第07講雙曲線及其性質(zhì)（原題卷）

備戰(zhàn)2024年高考《解讀?突破?強化》一輪復(fù)習(xí)講義（新高考）第07講雙曲線及其性質(zhì)【考試要求】1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程.2.掌握雙曲線的幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、漸近線、離心率).3.了解雙曲線的簡單應(yīng)用．知識點一：雙曲線的定義1、定義:一般地,我們把平面內(nèi)與兩個定點,的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點,兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.2、集合語言表達(dá)式雙曲線就是下列點的集合:.（1）若定義式中去掉絕對值，則曲線僅為雙曲線中的一支．（2）當(dāng)時，點的軌跡是以和為端點的兩條射線；當(dāng)時，點的軌跡是線段的垂直平分線．（3）時，點的軌跡不存在．在應(yīng)用定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解題時注意以下兩點：=1\*GB3①條件“”是否成立；=2\*GB3②要先定型（焦點在哪個軸上），再定量（確定，的值），注意的應(yīng)用．知識點二：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程（）（）圖形性質(zhì)范圍或或?qū)ΨQ性對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點頂點坐標(biāo)，,漸近線離心率，，間的關(guān)系知識點三：等軸雙曲線（，）當(dāng)時稱雙曲線為等軸雙曲線①；②離心率；③兩漸近線互相垂直，分別為；④等軸雙曲線的方程，；知識點四：雙曲線與漸近線的關(guān)系1、若雙曲線方程為漸近線方程：2、若雙曲線方程為（，）漸近線方程：3、若漸近線方程為，則雙曲線方程可設(shè)為，4、若雙曲線與有公共漸近線，則雙曲線的方程可設(shè)為（，焦點在軸上，，焦點在軸上）（1）雙曲線的通徑過雙曲線的焦點且與雙曲線實軸垂直的直線被雙曲線截得的線段，稱為雙曲線的通徑．通徑長為．（2）點與雙曲線的位置關(guān)系對于雙曲線，點在雙曲線內(nèi)部，等價于．點在雙曲線外部，等價于結(jié)合線性規(guī)劃的知識點來分析．（3）雙曲線?？夹再|(zhì)性質(zhì)1：雙曲線的焦點到兩條漸近線的距離為常數(shù)；頂點到兩條漸近線的距離為常數(shù)；性質(zhì)2：雙曲線上的任意點到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數(shù)；（4）雙曲線焦點三角形面積為（可以這樣理解，頂點越高，張角越小，分母越小，面積越大）（5）雙曲線的切線點在雙曲線上，過點作雙曲線的切線方程為．若點在雙曲線外，則點對應(yīng)切點弦方程為1、（多選）下列結(jié)論正確的是()A平面內(nèi)到點F1(0,4)，F(xiàn)2(0，－4)的距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線．B方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦點在x軸上的雙曲線C雙曲線eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)的漸近線方程是eq\f(x,m)±eq\f(y,n)＝0.D等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于eq\r(2).2．雙曲線2x2－y2＝8的實軸長是()A．2B．2eq\r(2)C．4D．4eq\r(2)3．已知曲線C的方程為eq\f(x2,k＋1)＋eq\f(y2,5－k)＝1(k∈R)，若曲線C是焦點在y軸上的雙曲線，則實數(shù)k的取值范圍是()A．－1<k<5 B．k>5C．k<－1 D．k≠－1或54．雙曲線2y2－x2＝1的漸近線方程是()A．y＝±eq\f(1,2)x B．y＝±2xC．y＝±eq\f(\r(2),2)x D．y＝±eq\r(2)x5．設(shè)P是雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,20)＝1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點，若|PF1|＝9，則|PF2|＝________.考點一雙曲線的定義及應(yīng)用角度1根據(jù)雙曲線定義求軌跡（方程）例1（1）（多選）（2023春·云南曲靖·高一曲靖一中?？计谀┮阎矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，點、，點為平面內(nèi)一動點，且，則下列說法準(zhǔn)確的是（

