更高更妙的物理：專題9-動量與動量守恒

專題9動量與動量守恒在這個專題中，我們將枚舉動量定理之妙用，點擊動量守恒常見模型特征，縱觀過程中動量與能量的變化規(guī)律。與速度、加速度、動能等物理量一樣，動量也是描述物體機械運動狀態(tài)的一個物理量。用質(zhì)量與速度的乘積來表述的這個對應于狀態(tài)的物理量，表達質(zhì)點機械運動的“運動量”。舉一個形象的例子：速度相同的一只蚊子和一輛汽車撲向我們，我們的感受是不一樣的，這就是因為它們的“運動量”大小迥異；一輛汽車以同樣的速度從我們身邊飛駛而過和向我們飛奔而來，我們的感受也是不同的。這說明動量所描述的運動狀態(tài)既有大小又有方向，動量是一個矢量。我們知道，力是改變運動〔速度〕狀態(tài)、產(chǎn)生加速度的原因，這個關系就是我們熟諳的牛頓第二定律，它揭示了力的瞬時作用效應；力對位移的積累即功，其效應是改變物體的能量狀態(tài)，功對相應的能量變化的量度關系在上個專題中已經(jīng)熟稔；力對時間的積累是沖量，沖量改變物體的動量狀態(tài)，它們間的關系遵從動量定理。與牛頓第二定律一樣，動量定理既可用于單個質(zhì)點單一過程，也可用于質(zhì)點系多過程。對質(zhì)點系，動量定理表述為，在特殊條件—時，質(zhì)點系總動量增量為零，即質(zhì)點系動量守恒。運用動量定理解決問題時，既要關注其矢量性、獨立性與適用性，又要充分利用其特殊性，巧用動量定理，解決牛頓第二定律所不及的問題?！纠?】如下圖，橢圓規(guī)的尺質(zhì)量為，曲柄質(zhì)量為，而套管，質(zhì)量均為。；曲柄和尺的重心分別在其中點上；曲柄繞軸轉動的角速度為常量；開始時曲柄水平向右。求：曲柄轉成豎直向上的過程中，外力對系統(tǒng)施加的平均沖量?！痉治雠c解】動量定理給出了外力沖量對系統(tǒng)動量增量的量度關系，此題中，由給定條件可求出質(zhì)點系的動量：由動量定義，質(zhì)點系總動量是各質(zhì)點動量的矢量和；再根據(jù)動量變化情況確定質(zhì)點系所受外力的平均沖量。四質(zhì)點構成的質(zhì)點系中，曲柄與尺的動量容易求得，且方向總相同；求套管，的動量時，先要清楚這兩個質(zhì)點的速度與尺重心點速度的相關關系。曲柄勻速轉動，故其重心及端點速度分別為，，方向垂直于，那么曲柄與尺的動量之和為；根據(jù)桿約束速度相關關系，如下圖，套管，的速度分別滿足，，兩套管對點的轉動速度、大小相等〔〕、方向相反，故兩套管在垂直于尺方向上的動量之和為零；在垂直于曲柄方向上，兩套管具有與點相同的平動速度，故兩套管的動量均為。于是可得系統(tǒng)的總動量大小不變，為；方向總與曲柄垂直，沿其轉動方向。為了求得外力作用的平均沖量，只須確定質(zhì)點系動量的變化量，如下圖反映了系統(tǒng)初、末動量及其變化量間的矢量關系，那么由動量定理有，方向與末狀態(tài)時質(zhì)點系動量方向成角斜向下。此題中涉及的“橢圓規(guī)”可視作四個質(zhì)點構成的質(zhì)點系，實際上它們的“質(zhì)心”〔這個概念將在專題中系統(tǒng)介紹〕是在作勻速圓周運動，質(zhì)點系動量是變量，外力沖量也是變量，故我們求出的只是質(zhì)心運動圓周過程中的平均沖量。