高考數學大題精做專題05立體幾何中最值問題(第三篇)(原卷版+解析)

備戰(zhàn)2020年高考數學大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第三篇立體幾何專題05立體幾何中最值問題類型對應典例利用側面展開圖求最值典例1利用目標函數求最值典例2利用基本不等式求最值典例3【典例1】【河南省非凡吉創(chuàng)聯(lián)盟2020屆調研】如圖，是圓柱的直徑，是圓柱的母線，，，點是圓柱底面圓周上的點.（1）求三棱錐體積的最大值；（2）若，是線段上靠近點的三等分點，點是線段上的動點，求的最小值.【典例2】【江西省新余市第四中學2020屆月考】已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=，AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB、CD上的點，EF∥BC，AE=，G是BC的中點．沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF．（1）若以F、B、C、D為頂點的三棱錐的體積記為，求的最大值；（2）當取得最大值時，求二面角D-BF-C的余弦值．【典例3】【北京市昌平區(qū)2020屆模擬】如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，E，H分別是棱A1B1，D1C1上的點（點E與B1不重合），且EH∥A1D1.過EH的平面與棱BB1，CC1相交，交點分別為F，G．（I）證明：AD∥平面EFGH；（II）設AB=2AA1="2"a.在長方體ABCD－A1B1C1D1內隨機選取一點．記該點取自幾何體A1ABFE-D1DCGH內的概率為p，當點E，F(xiàn)分別在棱A1B1上運動且滿足EF=a時，求p的最小值.【針對訓練】1.【廣東省佛山市第一中學2020屆月考】如圖，正方體的棱長為，分別為上的點，且．（1）當為何值時，三棱錐的體積最大？（2）求異面直線與所成的角的取值范圍．2．【安徽省安慶市2020屆模擬】如圖，△內接于圓，是圓的直徑，四邊形為平行四邊形，平面，.（1）求證：⊥平面；（2）設，表示三棱錐的體積，求函數的解析式及最大值.3．【浙江省金華市十校2020屆模擬】如圖，在三棱錐中，，，，，直線與平面成角，為的中點，，.（Ⅰ）若，求證：平面平面；（Ⅱ）若，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍.4．【北京市城六區(qū)2019屆高三模擬】已知三棱錐（如圖1）的平面展開圖（如圖2）中，四邊形為邊長為的正方形，△ABE和△BCF均為正三角形，在三棱錐中：(I)證明：平面平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值；(Ⅲ)若點在棱上，滿足，，點在棱上，且，求的取值范圍．備戰(zhàn)2020年高考數學大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第三篇立體幾何專題05立體幾何中最值問題類型對應典例利用側面展開圖求最值典例1利用目標函數求最值典例2利用基本不等式求最值典例3【典例1】【河南省非凡吉創(chuàng)聯(lián)盟2020屆調研】如圖，是圓柱的直徑，是圓柱的母線，，，點是圓柱底面圓周上的點.（1）求三棱錐體積的最大值；（2）若，是線段上靠近點的三等分點，點是線段上的動點，求的最小值.【思路引導】（1）三棱錐的高為定值，要根據三棱錐體積公式可知，要使得體積最大，就要底面積最大，又因為邊為定值，故當到的距離取得最大值時，底面積最大，故此時棱錐的體積最大；（2）反向延長至，使得三點共線，三點共線時，距離最短，則為最小值.【詳解】（1）三棱錐高，，點到的最大值為底面圓的半徑，則三棱錐體積的最大值等于.（2）將繞著旋轉到使其共面，且在的反向延長線上，連接，與的交點為，此時最小，為；由，，且易知，由勾股定理知，因為，所以，則，；，則是邊長為4的等邊三角形，故，所以的最小值等于4.【典例2】【江西省新余市第四中學2020屆月考】已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=，AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB、CD上的點，EF∥BC，AE=，G是BC的中點．沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF．（1）若以F、B、C、D為頂點的三棱錐的體積記為，求的最大值；（2）當取得最大值時，求二面角D-BF-C的余弦值．【思路引導】（1）由平面，，可得，進而由面面垂直的性質定理得到平面，進而建立空間坐標系，可得的解析式，根據二次函數的性質，易求出有最大值；（2）根據（1）的結論平面的一個法向量為，利用向量垂直數量積為零列方程組求出平面的法向量，代入向量夾角公式即可得到二面角的余弦值.解：（1）∵平面平面,AE⊥EF,∴AE⊥面平面,AE⊥EF,AE⊥BE,又BE⊥EF,故可如圖建立空間坐標系E-xyz．則A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0）∵AD∥面BFC，所以VA-BFC＝，即時有最大值為．（2）設平面DBF的法向量為，∵AE=2,B（2，0，0），D（0，2，2），F(xiàn)（0，3，0）,∴（－2，2，2）,則，即，取x＝3，則y＝2，z＝1，∴面BCF的一個法向量為則cos<>=.由于所求二面角D-BF-C的平面角為鈍角，所以此二面角的余弦值為：－【典例3】【北京市昌平區(qū)2020屆模擬】如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，E，H分別是棱A1B1，D1C1上的點（點E與B1不重合），且EH∥A1D1.