習(xí)題課　函數(shù)模型的應(yīng)用

習(xí)題課函數(shù)模型的應(yīng)用第四章

指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)1.能自建確定性函數(shù)模型解決實(shí)際問題.2.了解建立擬合函數(shù)模型的步驟，并了解檢驗(yàn)和調(diào)整的必要性.學(xué)習(xí)目標(biāo)隨堂演練課時(shí)對點(diǎn)練一、建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題二、實(shí)際問題中的函數(shù)模型選擇問題內(nèi)容索引一、建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題例1

某地規(guī)劃對一片面積為a的沙漠進(jìn)行治理，每年治理面積占上一年底沙漠面積的百分比均為x(0<x<1).當(dāng)治理面積達(dá)到這片沙漠面積的一半時(shí)，正好用了10年時(shí)間.(1)求x的值；解由于每年治理面積占上一年底沙漠面積的百分比均為x(0<x<1)，解得解設(shè)從今年開始，還需治理n年，故至少還需治理15年.反思感悟與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合的題型也是高考命題的動(dòng)向，這類問題的特點(diǎn)是通過現(xiàn)實(shí)生活的事例考查書本知識，解決這類問題的關(guān)鍵是耐心讀題、仔細(xì)理解題意，只有吃透題意，才能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解答.跟蹤訓(xùn)練1