）A．當(dāng)時，點的軌跡為一直線B．當(dāng)時，點的軌跡為一射線C．當(dāng)時，點的軌跡不存在D．當(dāng)時，點的軌跡是雙曲線（2）(2023·河南模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的頂點A(－3,0)，B(3,0)，其內(nèi)切圓圓心在直線x＝2上，則頂點C的軌跡方程為()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1(x>2)B.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,5)＝1(x>3)C.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1(0<x<2)D.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1(0<x<3)【對點演練1】已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為()A．x2－eq\f(y2,8)＝1 B.eq\f(x2,8)－y2＝1C．x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1) D．x2－eq\f(y2,8)＝1(x≥1)【對點演練2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓：，點，是圓上任意一點，線段的垂直平分線與直線相交于點，設(shè)點的軌跡為曲線，則曲線的方程為.【對點演練3】（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）已知，兩點，則滿足的動點的軌跡方程為.角度2雙曲線定義的應(yīng)用例2（2023春·福建福州·高二校聯(lián)考期中）設(shè)P是雙曲線上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線左、右兩個焦點，若|PF1|=9，則|PF2|等于（

）A．1 B．17 C．1或17 D．8【對點演練1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）雙曲線的兩個焦點分別是，雙曲線上一點到的距離是12，則到的距離是（

）A．17 B．7 C．7或17 D．2或22【對點演練2】已知雙曲線C：eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，點P是C的右支上的一點(不是頂點)，過F2作∠F1PF2的角平分線的垂線，垂足是M，O是原點，則|MO|＝________.角度3雙曲線焦點三角形的面積及周長問題例3(1)(2020·全國Ⅰ卷)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x2－eq\f(y2,3)＝1的兩個焦點，O為坐標(biāo)原點，點P在C上且|OP|＝2，則△PF1F2的面積為()A．eq\f(7,2)B．3C．eq\f(5,2)D．2（2）（2023·全國·高三專題練習(xí)）雙曲線的左?右焦點分別是?，過的弦AB與其右支交于A?B兩點，，則的周長為（

）A． B． C． D．【對點演練1】（2023·云南保山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知是離心率等于的雙曲線的左右焦點，過焦點的直線l與雙曲線C的右支相交于A，B兩點，若的周長20，則等于（

）A．10 B．8 C．6 D．4【對點演練2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，分別是雙曲線的左?右焦點，是該雙曲線上的一點，且，則的面積等于（

）A． B． C． D．【對點演練3】已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點，點P在C上，∠F1PF2＝60°，則△F1PF2的面積為______．角度4與定義相關(guān)的最值問題例4已知F是雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的左焦點，A(1,4)，P是雙曲線右支上的一動點，則|PF|＋|PA|的最小值為__________．【對點演練1】（2023·貴州遵義·?？寄M預(yù)測）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，點A在雙曲線C的右支上，若，則的最小值為．【對點演練2】（2023·高二課時練習(xí)）已知點是雙曲線的左焦點，點是該雙曲線右支上的任一點，，則的最大值為．【對點演練3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左右焦點為，，點為雙曲線上任意一點，則的最小值為（）A．1 B． C．2 D．3考點二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程角度1雙曲線方程的充要條件例5（多選）（2023秋·江蘇南京·高二?？计谀┮阎匠瘫硎镜那€為，則下列四個結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)時，曲線是橢圓B．當(dāng)或時，曲線是雙曲線C．若曲線是焦點在軸上的橢圓，則D．若曲線是焦點在軸上的橢圓，則【對點演練1】（多選）（2023秋·山東濰坊·高二統(tǒng)考期末）若方程表示的曲線為E，則下列說法正確的是（

）A．曲線E可能為拋物線 B．當(dāng)時，曲線E為圓C．當(dāng)或時，曲線E為雙曲線 D．當(dāng)時，曲線E為橢圓【對點演練2】（2023秋·高二課時練習(xí)）若方程表示雙曲線，則m的取值范圍是．【對點演練3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知方程，則E表示的曲線形狀是（