用質(zhì)點系的動量定理處理多質(zhì)點多過程問題可以免去繁雜的遞推、歸納，表達出物理學常用的整體方法的功能?！纠?】如下圖，光滑的水平面上停著一只木球和載人小車，木球質(zhì)量為，人和車總質(zhì)量為，，人以速率沿水平面將木球推向正前方的固定擋板，木球被擋板彈回之后，人接住球后再以同樣的對地速率將球推向擋板。設木球與擋板相碰時無動能損失。求經(jīng)過幾次推木球后，人再也不能接住木球？【分析與解】這個問題的處理，我們將選取適當?shù)难芯繉ο?，對質(zhì)點系運用動量定理做出巧解。首先明確，人“再也不能接住木球”的條件是載人小車速度大小至少等于被擋板彈回后的木球速度認我們?nèi)∧厩蚺c載人小車這個系統(tǒng)為研究對象，系統(tǒng)初始時總動量為零，最后要求總動量至少為，引起這個動量增量的外力沖量是固定擋板施予系統(tǒng)中的木球局部的。對木球而言，每一次被擋板彈碰，均有，那么人推次木球，擋板對人、車、木球質(zhì)點系的總沖量為，對質(zhì)點系運用動量定理，有，代入題給數(shù)據(jù)可得〔次〕。對一類變質(zhì)量過程，或沖擊、碰撞、爆炸等短瞬間變沖量問題，往往可用動量定理處理?！纠?】一根均勻的不可伸縮的軟纜繩全長為、質(zhì)量為開始時，繩的兩端都固定在鄰近的掛鉤上，自由地懸著，如圖甲。某時刻繩的一端松開了，纜繩開始下落，如圖乙，每個掛鉤可承受的最大負荷為〔大于纜繩的重力〕，為使纜繩在下落時，其上端不會把掛鉤拉斷，與必須滿足什么條件？假定下落時，纜繩每個局部在到達相應的最終位置之后就都停止不動。【分析與解】在纜繩下落過程中，掛鉤所受的力由兩局部組成：一是承靜止懸掛在鉤下的那局部纜繩的重；一是受緊接著落向靜止局部最下端的繩元段的沖力，掛鉤不被拉斷，這兩局部力的總和不得超過鉤的最大負荷。取如圖乙所示情況，左邊繩最下邊一個繩元段，長度設為，，其速度是左邊繩自由下落高度而獲得的，；其質(zhì)量。設在時間內(nèi)，這個微元段的上端走過〔圖中〕而停住，動量從變?yōu)榱?。動量的變化是由掛鉤通過靜懸繩對微元段的沖力引起的，對微示段應用動量定理，得；注意到在極短的時間內(nèi)，微元段的運動可視為勻減速直線運動，平均速度等于初、末速度的算術平均，有。顯然，這個力可能的最大值出現(xiàn)在當，即左邊繩全部落下并恰好伸直時。這時，掛鉤承受的力是繩重及的反作用力〔〕。那么，要掛鉤不斷，就必須滿足下面不等式給出的關系。【例4】逆風行船問題。帆船在逆風的情況下仍然能只依靠風力破浪航行。設風向從向，如下圖。位于點處的帆船要想在靜水中最后駛達目標點，應如何操縱帆船？要說明風對船帆的作用力是如何使船逆風前進到達目標的?！痉治雠c解】可以采取如圖中虛線所示的鋸齒形路線，到達使船“迎風前進”的效果。我們作如下一些假設，航行中，航向與風向成角，風帆與船身軸向〔即船行方向〕成角，風以〔〕的入射角吹到帆面，與帆面發(fā)生彈性碰撞后以同樣的反射角折回。風與帆的碰撞，就對帆面施加了一個沖量，使船受到了一個方向與帆面垂直的壓力，這個力沿船身方向及垂直于船身方向的分力分別是圖中和，其中正是船沿航線前進的動力，那么有使船側向漂移的作用，可以認為被水對船的橫向阻力平衡。