某化工廠生產(chǎn)一種溶液的成品，生產(chǎn)過程的最后工序是過濾溶液中的雜質(zhì)，過濾初期溶液含雜質(zhì)為2%，每經(jīng)過一次過濾均可使溶液雜質(zhì)含量減少一半，記過濾次數(shù)為x(x∈N*)時(shí)溶液雜質(zhì)含量為y，(1)分別求出1次過濾、2次過濾以后的溶液雜質(zhì)含量y1，y2的值；(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.301)(2)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式(要求寫出定義域)；解因?yàn)槊拷?jīng)過一次過濾均可使溶液雜質(zhì)含量減少一半，(3)按市場要求，出廠成品雜質(zhì)含量不能超過0.02%，問至少經(jīng)過幾次過濾才能使產(chǎn)品達(dá)到市場要求？解設(shè)至少應(yīng)過濾x次才能使產(chǎn)品達(dá)到市場要求，又x∈N*，所以x≥7，即至少應(yīng)過濾7次才能使產(chǎn)品達(dá)到市場要求.二、實(shí)際問題中的函數(shù)模型選擇問題例2近年來，我國積極參與國際組織，承擔(dān)國際責(zé)任，為國家進(jìn)步、社會發(fā)展、個(gè)人成才帶來了更多機(jī)遇，因此，面臨職業(yè)選擇時(shí)，越來越多的青年人選擇通過創(chuàng)業(yè)、創(chuàng)新的方式實(shí)現(xiàn)人生價(jià)值.其中，某位大學(xué)生帶領(lǐng)其團(tuán)隊(duì)自主創(chuàng)業(yè)，通過直播帶貨的方式售賣特色農(nóng)產(chǎn)品，下面為三年來農(nóng)產(chǎn)品銷售量的統(tǒng)計(jì)表：年份201720182019銷售量/萬斤415583結(jié)合國家支持大學(xué)生創(chuàng)業(yè)政策和農(nóng)產(chǎn)品市場需求情況，該大學(xué)生提出了2020年銷售115萬斤特色農(nóng)產(chǎn)品的目標(biāo)，經(jīng)過創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊(duì)所有隊(duì)員的共同努力，2020年實(shí)際銷售123萬斤，超額完成預(yù)定目標(biāo).(1)將2017,2018,2019,2020年分別定義為第1年、第2年、第3年、第4年，現(xiàn)有兩個(gè)函數(shù)模型：二次函數(shù)模型為f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；冪函數(shù)模型為g(x)＝kx3＋mx＋n(k≠0).請你通過計(jì)算分析確定：選用哪個(gè)函數(shù)模型能更好的反映該創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊(duì)農(nóng)產(chǎn)品的年銷售量y與第x年的關(guān)系；年份201720182019銷售量/萬斤415583解若選擇二次函數(shù)模型，依題意，將前三年數(shù)據(jù)分別代入f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，所以f(x)＝7x2－7x＋41.將x＝4代入f(x)，得f(4)＝7×42－7×4＋41＝125，所以此與2020年實(shí)際銷售量誤差為125－123＝2(萬斤).若選擇冪函數(shù)模型，依題意，將前三年數(shù)據(jù)分別代入g(x)＝kx3＋mx＋n(k≠0)，所以此與2020年銷售量的實(shí)際誤差為132－123＝9(萬斤).顯然2<9，因此，選用二次函數(shù)模型f(x)＝7x2－7x＋41能更好的反映該創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊(duì)農(nóng)產(chǎn)品的年銷售量y與第x年的關(guān)系.(2)依照目前的形勢分析，你能否預(yù)測出該創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊(duì)在2021年度的農(nóng)產(chǎn)品銷售量？年份201720182019銷售量/萬斤415583解依據(jù)(1)，選用二次函數(shù)模型f(x)＝7x2－7x＋41進(jìn)行預(yù)測，得f(5)＝7×52－7×5＋41＝181(萬斤).即預(yù)測該創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊(duì)在2021年的農(nóng)產(chǎn)品銷售量為181萬斤.反思感悟建立擬合函數(shù)與預(yù)測的基本步驟跟蹤訓(xùn)練2人類已經(jīng)進(jìn)入大數(shù)據(jù)時(shí)代.目前，數(shù)據(jù)量已經(jīng)從TB(1TB＝1024GB)級別躍升到PB(1PB＝1024TB)，EB(1EB＝1024PB)乃至ZB(1ZB＝1024EB)級別.國際數(shù)據(jù)公司(IDC)的研究結(jié)果表明，全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量為：年份2008200920102011…x(單位：年)0123…數(shù)據(jù)量(單位：ZB)0.490.81.21.82…為了較好地描述2008年起全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量與時(shí)間x(單位：年)的關(guān)系，根據(jù)上述數(shù)據(jù)信息，選擇函數(shù)f(x)＝kx＋b和g(x)＝max(a>0，且a≠1)進(jìn)行擬合研究.(1)國際數(shù)據(jù)公司(IDC)預(yù)測2022年全球數(shù)據(jù)量將達(dá)到80.0ZB，你認(rèn)為依據(jù)哪一個(gè)函數(shù)擬合更為合理；年份2008200920102011…x(單位：年)0123…數(shù)據(jù)量(單位：ZB)0.490.81.21.82…(參考數(shù)據(jù)：1.5310≈70.29，1.5311≈107.55，1.5312≈164.55，1.5313≈251.76)解設(shè)2008,2009,2010,2011，…，2020年分別對應(yīng)第1年，第2年，第3年，第4年，…，第13年，設(shè)數(shù)據(jù)量為y，由已知列表如下：x1234…13y0.490.81.21.82…80.0畫出散點(diǎn)圖如圖：由散點(diǎn)圖知，5個(gè)點(diǎn)在一條曲線上，應(yīng)選擇函數(shù)g(x)＝max.(2)設(shè)我國2022年的數(shù)據(jù)量為cZB，根據(jù)擬合函數(shù)，請你估計(jì)我國的數(shù)據(jù)量達(dá)到100cZB約需要多少年？年份2008200920102011…x(單位：年)0123…數(shù)據(jù)量(單位：ZB)0.490.81.21.82…解將數(shù)據(jù)(1,0.49)，(13,80.0)代入g(x)＝max中得，所以g(x)＝0.32×1.53x，由題意得c＝0.32×1.5313，則100c＝0.32×1.53x，解得x≈24，所以我國的數(shù)據(jù)量達(dá)到100cZB約需要11年.1.知識清單：(1)建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題.(2)實(shí)際問題中的函數(shù)模型選擇問題.2.方法歸納：轉(zhuǎn)化法.3.常見誤區(qū)：對函數(shù)擬合效果的分析不能做出正確選擇.課堂小結(jié)隨堂演練1.某種植物生長發(fā)育的數(shù)量y與時(shí)間x的關(guān)系如下表：則下面的函數(shù)關(guān)系式中，擬合效果最好的是A.y＝2x－1 B.y＝x2－1C.y＝2x－1 D.y＝1.5x2－2.5x＋2√1234x123…y138…2.若鐳經(jīng)過100年后剩留原來質(zhì)量的95.76%，設(shè)質(zhì)量為1的鐳經(jīng)過x年后剩留量為y，則x，y的函數(shù)關(guān)系是1234√解析設(shè)鐳的衰變率為p，則x，y的函數(shù)關(guān)系是y＝(1－p)x，當(dāng)x＝100時(shí)，y＝0.9576，即0.9576＝(1－p)100，1234解得即1234√12344.一個(gè)模具廠一年中12月份的產(chǎn)量是1月份產(chǎn)量的m倍，那么該模具廠這一年中產(chǎn)量的月平均增長率是________.解析設(shè)每月的產(chǎn)量增長率為x,1月份產(chǎn)量為a，則a(1＋x)11＝ma，1234課時(shí)對點(diǎn)練基礎(chǔ)鞏固123456789101112131415161.某種產(chǎn)品今年的產(chǎn)量是a，如果保持5%的年增長率，那么經(jīng)過x年(x∈N*)，該產(chǎn)品的產(chǎn)量y滿足A.y＝a(1＋5%x) B.y＝a＋5%C.y＝a(1＋5%)x－1 D.y＝a(1＋5%)x√解析今年產(chǎn)量為a，經(jīng)過1年后產(chǎn)量為y＝a(1＋5%)，經(jīng)過2年后產(chǎn)量為y＝a(1＋5%)2，依此類推，經(jīng)過x年后產(chǎn)量為y＝a(1＋5%)x.123456789101112131415162.中國茶文化博大精深.茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān).經(jīng)驗(yàn)表明，某種綠茶用85℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時(shí)飲用，可以產(chǎn)生最佳口感.為分析泡制一杯最佳口感茶水所需的時(shí)間，某研究人員每隔1min測量一次茶水的溫度，根據(jù)所得數(shù)據(jù)做出如圖所示的散點(diǎn)圖.觀察散點(diǎn)圖的分布情況，下列哪個(gè)函數(shù)模型可以近似地刻畫茶水溫度y隨時(shí)間x變化的規(guī)律A.y＝mx2＋n(m>0)B.y＝mx＋n(m>0)C.y＝max＋n(m>0，a>0，a≠1)D.y＝mlogax＋n(m>0，a>0，a≠1)√解析由函數(shù)圖象可知符合條件的只有指數(shù)型函數(shù)模型.3.某大型超市為了滿足顧客對商品的購物需求，對超市的商品種類做了一定的調(diào)整，結(jié)果調(diào)整初期利潤增長迅速，隨著時(shí)間的推移，增長速度越來越慢，如果建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來反映該超市調(diào)整后利潤y與售出商品的數(shù)量x的關(guān)系，則可選用A.一次函數(shù)

