江蘇省揚州市江都區(qū)仙城中學(xué)2025屆高三上學(xué)期期初測試 數(shù)學(xué)試卷含答案

揚州市仙城中學(xué)2024~2025學(xué)年度第一學(xué)期期初測試高三數(shù)學(xué)試卷（考試時間：120分鐘，總分150分）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知冪函數(shù)的圖象過點，則該函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B．?∞,0 C． D．0,+∞3．當時，在同一坐標系中，函數(shù)與的圖像是（

）A．

B．

C．

D．

4．設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．定義在上的偶函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞增，，，，則，，大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．6．若，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．7．高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù).例如：，，已知函數(shù)，則函數(shù)的值域為A． B． C． D．8．設(shè)函數(shù)的定義域是R時，a的取值范圍為集合M；它的值域是R時，a的取值范圍為集合N，則下列的表達式中正確的是（）A．M?N B．M∪N=R C．M∩N=? D．M=N二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．每題全選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9．下列求導(dǎo)數(shù)運算不正確的是（

）A． B．C． D．10．若函數(shù)的圖象在上連續(xù)不斷，且滿足，，，則下列說法錯誤的是（

）A．在區(qū)間上一定有零點，在區(qū)間上一定沒有零點B．在區(qū)間上一定沒有零點，在區(qū)間上一定有零點C．在區(qū)間上一定有零點，在區(qū)間上可能有零點D．在區(qū)間上可能有零點，在區(qū)間上一定有零點11．若一系列函數(shù)的解析式和值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”，例如函數(shù)與函數(shù)，為“同族函數(shù)”.下面函數(shù)解析式中能夠被用來構(gòu)造“同族函數(shù)”的是（

）A． B．C． D．三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分，不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上．12．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，．13．若f(x)＝是定義在R上的減函數(shù)，則a的取值范圍是.14．甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標有一個數(shù)字，甲的卡片上分別標有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標有數(shù)字2，4，6，8，兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）．則四輪比賽后，甲得3分的概率為；甲的總得分不小于2的概率為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．設(shè)函數(shù)，關(guān)于的不等式（為常數(shù)）的解集為.(1)若，求實數(shù)，的值；(2)當時，恒成立，試求的取值范圍.16．已知函數(shù)（1）若函數(shù)在點處的切線方程為，求函數(shù)的極值;（2）若，對于任意，當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.17．甲、乙兩名運動員進行乒乓球單打比賽，根據(jù)以往比賽的勝負情況知道，每一局甲勝的概率為，乙勝的概率為.如果比賽采用“五局三勝（即有一方先勝3局即獲勝，比賽結(jié)束）”比賽規(guī)則.(1)求甲獲勝的概率；(2)記甲、乙比賽的局數(shù)為，求的概率分布列和數(shù)學(xué)期望.18．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面底面，，且，是的中點．(1)求證：平面；(2)求二面角的正弦值．19．已知函數(shù)，.(1)若在處的切線也是的切線，求的值；(2)若，恒成立，求的最小整數(shù)值.1．C【分析】求出對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域得集合，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的值域求得集合，再根據(jù)并集概念求得交集．【詳解】由題意，，∴．故選：C．【點睛】本題考查集合的并集運算，掌握對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．D【解析】根據(jù)冪函數(shù)所過點可求得函數(shù)解析式，由冪函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】過點，即

