第07講雙曲線及其性質(zhì)（原題卷）

備戰(zhàn)2024年高考《解讀?突破?強(qiáng)化》一輪復(fù)習(xí)講義（新高考）第07講雙曲線及其性質(zhì)【考試要求】1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程.2.掌握雙曲線的幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、漸近線、離心率).3.了解雙曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用．知識(shí)點(diǎn)一：雙曲線的定義1、定義:一般地,我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn),的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.2、集合語(yǔ)言表達(dá)式雙曲線就是下列點(diǎn)的集合:.（1）若定義式中去掉絕對(duì)值，則曲線僅為雙曲線中的一支．（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以和為端點(diǎn)的兩條射線；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段的垂直平分線．（3）時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在．在應(yīng)用定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解題時(shí)注意以下兩點(diǎn)：=1\*GB3①條件“”是否成立；=2\*GB3②要先定型（焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上），再定量（確定，的值），注意的應(yīng)用．知識(shí)點(diǎn)二：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程（）（）圖形性質(zhì)范圍或或?qū)ΨQ性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)，,漸近線離心率，，間的關(guān)系知識(shí)點(diǎn)三：等軸雙曲線（，）當(dāng)時(shí)稱雙曲線為等軸雙曲線①；②離心率；③兩漸近線互相垂直，分別為；④等軸雙曲線的方程，；知識(shí)點(diǎn)四：雙曲線與漸近線的關(guān)系1、若雙曲線方程為漸近線方程：2、若雙曲線方程為（，）漸近線方程：3、若漸近線方程為，則雙曲線方程可設(shè)為，4、若雙曲線與有公共漸近線，則雙曲線的方程可設(shè)為（，焦點(diǎn)在軸上，，焦點(diǎn)在軸上）（1）雙曲線的通徑過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)且與雙曲線實(shí)軸垂直的直線被雙曲線截得的線段，稱為雙曲線的通徑．通徑長(zhǎng)為．（2）點(diǎn)與雙曲線的位置關(guān)系對(duì)于雙曲線，點(diǎn)在雙曲線內(nèi)部，等價(jià)于．點(diǎn)在雙曲線外部，等價(jià)于結(jié)合線性規(guī)劃的知識(shí)點(diǎn)來(lái)分析．（3）雙曲線?？夹再|(zhì)性質(zhì)1：雙曲線的焦點(diǎn)到兩條漸近線的距離為常數(shù)；頂點(diǎn)到兩條漸近線的距離為常數(shù)；性質(zhì)2：雙曲線上的任意點(diǎn)到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個(gè)常數(shù)；（4）雙曲線焦點(diǎn)三角形面積為（可以這樣理解，頂點(diǎn)越高，張角越小，分母越小，面積越大）（5）雙曲線的切線點(diǎn)在雙曲線上，過(guò)點(diǎn)作雙曲線的切線方程為．若點(diǎn)在雙曲線外，則點(diǎn)對(duì)應(yīng)切點(diǎn)弦方程為1、（多選）下列結(jié)論正確的是()A平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0,4)，F(xiàn)2(0，－4)的距離之差的絕對(duì)值等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線．B方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C雙曲線eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)的漸近線方程是eq\f(x,m)±eq\f(y,n)＝0.D等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于eq\r(2).2．雙曲線2x2－y2＝8的實(shí)軸長(zhǎng)是()A．2B．2eq\r(2)C．4D．4eq\r(2)3．已知曲線C的方程為eq\f(x2,k＋1)＋eq\f(y2,5－k)＝1(k∈R)，若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A．－1<k<5 B．k>5C．k<－1 D．k≠－1或54．雙曲線2y2－x2＝1的漸近線方程是()A．y＝±eq\f(1,2)x B．y＝±2xC．y＝±eq\f(\r(2),2)x D．y＝±eq\r(2)x5．設(shè)P是雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,20)＝1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若|PF1|＝9，則|PF2|＝________.考點(diǎn)一雙曲線的定義及應(yīng)用角度1根據(jù)雙曲線定義求軌跡（方程）例1（1）（多選）（2023春·云南曲靖·高一曲靖一中校考期末）已知平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、，點(diǎn)為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，則下列說(shuō)法準(zhǔn)確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為一直線B．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為一射線C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在D．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是雙曲線（2）(2023·河南模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的頂點(diǎn)A(－3,0)，B(3,0)，其內(nèi)切圓圓心在直線x＝2上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1(x>2)B.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,5)＝1(x>3)C.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1(0<x<2)D.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1(0<x<3)【對(duì)點(diǎn)演練1】已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1和圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為()A．x2－eq\f(y2,8)＝1 B.eq\f(x2,8)－y2＝1C．x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1) D．x2－eq\f(y2,8)＝1(x≥1)【對(duì)點(diǎn)演練2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓：，點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，則曲線的方程為.【對(duì)點(diǎn)演練3】（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）已知，兩點(diǎn)，則滿足的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.角度2雙曲線定義的應(yīng)用例2（2023春·福建福州·高二校聯(lián)考期中）設(shè)P是雙曲線上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若|PF1|=9，則|PF2|等于（

