80分的學生中隨機抽取一名，這名學生的科普過程性積分為3分的頻率為，所以從該校學生科普測試成績不低于80分的學生中隨機抽取一名，這名學生的科普過程性積分為3分的概率估計為，同理，從該校學生科普測試成績不低于80分的學生中隨機抽取一名，這名學生的科普過程性積分為4分的概率估計為，的所有可能值為6，7，8，，，，所以的數學期望.（2）由表知，，則，從該校科普過程性積分不高于1分的學生中隨機抽取一名，其科普測試成績記為，則的最大值為69，100名學生科普測試成績的平均值記為，要恒成立，當且僅當，顯然的最小值為各分數段取最小值求得的平均分，因此，則，解得，所以根據表中信息能推斷恒成立的a的最小值是7.19.已知橢圓的離心率為分別是G的左、右頂點，F是G的右焦點.（1）求m的值及點的坐標；（2）設P是橢圓G上異于頂點的動點，點Q在直線上，且，直線與x軸交于點M.比較與的大小.解：（1）由，即，由題意可得，故，解得，故，則，故；（2）設，，，有，由，則有，即，由，故有，即有，由可得、，則，，則，由，故，即.20.已知函數.（1）求的單調區(qū)間；（2）若函數存在最大值，求的取值范圍.解：（1）易知定義域為，因為，所以，由，得到，當時，，當時，，所以，函數的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.（2）令，則，由（1）知，函數的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，所以在時取得最大值，所以當時，，當時，，即當時，，所以函數在存在最大值的充要條件是，即，令，則恒成立，所以是增函數，又因為，所以的充要條件是，所以的取值范圍為.21.已知：為有窮正整數數列，其最大項的值為，且當時，均有.設，對于，定義，其中，表示數集M中最小的數.（1）若，寫出的值；（2）若存在滿足：，求的最小值；（3）當時，證明：對所有.（1）解：由，，則，故，則，故，則，故；（2）解：由題意可知，，當時，由，，故，則，由題意可得，故、總有一個大于，即或