B.二次函數(shù)C.指數(shù)型函數(shù)

D.對數(shù)型函數(shù)12345678910111213141516√解析由題目信息可得，初期增長迅速，后來增長越來越慢，故可用對數(shù)型函數(shù)模型來反映y與x的關(guān)系.4.“道高一尺，魔高一丈”出于《西游記》第五十回用來比喻取得一定成就后遇到的障礙會更大或正義終將戰(zhàn)勝邪惡，若用下列函數(shù)中的一個(gè)來表示這句話的含義，則最合適的是(注：1丈＝10尺)A.y＝10x，x>0 B.y＝

x，x>0C.y＝x＋10，x>0 D.y＝x＋9，x>0√12345678910111213141516解析因?yàn)橐徽傻扔谑?，所以“道高一尺，魔高一丈”更適合用y＝10x，x>0來表示.123456789101112131415165.某公司2021一整年的獎(jiǎng)金有如下四種方案可供員工選擇(獎(jiǎng)金均在年底一次性發(fā)放).方案1：獎(jiǎng)金10萬元方案2：前半年的半年獎(jiǎng)金4.5萬元，后半年的半年獎(jiǎng)金為前半年的半年獎(jiǎng)金的1.2倍方案3：第一個(gè)季度獎(jiǎng)金2萬元，以后每一個(gè)季度的獎(jiǎng)金均在上一季度的基礎(chǔ)上增加5000元方案4：第n個(gè)月的獎(jiǎng)金＝基本獎(jiǎng)金7000元＋200n元如果你是該公司員工，你選擇的獎(jiǎng)金方案是A.方案1 B.方案2