）A．1 B．17 C．1或17 D．8【對(duì)點(diǎn)演練1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是，雙曲線上一點(diǎn)到的距離是12，則到的距離是（

）A．17 B．7 C．7或17 D．2或22【對(duì)點(diǎn)演練2】已知雙曲線C：eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是C的右支上的一點(diǎn)(不是頂點(diǎn))，過(guò)F2作∠F1PF2的角平分線的垂線，垂足是M，O是原點(diǎn)，則|MO|＝________.角度3雙曲線焦點(diǎn)三角形的面積及周長(zhǎng)問(wèn)題例3(1)(2020·全國(guó)Ⅰ卷)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x2－eq\f(y2,3)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上且|OP|＝2，則△PF1F2的面積為()A．eq\f(7,2)B．3C．eq\f(5,2)D．2（2）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別是?，過(guò)的弦AB與其右支交于A?B兩點(diǎn)，，則的周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【對(duì)點(diǎn)演練1】（2023·云南保山·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知是離心率等于的雙曲線的左右焦點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)的直線l與雙曲線C的右支相交于A，B兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)20，則等于（

）A．10 B．8 C．6 D．4【對(duì)點(diǎn)演練2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，分別是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，是該雙曲線上的一點(diǎn)，且，則的面積等于（

）A． B． C． D．【對(duì)點(diǎn)演練3】已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，∠F1PF2＝60°，則△F1PF2的面積為_(kāi)_____．角度4與定義相關(guān)的最值問(wèn)題例4已知F是雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的左焦點(diǎn)，A(1,4)，P是雙曲線右支上的一動(dòng)點(diǎn)，則|PF|＋|PA|的最小值為_(kāi)_________．【對(duì)點(diǎn)演練1】（2023·貴州遵義·校考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)A在雙曲線C的右支上，若，則的最小值為．【對(duì)點(diǎn)演練2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)是雙曲線的左焦點(diǎn)，點(diǎn)是該雙曲線右支上的任一點(diǎn)，，則的最大值為．【對(duì)點(diǎn)演練3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)為，，點(diǎn)為雙曲線上任意一點(diǎn)，則的最小值為（）A．1 B． C．2 D．3考點(diǎn)二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程角度1雙曲線方程的充要條件例5（多選）（2023秋·江蘇南京·高二?？计谀┮阎匠瘫硎镜那€為，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，曲線是橢圓B．當(dāng)或時(shí)，曲線是雙曲線C．若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則D．若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則【對(duì)點(diǎn)演練1】（多選）（2023秋·山東濰坊·高二統(tǒng)考期末）若方程表示的曲線為E，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．曲線E可能為拋物線 B．當(dāng)時(shí)，曲線E為圓C．當(dāng)或時(shí)，曲線E為雙曲線 D．當(dāng)時(shí)，曲線E為橢圓【對(duì)點(diǎn)演練2】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）若方程表示雙曲線，則m的取值范圍是．【對(duì)點(diǎn)演練3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知方程，則E表示的曲線形狀是（