）A．若，則E表示橢圓B．若E表示雙曲線，則或C．若E表示雙曲線，則焦距是定值D．若E的離心率為，則角度2求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例6(2023·河北石家莊重點高中摸底考試)已知雙曲線過點(2,3)，漸近線方程為y＝±eq\r(3)x，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A．eq\f(7x2,16)－eq\f(y2,12)＝1 B．eq\f(y2,3)－eq\f(x2,2)＝1C．x2－eq\f(y2,3)＝1 D．eq\f(3y2,23)－eq\f(x2,23)＝1【對點演練1】(2021·北京)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)過點(eq\r(2)，eq\r(3))，且離心率為2，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．x2－eq\f(y2,3)＝1 B.eq\f(x2,3)－y2＝1C．x2－eq\f(\r(3)y2,3)＝1 D.eq\f(\r(3)x2,3)－y2＝1【對點演練2】(2023·連云港模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點為F，點A在雙曲線的漸近線上，△OAF是邊長為2的等邊三角形，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 B.eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,3)－y2＝1 D．x2－eq\f(y2,3)＝1【對點演練3】（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線C的焦點為和，離心率為，則C的方程為．考點三雙曲線的幾何性質(zhì)角度1焦距與實軸（虛軸）問題例7（2023春·湖北孝感·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）若雙曲線的一條漸近線與直線垂直，且直線過雙曲線的一個焦點，則雙曲線實軸長為（

）A． B． C． D．【對點演練1】雙曲線的虛軸長為（

）A．3 B．6 C． D．【對點演練2】（2023春·河南平頂山·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線的左焦點與拋物線的焦點重合，則雙曲線的實軸長為（

）A． B． C． D．【對點演練3】若雙曲線的漸近線方程為，且過點，則的焦距為.角度2漸近線問題例3(1)(2022·北京)已知雙曲線y2＋eq\f(x2,m)＝1的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),3)x，則m＝________.(2)(2022·連云港模擬)若雙曲線經(jīng)過點(1，eq\r(3))，其漸近線方程為y＝±2x，則雙曲線的方程是________．角度3離心率問題例4(1)(2021·全國甲卷)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，則C的離心率為()A.eq\f(\r(7),2)B.eq\f(\r(13),2)C.eq\r(7)D.eq\r(13)（2）(2023·廣東湛江模擬)已知點F1，F(xiàn)2分別是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，過點F1且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若△ABF2是銳角三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是()A．(1，eq\r(3))B．(eq\r(3)，2eq\r(2))C．(1＋eq\r(2)，＋∞)D．(1,1＋eq\r(2))【對點演練1】（2023·全國（新高考Ⅰ卷）·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線的左、右焦點分別為．點在上，點在軸上，，則的離心率為．【對點演練1】（多選題）（2023·湖南·高二期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為，雙曲線上存在點（點不與左、右頂點重合），使得，則雙曲線的離心率的可能取值為（

）A． B． C． D．2【對點演練2】（2023·四川·高三開學(xué)考試（理））如圖為陜西博物館收藏的國寶——唐·金筐寶鈿團(tuán)化紋金杯，杯身曲線內(nèi)收，玲瓏嬌美，巧奪天工，是唐朝金銀細(xì)作的典范之作．該杯的主體部分可以近似看作是雙曲線的部分的旋轉(zhuǎn)體．若該雙曲線上存在點P，使得直線PA，PB（點A，B為雙曲線的左、右頂點）的斜率之和為4，則該雙曲線離心率的取值范圍為______．【對點演練3】（2023·吉林長春·二模（文））已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點P在雙曲線的右支上，且，則雙曲線離心率的取值范圍是A． B． C． D．1．“k<9”是“方程eq\f(x2,25－k)＋eq\f(y2,k－9)＝1表示雙曲線”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件2．雙曲線9x2－16y2＝1的焦點坐標(biāo)為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(5,12)，0))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，±\f(5,12)))C．(±5,0)D．(0，±5)3．已知雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(2),2)x，實軸長為4，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1或eq\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝1C.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1D.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1或eq\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝14.（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學(xué)?？既＃┮阎p曲線的一條漸近線的傾斜角為，該雙曲線過點，則該雙曲線的右焦點到漸近線的距離為（

）A． B． C． D．5.（2023·貴州黔東南·凱里一中?？寄M預(yù)測）已知，分別是雙曲線的左、右頂點，是的焦點，點為的右支上位于第一象限的點，且與直線的斜率之比為3，則的離心率為（

）A． B． C．2 D．36．(多選)(2023·唐山模擬)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：eq\f(y2,3)－x2＝1的兩個焦點，P為雙曲線C上任意一點，則()A．|PF1|－|PF2|＝2eq\r(3)B．雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),3)x