單調(diào)遞減區(qū)間為0,+∞故選：【點睛】本題考查冪函數(shù)解析式的求解、單調(diào)區(qū)間的判斷；關(guān)鍵是明確冪函數(shù)當時，函數(shù)在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減.3．D【分析】根據(jù)指數(shù)對數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)進行判斷.【詳解】當時，函數(shù)為單調(diào)遞減的指數(shù)函數(shù)，函數(shù)為單調(diào)遞減的對數(shù)函數(shù)，觀察選項可得D符合.故選：D.4．B【分析】通過定義判斷函數(shù)為偶函數(shù)，利用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)在單調(diào)遞增，利用函數(shù)的單調(diào)性化簡，可得的范圍.【詳解】，故為偶函數(shù)，當時，，故在上為增函數(shù).綜上為偶函數(shù)，且在上為增函數(shù).故可得.即，解得或故選：B【點睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的應(yīng)用和函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查了邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運算能力和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于一般題目.5．D【分析】先根據(jù)條件推斷出函數(shù)為以2為周期的函數(shù)，根據(jù)是偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增推斷出在上是減函數(shù)，進而利用周期性使，，，進而利用自變量的大小求得函數(shù)的大小，則a，b，c的大小可知．【詳解】由條件，可以得：，所以是個周期函數(shù)，周期為2，又因為是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，所以在[0，1]上是減函數(shù)，則，，，，.故選：D.【點睛】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性，周期性和奇偶性的應(yīng)用．考查了學(xué)生分析和推理的能力．6．D【分析】分別引入函數(shù)，（），，（），由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性珀判斷各選項．【詳解】設(shè)，，時，，遞增，時，，遞減，因此時，，即不一定成立，A錯；設(shè)（），，時，，遞減，時，，遞增，因此時，，即不一定成立，B錯；設(shè)，則在時恒成立，遞增，若，則，所以，C錯；設(shè)（），則在時恒成立，在上遞減，若，則，即，D正確．故選：D．【點睛】本題考查大小比較，解題關(guān)鍵是引入函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，然后比較大?。?．D【分析】分離常數(shù)法化簡f（x），根據(jù)新定義即可求得函數(shù)y＝[f（x）]的值域．【詳解】，又>0，∴，∴∴當x∈（1，2）時，y＝[f（x）]＝1；當x∈[2，）時，y＝[f（x）]＝2．∴函數(shù)y＝[f（x）]的值域是{1，2}．故選D．【點睛】本題考查了新定義的理解和應(yīng)用，考查了分離常數(shù)法求一次分式函數(shù)的值域，是中檔題．8．C【詳解】由題意得,由函數(shù)的定義域是R得恒成立,即由函數(shù)的值域是R得取遍上每個值,所以,因此M∩N=?,選C.9．ABC【分析】由基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可知A，B錯誤；由導(dǎo)數(shù)的四則運算法則可知C錯誤；由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可知D正確.【詳解】選項A，，故A錯誤；選項B，，故B錯誤；選項C，，故C錯誤；選項D，正確.故選：ABC.【點睛】本題考查了基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的四則混合運算、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，考查了數(shù)學(xué)運算能力，屬于一般題目.10．ABD【分析】根據(jù)零點存在性定理，即可判斷選項.【詳解】因為函數(shù)的圖象在上連續(xù)不斷，且滿足，則，根據(jù)零點存在性定理可知，函數(shù)在區(qū)間上一定有零點，因為，因此無法判斷在區(qū)間上是否有零點，所以只有C判斷正確，其它都不正確.故選：ABD11．ABD【分析】理解若一系列函數(shù)的解析式和值域相同，但定義域不相同，則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”的定義，根據(jù)例子逐項判定四個選項的函數(shù)即可.【詳解】對于A，，當定義域分別為與時，值域均為，所以為同族函數(shù)，所以A正確;對于B，，當定義域分別為與時，值域均為，所以為同族函數(shù)，所以B正確;對于C，在定義域內(nèi)，函數(shù)圖像在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減，在第三象限內(nèi)單調(diào)遞減，不滿足定義域不同時，值域相同，所以C錯誤;對于D，定義域為，當定義域分別為與時，值域均為，所以D正確；綜上，故選ABD.【點睛】本題以新定義為載體，考查學(xué)生對函數(shù)三要素的理解，屬于基礎(chǔ)題．12．