）A．若，則E表示橢圓B．若E表示雙曲線，則或C．若E表示雙曲線，則焦距是定值D．若E的離心率為，則角度2求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例6(2023·河北石家莊重點(diǎn)高中摸底考試)已知雙曲線過(guò)點(diǎn)(2,3)，漸近線方程為y＝±eq\r(3)x，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A．eq\f(7x2,16)－eq\f(y2,12)＝1 B．eq\f(y2,3)－eq\f(x2,2)＝1C．x2－eq\f(y2,3)＝1 D．eq\f(3y2,23)－eq\f(x2,23)＝1【對(duì)點(diǎn)演練1】(2021·北京)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)過(guò)點(diǎn)(eq\r(2)，eq\r(3))，且離心率為2，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．x2－eq\f(y2,3)＝1 B.eq\f(x2,3)－y2＝1C．x2－eq\f(\r(3)y2,3)＝1 D.eq\f(\r(3)x2,3)－y2＝1【對(duì)點(diǎn)演練2】(2023·連云港模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A在雙曲線的漸近線上，△OAF是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 B.eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,3)－y2＝1 D．x2－eq\f(y2,3)＝1【對(duì)點(diǎn)演練3】（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線C的焦點(diǎn)為和，離心率為，則C的方程為．考點(diǎn)三雙曲線的幾何性質(zhì)角度1焦距與實(shí)軸（虛軸）問(wèn)題例7（2023春·湖北孝感·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）若雙曲線的一條漸近線與直線垂直，且直線過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【對(duì)點(diǎn)演練1】雙曲線的虛軸長(zhǎng)為（

）A．3 B．6 C． D．【對(duì)點(diǎn)演練2】（2023春·河南平頂山·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線的左焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【對(duì)點(diǎn)演練3】若雙曲線的漸近線方程為，且過(guò)點(diǎn)，則的焦距為.角度2漸近線問(wèn)題例3(1)(2022·北京)已知雙曲線y2＋eq\f(x2,m)＝1的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),3)x，則m＝________.(2)(2022·連云港模擬)若雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，eq\r(3))，其漸近線方程為y＝±2x，則雙曲線的方程是________．角度3離心率問(wèn)題例4(1)(2021·全國(guó)甲卷)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，則C的離心率為()A.eq\f(\r(7),2)B.eq\f(\r(13),2)C.eq\r(7)D.eq\r(13)（2）(2023·廣東湛江模擬)已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF2是銳角三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是()A．(1，eq\r(3))B．(eq\r(3)，2eq\r(2))C．(1＋eq\r(2)，＋∞)D．(1,1＋eq\r(2))【對(duì)點(diǎn)演練1】（2023·全國(guó)（新高考Ⅰ卷）·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為．點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，則的離心率為．【對(duì)點(diǎn)演練1】（多選題）（2023·湖南·高二期末）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，雙曲線上存在點(diǎn)（點(diǎn)不與左、右頂點(diǎn)重合），使得，則雙曲線的離心率的可能取值為（

）A． B． C． D．2【對(duì)點(diǎn)演練2】（2023·四川·高三開(kāi)學(xué)考試（理））如圖為陜西博物館收藏的國(guó)寶——唐·金筐寶鈿團(tuán)化紋金杯，杯身曲線內(nèi)收，玲瓏嬌美，巧奪天工，是唐朝金銀細(xì)作的典范之作．該杯的主體部分可以近似看作是雙曲線的部分的旋轉(zhuǎn)體．若該雙曲線上存在點(diǎn)P，使得直線PA，PB（點(diǎn)A，B為雙曲線的左、右頂點(diǎn)）的斜率之和為4，則該雙曲線離心率的取值范圍為_(kāi)_____．【對(duì)點(diǎn)演練3】（2023·吉林長(zhǎng)春·二模（文））已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且，則雙曲線離心率的取值范圍是A． B． C． D．1．“k<9”是“方程eq\f(x2,25－k)＋eq\f(y2,k－9)＝1表示雙曲線”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件2．雙曲線9x2－16y2＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(5,12)，0))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，±\f(5,12)))C．(±5,0)D．(0，±5)3．已知雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(2),2)x，實(shí)軸長(zhǎng)為4，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1或eq\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝1C.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1D.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1或eq\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝14.（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學(xué)?？既＃┮阎p曲線的一條漸近線的傾斜角為，該雙曲線過(guò)點(diǎn)，則該雙曲線的右焦點(diǎn)到漸近線的距離為（

）A． B． C． D．5.（2023·貴州黔東南·凱里一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知，分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，是的焦點(diǎn)，點(diǎn)為的右支上位于第一象限的點(diǎn)，且與直線的斜率之比為3，則的離心率為（

）A． B． C．2 D．36．(多選)(2023·唐山模擬)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：eq\f(y2,3)－x2＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為雙曲線C上任意一點(diǎn)，則()A．|PF1|－|PF2|＝2eq\r(3)B．雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),3)x