高考數(shù)學(xué)大題精做專題05立體幾何中最值問(wèn)題(第三篇)(原卷版+解析)

備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第三篇立體幾何專題05立體幾何中最值問(wèn)題類型對(duì)應(yīng)典例利用側(cè)面展開圖求最值典例1利用目標(biāo)函數(shù)求最值典例2利用基本不等式求最值典例3【典例1】【河南省非凡吉?jiǎng)?chuàng)聯(lián)盟2020屆調(diào)研】如圖，是圓柱的直徑，是圓柱的母線，，，點(diǎn)是圓柱底面圓周上的點(diǎn).（1）求三棱錐體積的最大值；（2）若，是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值.【典例2】【江西省新余市第四中學(xué)2020屆月考】已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=，AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB、CD上的點(diǎn)，EF∥BC，AE=，G是BC的中點(diǎn)．沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF．（1）若以F、B、C、D為頂點(diǎn)的三棱錐的體積記為，求的最大值；（2）當(dāng)取得最大值時(shí)，求二面角D-BF-C的余弦值．【典例3】【北京市昌平區(qū)2020屆模擬】如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，E，H分別是棱A1B1，D1C1上的點(diǎn)（點(diǎn)E與B1不重合），且EH∥A1D1.過(guò)EH的平面與棱BB1，CC1相交，交點(diǎn)分別為F，G．（I）證明：AD∥平面EFGH；（II）設(shè)AB=2AA1="2"a.在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)．記該點(diǎn)取自幾何體A1ABFE-D1DCGH內(nèi)的概率為p，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱A1B1上運(yùn)動(dòng)且滿足EF=a時(shí)，求p的最小值.【針對(duì)訓(xùn)練】1.【廣東省佛山市第一中學(xué)2020屆月考】如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，分別為上的點(diǎn)，且．（1）當(dāng)為何值時(shí)，三棱錐的體積最大？（2）求異面直線與所成的角的取值范圍．2．【安徽省安慶市2020屆模擬】如圖，△內(nèi)接于圓，是圓的直徑，四邊形為平行四邊形，平面，.（1）求證：⊥平面；（2）設(shè)，表示三棱錐的體積，求函數(shù)的解析式及最大值.3．【浙江省金華市十校2020屆模擬】如圖，在三棱錐中，，，，，直線與平面成角，為的中點(diǎn)，，.（Ⅰ）若，求證：平面平面；（Ⅱ）若，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍.4．【北京市城六區(qū)2019屆高三模擬】已知三棱錐（如圖1）的平面展開圖（如圖2）中，四邊形為邊長(zhǎng)為的正方形，△ABE和△BCF均為正三角形，在三棱錐中：(I)證明：平面平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值；(Ⅲ)若點(diǎn)在棱上，滿足，，點(diǎn)在棱上，且，求的取值范圍．備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第三篇立體幾何專題05立體幾何中最值問(wèn)題類型對(duì)應(yīng)典例利用側(cè)面展開圖求最值典例1利用目標(biāo)函數(shù)求最值典例2利用基本不等式求最值典例3【典例1】【河南省非凡吉?jiǎng)?chuàng)聯(lián)盟2020屆調(diào)研】如圖，是圓柱的直徑，是圓柱的母線，，，點(diǎn)是圓柱底面圓周上的點(diǎn).（1）求三棱錐體積的最大值；（2）若，是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值.【思路引導(dǎo)】（1）三棱錐的高為定值，要根據(jù)三棱錐體積公式可知，要使得體積最大，就要底面積最大，又因?yàn)檫厼槎ㄖ?，故?dāng)?shù)降木嚯x取得最大值時(shí)，底面積最大，故此時(shí)棱錐的體積最大；（2）反向延長(zhǎng)至，使得三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線時(shí)，距離最短，則為最小值.【詳解】（1）三棱錐高，，點(diǎn)到的最大值為底面圓的半徑，則三棱錐體積的最大值等于.