故只要適時地改變船身走向，同時調(diào)整帆面的方位，船就可以依靠風力沿鋸齒形航線從駛向?，F(xiàn)在，我們定量探討一下在上述情景中，船獲得的前進的動力。如下圖，設帆面受風面積為，空氣密度為，風速為，在時間內(nèi)到達帆面并被反彈的空氣質(zhì)量是；那么由動量定理，可得，所以，那么。由以上分析可知，船沿航線方向的動力大小與揚帆方向有關，帆面與船行方向的夾角甲適當，可使船獲得盡量大的動力。注意，我們在討論上面的討論中，將風—運動的空氣—與帆面的碰撞簡化為彈性碰撞了，實際情況那么要復雜得多。下面，討論常用的動量守恒模型總動量為零的反沖運動模型這類問題的模型特征是系統(tǒng)不受外力，總動量為零，兩個質(zhì)點系統(tǒng)動量守恒關系可被表述為，在系統(tǒng)各局部相互作用過程的各瞬間，總有，那么在動量守恒式中可用各質(zhì)點在同一時間內(nèi)的位移來表示速度，即有。這里，用來表示速度的位移是矢量，對于一維方向的反沖運動，要注：意正確使用“”、“”號來確定動量的方向?！纠?】如下圖浮動起重機〔浮吊〕從岸上吊起的重物。開始時起重桿與豎直方向成角，當轉到桿與豎直成角時，求起重機的水平方向的位移。設起重機質(zhì)量為，起重桿長，水的阻力與桿重均不計?！痉治雠c解】此題中，我們研究起重機和重物組成的系統(tǒng)，忽略阻力，系統(tǒng)在水平方向不受外力，動量守恒，水平方向總動量始終為零。以水平向右為正方向，那么有。式中是重物相對于起重機的位移。由此可得，“”號表示起重機位移的方向向左?！白訌棿蚰緣K”模型這是指由兩個物體組成的系統(tǒng)，所受合外力為零且相互作用力為一對恒力的一類問題，以子彈水平射入置于光滑水平面上的木塊為代表，其他情景各異、模型同屬，稱為“子彈打木塊”，典型情景如下圖?！白訌棿蚰緣K”問題具有以下主要的力學規(guī)律：⑴動力學規(guī)律兩物體的加速度大小與質(zhì)量成反比，方向相反。⑵運動學規(guī)律是兩個做勻變速運動物體的追及問題或是一個相對運動問題。⑶動量規(guī)律系統(tǒng)的總動量守恒。⑷能量規(guī)律力對“子彈”做的功等于“子彈”動能的增量；力對“木塊”做的功等于“木塊”動能增量；一對力的功等于系統(tǒng)動能增量；并且“一對力的功”大小可用其中一個力的大小與兩物體相對位移大小的乘積來計算。⑸圖象描述描述“子彈打木塊”類問題的模型特征時，圖象語言具有最豐富的表現(xiàn)力，通常用速度一時間〔〕圖象將系統(tǒng)方方面面的特征同時展現(xiàn)，圖中具體情景不同的“子彈打木塊”問題，可依次表述為圖中的、、、。在處理“子彈打木塊”問題時，我們要注意模型特征的分析，領悟其豐富的內(nèi)涵，舉一反三、觸類旁通，還應善于用圖象涵蓋題意，盡量做出最簡答案。【例6】如下圖，長為的木板右邊固定著一個擋板，包括擋板在內(nèi)的總質(zhì)量為，靜止在光滑水平面上，有一質(zhì)量為的小木塊，從木板的左端開始以初速度在木板上滑動，小木塊與木板間的動摩擦因數(shù)為，小木塊滑到木板的右端與擋板發(fā)生碰撞。碰撞過程時間極短，且碰后小木塊恰好滑到木板的左端就停止滑動。