10【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱可求，再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可求.【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，解得，即的定義域為，則，故答案為1，0．【點睛】本題考查奇函數(shù)的性質(zhì)，一般地，奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，若奇函數(shù)在處有定義，則，本題屬于基礎(chǔ)題.13．【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性可得，解不等式組即可求解.【詳解】由題意知，，解得，所以.故答案為：【點睛】本題考查了由分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，屬于基礎(chǔ)題.14．##【分析】設(shè)甲在四輪的總得分為，分析可知，記，結(jié)合組合數(shù)求，進而根據(jù)分布列性質(zhì)以及期望公式求即可.【詳解】設(shè)甲在四輪游戲中的得分分別為，四輪的總得分為.對于任意一輪，甲乙兩人在該輪出示每張牌的概率都均等，其中使得甲得分的出牌組合有六種，從而甲在該輪得分的概率，所以.從而.記.如果甲得0分，則組合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分別對應(yīng)乙出2，4，6，8，所以；如果甲得3分，則組合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分別對應(yīng)乙出8，2，4，6，所以.而的所有可能取值是0，1，2，3，故，.所以，，兩式相減即得，故.所以甲的總得分不小于2的概率為.故答案為：；.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于將問題轉(zhuǎn)化為隨機變量問題，利用期望的可加性得到等量關(guān)系，從而避免繁瑣的列舉.15．(1)(2)【分析】（1）由題意可得﹣3，1是方程ax2+bx﹣3＝0（a＞0）的兩根，由韋達定理，解方程可得所求值；（2）由韋達定理可得b＝2a，由題意可得a（x2+2x）＜x+1，即對1≤x≤3恒成立．構(gòu)造函數(shù)g（x）＝，求得最小值，可得所求范圍．【詳解】（1）關(guān)于x的不等式f（x）＜0即ax2+bx﹣3＜0的解集為（﹣3，1），可得﹣3，1是方程ax2+bx﹣3＝0（a＞0）的兩根，則，解得a＝1，b＝2；（2）關(guān)于x的不等式f（x）＜k（k為常數(shù)）的解集為（﹣3，1），可得﹣3，1是方程ax2+bx﹣3﹣k＝0（a＞0）的兩根，且則，即有當x∈[1，3]時，f（x）＜x﹣2恒成立，即ax2+2ax﹣3＜x﹣2，即有a（x2+2x）＜x+1，即對1≤x≤3恒成立．設(shè)g（x）＝＝＝，由1≤x≤3，可得2≤x+1≤4，又y＝x+1﹣在[1，3]遞增，可得x＝3時，y＝x+1﹣取得最大值，所以g（x）的最小值為，所以，即a的取值范圍是16．（1）極小值，極大值為；（2）.【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由條件可知，由此可求出，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性即可求出極值；（2）化簡可得不等式等價于，則可得在上單調(diào)遞減，根據(jù)導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值即可.【詳解】（1）由題意知函數(shù)的定義域為0,+∞因為,所以，由函數(shù)在點處的切線方程為,則可解得，則所以令，解得所以當時，，當時，，當時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以函數(shù)的極小值為函數(shù)極大值為（2）當時，不等式可化為即令，則，所以原不等式可化為，因為對任意，當時，不等式恒成立，則可知在上單調(diào)遞減因為所以在上恒成立，則在上恒成立令則所以在上單調(diào)遞增，所以,所以所以實數(shù)的取值范圍為【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的恒成立問題，解題的關(guān)鍵是將不等式轉(zhuǎn)化為，再由在上單調(diào)遞減，將其轉(zhuǎn)化為在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值.屬于中檔題.17．(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）甲前三局勝了兩局，且第四局甲勝，即可求解.(2)列出的所有取值，求出對應(yīng)概率，再列出分布列，即可求出期望.【詳解】（1）記甲獲勝為事件，說明甲前三局勝了兩局，且第四局甲勝，所以答：甲獲勝的概率為（2）可能取值是3、4、5，所以345則18．(1)證明見解析(2)【分析】(1)欲證明平面BMD，只需證明PA垂直于平面BMD內(nèi)兩條相交的直線即可；(2)建立空間坐標系，運用空間向量計算即可.【詳解】（1）設(shè)與交于，連接．因為為正方形的對角線，所以為中點，且，因為是的中點，所以，因為，所以因為平面底面，平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以因為平面，，所以平面；（2）因為平面，平面，所以，，因為是的中點，所以，因為底面為正方形，所以，在中，為的中點，所以，同理：，且，因為平面，，所以平面，以為原點，所在的直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，則，，，，，所以，設(shè)平面的一個法向量，因為，所以，令，則，所以，同理：平面的一個法向量，設(shè)二面角的