（2）將繞著旋轉(zhuǎn)到使其共面，且在的反向延長(zhǎng)線上，連接，與的交點(diǎn)為，此時(shí)最小，為；由，，且易知，由勾股定理知，因?yàn)椋?，則，；，則是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，故，所以的最小值等于4.【典例2】【江西省新余市第四中學(xué)2020屆月考】已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=，AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB、CD上的點(diǎn)，EF∥BC，AE=，G是BC的中點(diǎn)．沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF．（1）若以F、B、C、D為頂點(diǎn)的三棱錐的體積記為，求的最大值；（2）當(dāng)取得最大值時(shí)，求二面角D-BF-C的余弦值．【思路引導(dǎo)】（1）由平面，，可得，進(jìn)而由面面垂直的性質(zhì)定理得到平面，進(jìn)而建立空間坐標(biāo)系，可得的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，易求出有最大值；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論平面的一個(gè)法向量為，利用向量垂直數(shù)量積為零列方程組求出平面的法向量，代入向量夾角公式即可得到二面角的余弦值.解：（1）∵平面平面,AE⊥EF,∴AE⊥面平面,AE⊥EF,AE⊥BE,又BE⊥EF,故可如圖建立空間坐標(biāo)系E-xyz．則A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0）∵AD∥面BFC，所以VA-BFC＝，即時(shí)有最大值為．（2）設(shè)平面DBF的法向量為，∵AE=2,B（2，0，0），D（0，2，2），F(xiàn)（0，3，0）,∴（－2，2，2）,則，即，取x＝3，則y＝2，z＝1，∴面BCF的一個(gè)法向量為則cos<>=.由于所求二面角D-BF-C的平面角為鈍角，所以此二面角的余弦值為：－【典例3】【北京市昌平區(qū)2020屆模擬】如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，E，H分別是棱A1B1，D1C1上的點(diǎn)（點(diǎn)E與B1不重合），且EH∥A1D1.過(guò)EH的平面與棱BB1，CC1相交，交點(diǎn)分別為F，G．（I）證明：AD∥平面EFGH；（II）設(shè)AB=2AA1="2"a.在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)．記該點(diǎn)取自幾何體A1ABFE-D1DCGH內(nèi)的概率為p，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱A1B1上運(yùn)動(dòng)且滿足EF=a時(shí)，求p的最小值.【思路引導(dǎo)】解法一：（I）證明：在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AD∥A1D1又∵EH∥A1D1，∴AD∥EH.∵AD￠平面EFGHEH平面EFGH∴AD//平面EFGH.（II）設(shè)BC=b，則長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1的體積V=AB·AD·AA1=2a2b，幾何體EB1F-HC1G的體積V1=（1/2EB1·B1F）·B1C1=b/2·EB-1·B1F∵EB12+B1F2=a2∴EB12+B1F2≤（EB12+B1F2）/2=a2/2,當(dāng)且僅當(dāng)EB-1=B1F=a時(shí)等號(hào)成立從而V1≤a2b/4.故p=1-V1/V≥=解法二：（I）同解法一（II）設(shè)BC=b，則長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1的體積V=AB·AD·AA1=2a2b，幾何體EB1F-HC1G的體積V1=（1/2EB-1·B1F）·B1C1=b/2EB-1·B1F設(shè)∠B1EF=θ（0°≤θ≤90°），則EB-1="a"cosθ，B1F="a"sinθ故EB-1·B1F=a2sinθcosθ=，當(dāng)且僅當(dāng)sin2θ=1即θ=45°時(shí)等號(hào)成立.從而∴p=1-V1/V≥=，當(dāng)且僅當(dāng)sin2θ=1即θ=45°時(shí)等號(hào)成立.所以，p的最小值等于7/8【針對(duì)訓(xùn)練】1.【廣東省佛山市第一中學(xué)2020屆月考】如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，分別為上的點(diǎn)，且．