過EH的平面與棱BB1，CC1相交，交點分別為F，G．（I）證明：AD∥平面EFGH；（II）設AB=2AA1="2"a.在長方體ABCD－A1B1C1D1內隨機選取一點．記該點取自幾何體A1ABFE-D1DCGH內的概率為p，當點E，F(xiàn)分別在棱A1B1上運動且滿足EF=a時，求p的最小值.【思路引導】解法一：（I）證明：在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AD∥A1D1又∵EH∥A1D1，∴AD∥EH.∵AD￠平面EFGHEH平面EFGH∴AD//平面EFGH.（II）設BC=b，則長方體ABCD－A1B1C1D1的體積V=AB·AD·AA1=2a2b，幾何體EB1F-HC1G的體積V1=（1/2EB1·B1F）·B1C1=b/2·EB-1·B1F∵EB12+B1F2=a2∴EB12+B1F2≤（EB12+B1F2）/2=a2/2,當且僅當EB-1=B1F=a時等號成立從而V1≤a2b/4.故p=1-V1/V≥=解法二：（I）同解法一（II）設BC=b，則長方體ABCD－A1B1C1D1的體積V=AB·AD·AA1=2a2b，幾何體EB1F-HC1G的體積V1=（1/2EB-1·B1F）·B1C1=b/2EB-1·B1F設∠B1EF=θ（0°≤θ≤90°），則EB-1="a"cosθ，B1F="a"sinθ故EB-1·B1F=a2sinθcosθ=，當且僅當sin2θ=1即θ=45°時等號成立.從而∴p=1-V1/V≥=，當且僅當sin2θ=1即θ=45°時等號成立.所以，p的最小值等于7/8【針對訓練】1.【廣東省佛山市第一中學2020屆月考】如圖，正方體的棱長為，分別為上的點，且．（1）當為何值時，三棱錐的體積最大？（2）求異面直線與所成的角的取值范圍．【思路引導】（1）首先得到體積函數，然后利用均值不等式確定取得最值時x的值即可；（2）首先作出異面直線與所成的角，然后結合余弦定理求得角的余弦值取值范圍，最后利用余弦值的范圍確定異面直線與所成的角的取值范圍.【詳解】（1），當時，三棱錐的體積最大．（2）在AD上取點H使AH＝BF＝AE，則，，，所以（或補角）是異面直線與所成的角在Rt△中，，在Rt△中，，在Rt△HAE中，，在△中，因為，所以，，，2．【安徽省安慶市2020屆模擬】如圖，△內接于圓，是圓的直徑，四邊形為平行四邊形，平面，.（1）求證：⊥平面；（2）設，表示三棱錐的體積，求函數的解析式及最大值.【思路引導】（1）要證（1）要證平面，需證平面，需證,用綜合法書寫即可．（2）由（1）可知平面，所以體積為,，利用均值不等式求解最大值．詳解：(1)證明：∵四邊形DCBE為平行四邊形,∴CD∥BE,BC∥DE.∵DC⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴DC⊥BC.∵AB是圓O的直徑，∴BC⊥AC，且DC∩AC=C.∴BC⊥平面ADC.∵DE∥BC，∴DE⊥平面ADC；(2)∵DC⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC.在Rt△ABE中,AB=2,EB=3√.在Rt△ABC中,∵AC=x,BC=4?x2?????√(0<x<2).∴S△ABC=12AC?BC=12x?4?x2?????√，∴V(x)=VE?ABC=3√6x?4?x2?????√,(0<x<2).∵x2(4?x2)?(x2+4?x22)2=4,當且僅當x2=4?x2,即x=2√時，取等號，∴x=2√時,體積有最大值為3√3.3．【浙江省金華市十校2020屆模擬】如圖，在三棱錐中，，，，，直線與平面成角，為的中點，，.（Ⅰ）若，求證：平面平面；（Ⅱ）若，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍.【思路引導】由題意可得直線與平面所成角是，即.設，則，，由余弦定理得或.（Ⅰ）若，則，由勾股定理可得，又，據此可得平面，平面平面.（Ⅱ）若，則，故，，設是到面的距離，是到面的距離，則，由等體積法可得，.設直線與平面所成角為，則，據此可得直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為.試題解析：∵，，為的中點，∴，，∴平面，∴直線與平面所成角是，.設，則，，由余弦定理得或.（Ⅰ）若，則，∴在中.∴，又，，∴平面，∴平面平面.（Ⅱ）若，∴，∵，∴，，設是到面的距離，是到面的距離，則，由等體積法：，∴，∴.設直線與平面所成角為，則.∵，∴.∴故直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為.4．【北京市城六區(qū)2019屆高三模擬】已知三棱錐（如圖1）的平面展開圖（如圖2）中，四邊形為邊長為的正方形，△ABE和△BCF均為正三角形，在三棱錐中：(I)證明：平面平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值；(Ⅲ)若點在棱上，滿足，，點在棱上，且，求的取值范圍．【思路引導】第一問取中點，根據等腰三角形的性質求得，根據題中所給的邊長，利用勾股定理求得，利用線面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理得到結果；第二問根據題中所給的條件建立空間直角坐標系，寫出相應的點的坐標，求得面的法向量，利用法向量所成角的余弦值得出結果；第三問利用向量間的關系，利用向量垂直的條件，利用向量的數量積等于0，得出所求的比值與的關系式，利用函數的有關知識求得結果.（Ⅰ）方法1：設的中點為，連接，.由題意，，因為在中，，為的中點所以，因為在中，，，所以因為，平面所以平面因為平面所以平面平面方法2：設的中點為，連接，.因為在中，，為的中點所以，因為