C.方案3 D.方案4√12345678910111213141516解析方案2：所得獎(jiǎng)金為4.5＋4.5×1.2＝9.9(萬元)，方案3：所得獎(jiǎng)金為2＋(2＋0.5)＋(2＋1)＋(2＋1.5)＝11(萬元)，方案4：所得獎(jiǎng)金為(7000＋200)＋(7000＋200×2)＋…＋(7000＋200×12)＝99600(元)＝9.96(萬元).所以應(yīng)選方案3.6.(多選)某工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場要求雜質(zhì)含量不得超過0.1%，而這種溶液最初的雜質(zhì)含量為2%，現(xiàn)進(jìn)行過濾，已知每過濾一次雜質(zhì)含量減少

，則使產(chǎn)品達(dá)到市場要求的過濾次數(shù)可以為(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.301，lg3≈0.477)A.6 B.9 C.8 D.7√√解析設(shè)經(jīng)過n次過濾，產(chǎn)品達(dá)到市場要求，12345678910111213141516123456789101112131415167.通過市場調(diào)查知某商品每件的市場價(jià)y(單位：元)與上市時(shí)間x(單位：天)的數(shù)據(jù)如下：上市時(shí)間x天41036市場價(jià)y元905190根據(jù)上表數(shù)據(jù)，當(dāng)a≠0時(shí)，下列函數(shù)：①y＝ax＋k；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝alogmx中能恰當(dāng)?shù)拿枋鲈撋唐返氖袌鰞r(jià)y與上市時(shí)間x的變化關(guān)系的是______(只需寫出序號即可).②12345678910111213141516解析根據(jù)表格提供數(shù)據(jù)可知，y隨著x的增大先變小，后變大，即至少有遞減和遞增兩個(gè)過程，而①，③對應(yīng)的函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，不符合題意；②為二次函數(shù)，有遞減和遞增兩個(gè)區(qū)間，當(dāng)a>0時(shí)，能恰當(dāng)?shù)拿枋鲈撋唐返氖袌鰞r(jià)y與上市時(shí)間x的變化關(guān)系.12345678910111213141516解析2016年的垃圾量為a(1＋b)噸，從2015年開始經(jīng)過6年到2021年時(shí)該區(qū)的垃圾量應(yīng)為a(1＋b)6噸.8.據(jù)某校環(huán)保小組調(diào)查，某區(qū)垃圾量的年增長率為b,2015年產(chǎn)生的垃圾量為a噸，由此預(yù)測該區(qū)2021年的垃圾量應(yīng)為________噸.a(1＋b)6123456789101112131415169.蘆薈是一種經(jīng)濟(jì)價(jià)值很高的觀賞、食用植物，不僅可美化居室、凈化空氣，又可美容保健，因此深受人們歡迎，在國內(nèi)占有很大的市場.某人準(zhǔn)備進(jìn)軍蘆薈市場，栽培蘆薈，為了了解行情，進(jìn)行市場調(diào)研，從4月1日起，蘆薈的種植成本Q(單位：元/10kg)與上市時(shí)間t(單位：天)的數(shù)據(jù)情況如下表：t50110250Q150108150(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個(gè)最好能反映蘆薈種植成本Q與上市時(shí)間t的變化關(guān)系的函數(shù)：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝alogbt；解由所提供的數(shù)據(jù)可知，刻畫蘆薈種植成本Q與上市時(shí)間t的變化關(guān)系的函數(shù)不可能是常函數(shù)，若用函數(shù)Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝alogbt中的任意一個(gè)來反映時(shí)都應(yīng)有a≠0，且上述三個(gè)函數(shù)均為單調(diào)函數(shù)，這與表格所提供的數(shù)據(jù)不符合，所以應(yīng)選用二次函數(shù)Q＝at2＋bt＋c進(jìn)行描述，將表格所提供的三組數(shù)據(jù)分別代入函數(shù)Q＝at2＋bt＋c，可得1234567891011121314151612345678910111213141516所以刻畫蘆薈種植成本Q與上市時(shí)間的變化關(guān)系的函數(shù)為12345678910111213141516(2)利用你選擇的函數(shù)，求蘆薈種植成本最低時(shí)的上市天數(shù)及最低種植成本.t50110250Q15010815012345678910111213141516解由(1)可得，函數(shù)Q為開口向上，對稱軸為1234567891011121314151610.某網(wǎng)購店從2017年起參與“雙十一”促銷活動(dòng)，已知2017－2019年“雙十一”期間該網(wǎng)購店的銷售額分別為10萬元、12萬元、13萬元，為了估計(jì)以后每年“雙十一”的銷售額，以這三年的銷售額為依據(jù)，用一個(gè)函數(shù)模擬該網(wǎng)站的銷售額y(萬元)與年份數(shù)x的關(guān)系(為計(jì)算方便，2017年用x＝1代替，依此類推)，模擬可以選用二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c或函數(shù)y＝a·bx＋c(其中a，b，c為常數(shù))，若已知2020年“雙十一”期間該網(wǎng)購店的銷售額為13.4萬元，請問以上哪個(gè)函數(shù)作為模擬函數(shù)比較好？請說明理由，并根據(jù)以上結(jié)果預(yù)測2021年“雙十一”期間該網(wǎng)店的銷售額.12345678910111213141516解若選用二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，若選用函數(shù)y＝a·bx＋c，則預(yù)測2021年“雙十一”期間該網(wǎng)店的銷售額為13.75萬元.1234567891011121314151612345678910111213141516綜合運(yùn)用11.已知碳14是一種放射性元素，在放射過程中，質(zhì)量會不斷減少.已知1克碳14經(jīng)過5730年，質(zhì)量經(jīng)過放射消耗到0.5克，則再經(jīng)過多少年，質(zhì)量可放射消耗到0.125克A.5730 B.11460 C.17190 D.22920√解析由題意可得，碳14的半衰期為5730年，則再過5730年后，質(zhì)量從0.5克消耗到0.25克，過11460年后，質(zhì)量可消耗到0.125克.1234567891011121314151612.根據(jù)統(tǒng)計(jì)，一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時(shí)間(單位：分鐘)為f(x)組裝第A件產(chǎn)品用時(shí)15min，那么c和A的值分別是A.75,25 B.75,16