求：⑴假設，在小木塊與擋板碰撞后的運動過程中，摩擦力對木板做正功還是做負功？做多少功？⑵討論木板和小木塊在整個運動過程中，是否有可能在某段時間里相對地面運動方向是向左的？如果不可能，說明理由；如果可能，求出能向左滑動，又能保證木板和小木塊剛好不脫離的條件?！痉治雠c解】這是典型的“子彈打木塊”模型：、間相互作用著一對等大、反向的摩擦力且系統(tǒng)不受外力，它的變化在于過程中發(fā)生系統(tǒng)內(nèi)部瞬時的相互碰撞。小木塊與擋板碰撞前、后及整個過程均遵從動量守恒規(guī)律；、兩者加速度大小與質(zhì)量成反比；碰撞前木塊“追”木板，碰撞后那么成木板“追”木塊；用圖展示系統(tǒng)的運動過程如下圖。圖中，是木塊以開始運動至與擋板碰撞歷時，碰后直至木塊滑到板左端歷時為，、碰撞前加速、減速，碰撞后，減速而加速，加速度大小〔即圖線的斜率大小〕分別為，。由于最終、具有共同速度，系統(tǒng)全過程屬完全非彈性碰撞，由動量守恒關系：可得，當恰停止在左端時，兩者共同速度。圖中，梯形及三角形劃陰影線局部“面積”各表示、相對運動位移。利用圖象先求出木塊與擋板碰后滑行時間。，得；隨后可得碰后板的速度；那么，由動能定理，摩擦力在此過程中對木板做的功，做負功。從圖上容易看出，相對地面運動方向向左的情況只可能發(fā)生在木塊上，木塊與擋板相碰后假設速度變?yōu)橄蜃?，就會在一段時間內(nèi)先向左減速而后向右加速地運動，而木板一直向右減速，直至兩者以共同速度向右運動。木塊能有向左運動的階段而又剛好不落下板應滿足兩個條件：一是木塊與擋板碰后速度為負，即，；二是一對摩擦力在的相對位移上做的功不大于系統(tǒng)動能的增量，即，；綜上，在滿足條件時，木塊可在與擋板碰撞后的一段時間內(nèi)相對地面向左運動并剛好相對靜止在板的左端。彈性碰撞的一條常用規(guī)律，我們通過下面一個具體情景進行推證?！纠?】推證兩光滑物體發(fā)生彈性碰撞時，接近速度與別離速度大小相等，方向遵守“光反射定律”，即入射角等于反射角。【分析與解】這個結論，我們在專題四、專題七的例解或練手中已然運用，這里，我們將以動量與動能守恒為根本條件做出推證。如圖，設小球與平板均光滑，小球與平板發(fā)生完全彈性碰撞，木板質(zhì)量為，小球質(zhì)量為，沿板的法向與切向建立坐標系，設碰撞前，板的速度為，球的速度為，碰撞后，分別變?yōu)楹汀Ｒ驗閮烧甙l(fā)生完全彈性碰撞，系統(tǒng)同時滿足動量與動能守恒，即，①。②在方向，由于光滑，無相互作用的力，故兩者在這個方向的動量不變，即有，。對①、②兩式移項變形為，③。④由③、④兩式，可得，因此。該式意義是：在方向上小球?qū)δ景宓慕咏俣扰c對木板的別離速度大小相等，方向相反；在方向，顯然兩者的相對速度不變，故在我們所設定的情景中，球與木板的接近速度與別離速度大小相等，即我們在專題中介紹的，恢復系數(shù)。現(xiàn)在關注一下方向。設小球入射角，即以木板為參考系而言小球的“接近速度”與法線〔軸〕的夾角為；反射角即“別離速度”與法線〔軸〕的夾角為，有；。所以，，。這樣我們證明了在滿足完全彈性碰撞的條件下，小球相對于木板，總是遵守入射角等于反射角的規(guī)律?！纠?】