（1）當(dāng)為何值時(shí)，三棱錐的體積最大？（2）求異面直線與所成的角的取值范圍．【思路引導(dǎo)】（1）首先得到體積函數(shù)，然后利用均值不等式確定取得最值時(shí)x的值即可；（2）首先作出異面直線與所成的角，然后結(jié)合余弦定理求得角的余弦值取值范圍，最后利用余弦值的范圍確定異面直線與所成的角的取值范圍.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積最大．（2）在AD上取點(diǎn)H使AH＝BF＝AE，則，，，所以（或補(bǔ)角）是異面直線與所成的角在Rt△中，，在Rt△中，，在Rt△HAE中，，在△中，因?yàn)?，所以，，?．【安徽省安慶市2020屆模擬】如圖，△內(nèi)接于圓，是圓的直徑，四邊形為平行四邊形，平面，.（1）求證：⊥平面；（2）設(shè)，表示三棱錐的體積，求函數(shù)的解析式及最大值.【思路引導(dǎo)】（1）要證（1）要證平面，需證平面，需證,用綜合法書寫即可．（2）由（1）可知平面，所以體積為,，利用均值不等式求解最大值．詳解：(1)證明：∵四邊形DCBE為平行四邊形,∴CD∥BE,BC∥DE.∵DC⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴DC⊥BC.∵AB是圓O的直徑，∴BC⊥AC，且DC∩AC=C.∴BC⊥平面ADC.∵DE∥BC，∴DE⊥平面ADC；(2)∵DC⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC.在Rt△ABE中,AB=2,EB=3√.在Rt△ABC中,∵AC=x,BC=4?x2?????√(0<x<2).∴S△ABC=12AC?BC=12x?4?x2?????√，∴V(x)=VE?ABC=3√6x?4?x2?????√,(0<x<2).∵x2(4?x2)?(x2+4?x22)2=4,當(dāng)且僅當(dāng)x2=4?x2,即x=2√時(shí)，取等號(hào)，∴x=2√時(shí),體積有最大值為3√3.3．【浙江省金華市十校2020屆模擬】如圖，在三棱錐中，，，，，直線與平面成角，為的中點(diǎn)，，.（Ⅰ）若，求證：平面平面；（Ⅱ）若，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍.【思路引導(dǎo)】由題意可得直線與平面所成角是，即.設(shè)，則，，由余弦定理得或.（Ⅰ）若，則，由勾股定理可得，又，據(jù)此可得平面，平面平面.（Ⅱ）若，則，故，，設(shè)是到面的距離，是到面的距離，則，由等體積法可得，.設(shè)直線與平面所成角為，則，據(jù)此可得直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為.試題解析：∵，，為的中點(diǎn)，∴，，∴平面，∴直線與平面所成角是，.設(shè)，則，，由余弦定理得或.（Ⅰ）若，則，∴在中.∴，又，，∴平面，∴平面平面.（Ⅱ）若，∴，∵，∴，，設(shè)是到面的距離，是到面的距離，則，由等體積法：，∴，∴.設(shè)直線與平面所成角為，則.∵，∴.∴故直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為.4．【北京市城六區(qū)2019屆高三模擬】已知三棱錐（如圖1）的平面展開圖（如圖2）中，四邊形為邊長(zhǎng)為的正方形，△ABE和△BCF均為正三角形，在三棱錐中：(I)證明：平面平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值；(Ⅲ)若點(diǎn)在棱上，滿足，，點(diǎn)在棱上，且，求的取值范圍．【思路引導(dǎo)】第一問(wèn)取中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得，根據(jù)題中所給的邊長(zhǎng)，利用勾股定理求得，利用線面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理得到結(jié)果；第二問(wèn)根據(jù)題中所給的條件建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，求得面的法向量，利用法向量所成角的余弦值得出結(jié)果；第三問(wèn)利用向量間的關(guān)系，利用向量垂直的條件，利用向量的數(shù)量積等于0，得出所求的比值與的關(guān)系式，利用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)求得結(jié)果.（Ⅰ）方法1：設(shè)的中點(diǎn)為，連接，.由題意，，因?yàn)樵谥?，，為的中點(diǎn)所以，因?yàn)樵谥?，，，所以因?yàn)椋矫嫠云矫嬉驗(yàn)槠矫嫠云矫嫫矫娣椒?：設(shè)的中點(diǎn)為，連接，.因?yàn)樵谥?，，為的中點(diǎn)所以，因?yàn)?/p>