C.60,25 D.60,16√123456789101112131415161234567891011121314151613.2020年11月24日凌晨4時(shí)30分，我國在文昌航天發(fā)射場用長征五號遙五運(yùn)載火箭把嫦娥五號探測器順利地送入預(yù)定軌道，開啟我國首次外太空采樣返回之旅.據(jù)科學(xué)家們測算：火箭的最大速度至少達(dá)11.2千米/秒時(shí)，可將嫦娥五號探測器順利送入外太空.若火箭的最大速度v(單位：米/秒)，燃料的質(zhì)量M(單位：噸)和嫦娥五號探測器的質(zhì)量m(單位：噸)近似滿足函數(shù)關(guān)系式v＝5600·lg，當(dāng)燃料質(zhì)量與嫦娥五號探測器質(zhì)量的比值至少為“(

)”順利送入外太空A.9 B.99 C.999 D.9999√12345678910111213141516解析由條件可知11.2千米/秒＝11200米/秒，∴當(dāng)燃料質(zhì)量與嫦娥五號探測器質(zhì)量的比值至少為99時(shí)，順利送入外太空.1234567891011121314151614.某地區(qū)發(fā)生里氏8.0級特大地震.地震專家對發(fā)生的余震進(jìn)行了監(jiān)測，記錄的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：強(qiáng)度(J)1.6×10193.2×10194.5×10196.4×1019震級(里氏)5.05.25.35.4注：地震強(qiáng)度是指地震時(shí)釋放的能量.地震強(qiáng)度(x)和震級(y)的模擬函數(shù)關(guān)系可以選用y＝algx＋b(其中a，b為常數(shù)).利用散點(diǎn)圖(如圖)可知a的值等于___.(取lg2≈0.3進(jìn)行計(jì)算)解析由記錄的部分?jǐn)?shù)據(jù)，可知當(dāng)x＝1.6×1019時(shí)，y＝5.0，當(dāng)x＝3.2×1019時(shí)，y