“彈弓效應”。如圖，質(zhì)量為的小球放在質(zhì)量為的大球頂上，從高處釋放，緊挨著落下，撞擊地面后跳起。所有的碰撞都是完全彈性碰撞，且都發(fā)生在豎直軸上。⑴小球彈起可能到達的最大高度？⑵如在碰撞后，物體處于平衡，那么質(zhì)量之比應為多少？在此情況下，物體升起的高度為多少？【分析與解】這是一個有趣的問題。結果也是特別的。將兩球無初速釋放后，兩球均自由下落，大球剛觸地時兩球速度均為，大球與地發(fā)生完全彈性碰撞，速度立即變?yōu)橄蛏?，大小仍為，這時小球速度是向下的，大小為，那么相對于大球以的速度接近，隨即與大球發(fā)生對心碰撞，并以的速度與大球別離，假設小球質(zhì)量遠小于大球，兩球碰后大球?qū)Φ厮俣热允窍蛏系?，可知小球相對地面向上運動的速度已是，為小球直接觸地彈起速度的三倍，由機械能守恒定律，小球向上彈起的高度最大可到達，其效果就如同被大球這個“彈弓”彈射出去的一樣。在太空中，也會有這種“彈弓效應”。如圖，設相對恒星，大行星的速度為，衛(wèi)星〔質(zhì)量遠小于行星〕以速度經(jīng)歷了一次與大行星的彈性碰撞—在萬有引力作用下靠近行星，后又遠離，碰撞后的別離速度大小是，那么對恒星而言，衛(wèi)星以大小為的速度被行星“彈射”出去，這種類似的“彈弓效應”，已被應用于空間探測，研究太陽系中諸多行星的大環(huán)游。如大球在與小球迎面相碰后處于平衡，那么由動量守恒定律，兩球質(zhì)量之比為。這種質(zhì)量關系下，小球以速度向上彈出，由機械能守恒定律，，小球跳起高度為下落高度的倍。1、如下圖，三個重物質(zhì)量為，，，直角梯形物塊質(zhì)量為。三個重物由一根繞過兩個定滑輪和的繩子相連。當重物下降時，重物在梯形物塊的上面向右移動，而重物那么沿斜面上升。如忽略一切摩擦和繩子質(zhì)量，求當重物下降時，梯形物塊的位移。2、放風箏時，風沿水平方向吹來，要使風箏得到最大上升力，求風箏平面與水平面的夾角。設風被風箏面反射后的方向遵守反射定律。3、一根鐵鏈，平放在桌面上，鐵鏈每單位長度的質(zhì)量為?，F(xiàn)用手提起鏈的一端，使之以速度豎直地勻速上升，試求在從一端離地開始到全鏈恰離地，手的拉力的沖量，鏈條總長為。4、如下圖，水車有一孔口，水自孔口射出。水面距孔口高，孔口截面積為，水的密度為。假設不計水車與地面的摩擦，求水車加于墻壁的水平壓力。5、圖中，局部是一光滑水平面，局部是傾角為〔〕的光滑斜面〔時為豎直面〕。一條伸直的、長為的勻質(zhì)光滑柔軟細繩絕大局部與棱垂直地靜止在面上，只是其右端有極小局部處在面上，于是繩便開始沿下滑⑴取，試定性分析細繩能否一直貼著下滑直至繩左端到達？⑵事實上，對所給的角度范圍〔〕，細繩左端到棱尚有一定距離時，細繩便會出現(xiàn)脫離約束〔即不全部緊貼〕的現(xiàn)象。試求該距離。6、質(zhì)量為的皮球，從某一高度處自由下落到水平地板上，皮球與地板碰一次，上升的高度總等于前一次的倍。如果某一次皮球上升最大高度為時拍一下皮球，給它一個豎直向下的沖力，作用時間為，使皮球與地板碰后跳回前一次高度。求這個沖力多大？7、一袋面粉沿著與水平面傾斜成角度的光滑斜板上，從高處無初速度地滑下來，落到水平地板上。袋與地板之間的